辽宁省高一下学期6月份联合考试数学试题

高一6月份联合考试
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．化简AD BD BC -+=
（ ）
A ．AC
B ．CA
C ．C
D D ．DC 2．幂函数()()23m f x m x =-在第一象限内是减函数，则m =（ ）
A ．2
B C ．
D ．2-
3．已知2
2i z =-，则z = （ ）
A ．1
B
C
D ．2
4．如图，撑开的伞面可近似看作一个球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分曲面，其中截得的圆面是底面，垂直于圆面的直径被截得的部分是高．球冠的面积2πS Rh =，其中R 为球冠对应球面的半径，h 为球冠的高，则撑开的伞面的面积大约为（ ）
A ．2
2500πcm
B ．2
3600πcm
C ．24800πcm
D ．26000πcm
5．为了得到函数π3sin 24y x ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像，需将函数3cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平移π
2个单位长度 B ．向左平移3π
8个单位长度
C ．向右平移π
2
个单位长度
D ．向右平移3π
8
个单位长度
6．tan 67.51︒-=（ ）
A
B C D 7．我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：
A 2
2AB
l ⨯=+
矢弦径
，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为
4π
3
，扇形所在圆O 的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（ ）
A 2+
B C D ．1
8．关于题目：“在ABC △中，4BC =，点D 为BC 边上一点，2AD =，且2BAC BAD ∠=∠”，甲、乙、丙、丁四名同学研究它的周长时，得出四个结论：
甲：ABC △周长的最小值为4+；乙：ABC △周长的最大值为4+；
丙：ABC △周长的最小值为(41+；丁：ABC △周长的最大值为(41+． 你认为四人中得出正确结论的是（ ）
A ．甲同学
B ．乙同学
C ．丙同学
D ．丁同学
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快体育强国建设步伐，某校进行50米短跑比赛，甲、乙两班分别选出6名选手，分成6组进行比赛，每组中甲、乙每班各派出一名选手，且每名选手只能参加一个组的比赛．下面是甲、乙两班6个小组50米短跑比赛成绩（单位：秒）的折线圈，则下列说法正确的是（ ） A ．甲班成绩的极差小于乙班成绩的极差 B ．甲班成绩的众数小于于乙班成绩的众数 C ．甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数 D ．甲班成绩的方差大于乙班成绩的方差
10．已知函数()()πcos 0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫
=++>>< ⎪⎝
⎭
的部分图像如图所示，则（
）
A ．3A =
B ．2B =
C ．4ω=
D ．π6
ϕ=
11．某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为0θ（单位：℃），环境温度为1θ（10θθ<，单位℃），物体的温度冷却到θ（1θθ>，单位：℃）需用时t （单位：分钟），推导出函数关系为()()()0111
ln ln t f
k
θθθθθ==
---⎡⎤⎣⎦，k 为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究
这壶开水冷却的情况，则（参考数据：ln 20.7≈）
A ．函数关系()101e kt
θθθθ=+-也可作为这壶外水的冷却模型
B ．当1
20
k =
时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟 C ．若()6010f =，则()3030f =
D ．这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短
12．质点A 和B 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆O 上逆时针做匀速圆周运动，且同时出发．A 的起点为圆O 与x 轴正半轴的交点，其角速度大小为7rad/s ；B 的起点为射线()0y x x =-≤与圆O 的交点，其角速度大小为3rad/s ．则当A 与B 重合时，B 的坐标可以为（ ）
A ．5π5πcos
,sin 1616⎛⎫ ⎪⎝
⎭ B ．3π3πcos ,sin 1616⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
C ．5π5πcos
,sin 1616⎛
⎫
-- ⎪⎝⎭
D ．5π5πcos
,sin 1616⎛⎫- ⎪⎝
⎭
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量()5,m x =- ，()1,4n x =-
，若m n ⊥ ，则m n -= ______．
14．某车间对一个正六棱柱形的工件进行加工，该工件的所有棱长均为4cm ．需要在底面的中心处打一个半径为cm a 的圆柱形通孔（如图所示），当工件加工后的表面积最大时，加工后的工件体积为______3cm ．
15．如图是某地一宋代古塔的示意图，小明为测得塔高，从地面上点C 看塔顶A 的仰角为75°，沿直线BC
的方向前进米到达点D 处，此时看塔顶A 的仰角为30°，则塔高为______米．
16．已知0a >且1a ≠，若函数()121,1,11
,14
x a x f x x ax x +⎧-<⎪
=⎨-+-≥⎪⎩在R 上单调递减，则a 的取
值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）
记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos sin sin 0a B C c A +=． （1）求B ；
（2）从下面三个条件中选择两个作为已知条件，求a 与c 的值．
条件①：7b =；条件②：ABC △；条件③：8a c +=． 注：如果选择不同的组合分别解答，接第一个解答计分． 18．（12分）
已知向量()2sin ,2a θ=- ，()cos ,2b θ=- ，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
．
（1）若a b ∥ ，求2sin sin cos θ
θθ
+的值；
（2）若a b = ，求cos3sin cos sin 3θθ
θθ
-
的值． 19．（12分）
某校组织了所有学生参加党史知识测试，该校一数学兴趣小组从所有成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了200名参与者的测试成绩，将他们的成绩按[)50,60，
[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所
示．
（1）请将频率分布直方图补充完整；
（2）估计该校所有学生成绩的第60百分位数；
（3）从成绩在[)70,80，[)80,90内的学生中用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人开座谈会，求这2人来自不同分组的概率． 20．（12分） 已知函数()()*π2cos ,2f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+∈<
⎪⎝
⎭N 在区间5π0,18⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调，且ππ0186f f ⎛⎫
⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． （1）求()f
x 图像的一个对称中心； （2）若π16f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，求()f x 的解析式． 21．（12分）
已知函数()()log 1,11,1,12a x x x f x x +-<≤⎧⎪
=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭
⎩（0a >且1a ≠）的最小值为－1．
（1）求a 的值；
（2）设函数()()()()2
2
60g x f x mf x m m =+-≥⎡⎤⎣⎦，求()g x 零点个数． 22．（12分）
记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2223b c a +=．
（1）当ABC △为锐角三角形时，证明：111
tan tan tan A B C
=+
； （2）求
2
ab
c 的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．A 7．C
8．C
二、选择题
9．AB 10．BC 11．BCD 12．ABC
三、填空题 13．()1,9-
14． 15
．13
16
．12
⎛
⎤ ⎥⎝⎦
四、解答题
17．解：（1）由条件与正弦定理可知，2cos 0ac B ac +=，所以1cos 2
B =-， 又()0,πB ∈，所以2π3
B =． （2）选择①②．
由（1
）得sin B =
，
由②得1sin 2ac B =，所以15ac =，
又7b =，所以由余弦定理得()2
2222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，
即()2
4915a c =+-，所以8a c +=，
解得5a =，3c =或3a =，5c =．故a 与c 的值分别为5，3或3，5． 选择①③．
由余弦定理得()2
2222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，即4964ac =-，所以15ac =， 解得5a =，3c =或3a =，5c =．故a 与c 的值分别为5，3或3，5． 选择②③．
由（1
）得sin
B =
， 由②得1sin 2ac B =，所以15ac =，
又8a c +=，解得5a =，3c =或3a =，5c =．故a 与c 的值分别为5，3或3，5．
18．解：（1）由a b ∥
，得4sin 2cos 0θθ-=，
因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以1tan 2θ=，所以1
22sin 2tan 221sin cos tan 1312
θθθθθ⨯
==
=+++． （2
）由a b
= ，得=，
整理得224sin cos θθ=，又π0,
2θ⎛⎫
∈ ⎪
⎝
⎭
，所以1tan 2θ=（负值舍去）．
则sin θ=
，cos θ= cos3cos cos 2sin sin 2cos cos θθθθθ
θθ
-=
222sin cos cos 2cos 22sin cos θθθθθθ=-=- 2
2
114sin 145θ=-=-⨯=，
sin 3sin cos 2cos sin 2sin sin θθθθθ
θθ+=
222sin cos cos 2cos 22cos sin θθθθθθ=+=+ 2
2114cos 1415θ=-=⨯-=，故cos3sin 1514
cos sin 351155θθθθ-=-=-． 19．解：（1）成绩在[)70,80的频率为()10.0050.0100.0400.015100.3-+++⨯=．
补充完整的频率分布直方图如下图所示：
（2）由频率分布直方图可知成绩小于80分的学生所占 比例为5%10%30%45%++=，
成绩小于90分的学生所占比例为45%40%85%+=，所以第60百分位数一定在
[)80,90内，
因为0.600.45
8083.750.04
-+
=，所以估计该校所有学生成绩的第60百分位数约为83.75
分．（3）由分层抽样的方法可知，抽取的7人中，成绩在[)70,80内的有3人，分别记为
1A ，2A ，3A ；成绩在[)80,90内的有4人，分别记为1B ，2B ，3B ，4B ．
则从这7人中随机抽取2人的所有基本事件为{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，
{}13,A B ，{}14,A A ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}24,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}33,A B ，{}34,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}14,B B ，{}23,B B ，{}24,B B ，{}34,B B ，共21种；
记这2人来自不同分组为事件A ，其基本事件有{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}14,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}24,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}33,A B ，{}
34,A B ，共12种，
故这2人来自不同分组的概率为()124217
P A =
=． 20．解：（1）由题意可知ππ186f f ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
因为()f x 在区间5π0,18⎛⎫
⎪
⎝⎭
上单调，所以当01πππ21869x ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭时，()00f x =，
则()f x 的图像的一个对称中心为π,09⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （2）由题意可知()f x 的最小正周期5π5π
20189T ⎛⎫≥-=
⎪⎝⎭
，所以2π185T ω=≤， 因为*ω∈N ，所以1ω=，2或3．
由（1）可知，1ππ
π92
k ωϕ+=+，1k ∈Z ，
因为π16f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以π1cos 62ωϕ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
，
所以2π2π2π63k ωϕ+=+，2k ∈Z 或3π4π2π63k ωϕ+=+，3k ∈Z ．
若2π2π2π63k ωϕ+=+，2k ∈Z ． 则()21ππ
2π186
k k ω=+-，1k ，2k ∈Z ，即()213182k k ω=+-，1k ，2k ∈Z ， 易知212k k -∈Z ，所以不存在1k ，2k ，使得1ω=，2；
当122k k =时，3ω=；此时1π
π6
k ϕ=+，1k ∈Z ，
由π2ϕ<，得π6ϕ=，所以()π2cos 36f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭．
若3π4π2π63k ωϕ+=+，3k ∈Z ， 则()31π5π2π186
k k ω=+-，1k ，3k ∈Z ，即()3115182k k ω=+-，1k ，3k ∈Z ， 易知313k k -∈Z ，不存在1k ，2k ，使得1ω=，2或3．
综上，()π2cos 36f x x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
． 21．解：（1）当1x >时，()12x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
在()1,+∞上单调递增，此时
()()1
12
f x f >=-，无最小值．要使()f x 取得最小值－1，则()()lo
g 1a f x x =+
在(]1,1-上单调递减，所以01a <<，则log 21a =-，所以1
2
a =．
（2）令()0g x =，则()()2
2
60f x mf x m +-=⎡⎤⎣⎦，
解得()3m f x =
或()2
m
f x =-． 要求()
g x 的零点个数，即求()f x 的图像与两直线2m y =-，3
m
y =的交点个数． 由（1）可作出()f x 在()1,-+∞上的图像，如图所示，
当0m =时，所以()0f x =，解得0x =，()f x 的图像与直线0y =有1个交点； 当0m >时，若122m ->-，即01m <<时，()f x 的图像与两直线2m y =-，3
m y =有3个交点； 若1122m -≤-≤-，即12m ≤≤时，()f x 的图像与两直线2m y =-，3
m
y =有2个交点；
若12m -
<-，即2m >时，f （x ）的图像与两直线2m y =-，3
m
y =有1个交点． 综上，当01m <<时，()g x 有3个零点；当12m ≤<时，()g x 有2个零点；当2
m >或0m =时，()g x 有1个零点．
22．（1）证明：由题意与余弦定理得2222
cos 2b c a a A bc bc
+-==，
由正弦定理得2sin cos sin sin A
A B C
=，
所以()sin cos sin sin sin sin sin sin B C A A
A B C B C +==sin cos cos sin cos cos sin sin sin sin B C B C C B B C C B
+==+， 因为ABC △为锐角三角形，所以111
sin sin sin cos cos cos A C B A C B
=+
， 故111tan tan tan A B C =+
． （2）解：设()0b tc t =>，代入2
2
2
3b c a +=，得22
213t a c +=
，即a = 由三角形三边关系可知，b c a b c -<<+，
所以2
2
2
2
2
22b bc c a b c bc -+<<++，即22
2
11212
3
t t t t t ++-<<++， 整理得2310
t t -+<，且
2310t
t ++>
t <<
， 所以2ab c ===
2t <<
2ab
c
<<
222ab c -<<+，故2ab
c
的取值范围为)
2-．。