千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金-------记一道习题多解探究教学案例

千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金 ----
---记一道
湖南醴陵第四中学电话158****5370邮编412200
摘要：在高中数学教学中，用一题多解的形式，可使所学知识得到活化，融会贯通，而且可以开拓思路，培养学生发散思维和创新思维能力，激发学生的学习兴趣，达到学好数学的效果。

关键词：一题多解发散思维创新能力学习兴趣教学效果
华东师范大学叶澜教授在《中国基础教育改革跨世纪》中提出：必须超出和突破（但不是完全否定）“教学特殊认识论”的传统框架。

因为学生的思维能力并不是单一的内容，它是多方面的，包括推理性思维、逻辑性思维、创新思维、求同思维、求异思维（又叫发散思维）等。

教师在教学过程中既要重视培养学生利用已有的知识来寻求正确答案的推理性、逻辑性思维能力，又要重视培养学生打破已有的思维定式、思维习惯的求异思维能力，更要重视培养学生在自主探究过程中进行勇于创新、敢于创新的思维能力。

而培养这些思维能力的有效手段就是一题多解的训练，也就是让学生去“淘”方法，才会吹尽狂沙，找到最好的解法。

平时有思维，做题时就会有思路。

下面这个案例是笔者上习题课时的一个试题：
设数列为公差不为零的等差数列，且=1,是与的等差中项。

（1）求数列的通项公式；
（2）设=1-,求数列的前n项和,并求的最小值。

此题第一问学生轻松得出,也不难求出=1-
，于是=+=n -(1-),接下来就有学生的几种处
理方法：
方法1（甲同学）：= n -(1-)= n -=做到这，就有些同学遇到麻烦了，不知道怎么做了，对大多数同学来说这是一个坎。

而目标是要
求的最小值。

甲同学继续做下去：令t=2n+1,则n=，y ==- 25
(当且仅当)。

因此。

（点评：一些同学能做到= n -(1-)= n -=
问题简单化非常好，继而联想到同分母分式的逆运算代数式拆开，最后用基本不等式求出最小值，此法既有高度，又
有难度，一般的学生想不到用换元的方法进行突破。

思维能力高低一个重要的衡
量标准就是其思维深刻程度如何。

）
方法2（乙同学）：= n -(1-)= n +-=+-252= 7- 25 = 18（当且仅当
）。

（点评：此法一出，学生眼前一亮，与甲同学
的方法实质上一样的，但是甲把代数式全部通分，好像难想到换元，再
出开来用基本不等式的知识处理，乙同学的处理方式重的是配凑技巧，殊途同归。

因此，所谓的“一题多解”，意思是指对于一道题目有多种不一样的解题方法）。

方法3（丙同学）：，直接从通项的单调性分析开始，给人
一种峰回路转的感觉。

因为n,关于n是递减的，所以-
关于n是递增的，进而关于n也是递增的。

且= -
= -由此可知，的前三项为负值，第四项（含第
四项）之后均为正值，且依次递增。

所以==.（点评：一题多解
不但可以使学生的思维更加宽广，锻炼学生思维的敏捷性，还能提高学生解决数
学能力，让学生在比较短的时间内，充分发挥自已的思考能力。

所以大胆让学生
去“淘”解题方法，激发学生的求知欲望，不墨守成规，不受思维定式的影响，
学生的求异思维能力就会得到提高。

）
从上面三种解法可以看出，一道题的解答中“淘” 方法的益处，第一、第
二种方法大部分学生得到=1-和= n -(1-)= n -=已经不易了，是因难能，所以可贵，更不会将思维发散至用
基本不等式去求最值，必须思维有一定高度的学生才能完成。

但是方法3的角度
就更能让人耳目一新，完全回避了第一、第二种方法遇到的问题：转化成能用基
本不等式的结构特征，实不容易。

法3可以说是另辟蹊径，从函数的单调性入手，计算了前几项，发现了前3项均为负值，第4项开始出现正值，且依次递增，当然前3项负值之和最小，一目了然。

真可谓：千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金。

当然笔者对上面三位同学都给予了鼓励，对学生的创造性思维进行了充分的
肯定，在这过程中体会到创造的乐趣，创造重在过程而不是结果，解题中出错是
寻常事，如果能有效利用这种解题错误背后中的创新过程，对于培养学生的发散
思维和创新思维有很大益处。

因此，教师在平时教学过程中，多鼓励学生“淘”
方法，对比之后，吹尽狂沙，才可以找到最好的解法。

参考文献：
【1】何健.例析由一题多问多题归一的课堂实施[J].中学数学研究，2015，（18）:46-50
【2】朱扬德.“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的应用[J],中
学数理化（学研版），2015,18（7）:12-12
【3】阚志超“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与
实践[J]，中国校外教育，中旬，2015，（10）,23.。