高二数学导数及其应用单元复习与巩固

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新教材高中数学习题课导数的综合应用课后巩固提升含解析北师大版选择性必修第二册

第二章导数及其应用习题课导数的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.对任意的x ∈R ,函数f (x )=x 3+ax 2+7ax 不存在极值点的充要条件是( )A.0≤a ≤21B.a=0或a=7C.a<0或a>21D.a=0或a=21(x )=3x 2+2ax+7a ,当Δ=4a 2-84a ≤0,即0≤a ≤21时,f'(x )≥0恒成立,函数f (x )不存在极值点. 2.已知函数f (x )=x-sin x ,则不等式f (x+1)+f (2-2x )>0的解集是( ) A.-∞,-13B.-13,+∞ C.(-∞,3)D.(3,+∞)f (x )=x-sin x ,∴f (-x )=-x+sin x=-f (x ),即函数f (x )为奇函数,函数的导数f'(x )=1-cos x ≥0,则函数f (x )是增函数,则不等式f (x+1)+f (2-2x )>0等价于f (x+1)>-f (2-2x )=f (2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为(-∞,3).3.已知f (x )=kx 2+2x+2k 在(1,2)内有极值点,则k 的取值范围是( ) A.-1<k<-12B.k<-1或k>-12C.12<k<1 D.k<1或k<1(x )=2kx+2,由题意知f'(1)·f'(2)<0,即(2k+2)·(4k+2)<0,解得-1<k<-12.4.设函数f (x )=13sin θ·x 3+√32cos θ·x 2+tan θ,其中θ∈[0,5π12],则导数f'(1)的取值范围是 .√2,2]f'(x )=sin θ·x 2+√3cos θ·x ,所以f'(1)=sin θ+√3cos θ=2sin (θ+π3). 因为0≤θ≤5π12,π3≤θ+π3≤3π4,所以√22≤sin (θ+π3)≤1. 故√2≤f'(1)≤2.5.某厂生产某种商品x 件的总成本c (x )=1 200+275x 3(单位:万元),已知产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为件时,总利润最大.p 万元,根据已知,可设p 2=k x ,其中k 为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250000. 所以p 2=250000x,p=√x,x>0.设总利润为y 万元, y=√x ·x-1200-275x 3=500√x −275x 3-1200, 则y'=√x−225x 2.令y'=0,得x=25.故当0<x<25时,y'>0,当x>25时,y'<0,所以,当x=25时,函数y 取得极大值,也是最大值. 6.设函数f (x )=e xx .(1)求函数f (x )的单调区间;(2)若k>0,求不等式f'(x )+k (1-x )f (x )>0的解集.f'(x )=1xe x -1x 2e x =x -1x 2e x . 由f'(x )=0,得x=1. 当x<0时,f'(x )<0; 当0<x<1时,f'(x )<0; 当x>1时,f'(x )>0.所以f (x )的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,0)和(0,1). (2)由f'(x )+k (1-x )f (x )=x -1+kx -kx 2x 2e x =(x -1)(-kx+1)x 2·e x>0, 得(x-1)(kx-1)<0.故当0<k<1时,解集是{x |1<x <1k }; 当k=1时,解集是⌀;当k>1时,解集是{x |1k <x <1}.关键能力提升练7.已知函数f (x )=e x -ln(x+3),则下列有关描述正确的是( ) A.∀x ∈(-3,+∞),f (x )≤13 B.∀x ∈(-3,+∞),f (x )>-12 C.∃x 0∈(-3,+∞),f (x 0)=-1 D.f (x )min ∈(1,2)f (x )=e x -ln(x+3),∴f'(x )=e x -1x+3,显然f'(x )在(-3,+∞)内单调递增,又f'(-1)=1e −12<0,f'(0)=23>0,∴f'(x )在(-3,+∞)上有唯一的零点,设为x 0,且x 0∈(-1,0),则x=x 0为f (x )的极小值点,也是最小值点,且e x 0=1x 0+3,即x 0=-ln(x 0+3),故f (x )≥f (x 0)=e x 0-ln(x 0+3)=1x 0+3+x 0>-12,故选B .8.已知函数f (x )满足e x (f'(x )+2f (x ))=√x ,f 12=12√2e,若对满足ab=32e 的任意正数a ,b 都有f (2x )<1a +1b ,则x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B .(-1,+∞) C .(0,1) D .(1,+∞),若e x [f'(x )+2f (x )]=√x ,则e 2x(f'(x )+2f (x ))=e x ·√x , 即(e 2x f (x ))'=e x ·√x ,设g (x )=e 2x f (x ),则f (x )=g (x )e 2x ,且g'(x )=e 2x(f'(x )+2f (x ))=e x ·√x , 则f'(x )=g (x )e 2x' =g '(x )e 2x -g (x )·(e 2x )'e 4x=g '(x )-2g (x )e 2x=√x ·e x -2g (x )e 2x, 令h (x )=√x ·e x -2g (x ),则h'(x )=(√x ·e x )'-2g'(x )=x 2√x,当x ∈0,12时,h'(x )≥0,h (x )单调递增, 当x ∈12,+∞时,h'(x )≤0,h (x )单调递减,则h (x )≤h12=√12·e 12-2g12=√2e2-2e f 12=0,即有f'(x )≤0,则函数f (x )在[0,+∞)内单调递减.又由1a +1b≥2√1ab=2√2e,当且仅当a=b=4√2e时等号成立,∵任意正数a,b都有f(2x)<1a +1b,则f(2x)<12√2e=f12,∴2x>12,解得x>-1,则不等式的解集为(-1,+∞).9.(多选题)已知函数f(x)=x ln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,以下几个结论中正确的是()A.0<x0<1eB.x0>1eC.f(x0)+2x0<0D.f(x0)+2x0>0f(x)=x ln x+x2(x>0),∴f'(x)=ln x+1+2x,易知f'(x)=ln x+1+2x在(0,+∞)上单调递增,∵x0是函数f(x)的极值点,∴f'(x0)=0,即ln x0+1+2x0=0,而f'1e =2e>0,当x→0,f'(x)→-∞,∴0<x0<1e,即选项A正确,选项B不正确;f(x0)+2x0=x0ln x0+x02+2x0=x0(ln x0+x0+2)=-x0(x0-1)>0,即选项D正确,选项C不正确.选AD.10.(多选题)已知函数f(x)=sin x+x3-ax,则下列结论正确的是()A.f(x)是奇函数B.若f(x)是增函数,则a≤1C.当a=-3时,函数f(x)恰有两个零点D.当a=3时,函数f(x)恰有两个极值点A,f(x)=sin x+x3-ax的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)+(-x)3+ax=-(sin x+x3-ax)=-f(x).故A正确.对B,f'(x)=cos x+3x2-a,因为f(x)是增函数,故cos x+3x2-a≥0恒成立,即a≤cos x+3x2恒成立.令g(x)=cos x+3x2,则g'(x)=6x-sin x,设h(x)=6x-sin x,h'(x)=6-cos x>0,故g'(x)=6x-sin x单调递增,又g'(0)=0,故当x<0时g'(x)<0,当x>0时g'(x)>0.故g(x)=cos x+3x2最小值为g(0)=1.故a≤1.故B正确.对C,当a=-3时,由f'(x)=cos x+3x2-a>0在R上恒成立知,f(x)是增函数,故不可能有两个零点,故C 错误.对D,当a=3时f(x)=sin x+x3-3x,f'(x)=cos x+3x2-3,令cos x+3x2-3=0,则有cos x=3-3x2.在同一坐标系中作出y=cos x,y=3-3x2的图象易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数f(x)恰有两个极值点.故D正确.故选ABD.11.已知函数f(x)=x3-3x+m,若关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,则实数m的取值范围是.-2,2]g(x)=x3-3x,x∈[0,2],则易知函数g(x)在[0,1]内单调递减,在[1,2]内单调递增, 又g(1)=-2,g(2)=2,g(0)=0,∴函数g(x)=x3-3x,x∈[0,2]的值域是[-2,2].∵关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,则-m∈[-2,2],可得m∈[-2,2].12.已知函数f(x)=x2-2ln x,若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则实数m的取值范围是.-∞,e2-2]f(x)-m≥0得f(x)≥m,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-2x =2(x2-1)x,当x∈[1,e]时,f'(x)≥0,此时,函数f(x)单调递增,所以f(1)≤f(x)≤f(e),即1≤f(x)≤e2-2,要使f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则有m≤e2-2.13.已知函数y=x2(x>0)的图象在点(a k,a k2)处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是.y'=2x,则函数y=x2(x>0)在点(a1,a12)(a1=16)处(即点(16,256)处)的切线方程为y-256=32(x-16).令y=0,得a2=8.同理函数y=x2(x>0)在点(a2,a22)(a2=8)处(即点(8,64)处)的切线方程为y-64=16(x-8).令y=0,得a3=4,依次同理求得a4=2,a5=1.所以a1+a3+a5=21.14.已知函数f (x )=12x 2-a ln x (a ∈R ),(1)若f (x )在x=2时取得极值,求a 的值; (2)求f (x )的单调区间;(3)求证:当x>1时,12x 2+ln x<23x 3.(x )=x-ax ,∵x=2是一个极值点,∴2-a2=0,则a=4.此时f'(x )=x-4x =(x+2)(x -2)x,∵f (x )的定义域是(0,+∞), ∴当x ∈(0,2)时,f'(x )<0;当x ∈(2,+∞)时,f'(x )>0,∴当a=4时,x=2是一个极小值点,则a=4.f'(x )=x-ax =x 2-a x,∴当a ≤0时,f (x )的单调递增区间为(0,+∞).当a>0时,f'(x )=x-ax =x 2-a x=(x+√a )(x -√a )x,当0<x<√a 时,f'(x )<0,当x>√a 时,f'(x )>0,∴函数f (x )的单调递增区间为(√a ,+∞),递减区间为(0,√a ).g (x )=23x 3-12x 2-ln x ,∵x>1, ∴g'(x )=2x 2-x-1x=(x -1)(2x 2+x+1)x>0,∴g (x )在x ∈(1,+∞)上单调递增, ∴当x>1时,g (x )>g (1)=16>0, ∴当x>1时,12x 2+ln x<23x 3.学科素养创新练15.已知函数f (x )=x ln x-ax 2+(2a-1)x+a ,其中a 为常数. (1)当a=0时,求f (x )的极值;(2)当a ≥12时,求证:对∀x 1<x 2,且x 1,x 2∈(0,+∞),不等式ln (x 1+1)-lnx 1ln (x 2+1)-lnx 2>x 2+ax 1+a 恒成立.a=0时,f (x )=x ln x-x ,f'(x )=ln x ,∴当x ∈(0,1)时,f'(x )<0,即f (x )在(0,1)上单调递减;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,即f (x )在(1,+∞)上单调递增.∴f (x )的极小值为f (1)=-1,无极大值.(2)证明根据题意,要证明对∀x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,ln (x 1+1)-lnx 1ln (x 2+1)-lnx 2>x 2+a x 1+a,等价于证明(x 1+a )ln 1+1x 1>(x 2+a )ln 1+1x 2.设g (x )=(x+a )ln 1+1x ,由单调性的定义知要证明原不等式等价于证明g (x )=(x+a )ln 1+1x 在(0,+∞)上单调递减. 即证g'(x )=ln 1+1x -x+ax 2+x ≤0在(0,+∞)上恒成立, 即证ln 1+1x ≤x+a x 2+x .∵a ≥12,∴x+12x 2+x ≤x+ax 2+x , ∴只需证明ln 1+1x ≤x+12x 2+x ,等价于证明ln 1+1x -x+12x 2+x ≤0. 设h (x )=ln 1+1x -x+12x 2+x (x>0), 令t=1+1x ,则t>1,h (x )=g (t )=ln t-t 2-12t,只需证当t>1时,g (t )≤0.∵g'(t )=-(t -1)22t 2<0,∴g (t )单调递减,∴g (t )<g (1)=0,故原不等式成立.。

《导数及其应用》全章复习与巩固(提高)(理)巩固练习_

《导数及其应用》全章复习与巩固【巩固练习】一、选择题1．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－15B ．5,4C ．－4，－15D ．5，－163．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A. 2 B ．3 C ．6 D ．94．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的边长为（）．A ．2R 和32R B ．5R 和5R C ．45R 和75R D ．以上都不对 5. 已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )6. 设R a ∈，若函数x e yax 3+=，（R x ∈）有大于零的极值点，则（） A. 3a <- B. 3a >- C. 13a <- D. 13a >-7．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152 B ．有最大值－152 C ．有最小值152 D ．有最小值－152二、填空题8．函数()ln xf x x=的单调递减区间是_ _____． 9．．求由曲线1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积为___________．10. 函数32()3f x x a x a =-+（0a >）的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围。

11、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是_______。

人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_《导数及其应用》全章复习与巩固(提高)(理)

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【知识网络】【要点梳理】要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上； ②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数；（2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数；（3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤.（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使max (,)0f x m ≤）要点三：函数极值、最值的问题函数极值的问题（1）确定函数的定义域；（2）求导数)(x f '；（3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点；若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '；（2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．要点五：定积分的概念如果函数=()y f x 在区间[]a b ，上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取点()1,2,,i i n =ξ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ．当n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：()baf x dx ⎰，即+1()lim()nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ．要点诠释：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同．要点六：定积分的几何意义要点诠释：（1）当()0f x ≤时，由()y f x =、x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d ()bbaaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）．（2）当()f x 在区间[a ，b ]上有正有负时，积分()d b af x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）．在如图（c ）所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰．要点七：定积分的运算性质性质1：()d ()bba ak f x x k f x kS ==⎰⎰；性质2：[()g()]d ()g()d bb baaaf x x x f x x x ±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。

2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块07-导数及其应用

模块七：导数及其应用1、函数的平均变化率一般地,若函数y=f(x)的定义域为D ,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2−x1为自变量的改变量; 称Δy=y2−y1 (或Δf=f(x2)−f(x1) ) 为相应的因变量的改变量; 称Δy Δx =y2−y1x2−x1(或ΔfΔx=f(x2)−f(x1)x2−x1)为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以x1,x2为端点的闭区间”,在x1<x2时指的是[x1,x2] ,而x1>x2时指的是 2平均变化率的实际意义是,在以x1,x2为端点的闭区间上,自变量每增加 1 个单位,因变量平均将增加ΔyΔx个单位. 因此,如果自变量增加ℎ个单位, 那么因变量将增加个单位. 个单位.说明: 在x1<x2时Δx>0 ; 在x1>x2时Δx<0 ;平均变化率作用: 刻画函数值在以x1,x2为端点的闭区间上变化的快慢依照定义可知, 函数在一个区间内的平均图 6-1-1变化率, 等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率. 例如,图 6-1-1 中函数y=f(x)在[x1,x2]上的平均变化率,等于直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).因此, 平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线 (即函数图象) 在某一区间上的变化趋势, 是曲线倾斜程度的“数量化”, 曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”.2、瞬时变化率与导数(1) 函数在某点处的导数:如果当Δx→0时,平均变化率ΔyΔx 无限趋近于一个确定的值,即ΔyΔx有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(derivative) (也称为瞬时变化率),记作f′(x0)或y′|x=x,即f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.(2) 导数的几何意义1)2) 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)) (也称在x=x0处) 的切线方程是: 3、导函数 (简称导数)一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导,则称f(x)可导. 此时,对定义域内的每一个值x ,都对应一个确定的导数f′(x) . 于是,在f(x)的定义域内, f′(x)是一个函数,这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数,记作f′(x) (或y′,y x′ ),即f′(x)=y′=y x′=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx.4、导数公式表(1) C′= (2) (xα)′= (3) (1x )′= (4) (√x)′= (5) (1x n)′=(6) (a x)′= (8) (log a x)′= (9) (lnx)′= (10) (sinx)′=−3 ; (11) (cosx)′=5、导数的四则运算(1) [f(x)±g(x)]′=(3) [f(x)g(x)]′= ; (4) [c⋅f(x)]′=4、复合函数的求导法则一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=ℎ(x)=f(g(x)),则可以证明,复合函数的导数ℎ′(x)与f′(u),g′(x)之间的关系为ℎ′(x)=[f(g(x))]′=f′(u)g′(x)=f′(g(x))g′(x).这一结论也可以表示为y x′=y u′u x′.5、导数与函数的单调性(1) 在某个区间(a,b)内,如果f′(x)=0 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增; 如果f′(x)=0 , 那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减;特别说明: 在某个区间(a,b)内恒有f′(x)=0 ,函数y=f(x)在区间(a,b)内是一个常函数.结合函数f(x)=x3研究: 如果函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么在区间(a,b)内必有f′(x)>0吗?(2) 函数y=f(x)的导函数是f′(x) . 若函数单调递增,则 : 若函数单调递减,则(3) |f′(x)|的大小表示函数值的变化快慢,图象的陡缓:6、导数与函数的极值(1) 函数的极值一般地,设函数y=f(x)的定义域为D ,设x0∈D ,如果对于x0附近的任意不同于x0的x (1),都有(1) f(x)<f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个极大值点,且f(x)在x0处取极大值;(2) f(x)>f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值.说明: 极大值点与极小值点都称为极值点, 极大值与极小值都称为极值.(2) 导数与极值如果x0是函数y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有: f′(x0)一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f′(x0)=0 .(1) 如果对于x0左侧附近的任意x ,都有f′(x)>0 ,对于x0右侧附近的任意x ,都有f′(x)<0 ,那么此时x0是f(x)的极大值点.(2) 如果对于x0左侧附近的任意x ,都有f′(x)<0 ,对于x0右侧附近的任意x ,都有f′(x)>0 ,那么此时x0是f(x)的极小值点.(3) 如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号 (或均为负号), 则x0一定不是y=f(x)的极值点.说明: (1)若f′(x0)存在,则“ f′(x0)=0” 是“ x0是函数y=f(x)的极值点” 的条件.(2)区间端点不是极值点, 一个函数在定义域内可以有多个极大值和极小值, 极大值不一定大于极小值;(3)在区间上单调函数没有极值;7、导数与函数的最大值和最小值(1) 最值定理一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2) 极值与最值的关系一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函数的最值点一定是某个极值点; 如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b ,要么是极值点.(3) 求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1) 求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;(2) 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.8、重要母函数的图象和性质解析式f (x)=xe xf(x)=xe xf(x)=e xx图像定义域(−∞,+∞)(−∞,+∞)(−∞,0)∪(0+∞)解析式f(x)=xlnx f(x)=xlnx f(x)=lnxx图像∫f(x)=lnxx定义域(0,+∞)(0,1)∪(1,+∞)(0,+∞)9、常用于求或恒成立、或有解、或无解命题中的参数取值范围:设函数f(x)的值域为(a,b)或[a,b]或(a,b]或[a,b)中之一种,则(1)若λ≥f(x)恒成立 (即λ<f(x)无解),则λ≥[f(x)]max ;(2) 若λ≤f(x)恒成立 (即λ>f(x)无解),则λ≤[f(x)]min ;(3) 若λ≥f(x)有解 (即存在x使得λ≥f(x)成立),则λ≥[f(x)]min ;(4)若λ≤f(x)有解 (即存在x使得λ≤f(x)成立),则λ≤[f(x)]max ;(5)若λ=f(x)有解 (即λ≠f(x)无解),则λ∈{y∣y=f(x)} ;(6)若λ=f(x)无解 (即λ≠f(x)有解),则λ∈U{y∣y=f(x)} .【导数中的重要方法总结】⋆1、切线问题:(1) 已知切点(x0,f(x0)) ,求切线方程的解题步骤:(1) 求导数值f′(x) ; (2) 切线方程为: y−f(x0)=f′(x)(x−x0) .(2) 过点(a,b)的切线方程求解步骤:(1) 设切点(x0,f(x0)) ; (2)切线斜率为: f(x0)−bx0−a=f′(x0)⇒x0 (3) 方程为: y−f(x0)=f′(x)(x−x0) ;(3) 求y=f(x)与y=g(x)的公切线的步骤:(1)设切点(x1,f(x1)),(x2,g(x2)) ; (2)求导列关系式k=f(x1)−g(x2)x1−x2=f′(x1)=g′(x2)(3)根据上面的关系式解出x1或x2 ; (4) 回代入(2)中求出k ,如k=f′(x1) ;(5)利用点斜式求出切线,如y−f(x1)=f′(x1)(x−x1) .○ 2、参数取值范围:(1) 函数定义域: 解决函数问题, 定义域优先.(2) 分离参量: 利用分离参量的思路将题目给的参数移到一边. a≤ℎ(x)(3) 恒成立和成立问题:(1)恒成立: f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a; f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a ;(2)成立: f(x)<a成立⇔f(x)min<a f(x)>a成立⇔f(x)max>a(4) 导函数零点可求: 导函数零点可求时, 运用常规方法可求得函数最值, 进而可得参数取值范围. 步骤: f(x)定义域→f′(x)→求f′(x)零点→列表→判断增减性→得最值.※ 3、导函数零点不可求的处理方法: 需要单独设分子为新函数, 求导推出原函数单调性. (1)分类讨论法 (证明不等式成立): 通过对原函数或者导函数进行因式分解, 对局部函数进行研究, 找出参数分界值, 在分段区间上证明题意成立, 从而印证该区间参数可以取到单调性讨论: 分离出参量后, 构造新函数, 求新函数最值, 若新函数的导函数零点不可求往往需要对分式分子进行求导 (整式直接进行二阶求导), 若得到的式子不能比较直观的判断正负则继续求导, 直到得到的式子能比较直观判断正负, 进而推出前面几阶导数的增减和正负, 直到可以确定原函数增减性. (2)分离参量法:(1) 隐零点: 通过虚设零点进行等量代换求解函数的最值.“虚设代换 "法: 导函数f′(x)的零点无法求出显性的表达时,可以利用设而不求的思想.(1) 在证明零点存在后,假设零点为x a ,则可得到一个关于x o的方程f′(x o)=0(2) 根据f′(x)的单调性,得出x o两侧的正负,进面得出原函数的单调性和极值f(x o) ;(3) 将(1)式中关于x o的方程整体或局部代入f(x o) ,从而求得f(x o) ,然后解决相关问题. 注意: 使用f′(x o)=0进行 "指幂代换 "(或 "对幂代换 "),尽最转化为幂函数进行讨论. (2) 洛必达法则: 在驻点不可求时, 往往需要讨论函数的增减性, 这时, 函数的最值往往在间断点处取得, 所以需要通过极限计算的方法求出函数的最值. 求极限时, 函数的极限如果满足未定式00、∞∞. 则需通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值.即:lim f(x)g(x)=limf′(x)g′(x)○ 4、证明单变量不等式(1) 核心考点: 主要思路是把问题转化为函数最值问题,譬如证明f(x)>g(x) :策略一: 移项,构造函数,证明(f(x)−g(x))min>0 ;策略二: 放缩,证明f(x)≥l(x)>g(x) ,一般l(x)为切线;策略三: 变形,证明f(x)min>g(x)max ,该法并非通法,但有时对证明有意想不到的效果.(2) 函数放缩化曲为直: 在处理函数不等式或者求解函数近似解中, 由于原函数比较复杂, 常用化曲为直的方法进行放缩, 以曲线上某点处的切线进行放缩, 前提条件是放缩对象具有凹凸性 (二阶导恒大于或小于 0 ).常见的化曲为直有:基础指数切线放缩: e x≥x+1对数切线放缩: lnx≤x−1引深(1) e x−1≥x、e x≥ex (切横x=1 )(2) e x+a≥x+a+1 (用x+a替换x ,切点横坐标是x=−a ), (3) xe x≥x+lnx+1 . (用x+lnx替换x ,切点横坐标满足x+lnx=0). (4) e x≥e24x2>x2(x>0) (用x2替换x ,切点横(1) lnx≤xe. (用xe替换x ,切点横坐标是x=e) (2) lnx≥1−1x. (用1x替换x ,切点横坐标x=1) ,或者记为xlnx≥x−1 . (3) lnx≤x2−x. (lnxx≤x−1) . (4) ln(x+1)≤x ,由lnx≤x−1向左平移一个单位,或基础指数切线放缩: e x ≥x +1对数切线放缩: lnx ≤x −1 坐标是 x =2 ); 有 e x n ≥e ⋅x n (x >0) 的构造模型. 者将 e x ≥x +1 两边取对数而来.○ 5、证明双变量不等式(1) 利用变量之间的关系转化 (消元或捆绑换元) 为单变量的不等式证明;(1)当 x 1<x 2 时,令 t =x 2−x 1,t ∈(0,+∞) ; (2)当 0<x 1<x 2 ,令 t =t1t 2∈(0,1) . (2) 分拆变量, 证明极值点偏移(1) 极值点偏移: 对 f (x ) 有 f (x 1)=f (x 2)(x 1<x 2),x 0 是函数 f (x ) 的极值点,且 x 0∈(x 1,x 2)若 x 1+x 22<x 0 ,称为极值点右偏; 若 x 1+x 22>x 0 称为极值点左偏.(2)分拆变量利用单调性证明极值点偏移的思路 (以 x 1+x 2<2x 0 为例): i 、将所证不等式中的变量分到不等式的两边 (x 1<2x 0−x 2) ;ii 、构造对称函数 g (x )=f (x )−f (2x 0−x 2) ;iii 、利用导数研究函数 g (x ) 的单调性 (单调递增);iv 、由函数 g (x ) 的单调性判断 g (x ) 与 g (x 0) 的大小 (g (x 2)>g (x 0)=0) ; v 、利用 f (x ) 单调性反推变量大小,从而 (f (x 1)=f (x 2)>f (2x 0−x 2)⇒x 1+x 2<2x 0) (3)对数平均不等式: 两个正数 a 和 b 的对数平均定义: L (a,b )={a−b lna−lnb (a ≠b )a (a =b ).,对数平均与算术平均、几何平均的大小关系: √ab ≤L (a,b )≤a+b 2 此式记为对数平均不等式. 取等条件: 当且仅当 a =b 时,等号成立.(3)双变量恒成立、能成立问题的最值等价条件:(1) ∀x 1∈A,∀x 2∈B ,使得: f (x 1)≥g (x 2) ,则: f (x )min ≥g (x )max ;(2) ∀x 1∈A,∃x 2∈B ,使得: f (x 1)≥g (x 2) ,则: f (x )min ≥g (x )min ;(3) ∃x 1∈A,∀x 2∈B ,使得: f (x 1)≥g (x 2) ,则: f (x )max ≥g (x )max ;(4) ∃x 1∈A,∃x 2∈B ,使得: f (x 1)≥g (x 2) ,则: f (x )max ≥g (x )min ;(5) ∀x 1,x 2∈A ,使得: |f (x 1)−f (x 2)|≤a ,则: f (x )max −f (x )min ≤a ;(6) ∃x 1,x 2∈A ,使得: |f (x 1)−f (x 2)|≥a ,则: f (x )max −f (x )min ≥a ;○ 6 、抽象函数的导函数构造(1)xf ′(x )+f (x )>0⇔[xf (x )]′>0;xf ′(x )−f (x )>0⇔[f (x )x]′>0 当 x >0 时, xf ′(x )+nf (x )>0⇔[x n f (x)]′>0;xf ′(x )−nf (x )>0⇔[f (x )x n ]′>0(2) f ′(x )+f (x )>0⇔[e x f (x )]′>0;f ′(x )−f (x )>0⇔[f (x )e x ]′>0f ′(x )+f (x )>a ⇔[e x (f (x )−a )]′>0 ;f ′(x )−f (x )>a ⇔[(f (x )+a )e x]′>0 sinxf ′(x )+cosxf (x )>0x ∈(−π2,π2)tanxf ′(x )+f (x )>0}⇔[sinxf (x )]′>0 sinxf ′(x )−cosxf (x )>0x ∈(−π2,π2), tanxf ′(x )−f (x )>0}⇔[f (x )sinx ]′>0 cosxf ′(x )−sinxf (x )>0f ′(x )−tanxf (x )>0}⇔[cosxf (x )]′>cosxf ′(x )+sinxf (x )>0x ∈(−π2,π2), f ′(x )+tanxf (x )>0}⇔[f (x )cosx ]′>0 【课本优质习题汇总】新人教 A 版选择性必修二 P70(第 2 题)2. 函数f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是 ( ).(A) f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 (B) f′(1)<f′(2)<f′(3)<0(C) 0<f′(1)<f′(2)<f′(3) (D) f′(1)>f′(2)>0>f′(3)新人教 A 版选择性必修二 P816. 已知函数f(x)满足f(x)=f′(π4)sinx−cosx ,求f(x)在x=π4处的导数.7. 设函数f(x)=1−e x的图象与x轴相交于点P ,求该曲线在点P处的切线方程.8. 已知函数f(x)=x22+2x−3lnx ,求f(x)的导数,并求出f′(x)>0的解集.新人教 A 版选择性必修二 P8211. 设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x−y+1=0垂直,求a的值.新人教 A 版选择性必修二 P942. 证明不等式: x−1≥lnx,x∈(0,+∞) . 新人教 A 版选择性必修二 P987. 将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形. 要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?8. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,做成一个无盖方盒.(1) 试把方盒的容积V表示为x的函数;(2) x多大时,方盒的容积V最大?新人教 A 版选择性必修二 P989. 用测量工具测量某物体的长度,由于工具的精度以及测量技术的原因,测得n个数据a1,a2,a3,⋯,a n.证明: 用n个数据的平均值x=1n∑a ini=1表示这个物体的长度,能使这n个数据的方差f(x)=1n∑(x−a i)2ni=1最小.新人教 A 版选择性必修二 P9911. 已知某商品进价为a元/件,根据以往经验,当售价是b(b≥43a)元/件时,可卖出c件. 市场调查表明,当售价下降10%时,销量可增加40% . 现决定一次性降价,售价为多少时,可获得最大利润?12. 利用函数的单调性, 证明下列不等式, 并通过函数图象直观验证:(1) e x>1+x,x≠0 ; (2) lnx<x<e x,x>0 . 新人教 A 版选择性必修二 P103 3. 已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( ).(第 3 题)(A)(D)(B) (C)6. 一杯80∘C的热红茶置于20∘C的房间里,它的温度会逐渐下降,温度T(单位: ’C’)与时间t (单位: min)之间的关系由函数T=f(t)给出.(1) 判断f′(t)的正负,并说明理由.(2) f′(3)=−4的实际意义是什么? 如果f(3)=65∘C ,你能画出函数f(t)在t=3时图象的大致形状吗?新人教 A 版选择性必修二 P10411. 如图,直线l和圆P ,当l从l0开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动 (转动角度不超过90∘ ) 时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数. 这个函数的图象大致是 ( ).(第 11 题)(A)(B)(C)(D)新人教 A 版选择性必修二 P104的大致图象.17. 作函数y=e x(2x−1)x−118. 已知函数f(x)=e x−ln(x+m) . 当m≤2时,求证f(x)>0 .19. 已知函数f(x)=ae2x+(a−2)e x−x .(1) 讨论f(x)的单调性; (2) 若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 新人教 B 版选择性必修三 P67(第 5 题)6 已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示.(1) 甲、乙两人的平均速度各是多少?(2) 在接近终点时, 甲乙两人谁的速度更快?新人教 B 版选择性必修三 P90(3) 已知曲线y=x24−3lnx+1的一条切线的斜率为12,求切点的横坐标.(4) 求f(x)=(x2−3x+1)e x的导数,并求出曲线y=f(x)的平行于x轴的切线的切点坐标.新人教 B 版选择性必修三 P91(5) 设l是曲线y=1x的一条切线,证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.(6) 求满足下列条件的直线l的方程.(1) 过原点且与曲线y=lnx相切;(2) 斜率为e且与曲线y=e x相切.(7) 设曲线y=2x3在(a,2a3)处的切线与直线x=a,y=0所围成的三角形面积为13,求a的值.(3) 已知函数f(x)=4x2 ,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为l , 直线m 平行于直线l且过点(0,−6) .(1) 求出直线l与m的方程;(2) 指出曲线y=f(x)上哪个点到直线m的距离最短,并求出最短距离.(9) 已知f(x)=√x ,求f(9.05)的近似值.新人教 B 版选择性必修三 P91(3) 已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=−x2+a ,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,则a取什么值时, C1和C2有且仅有一条公切线? 写出此公切线的方程.新人教 B 版选择性必修三 P102(1) 已知函数f(x)=x3−x2−x−1的图象与直线y=c有 3 个不同的交点,求实数c的取值范围.(5) 已知e x≥kx+1恒成立,求k的取值范围.(3) 已知函数y=k(x−1)与y=lnx的图象有且只有一个公共点,求k的取值范围. 新人教 B 版选择性必修三 P102(1) 利用导数求一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间与最值.(2) 若函数f(x)=−x3+ax2+bx+1在x=1时有极值,试求函数f(x)的极值, 并求函数f(x)在区间[−3,32]上的最值.新人教 B 版选择性必修三 P108(1) 已知正方形ABCD的边长为 1,而E,F,G,H分别是AB,BC,CD , DA 上的点,且四边形EFGH也是正方形,求四边形EFGH面积的最小值.(2) 在等腰梯形ABCD中,已知上底CD=40 ,腰AD=40 ,则AB为多少时等腰梯形的面积最大?(3) 已知等腰三角形的周长为2p ,将该三角形围绕底边旋转一周形成几何体,则三角形的各边长分别是多少时所得几何体的体积最大?(4) 要做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器,高与底面直径分别为何值时,所用材料最省?(5) 若x1,x2,⋯,x n是一组已知数据,令s(x)=(x−x1)2+(x−x2)2+⋯+(x−x n)2,用导数求x取何值时s(x)取得最小值.新人教 B 版选择性必修三 P1135. 已知a>0且f(x)=ax+a−2x+2−2a ,若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.6. 若函数f(x)=x2−12lnx+1在其定义域内的一个子集(a−1,a+1)内存在极值,求实数a的取值范围.7. 已知f(x)=e x−ax ,(1) 求f(x)与y轴的交点A的坐标;(2) 若f(x)的图象在点A处的切线斜率为 -1,求f(x)的极值.8. 已知x轴为函数f(x)=x3+ax+14的图象的一条切线,求实数a的值.新人教 B版选择性必修三 P1139. 求曲线y=ln1+x1−x在x=0处的切线方程.10. 函数f(x)=xsinx,x∈[−π,π]的图象大致是( ) .(A)(B)(C)(D)11. 设函数f(x)={x 3−3x,x≤a,−2x,x>a.(1) 若a=0 ,求f(x)的最大值;(2) 若f(x)无最大值,求实数a的取值范围.12. 要在半径为0.5m的圆桌中心正上方安装一个吊灯,已知桌面上灯光的强度可以用y=k sinφr2表示,其中r是灯与桌面上被照点的距离, φ是光线与桌面的夹角. 为使桌边最亮, 吊灯应离桌面多高?13. 设函数f(x)=√x2+1−ax ,其中a>0 ,若函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,试求实数a的取值范围.新人教 B 版选择性必修三 P11414. 证明: 当x>0时, ln(1+x)<x .15. 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(−∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有 3 个实数根,它们分别是α,β,2 .(1) 求实数c的值;(2) 求证: f(1)≥2 ;(3) 求|α−β|的取值范围.新人教 B 版选择性必修三 P1141. 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c ,(1) 求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2) 设a=b=4 ,若函数f(x)有 3 个不同零点,求实数c的取值范围;(3) 求证: a2−3b>0是f(x)有 3 个不同零点的必要不充分条件.2. 若函数f(x)在R上可导,且满足f(x)−xf′(x)>0 ,判断3f(1)与f(3)的大小.新人教 B 版选择性必修三 P1143. 设函数f(x)=xe a−x+bx ,曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y= (e-1) x+4 .(1) 求实数a,b的值;(2) 求f(x)的单调区间.4. 已知函数f(x)=ax3−3x2+1 ,若f(x)存在唯一的零点x0 ,且x0>0 ,求a的取值范围.5. 已知函数f(x)=e x(2x−1)−ax+a ,其中a<1 ,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0 ,求实数a的取值范围.6. 令f(x)=x2+x−1 ,对抛物线y=f(x) ,持续实施下面牛顿切线法的步骤:在点(1,1)处作抛物线的切线交x轴于(x1,0) ;在点(x1,f(x1))处作抛物线的切线,交x轴于(x2,0) ;在点(x2,f(x2))处作抛物线的切线,交x轴于(x3,0) ;......由此能得到一个数列{x n} ,回答下列问题.(1) 求x1的值;(2) 设x n+1=g(x n) ,求g(x n)的解析式;(3) 用二分法求方程的近似解, 给出前 4 步结果. 比较牛顿切线法和二分法的求解速度.7. 求证: x≥0时,有xe−x≤ln(1+x) .。

(完整word)高二数学导数知识点总结及习题练习,推荐文档

高三专题复习一一导数在解题中常用的有关结论 (需要熟记):考点一：导数几何意义:角度一求切线方程n1. (2014 洛阳统考)已知函数f(x)= 3x+ cos 2x+ sin 2x, a= f' 4 , f' (x)是f(x)的导函数，贝U 过曲线尸x3上一点P(a, b)的切线方程为()A . 3x- y-2 = 0B . 4x-3y+ 1 = 0C. 3x-y —2= 0 或3x-4y+ 1 = 0 D . 3x-y —2 = 0 或4x-3y+ 1 = 0n n 解析：选A 由f(x)= 3x+ cos 2x+ sin 2x 得f' (x) = 3 —2sin 2x+ 2cos 2x,则 a = f' - = 3 —2sinq n+ 2cos2= 1.由y=x3得y' = 3x2,过曲线y= x3上一点P(a, b)的切线的斜率k= 3a2= 3X 12= 3.又 b =a3,则b= 1,所以切点P的坐标为(1,1),故过曲线y= x3上的点P的切线方程为y—1= 3(x-1), 即3x—y —2 = 0.角度二求切点坐标2. (2013辽宁五校第二次联考)曲线y= 3ln x+x+ 2在点P o处的切线方程为4x—y—1 = 0,则点P o 的坐标是()A . (0,1)B . (1,—1)C. (1,3)D. (1,0)3解析：选C 由题意知y' = -+ 1= 4,解得x= 1,此时4X 1—y—1= 0,解得y= 3,二点P o入的坐标是(1,3).角度三求参数的值1 273•已知f(x)= In x, g(x) = 2x2+ mx+ ^(m<0),直线I与函数f(x), g(x)的图像都相切，且与f(x) 图像的切点为(1, f(1))，则m等于()A . —1B . —3C.—4 D . —21解析：选D f (x)= -，二直线I的斜率为k= f' (1)= 1,又f(1) = 0,A切线|的方程为y=xx—1.g' (x) = x+ m,设直线l与g(x)的图像的切点为(X0, y0),1 27则有X0+ m= 1, y0= x0—1, y0 = qx。

高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.5知识点总结含同步练习题及答案

答案： ①③④ 解析：对于①，曲线
C : y = x3 在点 P (0, 0) 处的切线是 y = 0 ．又当 x > 0 时， y = x3 − 0 > 0 ，所以图象 C 在直线 l : y = 0 上方，当 x < 0 时， y = x3 − 0 < 0 ，图象 C 在直线 l : y = 0 下方．故直线 l : y = 0 在点 P (0, 0) 处"切过"曲线 C : y = x3 ；其余的依此类推．
②直线 l : x = −1 在点 P (−1, 0) 处"切过"曲线 C : y = (x + 1)3 ； ③直线 l : y = x 在点 P (0, 0) 处"切过"曲线 C : y = sin x ； ④直线 l : y = x 在点 P (0, 0) 处"切过"曲线 C : y = tan x ； ⑤直线 l : y = x − 1 在点 P (1, 0) 处"切过"曲线 C : y = ln x ．
当 0 < x < 1 时，x 2 − 1 < 0，ln x < 0，所以 g ′ (x) < 0，故 g(x) 时，x2 − 1 > 0，ln x > 0，所以
g ′ (x) > 0,
故 g(x) 单调递增．所以
g(x) > g(1) = 0(∀x > 0, x ≠ 1).
所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．设函数 f (x) = x 3 − 6x + 5 ，(x ∈ R)．（1）求函数 f (x) 的单调区间和极值；（2）若关于 x 的方程 f (x) = a 有三个不同实根，求实数 a 的取值范围．解：（1）f ′ (x) = 3x 2 − 6，令

(word版)高二数学导数及其应用复习讲义有答案

高二数学复习讲义—导数及其应用知识归纳1．导数的概念函数y=f(x), 如果自变量x 在x 0处有增量x ，那么函数y 相应地有增量 y =f 〔x 0+x 〕－f 〔x 0〕，比值 y 叫做函数y=f 〔x 〕在x 0x到x 0+x 之间的平均变化率，即y f(x 0 x) f(x 0)。

如果当x0时， x =xy 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点x 0处 x可导，并把这个极限叫做f 〔x 〕在点x 0处的导数，记作f ’〔x 0〕或y ’|xx 0。

即f 〔x 0 〕=limy=lim f(x 0 x)f(x 0)。

x 0xx0x说明：〔1〕函数f 〔x 〕在点x 0处可导，是指 x 0时，y 有极限。

如果y不存在极限，x x就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

〔2〕x 是自变量x 在x 0处的改变量，x0时，而y 是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f 〔x 〕在点x 0处的导数的步骤：〔1〕求函数的增量 y =f 〔x 0+x 〕－f 〔x 0〕；〔2〕求平均变化率yf(x 0x)f(x 0)；x =x〔3〕取极限，得导数f ’(x 0)=lim y 。

x 0 x 2．导数的几何意义函数y=f 〔x 〕在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f 〔x 〕在点p 〔x 0，f 〔x 0〕〕处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f 〔x 〕在点p 〔x 0，f 〔x 0〕〕处的切线的斜率是f ’〔x 0〕。

/〕〔x －x 0 〕。

相应地，切线方程为y －y 0=f 〔x 0 3．几种常见函数的导数:①C0; ②x nnx n1;③(sinx)cosx ;④(cosx)sinx ;⑤(e x ) e x ;⑥(a x ) a x lna ;4．两个函数的和、差、积的求导法那么法那么1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(u v)' u ' v '. 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)' u 'vuv '.假设C 为常数,(Cu)' C 'uCu ' 0Cu ' Cu '. 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cu)' Cu '. 法那么 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：u‘=u'v uv'v v 2 v0〕。

高二数学导数模块知识点总结(3篇)

高二数学导数模块知识点总结（3篇）高二数学导数模块知识点总结（精选3篇）高二数学导数模块知识点总结篇1导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作：2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(_0)表示过曲线=f(_)上P(_0,f(_0))切线斜率。

V=s/(t)表示即时速度。

a=v/(t)表示加速度。

3、常见函数的导数公式:4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。

导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。

学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。

当函数=f(_)的自变量_在一点_0上产生一个增量Δ_时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δ_的比值在Δ_趋于0时的极限a如果存在，a即为在_0处的导数，记作f(_0)或df(_0)/d_。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

高中数学第4章导数及其应用章末复习提升课课件湘教版选修2-2

a
a
a
③bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx (其中 a<c<b)．
a
a
c
利用导数讨论函数的单调性需注意的几个问题 (1)确定函数的定义域．解决问题的过程中，只能在函数的定义域内进行，通过讨论导数值的符号，来判断函数的单调区间． (2)在划分函数的单调区间时，除了必须确定使导数等于 0 的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点． (3)如果一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”连接，只能用逗号或“和”字隔开，如把增区间写为(－∞，－2)∪(1，＋∞)是不正确的，因为(－∞，－2)∪(1，＋∞)不是一个全区间，该函数在(－∞，－2)∪(1，＋∞)上不一定是单调递增的．
所以xy00＝＝－1 14或xy00＝＝－－118，. 即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为 y＝4(x－1)－14 或 y＝4(x＋1)－18. 即 y＝4x－18 或 y＝4x－14.
利用导数研究函数的单调区间应用导数求函数的单调区间的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数 f′(x)； (3)解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0； (4)确定并指出函数的单调增区间、减区间．
设函数 f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c 在 x＝1 及 x＝2 处取得极值．若对于任意的 x∈[0，3]，都有 f(x)<c2 成立，求 c 的取值范围．
【解】 f′(x)＝6x2＋6ax＋3b. 因为函数 f(x)在 x＝1 及 x＝2 处取得极值，所以 f′(1)＝0，f′(2)＝0，即62＋4＋6a1＋2a3＋b＝3b0＝0. 解得 a＝－3，b＝4. 即 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．解得 x＝1 或 2. 当 x∈(0，1)时，f′(x)>0；

高中数学总复习课件+巩固提升+教师用书 (4)

(Δx)2， Δy 当 Δx 趋近于 0 时，趋近于 3，所以 y′ x＝1＝3. Δx 故所求切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2＝0.
栏目导引
第一章导数及其应用
3x－y－2＝0， 2 (2)由可得 ( x － 1) (x＋2)＝0， 3 y＝x ，
解得 x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为(1，1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线 C 的公共点除切点(1，1)外，还有点(－2，－8)．
栏目导引
第一章导数及其应用
1.已知函数 f(x)的图象如图所示， f′(x)是 f(x)的导函数，则下列结论正确的是( A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 解析：选 B.从图象上可以看出 f(x)在 x＝2 处的切线的斜率比在
（x＋Δx）2－x2 lim ＝ lim (2x＋Δx)＝2x. Δ x Δx→0 Δx→0 设 P(x0，y0)是满足条件的点．
栏目导引
第一章导数及其应用
(1)因为点 P 处的切线与直线 y＝4x－5 平行，所以 2x0＝4，解得 x0＝2，所以 y0＝4，即 P(2，4)． (2)因为点 P 处的切线与直线 2x－6y＋5＝0 垂直，且直线 2x－ 1 1 3 6y＋5＝0 的斜率为，所以 2x0· ＝－1，解得 x0＝－，所以 3 3 2
栏目导引
第一章导数及其应用
Байду номын сангаас

高中数学选修《导数及其应用》全章复习与巩固(理)(基础)知识点巩固练习

目录《导数及其应用》全章复习与巩固 (1)【学习目标】 (1)【知识网络】 (1)【要点梳理】 (2)【典型例题】 (6)【巩固练习】 (20)《导数及其应用》全章复习与巩固编稿：武小煊审稿：柏兴增【学习目标】1. 导数概念通过具体情境，感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义.2. 导数运算（1）会用导数定义计算一些简单函数的导数；（2）会利用导数公式表求出给定函数的导数；（3）掌握求导的四则运算法则，掌握求复合函数的导数，并会利用导数的运算法则求出函数的导函数. 3. 体会研究函数的意义（1）认识导数对于研究函数的变化规律的作用；（2）会用导数的符号来判断函数的单调性；（3）会利用导数研究函数的极值点和最值点.4.导数在实际问题中的应用（1）进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型；（2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义；（3）从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决.【知识网络】【要点梳理】要点一：导数的概念及几何意义导数的概念：函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，定义为：要点诠释：（1）()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆，它表示当自变量x 从0x 变1x ，函数值从()0f x 变到()1f x 时，函数值关于x 的平均变化率.当x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数.（2）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（3）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．导数的几何意义：()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆＝要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．要点诠释：0'()f x 表示函数()f x 在0x 处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度()t θ对时间t 的变化率；瞬时电流是电量()Q t 对时间t 的变化率；瞬时功率是功()W t 对时间t 的变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度．要点二：导数的计算基本初等函数的导数要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．和、差、积、商的导数()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）要点诠释：（1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦．复合函数的导数设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅．要点三：导数在研究函数性质中的应用利用导数研究可导函数的单调性设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数；（2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数；（3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.（2）只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.利用导数研究可导函数的极值求函数()y f x =在其定义域内极值的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释：①注意极值．．与极值点．．．的区别：取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. ②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。

(完整word版)高二数学导数及其应用复习讲义有答案

高二数学复习讲义—导数及其应用知识归纳1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln xxa a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。

第五章导数的综合应用章末复习课件高二上学期数学人教A版选择性

f
(x0+△x) △x
f
(x)
导数的几何意义： f (x)在点(x0, f (x0 ))处的切线的斜率 ,即k0 f '(x0 ).
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
知识回顾
导函数：f
(x)在x
x0处的导数f
'(x0 )
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
lim y ， x0 x
当x x0时, f (x0 )是一个确定的数; 当x变化时, y f (x)是x的一个函数,
类型二：零点(根)问题
[练习 2]给定函数 f (x)=ex-x。 (1)判断函数 f (x)的单调性,并求出 f (x)的值域; (2)画出函数 f (x)的大致图象; (3)求出方程 f (x)=m(m∈R)在区间[-1,2]上的根的个数。
解：(1)函数 f (x)的定义域为 R,f '(x)=ex-1,令 f '(x)=0,解得 x=0
x0
x
极限(逼近)思想
知识回顾
导数：若△x 0时，平均变化率△△xy
f (x0+△x) △x
f (x) 无限趋近于唯一一个确定的值，
即
△y △x
有极限，则称y
f
(x)在x
x0处可导，并把这个确定的值叫做y
f
(x)在x
x0处
的导数(也称为瞬时变化率)
即f
'(x0 )
lim
△x0
△y △x
lim
△x0
称为y f (x)的导函数(简称导数).
函数y f (x)的导函数: f (x) y lim f (x x) f (x)

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高二数学导数及其应用单元复习与巩固
知识网络
目标认知
考试大纲要求：
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一
点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念.
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；
3．掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.
4．能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的单调区间，极大值、极小值，及求闭区间上函数
的最大值、最小值.对多项式函数一般不超过三次.
5．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，了解定积分的概念和几何意义.直观了解微积分
基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分.
6．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题.
重点：
导数的概念及几何意义；用导数求函数的单调区间，极大值、极小值，及求闭区间上函数的最大值、最小值；正确计算定积分，利用定积分求面积.
难点：
复合函数的导数；利用导数判断函数单调性时有关字母讨论的问题；有关函数最值的实际应用问题的学习；将实际问题化归为定积分问题.
知识要点梳理
知识点一：导数的相关概念
1．导数的定义：
对函数，在点处给自变量x以增量Δx，函数y相应有增量
.若极限存在，则此极限称为
在点x0处的导数，记作或，此时也称在点x0处可导.
即：（或）注意：增量△x可以是正数，也可以是负数.
2．导函数：
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，
都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在
处的函数值，反映函数在附近的变化情况.
3．导数的几何意义：
过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即.
也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率是，切线方程为
.
知识点二：导数的运算
1．常见基本函数的导数公式
（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8），
2．函数四则运算求导法则
设，均可导
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
3．复合函数的求导法则
一般地，复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量
的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即或
知识点三：导数的应用
1、求曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程
（1）求出函数在处的导数；
（2）利用直线的点斜式得切线方程.
注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
2、判定函数的单调性
（1）函数的单调性与其导数的关系
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；
当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数.
注意：在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！
（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求导数；
(3) 在定义域内解不等式；
(4) 确定f(x)的单调区间.
3、求函数的极值与最值
（1）极值的概念
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)＜f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，记作
y极大值=f(x0)；
(2)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)＞f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作
y极小值=f(x0).
极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大
值；如果左负右
正，则f(x)在这个根处取得极小值. (最好通过列表法)
4、求函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况.连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值.
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而
函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间
的内部，也可能在区间的端点.
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.
（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大
值，最小的一个为最小值.
知识点四：定积分
1．定积分的概念
如果函数在区间上连续，用分点将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3…,n），作和式
，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫
做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.
说明：
（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；
（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 2．定积分的几何意义
设函数在区间上连续.
在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线
与轴围成的曲边梯形的面积；
在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积的负值；
在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，
而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号；
在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.
3．定积分的性质
（1）（为常数），
（2），
（3）（其中），
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数在区间上是奇函数，则；
若函数在区间上是偶函数，则.
知识点五：微积分基本定理
如果在上连续，且，则,这个结论
叫做微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）.其中叫做的一个原函数.由于
也是的原函数，其中c为常数.
一般地，原函数在上的改变量简记作.因此，微积分基本定
理可以写成形式：.
注意：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.
知识点六：定积分的应用
1．应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线
()围成的曲边梯形的面积：；
2. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线
()围成的曲边梯形的面积：
；
3. 如图，由曲线及直线，
围成图形的面积公式为：.
4．利用定积分求平面图形面积的步骤：
（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；
（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
（3）写出定积分表达式；
（4）求出平面图形的面积.
2．利用定积分解决物力问题
①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定
积分，即.
②变力作功
物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到
，那么变力所作的功.
规律方法指导
1．熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则
2．函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的
具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性.
3．函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况.在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值
未必小于极大值.f＇(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且
仅当在x0的左右f＇(x)的符号产生变化.
4．函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况.连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一
个最小值，但是最值点可以不唯一.
5．在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定
义域，当
在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的
最值点.
6．要正确理解定积分的概念，掌握其几何意义，从而解决实际问题.。