太原五中必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、
2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．甲、乙一样
D ．无法确定
2．已知函数()24x x a
f x x
++=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a
的取值范围为（ ）
A ．[)5,+∞
B ．()5,-+∞
C ．()5,5-
D ．[]5,5-
3．若不等式210x ax -+≥对一切[2,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．0
B ．2
C ．
52
D ．3
4．若直线220ax by +-=(),a b R +
∈平分圆2
22460x
y x y +---=，则21
a b
+的最小
值是（ ）. A ．1
B ．5
C ．42
D ．322+
5．若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
，则a b -=（ ） A ．4-
B ．14
C ．10-
D ．10
6．已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则 ( ) A ．ab≤ B ．ab≥ C ．a 2+b 2≥2
D ．a 2+b 2≤3
7．已知正实数a ，b 满足21a b +=，则12
a b
+的最小值为（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
8．不等式28610x x -+<的解集为（ ） A ．11(,)42
B ．11
(,)(,)42-∞+∞ C ．11(,)34
--
D ．11
(,)
(,)3
4
-∞--+∞ 9．若直线20(,1)ax by a b +-=>始终把圆222220x y x y +---=的周长分为1:2．则
11
a b
+的最大值为（ ） A ．423-
B ．22-
C 21
D 2
10．下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >22，则a b >
B ．若a b >，则
11a b
< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若a b >，c d <，则
a b c d
> 11．已知m ，0n >，41
21m n
+=+，则m n +的最小值为（ ） A ．
72
B ．7
C ．8
D ．4
12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6
B π
=
且1ABC S =△，则
2
a c ac a c
+-+的最小值（ ） A ．
1
2
B ．2
C ．
14
D ．4
二、填空题
13．已知函数(
)
2
43
()46,,f x mx m tm x tm t m R =+-++∈，若[2,3]m ∃∈，使得对
123,,,22t t x m t m x m m ⎡⎤⎡
⎤∀∈++∀∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦均有()()12f x f x ≤，则正数t 的最小值为
__________ 14．当1x >时，1
1
x x +
-的最小值为___________. 15．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则
(4)(2)
x y xy
++的最小值为_________.
16．已知0,0a b >>，1a b +=，则14
y a b
=
+的最小值是__________. 17．已知“命题2:()3()p x m x m ->-”是“命题2:340q x x +-<”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________.
18．已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．
19．一批救灾物资随51辆汽车从某市以/vkm h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长
400km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2
800
v km ，那么这批物资全部到达灾区，
最少需要______.h
20．已知0a >，0b >，且22a b +=，那么
21
a b
+的最小值为________． 三、解答题
21．已知,(0,)a b ∈+∞，函数2()f x ax x b =-+满足(1)0f =.
（1）求
41
a a b
++的最小值； （2）解关于x 的不等式()0f x ≤.
22．已知函数2()(,)f x x bx c b c =++∈R ，且()0f x ≤的解集为[1,2]-． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）设函数()f x 在[,1]x t t ∈+上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．
23．设函数()2
1f x mx mx =--.
（1）若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求m 的取值范围； （2）若对于[1,3]x ∈，()1f x m x >-+-恒成立，求m 的取值范围.
24．已知函数()()2
21f x ax a x b =-++-.
（1）若2a =-，9b =，求函数()
()0f x y x x
=
<的最小值； （2）若1b =-，解关于x 的不等式()0f x ≥.
25．解下列不等式： （1）2340x x -->； （2）
1
22
x x -≤+．
26．已知函数()()()2
24f x x a x a R =-++∈． （1）解关于x 的不等式()42f x a ≤-；
（2）若对任意的[]
0,4x ∈，()10f x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】
对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +， 平均价格为
1212
22
p x p x p p x ++=； 对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为
12
y y
p p +， 平均价格为12121
2
22p p y
y
y p p p p =
++
.
因为
()()
()()
2
2
1
212
1
21212
12
1212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，1212
12
22p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】
方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商
2．B
解析：B 【分析】
根据条件将问题转化为“24a x x >--在[)1,+∞上恒成立”，再根据()
2
max
4a x x
>--求解
出a 的范围. 【详解】
因为对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以240x x a ++>对[)1,x ∈+∞恒成立， 所以(
)
2
max
4a x x
>--，[)1,x ∈+∞，
又因为2
4y x x =--的对称轴为2x =-，所以2
4y x x =--在[)1,+∞上单调递减， 所以()
()2
max
4145x x --=--=-，所以5a >-，
故选：B. 【点睛】
方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；
（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系.
3．C
解析：C 【分析】
采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值. 【详解】
因为不等式210x ax -+≥对一切[)2,x ∈+∞恒成立，
所以对一切[)2,x ∈+∞，2
1ax x ≤+，即21
x a x
+≤恒成立．
令()[)()211
2,x g x x x x x
+==+∈+∞．
易知()1
g x x x
=+
在[)2,+∞内为增函数． 所以当2x =时，()min 52g x =，所以a 的最大值是5
2
．故选C ． 【点睛】
常见的求解参数范围的方法：
（1）分类讨论法（从临界值、特殊值出发）； （2）参变分离法（考虑新函数与参数的关系）.
4．D
解析：D 【分析】
根据条件可知直线过圆心，求解出,a b 的关系式，利用常数代换法以及基本不等式求解出
21
a b +的最小值. 【详解】
因为直线220ax by +-=(
),a b R
+
∈平分圆2
22460x
y x y +---=，所以直线
220ax by +-=过圆心，
又因为圆的方程()()2
2
1211x y -+-=，所以圆心为()1,2，所以222a b +=，即
1a b +=，
所以
()21212333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=+ ⎪⎝⎭
取等号时222a b =即a =，此时21a b ==，
故选：D. 【点睛】
本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用，其中涉及到利用常数代换法求解最小值，对学生的理解与计算能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号
5．C
解析：C 【分析】
由题意可知方程220ax bx ++=的根为11
,23
-
，结合根与系数的关系得出12,2a b =-=-，从而得出-a b 的值.
【详解】
由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23
- 由根与系数的关系可知，11112,2323b a a
-+=--⨯= 解得12,2a b =-=- 即12210a b -=-+=- 故选：C 【点睛】
本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数的值，属于中档题.
6．C
解析：C 【解析】 选C.由
≥
得ab≤
=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又
a 2+
b 2≥2ab ⇒2(a 2+b 2)≥(a+b)2⇒a 2+b 2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.
7．B
解析：B 【分析】 由题意，得到121222()(2)5b a
a b a b a b a b
+=++=++，结合基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，正实数a ，b 满足21a b +=， 则
12122222()(2)55549b a b a
a b a b a b a b a b
+=++=++≥+⋅=+=， 当且仅当22b a a b =，即1
3
a b ==等号成立， 所以
12
a b +的最小值为9. 故选：B.
本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能，属于据此话题.
8．A
解析：A 【分析】
运用因式分解法，化为一元一次不等式组，解不等式，求并集即可得到所求解集． 【详解】
解：28610x x -+<即为(21)(41)0x x --<， 即有210410x x ->⎧⎨
-<⎩或210
410
x x -<⎧⎨->⎩，
可得x ∈∅或
1142
x <
<， 即解集为1(4，1
)2
，
故选A ． 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．
9．B
解析：B 【分析】
由圆的方程得圆心和半径，根据圆的周长被分为1:2，可推出圆心到直线的距离为1，即
22
21a b a b +-=+，化简整理后，再结合基本不等式的性质可得ab 的最小值，再求出
11
a b
+的最大值．
【详解】
把圆2
2
2220x y x y +---=化成标准形式为2
2
(1)(1)4x y -+-=，其中圆心为(1,1)，半径为2．
设直线与圆交于A 、B 两点，圆心为C ，
因为直线把圆的周长分为1:2，所以1
3601203
ACB ∠=
⨯︒=︒， 所以圆心(1,1)C 到直线20ax by +-=的距离为1
1=，
因为a ，1b >，所以202()a ab b -++=，
由基本不等式的性质可知，22()4ab a b ab +=+， 当且仅当a b =时，等号成立，此时有2(22)ab +，
所以1
(2)
111112222(2ab a b a b ab ab ab
+++===+
+=+． 所以
11
a b +的最大值为2- 故选：B ． 【点评】
本题主要考查直线与圆的综合问题，除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外，还涉及利用基本不等式的性质求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10．A
解析：A 【分析】
对于选项A ，由不等式性质得该选项正确；对于选项B ，11b a a b ab
--=符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】
对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确；
对于选项B ，11b a
a b ab
--=符号不能确定，所以该选项错误； 对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以
该选项错误；
对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a b
a b c d c d c d
==-=-=-==∴<，所以该选项错误； 故选：A 【点睛】
本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．A
解析：A 【分析】
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】 ∵m ，0n >，
41
21m n
+=+， ∴()()4
111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
， 当且仅当
411n m m n +=+且
4121m n
+=+，即2m =，3
2n =时取等号， 故m n +的最小值7
2
.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了均值不等式求最值，“1”的变形使用，属于中档题. 12．A
解析：A 【分析】
由已知条件和三角形的面积公式得4ac =，再根据基本不等式可得+4a c ≥，令
24a c y a c +=
-+，+a c t =，2
4t y t =-（4t ≥），由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6
B π
=
且1ABC S =△，得
1sin 126
ac π
=，解得4ac =， 所以2
+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪
⎝⎭
，即
+4a c ≥，当且仅当a c =时取等号， 所以224a c a c ac a c a c ++-=-++，令24a c y a c +=-+，+a c t =，则2
4t y t =-（4t ≥），
而24t y t =-在[)4+∞，单调递增，所以2421
4442t y t =-≥-=，所以2a c ac a c
+-+的最
小值为
12
. 故选：A. 【点睛】
本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】根据二次函数的性质结合存在任意的性质构造法换元法对钩函数
的性质进行求解即可【详解】函数的对称轴为：要想对均有只需成立化简得：设令显然当时函数是单调递增函数故因此有显然该函数在单调递减函数故因 解析：
103
21
【分析】
根据二次函数的性质，结合存在、任意的性质、构造法、换元法、对钩函数的性质进行求解即可. 【详解】
函数()2
4
3
()46f x mx m tm x tm =+-++的对称轴为：434
2m tm x m
-+=-，
要想对123,,,22t t x m t m x m m ⎡⎤⎡⎤∀∈++
∀∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
均有()()12f x f x ≤，[2,3]m ∈ 只需43433441
()()()2222m tm m tm m t m t m m -+-++--≤--+成立，
化简得：423242m m t m m ++≥-，设423
24
()2m m g m m m
++=-，[2,3]m ∈， 24
2
234
224()22m m m m g m m m m m
+
+++==--，令2a m m =-，显然当[2,3]m ∈时，函数2a m m =-是单调递增函数，故7
[1,]3
a ∈，
因此有266
()a h a a a a
+==+，7[1,]3a ∈，显然该函数在7[1,]3t ∈单调递减函数，
故min
7103()()321h a h ==，因此要想423
24
2m m t m m ++≥-在[2,3]m ∈有解，只需10321t ≥. 故答案为：10321
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是根据二次函数的性质得到
43433441()()()2222m tm m tm m t m t m m -+-++--≤--+这个不等式，然后运用构造函数
进行求解.
14．【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由可得则当且仅当时即等号成立所以的最小值为故答案为：【点睛】利用基本不等式求最值时要注意其满足的三个条件：一正二定三相等：（1）一正：就是各项必须为正数 解析：3
【分析】
化简得到111111
x x x x +
=-++--，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由1x >，可得10x ->，则11111311x x x x +
=-++≥=--， 当且仅当111x x -=
-时，即2x =等号成立， 所以11
x x +-的最小值为3. 故答案为：3.
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15．9【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x ＋2y ＝4即当且仅当等号成立故原式故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查等价变换思想与求解能力注意等号成立条件
解析：9
【分析】
将分式展开，利用基本不等式求解即可
【详解】
(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy
++++++===+
又x ＋2y ＝4≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥ 故填9
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件 16．9【分析】把看成的形式把1换成整理后积为定值然后用基本不等式求最小值【详解】∵等号成立的条件为所以的最小值为9即答案为9【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用解决本题的关键是1的代换
解析：9
【分析】 把
14a b +看成141a b
+⨯（） 的形式，把“1”换成a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．
【详解】
∵14144 1?459b a y a b a b a b a b =+=+⨯+=+++≥+=（）（） 等号成立的条件为
4b a a b =． 所以14a b
+的最小值为9． 即答案为9.
【点睛】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换．
17．或【分析】设命题中的取值集合为命题中的取值集合为由题意可得可求的取值范围【详解】由不等式可得或记集合或解不等式得记集合命题是命题成立的必要不充分条件或即或故答案为：或【点睛】本题考查充分条件必要条件 解析：m 1≥或7m ≤-
【分析】
设命题p 中x 的取值集合为A ，命题q 中x 的取值集合为B .由题意可得B A ≠
⊂，可求m 的取值范围.
【详解】
由不等式2
()3()x m x m ->-，可得()()30x m x m --->. 3,3m m x m +>∴>+或x m <，记集合{3A x x m =>+或}x m <.
解不等式2340x x +-<，得41x -<<，记集合{}
41B x x =-<<.
命题p 是命题q 成立的必要不充分条件，B A ， 1m ∴≥或34m +≤-，即m 1≥或7m ≤-.
故答案为：m 1≥或7m ≤-.
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件和解一元二次不等式，属于基础题.
18．10【分析】由得出利用基本不等式即可得出答案【详解】（当且仅当时取等号）故答案为：10【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用属于中档题 解析：10
【分析】
由49abc a b =+得出94c a b
=
+，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】 49abc a b =+
4994a b c ab a b
+∴==+
9410a b c a b a b ++=++
+≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号） 故答案为：10
【点睛】 本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.
19．10【分析】用速度v 表示时间结合基本不等式计算最小值即可【详解】当最后一辆车子出发第一辆车子走了小时最后一辆车走完全程共需要小时所以一共需要小时结合基本不等式计算最值可得故最小值为10小时【点睛】考 解析：10
【分析】
用速度v 表示时间，结合基本不等式，计算最小值，即可．
【详解】 当最后一辆车子出发，第一辆车子走了2
5080016
v v v ⋅=小时，最后一辆车走完全程共需要
400v 小时，所以一共需要40016
v v +小时，结合基本不等式，计算最值，可得
4001016v v +≥=，故最小值为10小时 【点睛】
考查了基本不等式计算函数最值问题，关键利用a b +≥中等．
20．4【分析】根据1的变形运用均值不等式即可求解【详解】且当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】本题主要考查了基本不等式的灵活运用属于中档题
解析：4.
【分析】
根据“1”的变形，运用均值不等式即可求解.
【详解】
0a >，0b >，且22a b +=,
1(2)12
a b ∴+= ()211211422222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1442b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭1442⎛≥+= ⎝
当且仅当4b a
a b
=，即21
a b
==时，等号成立．
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的灵活运用，属于中档题.
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无。