(课件)3.4.2圆周角和圆心角的关系(二)
合集下载
圆周角定理 课件

(2)因为△ABE∽△ADC, 所以AABE=AADC,即 AB·AC=AD·AE. 又 S=12AB·AC·sin ∠BAC,且 S=12AD·AE, 所以 AB·AC·sin ∠BAC=AD·AE. 则 sin ∠BAC=1. 又∠BAC 为三角形内角, 所以∠BAC=90°.
2.已知 AD 是△ABC 的高,AE 是△ABC 的外接圆的直径. 求证:∠BAE=∠DAC. 证明:连接 BE,因为 AE 为直径, 所以∠ABE=90°. 因为 AD 是△ABC 的高,所以∠ADC=90°. 所以∠ADC=∠ABE. 因为∠E=∠C,所以∠BAE=90°-∠E, ∠DAC=90°-∠C. 所以∠BAE=∠DAC.
5.如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交 它的外接圆于点 E. (1)证明:△ABE∽△ADC; (2)若△ABC 的面积 S=12AD·AE, 求∠BAC 的大小. 解:(1)证明:由已知条件可得∠BAE=∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角, 所以∠AEB=∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
利用圆周角进行计算
[例 2] 如图,已知 BC 为半⊙O 的直径, AD⊥BC,垂足为 D,BF 交 AD 于 E,且 AE =BE.
(1)求证: AB= AF ; (2)如果 sin ∠FBC=35,AB=4 5,求 AD 的长. [思路点拨] BC 为半⊙O 的直径,连接 AC,构造 Rt△ABC.
4.如图,△ABC ຫໍສະໝຸດ 接于⊙O,OD⊥BC 于 D,∠A=50°,则
∠OCD 的度数是
()
A.40° C.50°
B.25° D.60°
解析:连接 OB.因为∠A=50°,所以弦 BC 所 对的圆心角∠BOC=100°,∠COD=12∠BOC =50°,∠OCD=90°-∠COD=40°. 答案:A
【课件二】3.4.2圆周角和圆心角的关上课课件

如图,四边形ABDC为⊙O的内接四边形, 已知∠BOC为100°,求∠BAC及∠=130°
如图,BC是直径,则∠DBC+∠BAE等 于:( B ) (A)60° (B)90° (C)120° (D)180°
求证:圆内接平行四边形是矩形。
1.如果一个多边形的所有顶点都 在同一个圆上,这个多边形叫做圆 内接多边形。这个圆叫做这个多 边形的外接圆。 2.圆内接四边形性质定理:圆的内 接四边形的对角互补,并且任何一个 外角都等于它的内对角。这一结论在 探求角相等、线段相等或互补关系等 时尤为重要,常常要用到。
B
C A
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm, C为⊙O上一点,∠BAC=30°, 则BC= 5 cm
●
O C
B
3.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
B
●
A
O
C
E
若一个多边形各顶点都在同一个圆 上,那么,这个多边形叫做圆内接 多边形,这个圆叫做这个多边形的 外接圆。
3.4.2圆周角和圆心角 的关系
知识回顾
圆周角 顶点在圆上,它的两边分
别与圆还有另一个交点,像这样的 角,叫做圆周角.
B
●
A
O
C
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
A
C
●
A C
●
A C B
●
O B
O
O
B
⌒ 如图1,圆中一段弧(AC)对着许多个圆周 角,这些个角的大小有什么关系?为什么? ⌒ ⌒ 如图2,圆中AB=EF,那么∠C和∠G的大小 有什么关系?为什么? C
Z.x.x. K
D
B
圆周角定理 课件

3.关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中,注意:“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了,因为一条弦所对的圆周角有两种可 能,在一般情况下是不相等的.
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是 “圆心角等于它所对的弧”.
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在 同圆或等圆中”.
【示例2】 如图,D,E分别为△ABC边AB,AC 的中点,直 线DE交△ABC的外接圆于F,G两点,若CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又 已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD = AD. 而 CF∥AD , 连 接 AF , 所 以 ADCF 是 平 行 四 边 形 , 故 CD=AF.
证明 连结 CE、CF、EF,∵BC 为⊙O 的直径,∴∠BFC =90°,∠BEC=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠BCE=∠A. 又∵∠BFE=∠BCE,∴∠BFE=∠A.又∵∠EBF=∠DBA, ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE=ABDD. ∵∠BFC=∠BCA,∠CBD=∠CBD, ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF=CBDD. 又∵AD=CD,∴EBFE=CBCF,∴BBCE=CEFF.
(4)在同圆或等圆中,由弦相等⇒弧相等时,这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧,一般选劣弧.
题型一 圆中相关角度数的求解
【例 1】 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB,求此弦
所对的圆周角.
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面.
解 如图所示,过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB,OD
反思感悟 弦所对的圆周角有两个,易丢掉120°导致错误,另外求圆周角时易应用到解三角形的知识.
《圆周角》课件精品 (公开课)2022年数学PPT全

第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念,会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.(重点、难点) 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. (难点)
导入新课
复习引入
(5)√
A B
(6)√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图,连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上(特殊情形)
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角, ∴∠A+∠C=180°, 同理∠B+∠D=180°,
归纳总结
推论:圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系?
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角,
∴∠A+∠C=180°,
D
同理∠B+∠D=180°, A
延长BC到点E,有
2∠BOC. 求证:∠ACB=2∠BAC.
证明: ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC,
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中,船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁,如图,A、B表示灯塔,暗礁分布在经过A、B两
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念,会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.(重点、难点) 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. (难点)
导入新课
复习引入
(5)√
A B
(6)√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图,连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上(特殊情形)
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角, ∴∠A+∠C=180°, 同理∠B+∠D=180°,
归纳总结
推论:圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系?
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角,
∴∠A+∠C=180°,
D
同理∠B+∠D=180°, A
延长BC到点E,有
2∠BOC. 求证:∠ACB=2∠BAC.
证明: ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC,
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中,船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁,如图,A、B表示灯塔,暗礁分布在经过A、B两
3.3_圆周角和圆心角的关系(2)

∵∠AOC是△ABO的外角, ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB, ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.
C
老师期望: 你可要理 解并掌握 这个模型.
●
O
B
即
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
演示
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
条件:圆周角与圆心角对同一条弧。 结论:圆周角是圆心角的一半。
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
思考与巩固
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
1 解: ∠A= ∠BOC=25°. 2
A B C
●
O
练习、在下列各图中, ∠α 1= 150° ,∠α 2= 60°,
C 返回
D
B
总结:圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90度的圆周角所对的弦是直径。
推论3: 圆内接四边形对角互补。 对角互补的四边形内接于圆。
探究:直径或半圆所对的圆周角的度数 1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度? 2、90°的圆周角所对的弦是否是直径? 线段AB是⊙O的直径,点C是 ⊙O上任意一点(除点A、B), 那么,∠ACB就是直径AB所对的圆 周角.想想看,∠ACB会是怎么样 的角?为什么呢?
3.3 圆周角和圆心角 的关系
C
老师期望: 你可要理 解并掌握 这个模型.
●
O
B
即
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
演示
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
条件:圆周角与圆心角对同一条弧。 结论:圆周角是圆心角的一半。
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
思考与巩固
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
1 解: ∠A= ∠BOC=25°. 2
A B C
●
O
练习、在下列各图中, ∠α 1= 150° ,∠α 2= 60°,
C 返回
D
B
总结:圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90度的圆周角所对的弦是直径。
推论3: 圆内接四边形对角互补。 对角互补的四边形内接于圆。
探究:直径或半圆所对的圆周角的度数 1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度? 2、90°的圆周角所对的弦是否是直径? 线段AB是⊙O的直径,点C是 ⊙O上任意一点(除点A、B), 那么,∠ACB就是直径AB所对的圆 周角.想想看,∠ACB会是怎么样 的角?为什么呢?
3.3 圆周角和圆心角 的关系
圆周角和圆心角的关系PPT课件(北师大版)

3.如图,经过原点O的⊙P与x,y轴分别交于A,B两点,点C是劣弧OB 上一点,则∠ACB的度数是( C ) A.80° B.100° C.90° D.无法确定
4.如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,点D在⊙O上, ∠ADC=54°,则∠BAC的度数等于_______36°
5.如图,△ABC的三个顶点在⊙O上,CD是直径,∠B=40°,则 ∠ACD的度数是_5_0_°_.
6.(202X·温州模拟)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至 点D,使DC=CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE. (1)求证:∠B=∠D; (2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.
解:(1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴AC⊥BC.∵CD=CB, ∴AD=AB,∴∠B=∠D (2)设 BC=x,则 AC=x-2.在 Rt△ABC 中, AC2+BC2=AB2,∴(x-2)2+x2=42,解得 x1=1+ 7,x2=1- 7(舍 去).∵∠B=∠E,∴∠D=∠E,∴CD=CE.∵CD=CB,∴CE=CB =1+ 7
︵︵ 9.如图,已知∠EAD 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角,并且BD=DC. 求证:AD 平分∠EAC.
解:∵四边形 ABCD 是圆内接四边形,∴∠EAD=∠DCB.又∵B︵D=D︵C, ∴∠DAC=∠DCB.∴∠EAD=∠DAC,∴AD 平分∠EAC
10.(202X·安徽模拟)如图,点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的 点.在下列判断中,不正确的是( C ) A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形 B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥AC C.当PO⊥AC时,∠ACP=30° D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形
第三章 圆
4.如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,点D在⊙O上, ∠ADC=54°,则∠BAC的度数等于_______36°
5.如图,△ABC的三个顶点在⊙O上,CD是直径,∠B=40°,则 ∠ACD的度数是_5_0_°_.
6.(202X·温州模拟)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至 点D,使DC=CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE. (1)求证:∠B=∠D; (2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.
解:(1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴AC⊥BC.∵CD=CB, ∴AD=AB,∴∠B=∠D (2)设 BC=x,则 AC=x-2.在 Rt△ABC 中, AC2+BC2=AB2,∴(x-2)2+x2=42,解得 x1=1+ 7,x2=1- 7(舍 去).∵∠B=∠E,∴∠D=∠E,∴CD=CE.∵CD=CB,∴CE=CB =1+ 7
︵︵ 9.如图,已知∠EAD 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角,并且BD=DC. 求证:AD 平分∠EAC.
解:∵四边形 ABCD 是圆内接四边形,∴∠EAD=∠DCB.又∵B︵D=D︵C, ∴∠DAC=∠DCB.∴∠EAD=∠DAC,∴AD 平分∠EAC
10.(202X·安徽模拟)如图,点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的 点.在下列判断中,不正确的是( C ) A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形 B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥AC C.当PO⊥AC时,∠ACP=30° D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形
第三章 圆
圆周角和圆心角的关系ppt课件

50°,则∠EBC+∠ADC 的度数为 _______.
-18-
3.4 圆周角和圆心角的关系
解析:如解析图,连接 AB,DE,则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°,∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A,B,C,D 在 ⊙O 上 ,∴四边形 ABCD 是圆内接四边形, ∴∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°, ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°. 答案:155° 题型解法:本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质,作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键.
-10-
3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆,只有对角互补的四边形才存在外接圆
-11-
3.4 圆周角和圆心角的关系
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 70°
-7-
3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图,已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上,且 AC=6,BC=8,AB=10, 则该圆的半径长是 ________.
(第 3 题图)
(第 4 题图)
4. 如图,AB=BC,∠ABC =120°,AD 为 ⊙O 的直径 ,AD=6,那么 AB 的
值为 ______.
-8-
3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图,AB=AC,AB 是直径,求证:BC=2DE. (第 5 题图)
-18-
3.4 圆周角和圆心角的关系
解析:如解析图,连接 AB,DE,则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°,∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A,B,C,D 在 ⊙O 上 ,∴四边形 ABCD 是圆内接四边形, ∴∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°, ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°. 答案:155° 题型解法:本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质,作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键.
-10-
3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆,只有对角互补的四边形才存在外接圆
-11-
3.4 圆周角和圆心角的关系
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 70°
-7-
3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图,已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上,且 AC=6,BC=8,AB=10, 则该圆的半径长是 ________.
(第 3 题图)
(第 4 题图)
4. 如图,AB=BC,∠ABC =120°,AD 为 ⊙O 的直径 ,AD=6,那么 AB 的
值为 ______.
-8-
3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图,AB=AC,AB 是直径,求证:BC=2DE. (第 5 题图)
北师大版数学九年级下册3.4.2圆周角和圆心角的关系教学设计

(2)评价学生在小组合作中的表现,关注学生的团队协作能力和交流能力。
(3)课后作业和测试,了解学生对知识点的掌握程度,及时发现问题并进行针对性辅导。
4.教学反思:
教师应在课后对教学过程进行反思,了解学生在学习过程中的困惑和问题,不断调整教学策略,以提高教学效果。同时,关注学生的情感态度,鼓励学生克服困难,树立自信心,使他们在数学学习中获得成功体验。
四、教学内容与过程
(一)导入新课
1.引入:通过展示生活中的实例,如自行车轮子、风扇叶片等,引导学生观察并思考这些物体上的角度特点,从而引出圆周角和圆心角的概念。
2.提问:询问学生对圆的基本概念、性质和角度计算方法的掌握情况,为新课的学习做好铺垫。
3.复习:简要复习圆的基本性质,如圆的半径相等、圆的周长和面积公式等,为新课的学习打下基础。
2.合作交流:鼓励学生在小组合作中,学会倾听、表达、交流,培养学生的团队协作能力。
3.理性思考:培养学生用数学的眼光看待问题,善于从多个角度分析问题,形成理性思考的习惯。
4.求知欲:通过解决实际问题,激发学生的求知欲,培养学生勇于探索、追求真理的精神。
二、学情分析
九年级学生在学习圆周角和圆心角的关系这一章节时,已具备了一定的几何图形认知基础和逻辑思维能力。他们对圆的基本概念、性质以及圆中角度的计算方法有了一定的了解,这为学习圆周角和圆心角的关系奠定了基础。然而,学生在解决涉及圆周角和圆心角的复杂问题时,可能会遇到以下困难:
第四步:总结规律,教师引导学生总结圆周角和圆心角的性质,并给出严谨的证明。
第五步:巩固练习,设计不同难度的练习题,让学生在解答过程中巩固所学知识。
第六步:拓展提高,鼓励学生运用所学知识解决实际问题,培养学生的创新意识和能力。
(3)课后作业和测试,了解学生对知识点的掌握程度,及时发现问题并进行针对性辅导。
4.教学反思:
教师应在课后对教学过程进行反思,了解学生在学习过程中的困惑和问题,不断调整教学策略,以提高教学效果。同时,关注学生的情感态度,鼓励学生克服困难,树立自信心,使他们在数学学习中获得成功体验。
四、教学内容与过程
(一)导入新课
1.引入:通过展示生活中的实例,如自行车轮子、风扇叶片等,引导学生观察并思考这些物体上的角度特点,从而引出圆周角和圆心角的概念。
2.提问:询问学生对圆的基本概念、性质和角度计算方法的掌握情况,为新课的学习做好铺垫。
3.复习:简要复习圆的基本性质,如圆的半径相等、圆的周长和面积公式等,为新课的学习打下基础。
2.合作交流:鼓励学生在小组合作中,学会倾听、表达、交流,培养学生的团队协作能力。
3.理性思考:培养学生用数学的眼光看待问题,善于从多个角度分析问题,形成理性思考的习惯。
4.求知欲:通过解决实际问题,激发学生的求知欲,培养学生勇于探索、追求真理的精神。
二、学情分析
九年级学生在学习圆周角和圆心角的关系这一章节时,已具备了一定的几何图形认知基础和逻辑思维能力。他们对圆的基本概念、性质以及圆中角度的计算方法有了一定的了解,这为学习圆周角和圆心角的关系奠定了基础。然而,学生在解决涉及圆周角和圆心角的复杂问题时,可能会遇到以下困难:
第四步:总结规律,教师引导学生总结圆周角和圆心角的性质,并给出严谨的证明。
第五步:巩固练习,设计不同难度的练习题,让学生在解答过程中巩固所学知识。
第六步:拓展提高,鼓励学生运用所学知识解决实际问题,培养学生的创新意识和能力。
圆周角和圆心角的关系(第2课时)同步课件

核心知识点二: 圆内接四边形及其性质
(1)如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,AC为⊙O的直径,
请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系?为什么?
A
解:∠BAD与∠BCD互补.
D
∵AC为直径,
∴∠ABC=90°,∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°,
B
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
O
C
探究新知
自主合作,探究新知
(2)若C点的位置产生了变化,∠BAD与∠BCD之间的关系
还成立吗?为什么?
解:∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
D
A
如图8,连接OB,OD.
∵ ∠2=2∠BAD,∠1=2∠BCD,
C
1
O 2
(圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半),
∵∠1+∠2=360°,
解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,
E
∴∠ADC+∠CBA=180°(圆内接四边形的对角互补).
∵∠EDC+∠ADC=180°,
D
∠EBF+∠ABE=180°,
∴∠EDC+∠EBF=180°.
C
O
∵∠EDC=∠F+∠A,∠EBF=∠E+∠A,
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°.
∴∠A=40°.
A
B
F
圆内接四边形的对角互补.
D
D
A
A
C
O
O
B
C
B
几何语言:
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
(1)如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,AC为⊙O的直径,
请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系?为什么?
A
解:∠BAD与∠BCD互补.
D
∵AC为直径,
∴∠ABC=90°,∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°,
B
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
O
C
探究新知
自主合作,探究新知
(2)若C点的位置产生了变化,∠BAD与∠BCD之间的关系
还成立吗?为什么?
解:∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
D
A
如图8,连接OB,OD.
∵ ∠2=2∠BAD,∠1=2∠BCD,
C
1
O 2
(圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半),
∵∠1+∠2=360°,
解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,
E
∴∠ADC+∠CBA=180°(圆内接四边形的对角互补).
∵∠EDC+∠ADC=180°,
D
∠EBF+∠ABE=180°,
∴∠EDC+∠EBF=180°.
C
O
∵∠EDC=∠F+∠A,∠EBF=∠E+∠A,
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°.
∴∠A=40°.
A
B
F
圆内接四边形的对角互补.
D
D
A
A
C
O
O
B
C
B
几何语言:
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
北师大版九年级数学下册《圆——圆周角和圆心角的关系》教学PPT课件(6篇)

D
O2
O1
E
B
F
新知探究
【跟踪训练】
1.圆内接四边形ABCD中,∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
135°
1:2:3,则这个四边形最大角的度数是_________.
D
A
2.四边形ABCD内接于圆,AD∥BC,AB+CD=AD+BC ,
25
若AD=4,BC=6,则四边形ABCD的面积为_______.
A
A
O
O
BB
C
C
课堂小测
3. 如图,点B,C在⊙O上,且BO=BC,则圆周角∠BAC等于( D )
A
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
O
B
C
课堂小测
4 . 如图,已知BD是⊙O的直径,⊙O的弦AC⊥BD于点E.若
∠AOD=60°,则∠DBC的度数为( A)
A.30°
B.40°
C.50°
B
D.60°
D
C
OC垂直平分AD
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
A
平行
(2)OC与BD的位置关系是___________;
4
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
O1
O
B
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解:连接AO并延长交⊙O于点E,
3 . 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
C
过点B作直径BD.由1可得:
冀教版九年级数学上册《圆心角和圆周角》PPT精品教学课件

同理∠B+∠D=180°.
【归纳总结】
圆内接四边形的对角互补.
例
如图所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠DCE为
四边形ABCD的一个外角.求证∠DCE=∠BAD.
证明:∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠BAD.
+
=
+ ,
∵
= .∴∠AOC=∠BOD.
∴
在Rt△CMO和Rt△DNO中,
∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴∠CMO=∠DNO=90°.
又∵OC=OD,∠MOC=∠NOD,
∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴CM=DN.
随堂训练
本题答案不
唯一哦!
1.如图,AB、CD是⊙O的两条弦.
28.3 圆心角和圆周角
第1课时
学习目标
1.理解圆心角的概念,掌握圆心角、弧、弦之间的相等关
系及推论. (重点)
2.学会运用圆心角、弧、弦之间的关系进行简单的计算
和证明. (难点)
新课导入
观察:1.将圆绕圆心旋转180°后,得到的图形与原图形重合吗?
由此你得到什么结论呢?
180°
A
圆是中心对称图形.
证明:连接OA,OB,OC,OD.
C
B
AD BC,
AOD BOC.
O
.
AOD+BOD=BOC +BOD.
即AOB COD,
AB=CD.
A
D
课堂小结
圆心角
定义:顶点在圆心的角
【归纳总结】
圆内接四边形的对角互补.
例
如图所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠DCE为
四边形ABCD的一个外角.求证∠DCE=∠BAD.
证明:∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠BAD.
+
=
+ ,
∵
= .∴∠AOC=∠BOD.
∴
在Rt△CMO和Rt△DNO中,
∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴∠CMO=∠DNO=90°.
又∵OC=OD,∠MOC=∠NOD,
∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴CM=DN.
随堂训练
本题答案不
唯一哦!
1.如图,AB、CD是⊙O的两条弦.
28.3 圆心角和圆周角
第1课时
学习目标
1.理解圆心角的概念,掌握圆心角、弧、弦之间的相等关
系及推论. (重点)
2.学会运用圆心角、弧、弦之间的关系进行简单的计算
和证明. (难点)
新课导入
观察:1.将圆绕圆心旋转180°后,得到的图形与原图形重合吗?
由此你得到什么结论呢?
180°
A
圆是中心对称图形.
证明:连接OA,OB,OC,OD.
C
B
AD BC,
AOD BOC.
O
.
AOD+BOD=BOC +BOD.
即AOB COD,
AB=CD.
A
D
课堂小结
圆心角
定义:顶点在圆心的角
最新北师大版九年级数学下册《圆周角和圆心角的关系》优质教学课件

证明:连接BD.
AB = AD,BAD = 60, B
O
△ABD是等边三角形, ABD = 60.
C
D
ACD = ABD = 60.
证明:
四边形ABCD是圆内接四边形,
BCD BAD =180.
又∵BAD = 60,
BCD =120. AB = AD,
B
ACB = ACD. ACD = 1 BCD = 60.
2.与圆周角有关的问题:弦的 条件需转化成弧的条件。
A O
C
D
1.要理解好圆周角定理的推论. 2.构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法.引辅助线的 方法: (1)构造直径上的圆周角. (2)构造同弧所对的圆周角. 3.要多观察图形,善于识别圆周角与圆心角,构造同弧所 对的圆周角也是常用方法之一.
同弧或等弧所对的圆周角相等
教师寄语
我们一生中要认识许多人,组建许多 集体,在集体生活中,我们要学会理解和 宽容,关爱和担当,才能被赋予更大的责 任,从而拥有更多发展的机会,更好的参 与社会、国家的建设,让我们与集体共同
感谢各位聆听
B、60°;
P
C、90°;
D、45°
3、如图,∠A=50°, ∠ABC=60 °
BD是⊙O的直径,则∠AEB等于( B)
A、70°;
B、110°;
C、90°;
D、120°
B
4、如图,△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上,∠C=30 °,AB=2,
则⊙O的半径是 2 。
解:连接OA、OB
∵∠C=30 ° ,∴∠AOB=60 °
B C
A
O
D
EF
1.掌握圆周角定理几个推论的内容,会熟练运 用推论解决问题. 2.培养学生观察、分析及理解问题的能力. 3.在学生自主探索推论的过程中,经历猜想、 推理、验证等环节,获得正确的学习方式.
圆周角和圆心角的关系课件第2课时北师大版九年级下册数学

预习导学
圆内接四边形
阅读教材本课时“议一议”及其后面的内容,回答下列问
题.
(1)圆内接四边形的对角
互补 ;(2)圆内接四边形的一
个角的外角等于这个角的 对角 .
预习导学
·导学建议·
教学时让学生先独立思考,然后再进行交流,要鼓励学生
说理方式的多样性;尽量让学生自己得出一个结论:圆内接四边
形的任何一个外角都等于它的内对角.
预习导学
如图,四边形ABCD内接于☉O,E为DC延长线上一点,
∠A=50°,则∠BCD的度数为( D )
A.40°
B.50°
C.60°
D.130°
合作探究
如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,点E在弦DC
的延长线上,如果∠BOD=120°,则∠BCE的度数为
60° .
合作探究
如图,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则
第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系 第2课时
素养目标
1.知道圆周角定理的推论2:直径所对的圆周角是直角;90°
的圆周角所对的弦是直径,并会利用其解决问题.
2.知道圆内接四边形及外接圆的概念,圆内接四边形的性质
及相关应用.
3.经历探索的过程,进一步体会转化的思想以及分类归纳的
思想方法.
◎重点:圆周角定理推论2与圆内接四边形的性质.
长线于P,求证:AD·DC=PA·BC.
合作探究
证明:如图,连接BD.
∵DP∥AC,
∴∠PDA=∠DAC.
∵∠DAC=∠DBC,
合作探究
∴∠PDA=∠DBC.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠DAP=∠DCB,
∴△PAD∽△DCB,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
怎样 解答
?
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周 角相等;反之,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 反之,90°的圆周角所对的弦是直径.
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
A
1.定义:如果多边形的所有顶点都 在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内 接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆 .
O B C
D
A F
A O B C
B O
·
D
E
C
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
2 圆内接四边形的性质定理
1.如图:圆内接四边形ABCD中, ∵ 弧BCD和弧BAD所对的 圆心角的和是周角. ∴∠A+∠C= 180° 同理∠B+∠D=180° A
O
D
圆内接四边形的性质定理: 圆的内接四边形的对角互补.
B
C
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
圆内接四边形的性质定理: 圆的内接四边形的对角互补.
A O D
E
B
C
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
A
1、如图,四边形ABCD为⊙O的 内接四边形,已知∠BOD=100°, 则∠BAD=
O B D C
50º
,∠BCD=130º
.
2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4, 则∠A= 60º ∠B= 90º ∠C= 120º ∠D= 90º
(图10) (图9)
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
看谁解答好又快!
• 6、如图6, ⊙O的直径 AB 为10 cm,弦 AC 为6 cm,∠ACB 的平分线交⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长.
C B
A
O
(图6)
D
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
ห้องสมุดไป่ตู้
讲万卷书,行万里路
• 7.已知:如图14,⊙O的直径AE=10cm, ∠B=∠EAC.求AC的长.(图14)
A O
设A=2x,则C=4x. ∵A+C=180º, ∴x=30º.
3、如图,四边形ABCD内接于⊙O, ∠DCE=75º,则∠BOD= 150º
B
D C E
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
• 4.如图9,弦AB,CD相交于E点,若∠BAC =27°,∠BEC =64°,则∠AOD等于 ( ). • A.37° B.74° C.54 D.64° • 5.如图10,四边形ABCD内接于⊙O,若 ∠BOD=138°,则它的一个外角∠DCE等于 ( ).A.69°B.42°C.48° D.38°
(1)认准直径所对的圆周角,灵活应用 直角来求解。(2)注意观察图形,分清 四边形的对角,利用它们的和来解答题 目。
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
看书和学习——是思想的经常营养,是
思想的无穷发展。 ——冈察洛夫
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
(图14)
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
少壮不努力,老大徒伤悲
• 8.已知:如图,△ABC内接于⊙O,AM平 分∠BAC交⊙O于点M,AD⊥BC于D. • 求证:∠MAO=∠MAD.
(图15)
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
1、直径(或半圆)所对的圆周角是直角
2 圆内接四边形的性质:圆的内接四边形 的对角互补. 3、解题时应注意两点:
义务教育教科书(北师)九年级数学下册
第三章 圆
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
• 什么是圆周角定理?圆心角的度数与它所 对弧的度数是什么关系?
圆周角定理:圆周角度数等于它所对的圆心角度数 的一半。
圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度 数.
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
根据圆周角定理,在圆中,直径 所对的圆周角是什么角?90°的 圆周角所对的弦是直径吗?试作 图观察,回答上面的问题?
?
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周 角相等;反之,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 反之,90°的圆周角所对的弦是直径.
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
A
1.定义:如果多边形的所有顶点都 在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内 接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆 .
O B C
D
A F
A O B C
B O
·
D
E
C
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
2 圆内接四边形的性质定理
1.如图:圆内接四边形ABCD中, ∵ 弧BCD和弧BAD所对的 圆心角的和是周角. ∴∠A+∠C= 180° 同理∠B+∠D=180° A
O
D
圆内接四边形的性质定理: 圆的内接四边形的对角互补.
B
C
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
圆内接四边形的性质定理: 圆的内接四边形的对角互补.
A O D
E
B
C
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
A
1、如图,四边形ABCD为⊙O的 内接四边形,已知∠BOD=100°, 则∠BAD=
O B D C
50º
,∠BCD=130º
.
2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4, 则∠A= 60º ∠B= 90º ∠C= 120º ∠D= 90º
(图10) (图9)
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
看谁解答好又快!
• 6、如图6, ⊙O的直径 AB 为10 cm,弦 AC 为6 cm,∠ACB 的平分线交⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长.
C B
A
O
(图6)
D
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
ห้องสมุดไป่ตู้
讲万卷书,行万里路
• 7.已知:如图14,⊙O的直径AE=10cm, ∠B=∠EAC.求AC的长.(图14)
A O
设A=2x,则C=4x. ∵A+C=180º, ∴x=30º.
3、如图,四边形ABCD内接于⊙O, ∠DCE=75º,则∠BOD= 150º
B
D C E
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
• 4.如图9,弦AB,CD相交于E点,若∠BAC =27°,∠BEC =64°,则∠AOD等于 ( ). • A.37° B.74° C.54 D.64° • 5.如图10,四边形ABCD内接于⊙O,若 ∠BOD=138°,则它的一个外角∠DCE等于 ( ).A.69°B.42°C.48° D.38°
(1)认准直径所对的圆周角,灵活应用 直角来求解。(2)注意观察图形,分清 四边形的对角,利用它们的和来解答题 目。
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
看书和学习——是思想的经常营养,是
思想的无穷发展。 ——冈察洛夫
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
(图14)
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
少壮不努力,老大徒伤悲
• 8.已知:如图,△ABC内接于⊙O,AM平 分∠BAC交⊙O于点M,AD⊥BC于D. • 求证:∠MAO=∠MAD.
(图15)
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
1、直径(或半圆)所对的圆周角是直角
2 圆内接四边形的性质:圆的内接四边形 的对角互补. 3、解题时应注意两点:
义务教育教科书(北师)九年级数学下册
第三章 圆
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
• 什么是圆周角定理?圆心角的度数与它所 对弧的度数是什么关系?
圆周角定理:圆周角度数等于它所对的圆心角度数 的一半。
圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度 数.
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
根据圆周角定理,在圆中,直径 所对的圆周角是什么角?90°的 圆周角所对的弦是直径吗?试作 图观察,回答上面的问题?