2017北京市东城初三(一模)数学

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2017东城区初三数学一模试卷及答案

东城区2016学年第二学期初三综合练习（一）数学试题 2016.5学校班级姓名考号考生须知1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分.考试时间120分钟. 2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 4．在答题卡上选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．与2-的和为0的数是 A ．2- B ．12-C ．12D ．22．2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。

其中， “冰雪乐园”吸引了大批游客亲身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油.用科学记数法表示245 000 ，正确的是A ．424.510⨯B ．52.4510⨯C ．62.4510⨯D ．60.24510⨯ 3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 A ．圆柱 B ．球 C ．圆锥 D ．棱柱4．在某校初三年级古诗词比赛中,初三(1)班42名学生的成绩统计如下,则该班学生成绩的中位数和众数分别是分数 50 60 70 80 90 100 人数 12813144A ． 70,80B ． 70,90C ． 80,90D ． 80,1005．在六张卡片上分别写有1π,, 1.5,3,0,23-,从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率是 A ． 16B ．13C ． 12D ． 236．正五边形的每个外角等于A. 36︒B. 60︒C. 72︒D. 108︒ 延长线7．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，过点C 作O 的切线交AB 的于点D ，连接OC ，AC . 若50D ∠=︒，则A ∠的度数是A. 20︒ B ．25︒C ．40︒D ．50︒8．小李驾驶汽车以50千米/小时的速度匀速行驶1y （单位：千米）与行驶时间t （单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为 A. 43.5 B. 50 C. 56 D . 589. 如图，已知∠MON =60°，OP 是∠MON 的角平分线，点A 是OP 上一点，过点A 作ON 的平行线交OM 于点B,AB=4.则直线AB 与ON 之间的距离是 A.3 B.2 C.23 D.410. 如图1， ABC △和DEF △都是等腰直角三角形，其中90C EDF ∠=∠=︒，点A 与点D 重合，点E 在AB 上，4AB =，2DE =.如图2，ABC △保持不动，DEF △沿着线段AB 从点A 向点B 移动，当点D 与点B AD x =，DEF △与ABC △重叠部分的面积为S ，则S 关于x 的函数图象大致是图1 图22.24A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：224mx my -= ． 128272+3的结果为．13. 关于x 的一元二次方程230x x m +-=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是．14. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表:北京市居民用水阶梯水价表单位: 元/立方米分档水量户年用水量（立方米）水价其中自来水费水资源费污水处理费第一阶梯 0-180（含）第二阶梯 181-260（含）第三阶梯260以上某户居民从2015年1月1日至4月30日,累积用水190立方米,则这户居民4个月共需缴纳水费元.15．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是米．ODBC16．在平面直角坐标系xOy 中，记直线1y x =+为l .点1A 是直线l 与y 轴的交点，以1A O 为边做正方形111A OC B ,使点1C 落在在x 轴正半轴上，作射线11C B 交直线l 于点2A ，以 21A C 为边作正方形2122A C C B ,使点2C 落在在x 轴正半轴上，依次作下去，得到如图4B 的坐标是，点n B 的坐标是．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．如图，AC 与BD 交于点O ，OA OC =，OB OD =．求证：DC AB ∥．18. 计算：()11336043-⎛⎫--︒+-+- ⎪⎝⎭π.19．解不等式组：()2131,5 4.2x x x x --⎧⎪⎨-+⎪⎩＞＜20．先化简，再求值：222442111a a a a a a -+-+÷+--，其中21a =． 21．列方程或方程组解应用题：2015年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元？22．在平面直角坐标系xOy 中，过点()4,2A -向x 轴作垂线，垂足为B ，连接AO .双曲线 ky x=经过斜边AO 的中点C ，与边AB 交于点D ．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△BOD 的面积．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，ABC △中，90BCA ∠=︒,CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ，BC的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE . （1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若2AC DE =，求sin CDB ∠的值．第15题图第16题图F24．为弘扬中华传统文化,某学校决定开设民族器乐选修课.为了更贴合学生的兴趣，对学生最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，共调查名学生；（2）请把条形图（图1）补充完整；（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数；（4）如果该校共有学生1500名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．过点,D A 分别25. 如图,在⊙O 中，AB 为直径，OC AB ⊥，弦CD 与OB 交于点F ，作⊙O 的切线交于点G ，且GD 与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：12∠=∠;（2）已知：:1:3OF OB =，⊙O 的半径为3，求AG 的长．26. 在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是OC 上任意一点，AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ．(1)如图1,若四边形ABCD 是正方形,判断AF 与BE 的数量关系;明明发现，AF 与BE 分别在AOF △和BOE △中，可以通过证明AOF △和BOE △全等,得到AF 与BE 的数量关系;请回答：AF 与BE 的数量关系是 .(2) 如图2,若四边形ABCD 是菱形, 120ABC ∠=︒,请参考明明思考问题的方法，求AFBE的值.BAG BF EO DCA图1 图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.28. 已知：Rt △A ′BC ′和 Rt △ABC 重合，∠A ′C ′B =∠ACB =90°，∠BA ′C ′=∠BAC =30°，现将Rt △A ′BC ′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C ′C 和线段AA ′相交于点D ,连接BD ．（1）当α=60°时，A ’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A ′A 之间的位置关系，不必证明；（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.29．定义符号{}min a b ,的含义为：当a b ≥时, {}min a b b =,；当a b ＜时, {}min a b a =,．如：{}min 122-=-,，{}min 121-=-,．(1)求{}2min x -1,-2;(2)已知2min{2,3}3x x k -+-=-, 求实数k 的取值范围;(3) 已知当23x -≤≤时，22min{215,(1)}215x x m x x x --+=--.直接写出实数m 的取值范围.东城区2014-2015学年第二学期初三综合练习（一）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．证明：∵在ODC △和OBA △中，∵,,,OD OB DOC BOA OC OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ODC OBA △≌△. …………3分∴C A ∠=∠. …………4分 ∴DC AB ∥． …………5分()()1118.33604313334415-⎛⎫-︒+-+- ⎪⎝⎭=-+=-解：π分分19． ()2131,8x x x x --⎧⎪⎨-+⎪⎩①②＞解：5＜2，2x 由①得，＜，…………2分 1x -由②得，＞， …………4分所以，不等式组的解集为12x -＜＜. …………5分()()()22224421112211112221131a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+÷+----=+⋅++---=+++=+20.解：分当21a =时，2-12-1222-112=+原式．…………5分 21．解：设每棵柏树苗的进价是x 元，则每棵枣树苗的进价是()25x -元. …………1分根据题意，列方程得：200=120(25)x x -， …………3分解得： 15x =. …………5分答：每棵柏树苗的进价是15元. 22．解：（1）过点C 向x 轴作垂线，垂足为E .∵CE x ⊥轴，AB x ⊥轴，()4,2A-，∴CE AB ∥，()4,0B -. ∴12OE OC CE OB OA AB ===. ∵4OB =，2AB =，∴2OE =，1CE =.∴()2,1C -. …………2分 ∵双曲线ky x=经过点C ， ∴2k =-.∴反比例函数的解析式为2y x=-. …………3分（2）∵点D 在AB 上，∴点D 的横坐标为4-. ∵点D 在双曲线2y x=-上， ∴点D 的纵坐标为12. …………4分 ∴BODS △11141222OB BD =⋅⋅=⨯⨯=.…………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23.（1）证明：∵DE BC ∥,CE AB ∥， ∴四边形DBCE 是平行四边形. ∴CE BD =. 又∵CD 是边AB 上的中线，∴BD AD =.∴CE DA =. 又∵CE DA ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形.∵90BCA ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线， ∴AD CD =.∴四边形ADCE 是菱形. …………3分（2）解：作CFAB ⊥于点F .由(1) 可知, .BC DE =设BC x =,则2AC x =.在Rt ABC △中,根据勾股定理可求得5AB x =.∵1122AB CF AC BC ⋅=⋅, ∴25AC BC CF x AB ⋅==.∵152CD AB x ==, ∴4sin 5CF CDB CD ∠==.…………5分 F24.解：（1）20÷10%=200（名），…………1分答：一共调查了200名学生；（2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名），最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）；补全条形图如图； …………3分（3）二胡部分所对应的圆心角的度数为：60200×360°=108°； …………4分（4）1500×30200=225（名）． …………5分答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为225． 25.（1）证明：连结OD ，如图.∵DE 为⊙O 的切线，OD 为半径， ∴OD DE ⊥.∴90ODE ∠=︒，即290ODC ∠+∠=︒.∵OC OD =， ∴C ODC ∠=∠. ∴290C ∠+∠=︒. 而OC OB ⊥，∴390C ∠+∠=︒. ∴23∠=∠.∵13∠=∠， ∴12∠=∠. …………2分（2）解：∵:1:3OF OB =，⊙O 的半径为3， ∴1OF =. ∵12∠=∠， ∴EF ED =.在Rt ODE △中，3OD =,设DE x =，则EF x =，1OE x =+. ∵222OD DE OE +=，∴()22231x x +=+，解得4x =.∴4DE =，5OE =.∵AG 为⊙O 的切线，OA 为半径，GD 为⊙O 的切线， ∴AG AE ⊥，GA GD =. ∴90GAE ∠=︒.在Rt AGE △中,设DG t =，则4GE t =+. ∵222AG AE GE +=.∴()22284t t +=+，解得，6t =.∴6AG =. -------------------5分26. 解：（1）AF =BE ； …………1分（2）AF BE=． …………2分理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒,∴AC BD ⊥,60ABO ∠=︒.∴90FAO AFO ∠+∠=︒.∵AG BE ⊥，∴90EAG BEA ∠+∠=︒．∴AFO BEA ∠=∠.又∵90AOF BOE ∠=∠=︒，∴AOF BOE △∽△. …………3分∴AF AO BE OB= . ∵60ABO ∠=︒，AC BD ⊥，∴tan 60AO OB=︒=.∴AF BE = …………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．解：（1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，∴10,1 1.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ ∴1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴抛物线的函数关系式为211122y x x =-++. …………2分（2）∵122b x a =-=，()0,1C ∴抛物线211122y x x =-++的对称轴为直线12x =.设点E 为点A 关于直线12x =的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线12x =于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，则2m 0,1.k m +=⎧⎨=⎩ 解得1,21.k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线EC 的函数表达式为112y x =-+. 当12x =时，34y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫⎪⎝⎭. …………4分（3）存在.①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P . ∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥，∴90AOM CAM ∠=∠=︒.∵()0,1C ，()1,0A -，∴1OA OC ==.∴45CAO ∠=︒.∴45OAM OMA ∠=∠=︒.∴1OA OM ==.∴点M 的坐标为()0,1-.设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标，则1110,1.k b b -+=⎧⎨=-⎩解得111,1.k b =-⎧⎨=-⎩ 所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--. 令12x =，则32y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭. …………5分 ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形，∴1OC ON ==.∴点N 的坐标为()1,0.∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥，∴21CP AP ∥.∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+. 令12x =，则12y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. …………6分综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．…………7分28.解:(1) 当60α=︒时, BD A A '⊥. ------------1分（2）补全图形如图1，BD A A '⊥仍然成立；------------3分（3）猜想BD A A '⊥仍然成立.证明：作AE C C '⊥，A F C C ''⊥，垂足分别为点,E F ，如图2，图1则90AEC A FC ''∠=∠=︒.∵BC BC '=，∴BCC BC C ''∠=∠.∵90ACB A C B ''∠=∠=︒，∴90ACE BCC '∠+∠=︒，'90A C F BC C ''∠+∠=︒. ∴ACE A C F ''∠=∠.在AEC △和A FC ''△中，90,,,AEC A FC ACE A C F AC A C ''∠=∠=︒⎧⎪''∠=∠⎨⎪''=⎩∴AEC A FC ''△≌△.∴AE A F '=.在AED △和A FD '△中，90,,,AEC A FD ADE A DF AE A F '∠=∠=︒⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩∴AED A FD '△≌△.∴AD A D '=.∵AB A B '=，∴'ABA △为等腰三角形.∴BD A A '⊥------------7分29．解：（1）∵20x ≥，∴2x -1≥-1.∴2-x -1＞2.图2∴{}2min 2x =--1,-2. ┉┉2分(2) ∵()2211x x k x k -+=-+-2,∴()2111x k k -+--≥.∵2min{2,3}3x x k -+-=-， ∴13k --≥.∴2k -≥.┉┉5分 (3) 37m -≤≤.┉┉8分。

2024年北京市九年级中考一模数学汇编：圆(含解析)

2024北京初三一模数学汇编圆章节综合一、单选题1．（2024北京东城初三一模）如图，是的弦，是的直径，于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2024北京东城初三一模）如图，作线段，在线段的延长线上作点，使得，取线段的中点，以为圆心，线段的长为半径作，分别过点作直径的垂线，交于点，连接，过点作于点．设，给出下面4个结论：①；；；④；上述结论中，正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题3．（2024北京门头沟初三一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是．4．（2024北京大兴初三一模）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为．AB O CD O CD AB ⊥AE BE =90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠COB C∠=∠AC a =AC B ()CB b a b =<AB O O OA O C O 、AB O D F 、OD AF CF 、、C CE OD ⊥E CF c =2a b c +<c <)a b <+2ab ac bc <+AB O C D O AC BC =D ∠︒5．（2024北京通州初三一模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，的面积近似为的面积，可得的估计值为．6．（2024北京平谷初三一模）如图，内接于，为的直径， D 为上一点，连接．若，则的度数为．7．（2024北京西城初三一模）如图，在的内接四边形中，点A 是的中点，连接，若，则．8．（2024北京石景山初三一模）如图，是的直径，是延长线上一点，与相切于点．若，则．πO O 1612S =⨯⨯正六边形O πO πABC O BC O O AD CD 、20D ∠=︒ACB ∠O ABCD BDAC 130DAB ∠=︒ACB =∠︒AB O P AB PC O C 40P ∠=︒A ∠=︒9．（2024北京顺义初三一模）如图，是的外接圆，，，平分，交于点D ，则的度数为．10．（2024北京朝阳初三一模）如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为．11．（2024北京燕山初三一模）如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则 °．三、解答题12．（2024北京朝阳初三一模）如图，在矩形中，，，点A 在直线l 上，与直线l 相交所得的锐角为．点F 在直线l 上，，⊥直线l ，垂足为点F 且，以为直径，在的左侧作半圆O ，点M 是半圆O 上任一点．发现：的最小值为，的最大值为，与直线l 的位置关系是．思考：矩形保持不动，半圆O 沿直线l 向左平移，当点E 落在边上时，重叠部分面积为多少？O ABC AB AC =36BAC ∠=︒BD ABC ∠O DAB ∠O Rt ABC △OE AB ⊥D O E 8AB =2DE =BC AB O C O B O AC D 50D ∠=︒BOC ∠=ABCD 6AB =8BC =AD 60︒8AF =EF 6EF =EF EF AM AM OB ABCD AD13．（2024北京通州初三一模）如图，为的直径，过点A 作的切线，C 是半圆上一点（不与点A 、B 重合），连结，过点C 作于点E ，连接并延长交于点F ．(1)求证：；(2)若的半径为5，，求的长．14．（2024北京东城初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”．(1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____；(2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围；(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围．AB O O AM AB AC CD AB ⊥BD AM ∠=∠CAB AFB O 8AC =DF xOy O PQ PQ O M N ==PM MN NQ PQ O A B C D ，，，AB CB CD O O PQ 2x =E E E y O PQ (1,0)y x b =+PQ b15．（2024北京西城初三一模）在平面直角坐标系中，已知的半径为．对于上的点和平面内的直线给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线上的点满足则称点为点关于直线的“衍生点”．(1)当时，已知上两点在点，中，点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是；(2)为上任意一点，直线与轴，轴的交点分别为点，．若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围；(3)当时，若过原点的直线上存在线段，对于线段上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”．将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值．16．（2024北京房山初三一模）在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N ，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”．xOy O 1O P :l y ax =P l P 'OP Q OQ PP ='，Q P l 0a =O121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，()112Q，232Q ⎫⎪⎪⎭，()(341,1Q Q --，1P l 2P l P O y x m =+()0m ≠x y A B AB S T S P l T P l m 11a -≤≤s MN MN R O P l R P l MN ()D s s ()D s xOy M M M P O M OP MN M P P M(1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，．①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是；②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围；(2)已知点，等边三角形的边长为的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围．17．（2024北京顺义初三一模）在平面直角坐标系中，对于图形M 和图形N 给出如下定义：如果图形M 上存在点P 、轴上存在点T ，使得点P 以点T 为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q 在图形N 上，那么称图形N 是形M 的“关联图形”．(1)如图，点，，，．①在点B ，C ，D 中，点A 的“关联图形”是_____；②若不是点A 的“关联图形”，求的半径的取值范围；(2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值．18．（2024北京门头沟初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，点P 、Q 是平面内的点，如果点P 关于点Q 的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P 关于点Q 的“等距点”．M ()0,0O (A (3,B 132P ⎛ ⎝23,2P ⎛ ⎝()32,2P M y x b =+M b (2)M m m -，M M E F OEF m xOy y 90︒()3,2A -()0,1B -()3,2C ()1,6D -O O r (),0O m '()3,0E m -()2,1G m -O ' EG EFGH O ' EFGH m xOy O O(1)已知如图1点．①如图1，在点中，上存在点P 关于点Q 的“等距点”的是________；②如图2，点，上存在点P 关于点Q 的“等距点”，则m 的取值范围是________；(2)如图3，已知点，点P 在的图象上，若上存在点P 关于点Q 的“等距点”，求b 的取值范围．40（，）P ()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O (),Q m n O ()1,1Q y x b =-+O参考答案1．D【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．【详解】解：是的直径，，，，，，故A 、B 、C 不符合题意，D 符合题意；故选：D ．2．C【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理内容以及完全平方公式的应用，先找出半径，结合斜边大于直角边，得知①是正确的，结合勾股定理以及完全平方公式的变形运算，得证③是错误的；同理得证②是正确的．对④运用反证法，得出，与①的结论相矛盾，即可作答．【详解】解：∵∴∵∴（斜边）大于即故①是正确的；∴在中，即∴∵故③是错误的；∵∴∴CD OCD AB ⊥AE BE ∴=90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠CBO C ∠=∠2a b c +<2a b c +>2a b c +<()A b C a CB b a ==>，()1122OF AB a b ==+OF AB⊥CF OF2a bc +>()111222OC AO AC a b a b a =-=+-=-Rt COF △222OC OF FC +=22211222a b b a c +⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222a b c +==2a b c +<)a b =+b a>()2b a ->222b a ab +>，故②是正确的；假设是正确的则∴∵，且∴∴即与①的结论相矛盾故④是错误的综上：正确结论的个数是个故选：C3．的圆周角所对的弦是直径【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键．根据圆周角定理进行判断即可．【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案，故答案为：的圆周角所对的弦是直径．4．45【分析】本题主要考查了圆周角定理，先由直径所对的圆周角为，可得，然后由得：，然后根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的度数．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴．故答案为：455．3【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设的半径为1，过作于，>=>c 2ab ac bc <+0ac ab bc ab<-+-()()0a c b b c a <-+-00c b c a -<->，a b<0c b c a ->->b c c a->-2a b c +>2a b c +<290︒90︒90︒90︒90︒90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒D ∠AB O 90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒45D CAB ∠=∠=︒A AM OB ⊥M AOB ∠AM AB O O A AM OB ⊥M在正十二边形中，，∴正十二边形的面积为,，,的近似值为3，故答案为：3．6．/70度【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．由为的直径，可得，由，可得，根据，计算求解即可．【详解】解：∵为的直径，∴，∵，∴，∴，故答案为：．7．25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵的内接四边形中，，∴，∵点A 是的中点，3601230AOB ∠=︒÷=︒1122AM OA ∴==111112224AOB S OB AM ∴=⋅=⨯⨯= 11234⨯=231π∴=⨯3π∴=π∴70︒BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒180ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒18070ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒70︒BCD ∠O ABCD 130DAB ∠=︒18500DA BCD B ∠︒∠==︒- BD∴，∴，故答案为：25．8．【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，切线的性质，如图，连接，求解，再根据圆周角定理即可得答案．【详解】解：如图，连接，∵ 与相切于点．，∴，，∴，故答案为：9．/72度【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键．根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，再由角平分线及圆周角定理确定，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，故答案为：．10．【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得，，则可得是的中位线，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，AD AB =1252ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒25OC 904050COP ∠=︒-︒=︒OC PC O C 40P ∠=︒90OCP ∠=︒904050COP ∠=︒-︒=︒1252A COP ∠=∠=︒2572︒72ABC C ∠=∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒AB AC =36BAC ∠=︒180180367222BAC ABC C ︒-∠︒-︒∠=∠===︒BD ABC ∠36CBD ∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒72DAB DAC CAB ∠=∠+∠=︒72︒6142AD BD AB ===90ADO BDO ∠=∠=︒OD ABC r 222OA OD AD =+=5r OE AB ⊥∴，，∵，∴是的中位线，∴，即，设半径为，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，∴．11．【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，根据直角三角形两个锐角互余计算出，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵是的直径，为的切线，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．12；；平行（或）；思考：【分析】发现：如图1，连接，作于，由题意知，，，当三点共线时，最小，为；当重合时，最大，由勾股定理求解即可；由题意知，则，进而求解作答即可；思考：如图2，连接，作于，则，，由，可得，，根据，计算求解即可．【详解】发现：解：如图1，连接，作于，142AD BD AB ===90ADO BDO ∠=∠=︒OA OC =OD ABC 12OD BC =2BC OD =r 2OD OE DE r =-=-Rt AOD 222OA OD AD =+()22224r r =-+=5r 23OD r =-=26BC OD ==8090ABD Ð=°40A ∠=︒AB O BD O AB BD ⊥90ABD Ð=°50D ∠=︒40A ∠=︒280BOC A ∠=∠=︒80310 3πAO AE 、BP AF ⊥P 3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO OM -M E 、AM 30BAP ∠=︒132BP AB OF ===OG OH AD ⊥H 30AEF ∠=︒1322OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH =EOG EOG S S S =- 重叠扇形AO AE 、BP AF ⊥P由题意知，，，当三点共线时，最小，由勾股定理得，∴；当重合时，最大，由勾股定理得，，∴的最大值为；∵矩形，∴，∴，∴，又∵，∴，故答案为：平行（或）；；；平行（或）；思考：解：如图2，连接，作于，∵，∴，∴，∵，∴，∴3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO ==AM 3-M E 、AM 10AE ==AM 10ABCD 90BAD ∠=︒30BAP ∠=︒132BP AB OF ===BP OF ∥OB l ∥ 310 OG OH AD ⊥H 60DAF EF AF ∠=︒⊥，30AEF ∠=︒1322OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH ===EOG EOG S S S =- 重叠扇形212031336022π⋅=-⨯3π=∴重叠部分面积为【点睛】本题考查了勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积等知识．熟练掌握勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积是解题的关键．13．(1)证明见解析(2)【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键．（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可．【详解】（1）证明：是的切线，，于点，，，，，．（2）解：连结，于点，是的直径，，是的垂直平分线，，的半径为5，，，是的直径，，3π30︒30︒323DF =AM O 90BAM ∴∠=o CD AB ⊥ E 90CEA ∴∠= CD AF ∴∥∴∠=∠CDB AFB CDB CAB ∠=∠ ∴∠=∠CAB AFB AD CD AB ⊥ E AB O CE DE ∴=AB ∴CD 8AC AD ∴==O 10AB ∴=6BD =∴AB O 90BDA =∴∠，，，，．14．(1)、；(2)；(3)．【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合．（1）根据定义验证可得结果；（2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果；（3）以为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果．【详解】（1）解：如图1，，，，是的“倍弦线”，与不相交，，和不是的“倍弦线”，故答案为：、；（2）如图2，BAD AFB ∴∠=∠tan tan ∴∠=∠BAD AFB ∴=AD BD DF AD2AD DF BD ∴=⋅323∴=DF AB CD ≤≤E y 21b -≤≤+PQ O EF (2,0)y x b =+2b =-(1,0)-y x b =+I b 2AF FH BH === CG GF DF ===AB ∴CD O BC O 23AI AE DI BH ==BC ∴AD O AB CD以为圆心，3 为半径画圆交直线于和，，；（3）如图3，以为圆心，2为半径画圆，直线与相切，此时，以为圆心，1为半径作，直线与线切，此时15．(1)(2)(3)【分析】（1）先得出直线为，根据轴对称得出进而可得，勾股定理求得点与原点的距离，进而根据新定义即可求解；（2）依题意，当线段上存在一个点到原点的距离为时，则符合题意，进而分画出图形，即可求解；（3）根据题意，画出图形，就点的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．【详解】（1）解：∵当时，直线为，即轴，∵∴∴∵， O 2x =E E'EFE y (1,0)O '-O '1y x b =+ 11b =(2,0)O ''O '' 2y x b =+O '' 22b =-21b ∴-≤≤+23Q Q ，2m ≤≤2m -≤≤-2l 0y =121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=22P P '=1234,,,Q Q Q Q 02PP '≤≤AB 20,0m m ><P 0a =l 0y =x 121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=22P P '=()112Q ，232Q ⎫⎪⎪⎭，()(341,1Q Q --，∴，，∴点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是，故答案为：．（2）解：依题意，，由（2）可得当点是点关于直线的“衍生点”则，∵为上任意一点，直线与轴，轴的交点分别为点，．∴，∴当线段上存在一个点到原点的距离为时，当时，如图所示，当时，即与点重合时，存在点是点关于直线的“衍生点”，则则（除端点外）上所有的点到的距离都，∵对称轴为直线，不能为轴，则和不是点关于直线的“衍生点”，则符合题意，∵线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，∴，当，此时最短，则当时，，此时只有1个点到的距离为，其他的点都不是点关于直线的“衍生点”，∴根据对称性，当时，可得；综上所述，（3）∵时∴随着的变化，点关于直线的对称点始终在圆上，如图所示，依题意，直线是经过圆心，且经过的直线，经过圆心，1OQ =2OQ ==3OQ ==42OQ ==1P l 2Q 2P l 3Q 23Q Q ，02PP '≤≤S P l 2OS ≤P O y x m =+()0m ≠x y A B OA OB m ==AB 20m >2OS =S B S P l 2m =AB O 2<y ax =y ()0,2()2,0-P l 2m =AB S T S P l T P l m 2≥OS y x m '⊥=+OS '2OS '=m =O 2P l 2m ≤≤0m <2m -≤≤-2m ≤≤2m -≤≤-11a -≤≤a P l P 'l AB s①当点在（包括边界）上时，当重合时，当为直径时，则，根据新定义可得，∴，②当点在的内部的圆弧上时（不包括边界），当为直径时，则，则对于线段上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”．当在轴上时，两条边界线的正中间，则P AB ,P P 'PP '2OQ PP '==02PP '≤≤()2D s =P AD PP '2OQ PP '==MN R O P l R P l P y PP '即综上所述，【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．16．(1)①，；②；(2)或．【分析】（）根据新定义即可求解；找到关键点先求出此时的值，然后即可求解；（）由可知，点在直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可；本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）如图，根据题意，直线与以为半径的相切，由图可知，等边三角形的“相关切点”是，故答案为：；根据题意，满足题意的点是以，半径为的弧上，如图，2PP OQ '≤=≤()2D s =()2D s =1P 2P 312b -≤21m ≤≤10m ≤1①②b 2().2M m m -2y x =-①OP MN M M 12P P 、12P P 、②P ()1,01若直线上存在等边三角形的“相关切点”，如图，由，是等腰直角三角形，，∴，∴，即，∵，∴，∴此时，∴的取值范围为；（2）如图，此时中，，，y x b =+M HIK OSK 1HI=KI =1OK OS ==b =3,2P ⎛ ⎝PL =32KL =OG =b =b b 312b -≤≤OEM △30EOM ∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -此时，，解得：，如图，此时中，，，此时，，解得：（正值舍去），如图，4OM =()22224m m +-=1m =+OEM △30EOM∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -4OM =()22224m m +-=1m =此时，，解得：或（舍去），如图，此时，，解得：（舍去）或，综上可知：．17．(1)①②；(2)．【分析】（1）①根据“关联图形”的定义判断即可；②根据关联图形的定义，判断出点旋转后的轨迹，从而得到的半径范围（2）根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最小值；根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最大值；2OM =()22222m m +-=2m =0m =2OM =()22222m m +-=2m =0m =21m ≤≤10m ≤B0r <<m m A O G O ' m E O ' m【详解】（1）①点绕逆时针旋转得到点，故答案为：；②设点，那么点绕点逆时针旋转得到点,作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示由旋转可知，，，，坐标为在上运动设与轴的交点为，与轴交点为当，，当时，，，以点为圆心，作圆，当与有为唯一交点时，半径为斜边上的高当不是点的关联图形时，故答案为：．（2）设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，连接A (0,2)90B B (0,)T a A T 90 A 'AJ y ⊥y J A K y '⊥y K AT A T '=90ATA ∠='︒90AJT ∠=︒90TAJ ATJ ∴∠+∠=︒90ATJ A TK =︒'+ TAJ A TK'∴∠=ATJ A KT'∴ ≌(3,2)A - 2TJ a KA '∴=-=3AJ TK==3OK TO TK a ∴=-=-∴A '(2,3)a a --A '∴1y x =-1y x =-x M y N0x =1y =-0y =1x =(1,0)M ∴(0,1)N-MN ∴==O O 1y x =-OMNOM ON r MN ⋅∴===∴OA 0r <0r <<(3,0)E m -(0,)T a 90︒E 'E 'E S y '⊥y S，，如图所示由旋转可知，，，，点坐标为所以在上运动，与轴的夹角为设在轴的交点为，那么点坐标为当与有唯一交点时，最大与相切为等腰直角三角形且故；TE TE 'AE =TE T E '=90ETE ∠='︒90ETO E TO '∴∠+∠=︒90ETO TEO ∠+∠=︒0E T TEO'∴∠=∠90EOT E ST '∠=∠=︒ETO TE S'∴ ≌3EO TS m ∴==-TO E S a'==(3)3TS TO SO a m a m∴=-=--=+-E '∴(,3)a a m +-E '3y x m =+-1k = 3y x m ∴=+-x 45︒3y x m =+-x Q Q (3,0)m -3y x m =+-O ' R m 3y x m =+- O ' 90O RQ ∴='∠︒O RQ '∴ 1O R '=(3)23O Q m m m '∴=--=-=m ∴=m设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，过点作轴交连接，，如图所示同理可证，，的坐标是在上运动设与轴的交点为，当与该直线有唯一交点时，取最小值．同理可证为等腰直角三角形，且故【点睛】本题考查了线段的旋转，三角形全等的判定与性质，圆与直线的关系判断，圆的切线的性质与计算，一次函数， “关联图形”等知识点，熟练掌握以上知识点并根据画出正确的图形是解题的关键．18．(1)①；②(2)【分析】（1）①求出点P关于的对称点，利用点到圆心的距离与半径比较，即可判断“等距点”；②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，根据中位线定理则判断出点Q 的在以为圆心，半径为1的上，即可求解；（2）过点O 作点Q 的对称点，则点为，则上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，那么直线与有公共点即可，找到两个临界状态，即相切位置，分别求b 即可．(2,1)G m -(0,)T a 90 G 'G 'G P y '⊥y P G GQ y ⊥TG TG 'GTQ G TP ' ≌1TQ PG a '∴==-2GQ TP m==-(2)2PO TO TP a m a m ∴=-=--=+-G '∴(1,2)a a m -+-G '∴1y x m =+-1y x m =+-x (1,0)L m -O ' K m O KL ' O L K ''==112O L m m m '∴=--=-=m ∴=m 12,Q Q 13m ≤≤44b -≤≤+()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O MP MP OP O 'QO '()2,0O 'O ' O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+O '【详解】（1）解：①如图，点P 关于的对称点分别为，则，，∴在上，∴点P 关于点Q 的“等距点”的是故答案为：；②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，∴，∴点Q 的在以为圆心，半径为1的上，()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，()()()2,0,0,2,2,2--12d R ==22d R ==3d R==>()()2,0,0,2-O 12,Q Q 12,Q Q O MP MP OP O 'QO '112QO OM '==()2,0O 'O '∵与轴交于点，∴，故答案为：．（2）解：过点O 作点Q 的对称点，则点为，∴上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，∵点P 在的图象上，∴当直线与相交即可，当直线与第一次相切时，设切点为点E ，直线与y 轴交点G ，当直线与第二次相切时，设切点为点F ，∵，∴∴，∵点，∴其点Q 与点O 的水平距离与铅锤距离均是1，∴，由相切得：，∴为等腰直角三角形，∴，同理可求当直线与第二次相切时，综上：【点睛】本题考查了新定义，中心对称，圆的定义，中位线定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．O ' x ()()1,0,3,0-13m ≤≤13m ≤≤O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+y x b =-+O ' y x b =-+O ' y x b =-+O ' ()2,2O 'OO ¢=2OE OO O E ''=-=()1,1Q 45EOG ∠=︒GE OO '⊥ OGE 4OG b ==-=y x b =-+O ' 4b =+44b -≤≤+。

2017年北京市中考数学试卷及答案

数学试卷第1页（共22页）数学试卷第2页（共22页）绝密★启用前北京市2017年高级中等学校招生考试数学 .......................................................................... 1 北京市2017年高级中等学校招生考试数学答案解析 . (6)北京市2017年高级中等学校招生考试数学（本试卷满分120分,考试时间120分钟）第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.如图所示,点P 到直线l 的距离是( )A .线段PA 的长度B .线段PB 的长度C .线段PC 的长度D .线段PD 的长度2.若代数式4xx -有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .0x =B .4x =C .0x ≠D .4x ≠ 3.如图是某个几何体的展开图,该几何体是( )A .三棱柱B .圆锥C .四棱柱D .圆柱4.实数a ,b ,c ,d 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( )A .4a -＞B .0bd ＞C .|||d |＞aD .0b c +＞5.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A B C D6.若正多边形的一个内角是150︒,则该正多边形的边数是 ( ) A .6 B .12 C .16 D .187.如果2210a a +-=,那么代数式24()2a a a a --的值是( ) A .3- B .1- C .1 D .3 8.下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况.2011年—2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------(以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告(2017)》)根据统计图提供的信息,下列推断不合理的是( )A.与2015年相比,2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长B.2011—2016年,我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C.2011—2016年,我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元D.2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多9.小苏和小林在如图所示的跑道上进行450⨯米折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离y(单位：m)与跑步时间t(单位：s)的对应关系如图所示.下列叙述正确的是( )A.两人从起跑线同时出发,同时到达终点B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程D.小林在跑最后100m的过程中,与小苏相遇2次10.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.下面有三个推断：①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验,则当投掷次数为1000时,“针尖向上”的频率一定是0.620.其中合理的是( )A.①B.②C.①②D.①③第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)11.写出一个比3大且比4小的无理数：.12.某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了435元,其中篮球的单价比足球的单价多3元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组为.13.如图,在ABC△中,M,N分别为AC,BC的中点,若1CMNS=△,则ABNMS=四边形.14.如图,AB为O的直径,C,D为O上的点,AD CD=.若40∠=︒CAB,则CAD∠=︒.15.如图,在平面直角坐标系xOy中,AOB△可以看作是OCD△经过若干次图形的变化数学试卷第3页（共22页）数学试卷第4页（共22页）数学试卷第5页（共22页）数学试卷第6页（共22页）(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由OCD △得到AOB △的过程： .16.下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程.请回答：该尺规作图的依据是 .三、解答题(本大题共13小题,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分5分)计算：4cos30(1|2|︒+︒-.18.(本小题满分5分)解不等式组：2(1)57,102.3x x x x +-⎧⎪+⎨⎪⎩＞＞19.(本小题满分5分)如图,在ABC △中,AB AC =,36A ∠=︒,BD 平分ABC ∠交AC 于点D .求证：AD BC =.20.(本小题满分3分)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.(以上材料来源于《古证复原的原则》《吴文俊与中国数学》和《古世界数学泰斗刘徽》)请根据上图完成这个推论的证明过程.证明：()ADC ANF FGC NFGD S S S S =-+△△△矩形,ABC EBMF S S =-△矩形( + ).易知,ADC ABC S S =△△, = , = . 可得NFGD EBMF S S =矩形矩形.21.(本小题满分5分)关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k -+++=. (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1,求k 的取值范围.22.(本小题满分5分)如图,在四边形ABCD 中,BD 为一条对角线,BC AD ∥,2AD BC =,90ABD ∠=︒,E 为AD 的中点,连接BE . (1)求证：四边形BCDE 为菱形；(2)连接AC ,若AC 平分BAD ∠,1BC =,求AC 的长.23.(本小题满分5分)-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________。

北京市2019年中考数学复习方程与不等式课时训练六一元二次方程(含答案)39

课时训练(六) 一元二次方程(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2017·西城一模]用配方法解一元二次方程x2-6x-5=0,此方程可化为()A.(x-3)2=4B.(x-3)2=14C.(x-9)2=4D.(x-9)2=142.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,则实数m的取值范围是()A.m≥0B.m>0C.m≥0且m≠1D.m>0且m≠13.某商店购进一种商品,单价为30元.试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满足关系:P=100-2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润,根据题意,下面所列方程正确的是()A.(x-30)(100-2x)=200B.x(100-2x)=200C.(30-x)(100-2x)=200D.(x-30)(2x-100)=2004.要组织一次排球比赛,参赛的每支球队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x支球队参赛,则x满足的等式为()A.x(x+1)=28B.x(x-1)=28C.x(x+1)=28D. x(x-1)=285.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为()A.1B.-1C.0D.-26.如图K6-1,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2,若设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是()图K6-1A.(32-2x)(20-x)=570B.32x+2×20x=32×20-570C.(32-x)(20-x)=32×20-570D.32x+2×20x-2x2=5707.方程2x2=x的解是.8.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的一个根为0,则m的值为.9.已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则b的值是,方程的另一个根是.10.已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1,则p= ,q= .11.[2018·海淀期末]已知x=1是关于x的方程x2-mx-2m2=0的一个根,求m(2m+1)的值.12.[2018·东城二模]已知关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围;(2)写出满足条件的k的最大整数值,并求此时方程的根.13.[2018·昌平二模]已知关于x的一元二次方程x2-(n+3)x+3n=0.(1)求证:此方程总有两个实数根;(2)若此方程有两个不相等的整数根,请选择一个合适的n值,写出这个方程并求出此时方程的根.14.[2018·石景山初三毕业考试]关于x的一元二次方程mx2+(3m-2)x-6=0.(1)当m为何值时,方程有两个不相等的实数根;(2)当m为何整数时,此方程的两个根都为负整数.15.[2018·东城一模]已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=0.(1)求证:无论实数m取何值,方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根的平方等于4,求m的值.|拓展提升|16.阅读题:先阅读下列例题的解答过程:例:已知α,β是方程x2+2x-7=0的两个实数根,求α2+3β2+4β的值.解:∵α,β是方程x2+2x-7=0的两个实数根,∴α2+2α-7=0,β2+2β-7=0且α+β=-2,∴α2=7-2α,β2=7-2β,∴α2+3β2+4β=7-2α+3(7-2β)+4β=28-2(α+β)=28-2×(-2)=32.请仿照上面的解法解答下面的问题:已知x1,x2是方程x2-x-9=0两个实数根,求代数式+7+3x2-66的值.参考答案1.B2.C[解析] ∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,∴m-1≠0且Δ≥0,由22-4×(m-1)×(-1)≥0,解得m≥0,∴m的取值范围是m≥0且m≠1.故选C.3.A4.B[解析] 每支球队都需要与其他球队赛(x-1)场,但2队之间只有1场比赛,所以可列方程为x(x-1)=4×7.故选B.5.A6.A7.x1=0,x2=8.-19.1x=-210.43[解析] 根据一元二次方程的根与系数的关系,可知p=-(-3-1)=4,q=(-3)×(-1)=3.11.解:∵x=1是关于x的方程x2-mx-2m2=0的一个根,∴1-m-2m2=0.∴2m2+m=1.∴m(2m+1)=2m2+m=1.12.解:(1)依题意,得解得k<9且k≠0.(2)∵k是小于9且不等于0的最大整数,∴k=8.此时的方程为8x2-6x+1=0.解得x1=,x2=.13.解:(1)证明:Δ=(n+3)2-12n=(n-3)2.∵(n-3)2≥0,∴方程有两个实数根.(2)答案不唯一,例如:∵方程有两个不相等的实数根,∴n≠3.当n=0时,方程化为x2-3x=0.因式分解为:x(x-3)=0.∴x1=0,x2=3.14.解:(1)∵Δ=b2-4ac=(3m-2)2+24m=(3m+2)2≥0,∴当m≠0且m≠-时,方程有两个不相等的实数根.(2)解方程,得:x1=,x2=-3.∵m为整数且方程的两个根均为负整数,∴m=-1或m=-2.∴当m=-1或m=-2时,此方程的两个根都为负整数.15.解:(1)证明:Δ=(m+3)2-4(m+2)=(m+1) 2,∵(m+1)2≥0,∴无论实数m取何值,方程总有两个实数根.(2)由求根公式,得x=,∴x1=1,x2=m+2.∵方程有一个根的平方等于4,∴(m+2)2=4.解得m=-4或m=0.16.解:∵x1,x2是方程x2-x-9=0的两个实数根,∴x1+x2=1,-x1-9=0,-x2-9=0,∴=x1+9,=x2+9.∴+7+3x2-66=x1(x1+9)+7(x2+9)+3x2-66=+9x1+10x2-3=x1+9+9x1+10x2-3=10(x1+x +6=16.2)。

北京市房山区中考数学一模试卷(含解析)

2017年北京市房山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示,在这四个数中，绝对值最小的数是（）A．a B．b C．c D．d2．下列图案是轴对称图形的是( ）A．B．C．D．3．北京地铁燕房线，是北京地铁房山线的西延线，现正在紧张施工，通车后将是中国大陆第二条全自动无人驾驶线路,预测初期客流量日均132300人次，将132300用科学记数法表示为( ）A．1。

323×105B．1。

323×104C．1.3×105 D．1.323×1064．如图，直线a∥b，三角板的直角顶点放在直线b上,两直角边与直线a相交，如果∠1=55°,那么∠2等于（）A．65°B．55°C．45°D．35°5．如图，A，B，C,D是四位同学画出的一个空心圆柱的主视图和俯视图,正确的一组是（）A．A B．B C．C D．D6．一个不透明的盒子中装有2个白球,5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为( ）A．B．C．D．7．雷达二维平面定位的主要原理是：测量目标的两个信息﹣﹣距离和角度，目标的表示方法为（γ，α）,其中，γ表示目标与探测器的距离；α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度．如图，雷达探测器显示在点A，B,C处有目标出现,其中，目标A的位置表示为A （5,30°)，目标B的位置表示为F(4，150°）．用这种方法表示目标C的位置，正确的是( ）A．(﹣3，300°）B．(3，60°)C．（3，300°）D．（﹣3,60°）8．2022年将在北京﹣﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市,某校开设了冰球选修课,12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位:cm）如表所示：队员1队员2队员3队员4队员5队员6甲组176177175176177175乙组178175170174183176设两队队员身高的平均数依次为甲，乙，方差依次为S甲2，S乙2，下列关系中正确的是（）A．甲=乙，S甲2＜S乙2B．甲=乙,S甲2＞S乙2C．甲＜乙，S甲2＜S乙2D．甲＞乙，S甲2＞S乙29．在同一平面直角坐标系中，正确表示函数y=kx+k(k≠0）与y=(k≠0）的图象的是（）A．B．C．D．10．如图1，已知点E，F,G，H是矩形ABCD各边的中点,AB=6，BC=8,动点M从点E出发，沿E→F→G→H→E匀速运动，设点M运动的路程x，点M到矩形的某一个顶点的距离为y，如果表示y关于x函数关系的图象如图2所示，那么这个顶点是矩形的（)A．点A B．点B C．点C D．点D二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分）11．二次根式有意义，则x的取值范围是．12．分解因式：2m2﹣18= ．13．如图中的四边形均为矩形,根据图形，利用图中的字母,写出一个正确的等式: ．14．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章，记载了一道“折竹抵地"问题，叙述为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何?”翻译成数学问题是：在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，可列出的方程为．15．中国国家邮政局公布的数据显示,2016年中国快递业务量突破313.5亿件，同比增长51。

2017年北京市东城区高三一模数学(理)

2． 2
（Ⅱ）设 A, B 是椭圆 C 的左，右顶点， P 为椭圆上异于 A, B 的一点，以原点 O 为端点分别
作与直线 AP 和 BP 平行的射线，交椭圆 C 于 M , N 两点，求证：△ OMN 的面积为
定值．
（ 20）（本小题共 13 分）
已知集合 A { a1, a2,L , an }, ai R ,i 1,2, L , n ，并且 n 2 ．定义
.
由题意知， E = A2B1 A3B1 A3 B2 .
因此 P( E) = P( A2B1) + P( A3B1) + P( A3B2 )
= 0.58 .
答：男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为
0.58 .
,, 11 分
（Ⅲ）此结论不正确 .
,,,,,,,,,,,
13 分
（ 17）（共 14 分）
北京市东城区 2016-2017 学年度第二学期高三综合练习（一）
数学（理科）
学校 _____________ 班级 _______________ 姓名 ______________ 考号 ___________
本试卷共 5 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
象在区间 [ , ] 上单调递减，则 m 的最小值为
12 12
（ A）
12
（ B）
6
（ C）
4
（ D）
3
（ 8）甲抛掷均匀硬币 2017 次，乙抛掷均匀硬币 2016 次，下列四个随机事件的概率是 0.5
的是
①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多 .
②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少 .

2017年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则详解

2017年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则详解2017年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题和填空题只设7分和分两档；解答题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。

如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、设实数a、b满足a-b=-1，则a³-b³+3ab的值为（B）A、-3B、-1C、1D、3解析：a³-b³+3ab=(a-b)(a²+ab+b²)+3ab=-(a-b)=-12、若实数a为常数，关于x的不等式组{x+a²≤2a x≤-7}的整数解只有8个，则a的值为（C）A、-1B、0C、1D、2解析：{x+a²≤2a x≤-7}⇒-7≤x≤-a²+2a⇒1≤-a²+2a⇒(a-1)≤0⇒a≤1因为a是常数，所以a=13、在菱形ABCD中，AB=4，E为AB的中点，若在线段BD上取一点P，则PA+PE∠A=60°，的最小值是（D）A、23B、4C、25D、27解析：如图，连结AC，EC交BD于点P，则点P是所求的菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，E为AB的中点DE=√3×AB/2=2√3CE=DE+DC=2√3+4AE=√(CE²+AC²)=√(28²+16)=4√10PA+PE∠A=AE×sin(∠APE)=4√10×sin(60°+∠BPD)令∠BPD=θ，则∠APE=60°+θPA+PE∠A=4√10×(cosθ+√3sinθ)=4√10×(sinθ+√3cosθ+2)/24√10×(sin(θ-60°)+2)/2=2√10×(√3cosθ+sinθ+1)≥2√10所以最小值为2√10，即274、对于任意实数a，b，c，用M{a,b,c}表示三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数，若M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y}，则x+y=（A）A、-4B、-2C、2D、4解析：不妨设a最小，则M{a,b,c}=aa+b+c=3ab-a)+(c-a)=ab-a≥0，c-a≥0b=a，c=a2x+y+2=x+2y=2x-yx=-3，y=-1x+y=-45、如图，RtΔABC的斜边AB与⊙O相切于点P，直角顶点C在⊙O上，若AC=22，BC=4，则⊙O的半径是（B）A、3B、23C、4D、26解析：如图，由射影定理得：BC²=AC×DCCD=4²/22BD²=CD²+BC²=48BO=BD/2=√48/2=2√3OP=OB-√AB²-AP²=2√3-√22²-4²=2√3-2r=OP=2√3-2=2(√3-1)=2∙236、不超过1142无明显问题的段落，不需修改）即有：x2kx5x 2x25x k x 2将两式相减，得：10x52x化XXX：2x210x50由于方程只有一个公共实根，所以判别式为0，即：24250解得：2或 5又因为x2kx k的实根为0或k，所以：当2时，实根为0，k，所以实根之和为k；当5时，实根为0，k，所以实根之和为k；综上所述，关于x的方程x2kx k所有的实根之和为k k0.题目一：已知方程组 $\begin{cases}\alpha^2-k\alpha+5=0 \\\alpha^2+5\alpha-k=0\end{cases}$，求所有实数根的和。

2017年北京东城区初三一模物理试卷及答案word版

C．实验中认真仔细地进行测量可以消除误差
D．采用多次测量取平均值的方法，可以减小误差
图 20
10
1
图 12
50g 20g 10g
0 1 2 3 4 5g
图 13
I 图 14
F4
F1
F2 F3
图 15
29．（多选）图 16 中，用手使劲捏玻璃瓶时，细玻璃管内的水柱随之上升，由此来判断玻璃瓶发生了微小形变。这里用到的科学方法有 A．放大法 B．转换法 C．等效替代法 D．控制变量法
系统主机净化结构如图 26 所示，受污空气
图 26
经过初效过滤网把悬浮在气流中的固体微
粒或液体微粒截留而收集较大颗粒，较小颗粒经过电离区对其电离，空气不能被电离，带电的较小颗
粒经过集尘区被吸附，就可以输出洁净的空气。
41．请根据上述材料，回答下列问题：
（1）若在教学楼内安装新风系统，应该选择
递到用户终端需要利用
A.空气
B. 电磁波
C.电流
D. 超声波
10．下列实例中，通过做功的方式改变物体内能的是 A．钻木取火 B．扬汤止沸 C．釜底抽薪 D．抱团取暖
11．关于安全用电，下列选项正确的是 A．爬上高压输电塔取下挂在上面的风筝 B．在未断开电源开关的情况下更换灯泡 C．给手机充电后应该及时拔下充电器插头 D．抓住插头的连接线，将插头从插座上拽出来
较大的现象。请你就“春捂”提出“穿衣”的合理建
议
。
34．（2 分）图 21 所示为中国科技馆静电滚
球装置。当快速转动转轮时，可以使玻璃
罩内位于圆盘中心处的那个大金属半球
带上正电荷成为高压正极，圆盘四周成为
环形的接地高压负极。罩内台面上的这些

2017年北京市朝阳区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2017年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x∈Z|x2＜4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0B．3C．4D．53．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m＝4，n＝6，则输出a＝（）A．4B．8C．12D．164．（5分）给出如下命题：①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；②在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件；③（1+x）8的展开式中二项式系数最大的项是第五项．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③5．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为，则|PF|＝（）A．B．6C．8D．166．（5分）已知函数若a，b，c，d是互不相同的正数，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是（）A．（24，25）B．（18，24）C．（21，24）D．（18，25）7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是（）A．B．C．D．8．（5分）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是（）A．可能有两支队伍得分都是18分B．各支队伍得分总和为180分C．各支队伍中最高得分不少于10分D．得偶数分的队伍必有偶数个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是．10．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．11．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若S6＝51，a1+a9＝26，则数列{a n}的公差d＝，通项公式为．12．（5分）在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为．若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，则直线C1的直角坐标方程为；曲线C2的方程为（t为参数），则C2被C1截得的弦长为．13．（5分）如图，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C3是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边B3C3上有2个不同的点P1，P2，则＝．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两坐标轴的距离之和等于它到定点（1，1）的距离，记点P的轨迹为C．给出下面四个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③点（﹣a2，1）（a∈R）在曲线C上；④在第一象限内，曲线C与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数的最小正周期为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．16．（13分）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．（只需写出结论）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，E为AD的中点，P A⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，P A＝AE＝BE＝2，CD＝1．（Ⅰ）求证：平面P AD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣1（a∈R），g（x）＝xf（x）++2x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，若函数g（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值．19．（14分）已知椭圆，离心率．直线l：x＝my+1与x轴交于点A，与椭圆C相交于E，F两点．自点E，F分别向直线x＝3作垂线，垂足分别为E1，F1．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记△AEE1，△AE1F1，△AFF1的面积分别为S1，S2，S3，试证明为定值．20．（13分）对于正整数集合A＝{a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a i（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；（Ⅲ）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值．2017年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x∈Z|x2＜4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：解x2＜4得，﹣2＜x＜2；又x∈Z；∴B＝{﹣1，0，1}，且A＝{x|﹣1≤x＜3}；∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：B．2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0B．3C．4D．5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝1×2+2＝4．即目标函数z＝2x+y的最大值为4．故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m＝4，n＝6，则输出a＝（）A．4B．8C．12D．16【解答】解：输入m＝4，n＝6，i＝0，则i＝1，a＝4，a不能被n整除，i＝2，a＝8，a不能被n整除，i＝3，a＝12，a能被n整除，输出a＝12，故选：C．4．（5分）给出如下命题：①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；②在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件；③（1+x）8的展开式中二项式系数最大的项是第五项．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：对于①，若“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故错；对于②，A＞B⇒a＞b，由正弦定理知，2R sin A＞2R sin B⇒，∴sin A＞sin B，反之成立，故正确；对于③，展开式有9项，则最中间一项的二项式系数最大二项式系数最大的项是第五项．故正确．故选：B．5．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为，则|PF|＝（）A．B．6C．8D．16【解答】解：∵抛物线方程为y2＝8x，∴焦点F（2，0），准线l方程为x＝﹣2，∵直线AF的斜率为，直线AF的方程为y＝（x﹣2），由，可得A点坐标为（﹣2，4），∵P A⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4），∴|PF|＝|P A|＝6﹣（﹣2）＝8，故选：C．6．（5分）已知函数若a，b，c，d是互不相同的正数，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是（）A．（24，25）B．（18，24）C．（21，24）D．（18，25）【解答】解：先画出函数的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），而﹣log4a＝log4b，即有log4a+log4b＝0，可得ab＝1，则abcd＝cd，由c+d＝10，可得cd＜（）2＝25，且cd＝c（10﹣c）＝﹣（c﹣5）2+25，当c＝4时，d＝6，cd＝24，但此时b，c相等，故ab的范围为（24，25）．故选：A．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，该四棱锥的底面是正视图中的梯形，面积为＝，故选：D．8．（5分）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是（）A．可能有两支队伍得分都是18分B．各支队伍得分总和为180分C．各支队伍中最高得分不少于10分D．得偶数分的队伍必有偶数个【解答】解：设每支队伍胜x场，负y场，平z场（x，y，z都是不大于9的自然数），则x+y+z＝9，且最终得分为n＝2x+z；对于A，某支队伍得分18分为满分，也就是胜了9场，那么其他9队至少有一次负，就不可能再得18分，故错误；对于B，总共要进行＝45场比赛，每场比赛的得分和都是2分，最后总得分＝45×2＝90分，故错误；对于C，最高得分可能超过10分，比如A中可能为18分，故错误；对于D，由B可知，各个队伍得分总和m1+m2+…+m10＝90，这10个数中，若有（2k+1）个偶数，则有10﹣（2k+1）＝（9﹣2k）个奇数，其和必为奇数，不可能等于90，∴这10个数中，有偶数个偶数，正确．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是（1，﹣1）．【解答】解：复数＝＝1﹣i在复平面内对应的点的坐标（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．10．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．【解答】解：由，a＝BC＝3，c＝，根据正弦定理＝得：sin C＝＝，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C＝．故答案为：11．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若S6＝51，a1+a9＝26，则数列{a n}的公差d＝3，通项公式为a n＝3n﹣2．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S n为其前n项和．S6＝51，a1+a9＝26，∴，解得a1＝1，d＝3，∴a n＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．故答案为：3，a n＝3n﹣2．12．（5分）在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为．若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，则直线C1的直角坐标方程为x+y﹣2＝0；曲线C2的方程为（t为参数），则C2被C1截得的弦长为．【解答】解：直线C1的极坐标方程为，即ρsinθ+ρcosθ＝2，∴直线C1的直角坐标方程为x+y﹣2＝0，曲线C2的方程为（t为参数），普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，圆心到直线的距离d＝，∴C2被C1截得的弦长为2＝，故答案为x+y﹣2＝0，．13．（5分）如图，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C3是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边B3C3上有2个不同的点P1，P2，则＝36．【解答】解：由图可知，∠B2AC3＝30°，又∠AC2B2＝60°，∴⊥，又∥，∴⊥，∴•＝0；∴＝•[（+）+（+）]＝•+•m+•+•n＝2•＝2×2×6×cos30°＝36．故答案为：36．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两坐标轴的距离之和等于它到定点（1，1）的距离，记点P的轨迹为C．给出下面四个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③点（﹣a2，1）（a∈R）在曲线C上；④在第一象限内，曲线C与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于．其中所有正确结论的序号是②③④．【解答】解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，∴|x|+|y|＝，∴|xy|+x+y﹣1＝0，若xy＞0，则xy+x+y+1＝2，即（x+1）（y+1）＝2，∴y＝，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支；若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1＝0，即（x﹣1）（y﹣1）＝0，∴x＝1（y＜0）或y＝1（x＜0）．函数的图象如图所示：∴曲线C关于直线y＝x对称；点（﹣a2，1）（a∈R）在曲线C上；曲线C与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于．∴所有正确结论的序号是②③④．故答案为：②③④．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数的最小正周期为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【解答】解：由，＝，＝，＝，…（5分）（Ⅰ）又因为函数f（x）的最小正周期为T＝，∴．解得：ω＝2．…（7分）（Ⅱ）令，解得：，∴．∴函数f（x）的单调递减区间是．…（13分）16．（13分）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）抽取的5人中男员工的人数为，女员工的人数为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．所以，随机变量X的所有可能取值为1，2，3．根据题意，，，．随机变量X的分布列是：数学期望．…（10分）（Ⅲ）．…（13分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，E为AD的中点，P A⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，P A＝AE＝BE＝2，CD＝1．（Ⅰ）求证：平面P AD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以P A⊥平面ABCD．所以P A⊥CD．又因为BE⊥AD，BE∥CD，所以CD⊥AD．所以CD⊥平面P AD．因为CD⊂平面PCD，所以平面P AD⊥平面PCD．…（4分）（Ⅱ）作Ez⊥AD，以E为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．所以，，．设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），所以即令y＝1，解得＝（2，1，3）．设平面PBE的法向量为＝（a，b，c），所以即令b＝1，解得＝（0，1，1）．所以cos＜＞＝．由图可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于“”．因为，设，λ∈（0，1），则M（0，2λ﹣2，2﹣2λ），．由（Ⅱ）知平面PBC的法向量为＝（2，1，3），所以．解得．所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC．…（14分）18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣1（a∈R），g（x）＝xf（x）++2x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，若函数g（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得x＞0，，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）为增函数；（ⅱ）当a＞0时，由f'（x）＞0，得；由f'（x）＜0，得；所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）因为＝＝，则g'（x）＝lnx+1﹣x+1＝lnx﹣x+2＝f（x）+3．由（Ⅰ）可知，函数g'（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．又因为＝，g'（1）＝1＞0，所以g'（x）在（0，1）上有且只有一个零点x1．又在（0，x1）上g'（x）＜0，g（x）在（0，x1）上单调递减；在（x1，1）上g'（x）＞0，g（x）在（x1，1）上单调递增．所以x1为极值点，此时m＝0．又g'（3）＝ln3﹣1＞0，g'（4）＝2ln2﹣2＜0，所以g'（x）在（3，4）上有且只有一个零点x2．又在（3，x2）上g'（x）＞0，g（x）在（3，x2）上单调递增；在（x2，4）上g'（x）＜0，g（x）在（x2，4）上单调递减．所以x2为极值点，此时m＝3．综上所述，m＝0或m＝3．19．（14分）已知椭圆，离心率．直线l：x＝my+1与x轴交于点A，与椭圆C相交于E，F两点．自点E，F分别向直线x＝3作垂线，垂足分别为E1，F1．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记△AEE1，△AE1F1，△AFF1的面积分别为S1，S2，S3，试证明为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知b＝1，椭圆的离心率e＝，即．解得：a2＝3．即．∴．∴椭圆C的方程为，焦点坐标为．…（4分）（Ⅱ）由，整理得（m2+3）y2+2my﹣2＝0，显然m∈R，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，E1（3，y1），F1（3，y2），∵＝＝＝＝，又∵＝，＝+，＝＝．∴．…（14分）20．（13分）对于正整数集合A＝{a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a i（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；（Ⅲ）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”．…（3分）（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，…，a n}所有元素之和为M．由题可知，M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，因此a i（i＝1，2，…，n）的奇偶性相同．（ⅰ）如果M为奇数，则a i（i＝1，2，…，n）也均为奇数，由于M＝a1+a2+…+a n，所以n为奇数．（ⅱ）如果M为偶数，则a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，…，b n}也是“和谐集”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”．此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．…（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合A中元素个数为奇数，当n＝3时，显然任意集合{a1，a2，a3}不是“和谐集”．当n＝5时，不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②；将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④．由①、③，得a1＝a2，矛盾；由①、④，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、③，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、④，得a1＝a2，矛盾．因此当n＝5时，集合A一定不是“和谐集”．当n＝7时，设A＝{1，3，5，7，9，11，13}，因为3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，9+13＝1+3+7+11，1+3+5+11＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，所以集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”．集合A中元素个数n的最小值是7．…（13分）。

2017年北京中考数学试卷及答案

2017年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．l的距离是1.如图所示，点P到直线PB的长度B. A线段A.线段PA的长度PD的长度 D.线段的长度C.线段PCxx若代数式的取值范围是有意义，则实数2.4x?40x?x?xx D. C. A. =0 B. =43.右图是某几何体的展开图，该几何体是圆柱 D.C.四棱柱 B.圆锥三棱柱A.a,b,c,d在数轴上的点的位置如图所示，则正确的结论是4. 实数a??4ab?0a?c?0d?a D. A. B. C.5.下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是．．6.若正多边形的一个内角是150°，则该正方形的边数是A.6B. 12C. 16D.181 / 142a4??2??a0??2a?1a如果的值是，那么代数式7.??2?aa??A.-3 B. -1C. 1D.38.下面统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况.根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是．．．A.与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长B.2016—2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C. 2016—2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4 200亿美元D.2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多.在整个过程中，4×9.小苏和小林在右图的跑道上进行50米折返跑）的t（单位：s与跑步时间跑步者距起跑线的距离y(单位：m) 对应关系如下图所示。

下列叙述正确的是两个人起跑线同时出发，同时到达终点A.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度B.1515s跑过的路程大于小林s跑过的路程小苏前C. 2次的过程中，与小苏相遇100D.小林在跑最后m.10.下图显示了用计算器模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果2 / 14下面有三个推断：0616；“钉尖向上”的概率是①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以钉可以估计“的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，②随着试验次数的增加，“钉尖向上”；尖向上”的概率是06180.620. 的频率一定是时，“钉尖向上”③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1 000 其中合理的是 D.①③ C. ①② A. ① B. ②分，每小题3分）二、填空题（本题共18.311.写出一个比大且比4小的无理数求3元，个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多12.某活动小组购买了4个篮球和5元，依题意，可列方程组元，足球的单价为y篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x.为1?S?S分△. M,N别是AC,BC的中点，若，则13.如图，在ABC中，CMNABMN四边形OO∠.°，则CAD= 为如图14.,AB为的直径，C,D 上的点，。

2017东城区语文一模试题.docx

2016—2017学年北京市东城区初三年级综合能力测试（一）2017.5语文试卷学校姓名考号一、基础·运用（共20分）1.阅读下面的文字，完成（1）—（3）题。

（共6分）2017年，是农历丁酉年，又一个鸡年光临人间。

在中华文化中，鸡是“德禽”，是“知时鸟”，谐音为“吉”。

晋人王嘉《拾遗记》提及，早在帝尧时代，百姓就有每年正月初一在门、窗上画公鸡图形以镇宅驱灾的做法，可见，民间张贴大公鸡年画或大公鸡剪纸的习俗，（渊源）远流长，年深日久。

凤凰就是先祖根据公鸡的美貌（遐暇）思出来的瑞鸟。

鸡还常常出现在案几．的墨色里，随着诗人的志趣抒发多种意趣。

李贺“雄鸡一声天下白”的经典诗句，不知承载．了多少往事，多少意趣！“半壁见海日，空中闻天鸡”，李白借鸡抒发青云之志；；“三更灯火五更鸡，正是男儿读书时”，颜真卿借鸡勉励青少年勤学向上。

（1）文段中横线处选填的汉字、加点字的注音和画线字的笔顺，全都正确的一项是（2分）A ．渊远流长案几．( j ǐ） “及”的第一笔是 B．源远流长案几．(j ī） “及”的第一笔是ノ C ．遐思承载．(z ǎi ） “及”的第一笔是D ．暇思承载．(z ài ） “及”的第一笔是ノ（2）古诗词中鸡的意象往往反映了作者的内心情感和文化精神。

请在文段横线处填写句子，使其与上下文衔接顺畅。

（本试卷中所有已出现的诗句除外）（2分）答：（3）丁酉年正月初一，恰逢小明的爷爷六十大寿。

小明要送给爷爷一副寿联，下面最适合的上联和下联分别是（2分）（只填序号）A B C D E F G H 2.2016年是汤显祖、莎士比亚逝世400周年。

为纪念这两位戏剧家，校文学社搜集了一段资料，准备在微信公众号上推送。

请你阅读下列资料，完成（1）-（3）题。

（共6分）【资料】 ①16世纪中叶至17世纪初，在东半球的中国和西半球的法国，各有一位伟大的戏剧家，中西方的艺术殿堂被震撼了。

高考数学复数习题及答案

高考复习试卷含答案一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．(2017·山东)复数3－i1－i等于 ( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 答案：C解析：3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i 2＝2＋i.故选C.2．(2017·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i答案：D解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13－－13i 13＝i ＋i ＝2i.3．(2017·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i 答案：D解析：由题意得z ＝a i.(a ∈R 且a ≠0)． ∴z ＋21－i ＝(2＋a i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2－a ＋(a ＋2)i2，则a ＋2＝0，∴a ＝－2.有z ＝－2i ，故选D.4．(2017·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( )A ．2iB ．0C ．－2iD ．－2 答案：B解析：依题意，f (i)＝i 3－i 2＋i －1＝－i ＋1＋i －1＝0，选择B.5．(2017·北京朝阳4月)复数z ＝2－i1＋i(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D解析：z ＝2－i 1＋i ＝12－32i ，它对应的点在第四象限，故选D.6．(2017·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则ba的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12答案：A解析：2＋i i ＝1－2i ，把它表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a的值为－2，故选A.7．(2017·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 答案：B解析：z ＝tan45°－i·sin60°＝1－32i ，z 2＝14－3i ，故选B.8．(2017·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B ．－π6C.23πD.56π 答案：D解析：3－i 对应的点为(3，－1)，所求直线的斜率为－33，则倾斜角为56π，故选D. 9．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b ic ＋d i为实数，则( )A ．bc ＋ad ≠0B ．bc －ad ≠0C ．bc －ad ＝0D ．bc ＋ad ＝0 答案：C解析：因为a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ，所以由题意有bc －adc 2＋d2＝0⇒bc －ad ＝0.10．已知复数z ＝1－2i ，那么1z ＝ ( )A.55＋255i B.55－255i C.15＋25iD.15－25i 答案：D 解析：由z ＝1－2i 知z ＝1＋2i ，于是1z ＝11＋2i ＝1－2i 1＋4＝15－25i.故选D.11．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( )A ．6B ．－6C ．0 D.16答案：A解析：z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝(3＋2b )＋(6－b )i 5是实数，则实数b 的值为6，故选A.12．(2017·广东)设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：B解析：α(i )表示i n ＝1的最小正整数n ，因i 4k ＝1(k ∈N *)，显然n ＝4，即α(i )＝4.故选B. 13．若z ＝12＋32i ，且(x －z )4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 2等于( )A ．－12＋32i B ．－3＋33iC ．6＋33iD ．－3－33i 答案：B解析：∵T r ＋1＝C r 4x4－r (－z )r ，由4－r ＝2得r ＝2，∴a 2＝C 24(－z )2＝6×(－12－32i )2＝－3＋33i .故选B.14．若△ABC 是锐角三角形，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i (sin B －cos A )对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：B解析：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞90°，B ＞90°－A ， ∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴z 对应的点在第二象限．15．如果复数2－bi1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A. 2B.23 C ．－23D ．2答案：C解析：2－bi 1＋2i ＝(2－bi )(1－2i )5＝(2－2b )5＋(－4－b )5i由2－2b 5＝－－4－b 5得b ＝－23.16．设函数f (x )＝－x 5＋5x 4－10x 3＋10x 2－5x ＋1，则f (12＋32i )的值为( )A ．－12＋32i B.32－12iC.12＋32i D ．－32＋12i 答案：C解析：∵f (x )＝－(x －1)5∴f (12＋32i )＝－(12＋32i －1)5＝－ω5(其中ω＝－12＋32i )＝－ω＝－(－12－32i )＝12＋32i .17．若i 是虚数单位，则满足(p ＋qi )2＝q ＋pi 的实数p ，q 一共有 ( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对答案：D解析：由(p ＋qi )2＝q ＋pi 得(p 2－q 2)＋2pqi ＝q ＋pi ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ p 2－q 2＝q ，2pq ＝p .解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝0，q ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝－1，或⎩⎨⎧p ＝32，q ＝12，或⎩⎨⎧p ＝－32，q ＝12，因此满足条件的实数p ，q 一共有4对．总结评述：本题主要考查复数的基本运算，解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决，解答中要特别注意不要出现漏解现象，如由2pq ＝p 应得到p ＝0或q ＝12.18．已知(2x 2－x p )6的展开式中，不含x 的项是2027，那么正数p 的值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：由题意得：C 46·1p 4·22＝2027，求得p ＝3.故选C. 总结评述：本题考查二项式定理的展开式，注意搭配展开式中不含x 的项，即找常数项．19．复数z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C解析：本题考查复数与复平面上的点之间的关系，复数与复平面上的点是一一对应的关系，即z ＝a ＋bi ，与复平面上的点Z (a ，b )对应，由z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )知：a ＝－lg(x 2＋2)＜0，又2x ＋2－x －1≥22x ·2－x －1＝1＞0；∴－(2x ＋2－x －1)＜0，即b ＜0.∴(a ，b )应为第三象限的点，故选C.20．设复数z ＋i (z ∈C )在映射f 下的象为复数z 的共轭复数与i 的积，若复数ω在映射f 下的象为－1＋2i ，则相应的ω为 ( )A ．2B ．2－2iC ．－2＋iD ．2＋i 答案：A解析：令ω＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，则ω＝[a ＋(b －1)i ]＋i ， ∴映射f 下ω的象为[a －(b －1)i ]·i ＝(b －1)＋ai ＝－1＋2i .∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝－1，a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝2.∴ω＝2. 第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

三角函数中的恒等变换应用-高中数学知识点讲解(含答案)

三角函数中的恒等变换应用（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2017秋•东城区期末）若)3cos ,(,)x x x ϕϕππ+=-∈-，则ϕ等于( ) A ．3π-B ．3πC ．56π D ．56π-2．（2019•石景山区一模）已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 3．（2018•海淀区二模）关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法错误的是( ) A ．()f x 是奇函数 B ．0不是()f x 的极值点C ．()f x 在(,)22ππ-上有且仅有3个零点D ．()f x 的值域是R4．（2017春•西城区期末）函数()f x x x =-在区间[0，]π上的最大、最小值分别为( )A ．π，0B ．2π- C ．,14ππ- D ．0,14π-5．（2017春•海淀区校级期中）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+，若(2πα∈，)π且()f α=α的值是( ) A ．58πB ．1116πC ．916π D ．78π6．（2015秋•丰台区期末）函数()sin 22f x x x =+在区间[0，]π上的零点之和是( ) A ．23πB ．712π C ．76π D ．43π 二．填空题（共5小题）7．（2018春•丰台区期末）已知函数2()cos cos f x x x x =+，则()f x 的最小正周期为；最大值为． 8．（2017•海淀区校级三模）已知函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，若函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的最大值是9．（2017•朝阳区二模）若平面向量(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b =-，且a b ⊥，则sin 2θ的值是． 10．（2016•北京模拟）已知函数(tan )sin 2cos2f ααα=+，则函数()f x 的值域为．11．（2016春•海淀区校级期末）函数2()sin()cos 62xf x x π=++的振幅为，最小正周期为．三．解答题（共4小题）12．（2015春•延庆县期末）（Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+．（Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．13．（2014•海淀区校级模拟）由倍角公式2cos22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有 cos3cos(2)x x x =+ cos2cos sin2sin x x x x =-2(2cos 1)cos 2(sin cos )sin x x x x x =-- 322cos cos 2(1cos )cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得cos (cos )n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫多项式．()I 求证：3sin33sin 4sin x x x =-；()II 请求出4()P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ； ()III 利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．14．（2009秋•通州区期末）求证：2tan (1cos2)1cos2θθθ+=-．15．（20092tan α=．三角函数中的恒等变换应用（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2017秋•东城区期末）若)3cos ,(,)x x x ϕϕππ+=-∈-，则ϕ等于( ) A ．3π-B ．3πC ．56π D ．56π-【分析】由题意利用两角和的正弦公式可得cos ϕ和sin ϕ的值，从而求得ϕ的值．【解答】解：23sin()3cos xx x ϕ+-，cos sin 3cos x x xx ϕϕ∴+=-，∴3ϕϕ⎧=⎪=⎨=-⎪⎩即1cos 2sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(,)ϕππ∈-，3πϕ∴=-，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．2．（2019•石景山区一模）已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 【分析】利用辅助角公式化简，对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，可得1x 与2x ，关于对称中心对称，即可求解12||xx +的最小值；【解答】解：函数()sin )f x a xx x θ=-=+，其中tan θ= 函数()f x的一条对称轴为6x π=-，可得1()62f a π-=--=解得：2a =． 3πθ∴=-对称中心对称横坐标3x k ππ-=，可得3x k ππ=+，k Z ∈．又12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性． 12||2||3x x k π∴+=+当0k =时，可得122||3x x π+= 故选：C ．【点评】本题考查了正弦函数的最值和单调性的综合应用．属于中档题． 3．（2018•海淀区二模）关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法错误的是( ) A ．()f x 是奇函数 B ．0不是()f x 的极值点C ．()f x 在(,)22ππ-上有且仅有3个零点D ．()f x 的值域是R【分析】根据三角函数的性质和导函数，依次判断各选项即可．【解答】解：对于A ：由()sin()cos()()f x x x x f x -=-+-=-，()f x ∴是奇函数，A 对；对于B ，()sin cos f x x x x =-，()cos cos sin sin f x x x x x x x '=--=-，当0x =时，()0f x =，()0f x '=，0不是()f x 的极值点．B 对．对于:()sin cos C f x x x x =-，()cos cos sin sin f x x x x x x x '=-+=，可得在(2π-，0)上单调递减．(0,)2π上单调递增．(0)f 可得最小值，(0)0f =，所以，()f x 在(,)22ππ-上不是3个零点．C 不对；对于D ：当x 无限大或无线小时，可得()f x 的值域为R ，D 对．故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，导函数的应用，属于基础题．4．（2017春•西城区期末）函数()f x x x =-在区间[0，]π上的最大、最小值分别为( )A ．π，0B ．2π- C ．,14ππ- D ．0,14π-【分析】对函数()f x 求导数，利用导数判断()f x 的单调性，并求()f x 在区间[0，]π上的最大、最小值．【解答】解：函数()f x x x =，()1f x x ∴'=；令()0f x '=，解得cos x ，又[0x ∈，]π，4x π∴=；[0x ∴∈，)4π时，()0f x '<，()f x 单调递减；(4x π∈，]π时，()0f x '>，()f x 单调递增；且()14444f ππππ==-，(0)0f =，()f ππ=；∴函数()f x 在区间[0，]π上的最大、最小值分别为π和14π-．故选：C ．【点评】本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是中档题．5．（2017春•海淀区校级期中）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+，若(2πα∈，)π且()f α=α的值是( ) A ．58πB ．1116πC ．916π D ．78π【分析】利用二倍角公式和和角公式化简()f x ，根据()f α=α的表达式即可得出α的值．【解答】解：111()cos2sin 2cos4sin 4cos4)2224f x x x x x x x π=+=++，())242f παα∴=+=4242k ππαπ∴+=+，即162k ππα=+，k Z ∈． (2πα∈，)π，916216πππα∴=+=．故选：C ．【点评】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．6．（2015秋•丰台区期末）函数()sin 22f x x x =+在区间[0，]π上的零点之和是( ) A ．23πB ．712π C ．76π D ．43π 【分析】由()0f x =结合正切函数的性质求出函数的零点即可得到结论．【解答】解：由()sin 220f x x x ==得sin 2x x =，即tan 2x = 即23x k ππ=-，即26k x ππ=-， 0x π，∴当1k =时，3x π=，当2k =时，56x π=，则函数()f x 的零点之和为57366πππ+=，故选：C ．【点评】本题主要考查函数零点的求解和应用，根据正切函数的性质求出x 的值是解决本题的关键．二．填空题（共5小题）7．（2018春•丰台区期末）已知函数2()cos cos f x x x x =+，则()f x 的最小正周期为 π ；最大值为．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数()f x 的最小正周期．再根据正弦函数值域求最大值．【解答】解：函数2111()cos cos 2cos2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++．故函数()f x 的最小正周期为T π=．当2262x k πππ+=+时，函数()f x 取得最大值为32．故答案为：3,2π．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．8．（2017•海淀区校级三模）已知函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，若函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的最大值是 43【分析】利用和与差和辅助角公式化简，根据直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数可得1()244T ππ--，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，1cos 2x x ωω=- sin()6x πω=-函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，即262k πππωπ-=+，k Z ∈，1123k ω∴=+，又()f x 在区间[,]44ππ-上是单调函数，∴1()244T ππ--，则T π．即2ω．∴24622462k k πππωππππωπ⎧---⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩解得：483883k k ωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩∴403ω< 可得ω的最大值为：43．故答案为：43【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 9．（2017•朝阳区二模）若平面向量(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b =-，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 1 ．【分析】利用向量垂直，就是数量积为0，求出cos sin 0θθ-=，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin 2θ的值．【解答】解：因为a b ⊥，所以0a b =，即：cos sin 0θθ-=，两边平方可得：22cos 2sin cos sin 0θθθθ-+=，可得：1sin20θ-=，解得：sin21θ=．故答案为：1．【点评】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题． 10．（2016•北京模拟）已知函数(tan )sin 2cos2f ααα=+，则函数()f x 的值域为 [ ．【分析】由三角恒等变换化简()f x ，然后转化为关于x 的方程．【解答】解：22(tan )sin 2cos22sin cos cos sin f ααααααα=+=+-2222222sin cos cos sin 2tan 1tan cos sin 1tan ααααααααα+-+-==++， ∴2221()1x x f x x +-=+，2(1)210y x x y ∴+-+-=，当110,2y x +==-，即1y =-成立；当10y +≠时，△2(2)4(1)(1)0y y =--+-，可得2y，且10y +≠，综上所述，可得函数的值域为[．【点评】本题考查三角恒等变换以及换元，转化思想．11．（2016春•海淀区校级期末）函数2()sin()cos 62xf x x π=++的振幅为，最小正周期为．【分析】将函数利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象和性质即可得出答案．【解答】解：2()sin()cos 62xf x x π=++，11sin coscos sincos 6622x x x ππ=+++111cos cos 222x x x =+++1cos 2x x =++1)2x ϕ=++，其中tan ϕ=∴，最小正周期222||1T πππω===；，2π．【点评】本题考查了利用二倍角公式和辅助角公式进行三角函数的能力和三角函数的图象和性质的运用．属于基础题三．解答题（共4小题）12．（2015春•延庆县期末）（Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+．（Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．【分析】（Ⅰ）运用分析法进行证明；（Ⅱ）经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用0(M x ，0)y 的横坐标与纵坐标替换．由此类比得到．【解答】（Ⅰ）证明：欲证sin 1cos 1cos sin αααα-=+，只需证2sin (1cos )(1cos )ααα=-+，即证22sin 1cos αα=-，上式显然成立，故原等式成立．5⋯分（Ⅱ）解：圆的性质中，经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用0(M x ，0)y 的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b+=一点0(P x ，0)y 的切线方程为00221x x y ya b+=．10⋯分．【点评】本题考查了三角函数恒等式的证明以及类比推理．13．（2014•海淀区校级模拟）由倍角公式2cos22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有 cos3cos(2)x x x =+ cos2cos sin2sin x x x x =-2(2cos 1)cos 2(sin cos )sin x x x x x =-- 322cos cos 2(1cos )cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得cos (cos )n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫多项式．()I 求证：3sin33sin 4sin x x x =-；()II 请求出4()P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ； ()III 利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．【分析】()I 利用诱导公式可得33sin3cos(3)cos[3(3)]22x x x ππ=--=--，把已知的条件代入可证得结论成立． ()II 两次使用二倍角公式，即可求得结果．()III 利用sin36cos54︒=︒，可得32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒，解方程求出2sin18︒的值．【解答】解：()I 证明：33sin3cos(3)cos[3()][4cos ()3cos()]2222x x x x x ππππ=--=--=---- 33(4sin 3sin )3sin 4sin x x x x =--=-，故等式成立．22242()cos4cos(22)2cos 212(2cos 1)12(4cos 4cos 1)1II x x x x x x ==-=--=-+- 428cos 8cos 1x x =-+．()sin36cos54III ︒=︒，32sin18cos184cos 183cos18∴︒︒=︒-︒，24sin 182sin1810∴︒+︒-=，∴sin18︒=．【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，正确选择公式是解题的关键． 14．（2009秋•通州区期末）求证：2tan (1cos2)1cos2θθθ+=-．【分析】原式的左边括号外边利用同角三角函数间的基本关系把tan θ化为sin cos θθ，括号里边利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后约分即可得到结果；原式的右边利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后得到结果，由左边=右边得证．【解答】证明：等式左边2tan (1cos 2)θθ=+222sin (12cos 1)cos θθθ=+- 222sin 2cos cos θθθ= 22sin θ=，等式右边221cos21(12sin )2sin θθθ=-=--=，∴左边=右边，故原式成立．【点评】此题考查了三角函数恒等式的证明，用到的知识有同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握三角函数的恒等变换公式是证明的关键．15．（20092tan α=．【分析】先把1sin 1sin αα+-分子分母同时乘以1sin α+，整理求得22(1sin )cos αα+，进而根据α所在的象限求得1sin cos αα+=1sin cos αα-= 2tan α=．【解答】解：1sin 1sin αα+-2(1sin )(1sin )(1sin )ααα+=-+ (1sin )a =+^2/[1(sin )a -^2] 22(1sin )cos αα+=因为A 是第四象限的角所以cos 0> 又因为sin 1α<- 所以1sin 0a +>1sin cos αα+1sin cos αα-=第11页（共11页）1sin 1sin sin 2cos cos cos αααααα+-=-= 2tan α=原式得证．【点评】本题主要考查了三角函数恒等式的证明及同角三角函数基本关系的应用．。

北京市东城区2015年中考一模数学试题和答案

东城区2014—2015学年第二学期初三综合练习（一）数学试题 2015.5学校班级姓名考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．与2-的和为0的数是 A ．2- B ．12-C ．12D ．22．2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。

其中， “冰雪乐园”吸引了大批游客亲身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油.用科学记数法表示245 000 ，正确的是A ．424.510⨯ B ．52.4510⨯C ．62.4510⨯ D ．60.24510⨯ 3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 A ．圆柱 B ．球 C ．圆锥 D ．棱柱4．在某校初三年级古诗词比赛中,初三(1)班42名学生的成绩统计如下,则该班学生成绩的中位数和众数分别是5．在六张卡片上分别写有1π,, 1.5,3,0,3-,从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率是6．正五边形的每个外角等于A. 36︒B. 60︒C. 72︒D. 108︒ 7．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点D ，连接OC ，AC . 若50D ∠=︒，则A ∠的度数是A. 20︒ B ．25︒C ．40︒D ．50︒8．小李驾驶汽车以50千米/小时的速度匀速行驶1小时后，途中靠边停车接了半小时电话，然后继续匀速行驶.已知行驶路程y （单位：千米）与行驶时间t （单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为 A. 43.5 B. 50 C. 56 D . 589. 如图，已知∠MON =60°，OP 是∠MON 的角平分线，点A 是OP 上一点，过点A 作ON 的平行线交OM 于点B,AB=4.则直线AB 与ON 之间的距离是A.B.2C.D.410. 如图1， ABC △和DEF △都是等腰直角三角形，其中90C EDF ∠=∠=︒，点A 与点D 重合，点E 在AB 上，4AB =，2DE =.如图2，ABC △保持不动，DEF △沿着线段AB 从点A 向点B 移动，当点D 与点B 重合时停止移动.设AD x =，DEF △与ABC △重叠部分的面积为S ，则S 关于x 的函数图象大致是A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：224mx my -= ． 12的结果为．13. 关于x 的一元二次方程230x x m +-=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是．14. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表:北京市居民用水阶梯水价表单位: 元/立方米某户居民从2015年1月1日至4月30日,累积用水190立方米,则这户居民4个月共需缴纳水费元.15．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是米．图1 图216．在平面直角坐标系xOy 中，记直线1y x =+为l .点1A 是直线l 与y 轴的交点，以1A O 为边做正方形111A OC B ,使点1C 落在在x 轴正半轴上，作射线11C B 交直线l 于点2A ，以 21A C 为边作正方形2122A C C B ,使点2C 落在在x 轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形.则点4B 的坐标是，点n B 的坐标是．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．如图，AC 与BD 交于点O ，OA OC =，OB OD =．求证：DC AB ∥．18. 计算：()1136043-⎛⎫-︒+-+- ⎪⎝⎭π.19．解不等式组：()2131,5 4.2x x x x --⎧⎪⎨-+⎪⎩＞＜20．先化简，再求值：222442111a a a a a a -+-+÷+--，其中1a =． 21．列方程或方程组解应用题：2015年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同.每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元？F（1）求反比例函数的解析式；（2）求△BOD 的面积．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，ABC △中，90BCA ∠=︒,CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ，BC 的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE . （1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若2AC DE =，求sin CDB ∠的值．24．为弘扬中华传统文化,某学校决定开设民族器乐选修课.为了更贴合学生的兴趣，对学生最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，共调查名学生；（2）请把条形图（图1）补充完整；（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数；（4）如果该校共有学生1500名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．25. 如图,在⊙O 中，AB 为直径，OC AB ⊥，弦CD 与OB 交于点F ，过点,D A 分别作⊙O 的切线交于点G ，且GD 与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：12∠=∠;（2）已知：:1:3OF OB =，⊙O 的半径为3，求AG 的长．26. 在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是OC 上任意一点，AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ．(1)如图1,若四边形ABCD 是正方形,判断AF 与BE 的数量关系;明明发现，AF 与BE 分别在AOF △和BOE △中，可以通过证明AOF △和BOE △全等,得到AF 与BE 的数量关系;请回答：AF 与BE 的数量关系是 .(2) 如图2,若四边形ABCD 是菱形, 120ABC ∠=︒,请参考明明思考问题的方法，求AFBE的值.图1 图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.BAC28. 已知：Rt △A ′BC ′和 Rt △ABC 重合，∠A ′C ′B =∠ACB =90°，∠BA ′C ′=∠BAC =30°，现将Rt △A ′BC ′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C ′C 和线段AA ′相交于点D ,连接BD ．（1）当α=60°时，A ’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A ′A 之间的位置关系，不必证明；（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.29．定义符号{}min a b ,的含义为：当a b ≥时, {}min a b b =,；当a b ＜时,{}min a b a =,．如：{}min 122-=-,，{}min 121-=-,．(1)求{}2min x -1,-2;(2)已知2min{2,3}3x x k -+-=-, 求实数k 的取值范围;(3) 已知当23x -≤≤时，22min{215,(1)}215x x m x x x --+=--.直接写出实数m 的取值范围.东城区2014-2015学年第二学期初三综合练习（一）数学试题参考答案及评分标准 2015.5三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．证明：∵在ODC △和OBA △中，∵,,,OD OB DOC BOA OC OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ODC OBA △≌△. …………3分 ∴C A ∠=∠. …………4分 ∴DC AB ∥． …………5分()()1118.36043134415-⎛⎫-︒+-+- ⎪⎝⎭=-+=-解：π分分19． ()2131,8x x x x --⎧⎪⎨-+⎪⎩①②＞解：5＜2，2x 由①得，＜， …………2分 1x -由②得，＞， …………4分所以，不等式组的解集为12x -＜＜. …………5分()()()22224421112211112221131a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+÷+----=+⋅++---=+++=+20.解：分当1a =时，2=原式．…………5分 21．解：设每棵柏树苗的进价是x 元，则每棵枣树苗的进价是()25x -元. …………1分根据题意，列方程得：200=120(25)x x -， …………3分解得： 15x =. …………5分答：每棵柏树苗的进价是15元. 22．解：（1）过点C 向x 轴作垂线，垂足为E .∵CE x ⊥轴，AB x ⊥轴，()4,2A-，∴CE AB ∥，()4,0B -. ∴12OE OC CE OB OA AB ===. ∵4OB =，2AB =， ∴2OE =，1CE =.∴()2,1C -. …………2分 ∵双曲线ky x=经过点C ， ∴2k =-.∴反比例函数的解析式为2y x=-. …………3分（2）∵点D 在AB 上，∴点D 的横坐标为4-. ∵点D 在双曲线2y x=-上， ∴点D 的纵坐标为12. …………4分∴BOD S △11141222OB BD =⋅⋅=⨯⨯=.…………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23.（1）证明：∵DE BC ∥,CE AB ∥， ∴四边形DBCE 是平行四边形. ∴CE BD =.又∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD AD =. ∴CE DA =. 又∵CE DA ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形.∵90BCA ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线， ∴AD CD =.∴四边形ADCE 是菱形. …………3分（2）解：作CFAB ⊥于点F .由(1) 可知, .BC DE =设BC x =,则2AC x =.在Rt ABC △中,根据勾股定理可求得AB =.∵1122AB CF AC BC ⋅=⋅,∴5AC BC CF x AB ⋅==.∵122CD AB x ==, ∴4sin 5CF CDB CD ∠==.…………5分 24.解：（1）20÷10%=200（名），…………1分答：一共调查了200名学生；（2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名），最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）；补全条形图如图； …………3分（3）二胡部分所对应的圆心角的度数为：60200×360°=108°； …………4分（4）1500×30200=225（名）． …………5分答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为225． 25.（1）证明：连结OD ，如图.∵DE 为⊙O 的切线，OD 为半径， ∴OD DE ⊥.∴90ODE ∠=︒，即290ODC ∠+∠=︒.26. 解：（1）AF =BE ； …………1分（2）AF BE=． …………2分理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒,∴AC BD ⊥,60ABO ∠=︒.∴90FAO AFO ∠+∠=︒.∵AG BE ⊥，∴90EAG BEA ∠+∠=︒．∴AFO BEA ∠=∠.又∵90AOF BOE ∠=∠=︒，∴AOF BOE △∽△. …………3分∴AF AO BE OB= . ∵60ABO ∠=︒，AC BD ⊥，∴tan 60AO OB=︒=.∴AF BE = …………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．解：（1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，∴10,1 1.a b a b -+=⎧⎨++=⎩∴1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴抛物线的函数关系式为211122y x x =-++. …………2分（2）∵122b x a =-=，()0,1C ∴抛物线211122y x x =-++的对称轴为直线12x =. 设点E 为点A 关于直线12x =的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线12x =于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，则2m 0,1.k m +=⎧⎨=⎩解得1,21.k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线EC 的函数表达式为112y x =-+. 当12x =时，34y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫⎪⎝⎭. …………4分（3）存在.①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P . ∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥，∴90AOM CAM ∠=∠=︒.∵()0,1C ，()1,0A -，∴1OA OC ==.∴45CAO ∠=︒.∴45OAM OMA ∠=∠=︒.∴1OA OM ==.∴点M 的坐标为()0,1-.设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标，则1110,1.k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得111,1.k b =-⎧⎨=-⎩ 所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--. 令12x =，则32y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭. …………5分 ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形，∴1OC ON ==.∴点N 的坐标为()1,0.∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥，∴21CP AP ∥.∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+. 令12x =，则12y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. …………6分综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．…………7分28.解:(1) 当60α=︒时, BD A A '⊥. ------------1分（2）补全图形如图1，B D A A'⊥仍然成立；------------3分（3）猜想BD A A '⊥仍然成立. 证明：作AE C C '⊥，A F C C ''⊥，垂足分别为点,E F ，如图2，则90AEC A FC ''∠=∠=︒. ∵BC BC '=，∴BCC BC C ''∠=∠. ∵90ACB A C B ''∠=∠=︒，∴90ACE BCC '∠+∠=︒，'90A C F BC C ''∠+∠=︒. ∴ACE A C F ''∠=∠.在AEC △和A FC ''△中，图2 图190,,,AEC A FC ACE A C F AC A C ''∠=∠=︒⎧⎪''∠=∠⎨⎪''=⎩∴AEC A FC ''△≌△.∴AE A F '=.在AED △和A FD '△中，90,,,AEC A FD ADE A DF AE A F '∠=∠=︒⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩∴AED A FD '△≌△.∴AD A D '=.∵AB A B '=，∴'ABA △为等腰三角形.∴BD A A '⊥------------7分29．解：（1）∵20x ≥，∴2x -1≥-1.∴2-x -1＞2.∴{}2min 2x =--1,-2. ┉┉2分(2) ∵()2211x x k x k -+=-+-2, ∴()2111x k k -+--≥.∵2min{2,3}3x x k -+-=-， ∴13k --≥.∴2k -≥. ┉┉5分(3) 37m -≤≤. ┉┉8分。

东城区2023年初三一模数学试题及答案

东城区2022—2023学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学试卷 2023．5一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．下列四个几何体中，主视图为三角形的是A B C D2．2023年2月28日，国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》中报道：2022年全年研究与试验发展（R&D ）经费支出30 870亿元，比上年增长10.4%，与国内生产总值之比为2.55% .将数字30 870用科学记数法表示应为A ．3.087×104B ．30.87×103C ．0.308 7×105D ．3.087×1053．下面四个图案均由北京2022年冬奥会比赛项目图标组成，其中可看作轴对称图形的是AB C D4．若实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，则a b +的值可能是A ．–1B ．12−C ．0D ．125．用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n −的值为A ．–6B ．–3C ．0D ．26．下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是A ．甲同学平均分高，成绩波动较小B ．甲同学平均分高，成绩波动较大C ．乙同学平均分高，成绩波动较小D ．乙同学平均分高，成绩波动较大7．如图，∠AOB =40°，按下列步骤作图：①在OA 边上取一点C ，以点O 为圆心、OC 长为半径画¼MN，交OB 于点D ，连接CD ；②以点C 为圆心、CO 长为半径画¼GH，交OB 于点E ，连接CE ，则∠DCE 的度数为A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°阴影部分面积为y ，线段AP 的长为x ．当点P 从点A 移动到点B 时，y 随x 的变化而变化，则表示y 与x 之间关系的图象大致是A B C D 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若分式21x x−的值为0，则实数x 的值为． 10．分解因式：2242x x −+= ．11．如图，已知△ABC ，用直尺测量△ABC 中BC 边上的高约为 cm （结果保留一位小数）．12．已知点)Am ，3,2B n ⎛⎫⎪⎝⎭在一次函数2y x b =+的图象上，则m n （填“＞”“=”或“＜”）．13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 是网格线交点，则△ABC 的外角∠ACD 的度数等于 °．14．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，抛掷的结果都是正面朝上的概率是________．15．如图，树AB 在路灯O 的照射下形成树影AC ．已知灯杆PO 高为5m ，树影AC 长为3m ，树AB 与灯杆PO 的水平距离AP 为4.5m ，则树AB 的高度为 m ．16．一枚质地均匀的骰子放在棋盘上，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，相对两个面上的点数之和为7．骰子摆放的初始位置如图所示．骰子由初始位置翻滚一次，点数为1的面落在1号格内；再从1号格翻滚一次，点数为5的面落在2号格内；继续这样翻滚……． (1)当骰子翻滚到2号格时，朝上一面的点数为________；(2)依次翻滚6次到6号格，每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为________．CBA三、解答题（本题共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 1703tan3020231︒+−−．18．解不等式组312,221 1.x x x x −⎧<⎪⎨⎪+−⎩≥19．已知2310x x −−=，求代数式2(2)(2)(3)x x x +−+−的值．2021．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点（-1,3）．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）当1x <−时，对于x 的每一个值，函数y x n =−+的值大于反比例函数(0)ky k x=≠的值，直接写出n 的取值范围．22．如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射钱CM，使得∠ECM=15°，过点D作DF⊥CM于点F.若∠ABC=70°，DF=√5，求∠ACD的度数及BD的长．23．某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．七年级成绩在80≤x＜90的数据如下（单位：分）：80 81 85 85 85 85 85 85 85 85 88 89c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m=,n=；（2）下列推断合理的是；①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩.（3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数.24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，点D 为AC 的中点，⊙O 的切线DE 交BA 的延长线于点E ．连接AC ，BC ，CD ．（1）求证：∠E =∠BAC ；（2）若⊙O 的半径长为5，4cos 5E =，求CD 和DE 的长．25．已知乒乓球桌的长度为274cm ，某人从球桌边缘正上方高18cm 处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度为y (单位：cm)与水平距离x (单位：cm)近似满足函数关系21()y a x h k =−+(a <0)．乒乓球的水平距离x 与竖直高度为y 的几组数据如下表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；(2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度为y 与水平距离x 近似满足函数关系220.005()8y x h =−−+．判断乒乓球再次落下时是否落在球桌上，并说明理由．26．已知抛物线22=−(a≠0) ．y ax ax（1）求该抛物线的顶点坐标(用含a的式子表示)；（2）当a＞0时，抛物线上有两点（－1，s），（k，t），若s＞t时，直接写出k的取值范围；（3）若A(m－1，y1)，B(m，y2)，C(m＋3，y3)都在抛物线上，是否存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤－a 恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在BC边上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE．（1）求证：BA平分∠EBC；（2）连接DE交AB于点F，过点C作CG∥AB，交ED的延长线于点G．补全图形，用等式表示线段EF与DG之间的数量关系，并证明．ACB28．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），将点P向左(a≥0)或向右（a<0）平移k|a|个单位长度，再向下（b≥0）或向上（b<0）平移k|b|个单位长度（k>0），得到点P'，再将点P关于直线MP’对称得到点Q，称点Q为点P的k倍“对应点”.特别地，当M与P'重合时，点Q为点P关于点M的中心对称点．（1）已知点P(3，0），k＝2．①若点M的坐标为(0，1)，画出点P'，并直接写出点P的2倍“对应点”Q的坐标；②若OM=1，直线y＝x+b上存在点P的2倍“对应点”，直接写出b的取值范围；（2）半径为3的⊙O上有不重合的两点M，P，若半径为1的⊙O上存在点P的k倍“对应点”，直接写出k的取值范围．东城区2022—2023学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学答案及评分参考二、填空题(本题共 16分，每小题2分)9.1210.22()1x−11. 1.8 12. <13. 135 14.1415. 2 16. (1)2 (2)21三、解答题（本题共68 分，第17—21题，每题5 分，第22 题6分，第23 题5 分，第24—26题，每题6 分，第27 —28 题，每题7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.03tan3020231︒+−−.3113=−⨯+−··············4分=5分18.解：312,221 1.xxx x−⎧<⎪⎨⎪+≥−⎩①②由①得1x>−,·········2分由②得2x≥−·········4分所以不等式组的解集是1x>−·········5分19.解:2223()()()x x x+−+−22469x x x=−+−+226 5.x x=−+∵2310x x−−=，∴23 1.x x−=∵226 2.x x−=∴原式22657x x =−+=·5分 20．解：方法一：证明：∵CF ∥AB ,∴,.A ECF ADE F ∠=∠∠=∠ 又∵点E 是AC 的中点， ∴AE =CE . ∴ADE CFE ≅V V ∴AD =CF ，DE =FE ．又∵点D 是AB 的中点， ∴AD =BD . ∴CF =BD .∴四边形BCFD 是平行四边形． ∴DF //BC ,DF =BC ∴DE //BC ,且12DE BC =·5分方法二：证明：∵AE =EC ,DE =EF ,∴四边形ADCF 是平行四边形． ∴CF //DA ,且CF =DA ． ∴CF //BD ,且CF =BD∴四边形DBCF 是平行四边形 ∴DF //BC ,且DF =BC . 又∵12DE DF =∴DE //BC ,且12DE BC =·5分 21.解：（1）∵反比例函数0k y k x=≠（）的图象经过点（-1,3）,∴31k=−. ∴3k =−.∴反比例函数的解析式为3y x=−·3分（2）2n ≥·5分22.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD //BC .∴ADB CBD ∠=∠ 又∵BD 平分ABC ∠, ∴ABD CBD ∠=∠ ∴ADB ABD ∠=∠∴四边形ABCD 是菱形··3分(2)解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB //CD ,90DOC ∠=︒,BD =2DO . ∴70DCE ABC ∠=∠=︒ ∵15ECM ∠=︒, ∴55DCM ∠=︒.∵四边形ABCD 是菱形， ∴110BCD ∠=︒∴1552ACD ACD ∠=∠=︒. ∴ACD DCM ∠=∠. 又∵DF CM ⊥,∴DO DF ==∴2BD DO ==6分 23解：(1)83,85·2分 (2)①②. ·4分（3）176034030⨯=（人）. 答：估计七年级成绩优秀的学生人数为340人. ·5分 24.（1）证明：如图，连接OD 交AC 于点F,连接OC . ∵DE 是O e 的切线， ∴OD DE ⊥. ∴90ODE ∠=︒.∵点D 为AĈ的中点， ∴AD̂=CD ̂. ∴AOD COD ∠=∠. ∴AO =CO , ∴OF AC ⊥.∴90OFA ODE ∠=︒=∠. ∴DE //AC .∴E BAC ∠=∠·3分（2）解：∵E BAC ∠=∠ ∴4cos cos 5BAC E ∠==. 在Rt AOF V 中，4cos ,5,5AF BAC OA OA ∠=== ∴AF =4，OF =3. ∴DF =2. ∵,OF AC ⊥ ∴CF =AF =4.在在Rt CDF V 中，由勾股定理得CD =在在Rt ODE V 中，4cos 5E =, ∴3tan .4OD E DE == ∴203DE =·6分 25.解：（1）50·1分根据表格数据,将(0,18)和(80,50)代入函数关系式()21y a x h k =−+, 解得0.005a =−∴二次函数的关系式为()20.0058050y x =−−+·3分(2)乒乓球仍落在球桌上.理由如下：令y =0,则x =180.∴OB =180令y =42,则x =80±40∴BC =DE =80.∵OC =OB +BC =260.∵260<274,∴乒乓球仍落在球桌上··········6分26解：(1)22y ax ax =− ()2211a x x =−+−()21.a x a =−−∴抛物线的顶点坐标为()1,a −·2分(2)1 3.k −<<. ·4分(3)123y y y a <<≤−,且顶点坐标为()1,a −,∴抛物线开口向下∴0a <.点()()131,,3,A m y C m y −+关于直线1x =对称的点的坐标分别为 ()()13'3,,'1,.A m y C m y −−−∵13213,m m m y y y −<<+<<,∴点A ,B ,C 不可能在对称轴的同侧.∴点A 在对称轴左侧，点C 在对称轴右侧.当点B 在对称轴左侧或在对称轴上时，可得111,1m m m m m >−−⎧⎪−−>−⎨⎪≤⎩解得102m −<<. 当点B 在对称轴右侧时，可得133,3m m m m m >⎧⎪+>−⎨⎪<−⎩此时不等式组无解．综上所述，m 的取值范围为102m −<<·6分 27.(1)证明：∵将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE , ∴,EAD a AD AE ∠==.∵BAC a ∠=,∴BAC EAD ∠=∠.∴BAC BAD EAD BAD ∠−∠=∠−∠,即DAC EAB ∠=∠, 在ACD V 和ABE V 中，,,.AC AC DAC EAB AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD ABE SAS ≅V V .∴ABE C ∠=∠.∵AB =AC ,∴ABC C ∠=∠.∴ABE ABC ∠=∠.∴BA 平分EBC ∠·3分(2)解：补全图形如图，EF =CG .理由如下:在AB 上取一点M ,使得BM =CG ,连接EM .∵CG ∥AB ,∴,ABC DCG BFG CGD ∠=∠∠=∠.∴EBM DCG ∠=∠.由(1)知ACD ABE ≅V V ,∴EB =CD .在EBM V 和DCG V 中,,.EB DC EBM DCG BM CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EBM DCG SAS ≅V V ,∴EM =DG ，EBM DCG ∠=∠.∵180,180EMB EMF EFM DFM ∠+∠=︒∠+∠=︒, ∴EMF EFM ∠=∠.∴EM =EF .∴EF =DG . ·7分28.解：(1)①画图略，点P '坐标为(3,-2)；点Q 坐标为(1,-2) ·3分②11b −≤≤·5分 (2)122k ≤≤ ·7分。

2017中考数学一模试卷含答案解析

2017年中考数学一模试卷一、选择题1．的平方根是（）A．±3 B．3 C．±9 D．92．用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．下面计算一定正确的是（）A．b3+a3=2b6B．（﹣3pq）2=﹣9p2q2C．5y3+3y5=15y8D．b9÷b3=b34．如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）A．120°B．130°C．140° D．40°5．若反比例函数y=的图象过点（﹣2，1），则一次函数y=kx﹣k的图象过（）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．87．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．8．在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为（）A．（3，4） B．（﹣4，3）C．（﹣3，4）D．（4，﹣3）9．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b二、填空题11．分解因式：ab2﹣4ab+4a=．12．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP面积为2，则这个反比例函数的解析式为．13．如图，已知点P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作▱ABCD．若AB=，则▱ABCD面积的最大值为．[选做题]请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分14．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是．15．用科学计算器计算：cos32°≈．（精确到0.01）三、解答题16．计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2+．17．解分式方程：﹣=1．18．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．19．在某市开展的“读中华经典，做书香少年”读书月活动中，围绕学生日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是多少？（2）请将条形统计图补充完整．（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数．（4）根据本次抽样调查，试估计该市12000名初二学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时的多少人．20．如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．（1）求证：△ADE≌△ABF．（2）求△AEF的面积．21．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改进行驶，试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（取1.732）22．A、B两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B城，甲车到达B城1小时后沿原路返回．如图是它们离A城的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）求甲车返回过程中y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，求乙车的行驶速度．23．在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；（2）求点P（x，y）在函数y=﹣x+5图象上的概率．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．26．【问题探究】（1）如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF= AE，并说明理由；（2）如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；【问题解决】（3）如图③，A、B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路．点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置，并求出AM的长．（结果保留根号）2016年陕西省西安市XX中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．的平方根是（）A．±3 B．3 C．±9 D．9【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方运算，可得平方根、算术平方根．【解答】解：∵，9的平方根是±3，故选：A．2．用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】左视图是从左边看得到的视图，结合选项即可得出答案．【解答】解：所给图形的左视图为C选项说给的图形．故选C．3．下面计算一定正确的是（）A．b3+a3=2b6B．（﹣3pq）2=﹣9p2q2C．5y3+3y5=15y8D．b9÷b3=b3【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】利用合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行分析即可．【解答】解：A、b3+a3=2b6，计算错误；B、（﹣3pq）2=﹣9p2q2，计算错误；C、5y3+3y5=15y8，计算错误；D、b9÷b3=b3，计算正确；故选：D．4．如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）A．120°B．130°C．140° D．40°【考点】平行线的判定与性质．【分析】首先根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，再根据平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可得∠4的度数．【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3=∠5，∵∠3=40°，∴∠5=40°，∴∠4=180°﹣40°=140°，故选：C．5．若反比例函数y=的图象过点（﹣2，1），则一次函数y=kx﹣k的图象过（）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限【考点】一次函数图象与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】首先利用反比例函数图象上点的坐标特征可得k的值，再根据一次函数图象与系数的关系确定一次函数y=kx﹣k的图象所过象限．【解答】解：∵反比例函数y=的图象过点（﹣2，1），∴k=﹣2×1=﹣2，∴一次函数y=kx﹣k变为y=﹣2x+2，∴图象必过一、二、四象限，故选：A．6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．8【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．【解答】解：如图，满足条件的点M的个数为6．故选C．分别为：（﹣2，0），（2，0），（0，2），（0，2），（0，﹣2），（0，）．7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】先求出每个不等式的解集再求出其公共解集．【解答】解：该不等式组的解集为1＜x≤2，故选C．8．在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为（）A．（3，4） B．（﹣4，3）C．（﹣3，4）D．（4，﹣3）【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【分析】如图，把线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置看作是把Rt△OPA 绕点O逆时针旋转90°到RtOP′A′，再根据旋转的性质得到OA′、P′A′的长，然后根据第二象限点的坐标特征确定P′点的坐标．【解答】解：如图，OA=3，PA=4，∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，∴OA旋转到x轴负半轴OA′的位置，∠P′A′0=∠PAO=90°，P′A′=PA=4，∴P′点的坐标为（﹣3，4）．故选C．9．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°【考点】菱形的性质．【分析】连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF=∠CDF，根据已知可注得∠CBF的度数，则∠CDF也就求得了．【解答】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF∴△BCF≌△DCF∴∠CBF=∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°∴∠ABF=∠BAF=40°∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°∴∠CDF=60°．故选D．10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由二次函数的性质，即可确定a，b，c的符号，即可判定A是错误的；又由对称轴为x=﹣，即可求得a=b；由当x=1时，a+b+c＜0，即可判定C错误；然后由抛物线与x轴交点坐标的特点，判定D正确．【解答】解：A、∵开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故A选项错误；B、∵对称轴：x=﹣=﹣，∴a=b，故B选项错误；C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0，故C选项错误；D、∵对称轴为x=﹣，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2，∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故D选项正确．故选D．二、填空题11．分解因式：ab2﹣4ab+4a=a（b﹣2）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．【解答】解：ab2﹣4ab+4a=a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）=a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）故答案为：a（b﹣2）2．12．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP面积为2，则这个反比例函数的解析式为．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，所以△AOB的面积=△ABP的面积=2，然后根据反比例函数中k的几何意义，知△AOB的面积=|k|，从而确定k的值，求出反比例函数的解析式．【解答】解：设反比例函数的解析式为．∵△AOB的面积=△ABP的面积=2，△AOB的面积=|k|，∴|k|=2，∴k=±4；又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，∴k＞0．∴k=4．∴这个反比例函数的解析式为．13．如图，已知点P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作▱ABCD．若AB=，则▱ABCD面积的最大值为2．【考点】平行四边形的性质；三角形的面积．【分析】由已知条件可知AC=2，AB=，应该是当AB、AC是直角边时三角形的面积最大，根据AB⊥AC即可求得．【解答】解：由已知条件可知，当AB⊥AC时▱ABCD的面积最大，∵AB=，AC=2，==，∴S△ABC∴S▱ABCD=2S△ABC=2，∴▱ABCD面积的最大值为2．故答案为：2．[选做题]请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分14．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是15．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形内角和定理列出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得，=156°，解得，n=15，故答案为：15．15．用科学计算器计算：cos32°≈ 2.68．（精确到0.01）【考点】计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方．【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据精确度的概念用四舍五入法取近似数．【解答】解：cos32°=3.1623×0.8480≈2.68，故答案为2.68．三、解答题16．计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2+．【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．【分析】涉及绝对值、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂、二次根式的运算等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2+，=|2﹣|﹣1+4+，=2﹣﹣1+4+，=5．17．解分式方程：﹣=1．【考点】解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2﹣5x+6﹣3x﹣9=x2﹣9，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．18．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】要使三棵树都在花坛的边上则应使花坛为△ABC的外接圆，故只要作出三角形两边垂直平分线的交点即为△ABC的外接圆圆心，再以此点为圆心，以此点到点A的长度为半径画圆，此圆即为花坛的位置．【解答】解：①分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于D、E两点，连接DE；②分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于G、F两点，连接GF；③直线DE与GF相交于点O，以O为圆心，以OA的长为半径画圆，则此圆即为花坛的位置．19．在某市开展的“读中华经典，做书香少年”读书月活动中，围绕学生日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是多少？（2）请将条形统计图补充完整．（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数．（4）根据本次抽样调查，试估计该市12000名初二学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时的多少人．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据第一组的人数是30，占20%，即可求得总数，即样本容量；（2）利用总数减去另外两段的人数，即可求得0.5～1小时的人数，从而作出直方图；（3）利用360°乘以日人均阅读时间在1～1.5小时的所占的比例；（4）利用总人数12000乘以对应的比例即可．【解答】解：（1）样本容量是：30÷20%=150；（2）日人均阅读时间在0.5～1小时的人数是：150﹣30﹣45=75（人）．；（3）人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数是：360°×=108°；（4）12000×=9600（人）．20．如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．（1）求证：△ADE≌△ABF．（2）求△AEF的面积．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由E、F分别为DC、BC中点，得出DE=BF，进而证明出两三角形全等；=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF得（2）首先求出DE和CE的长度，再根据S△AEF出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠D=∠B=90°，DC=CB，∵E、F为DC、BC中点，∴DE=DC，BF=BC，∴DE=BF，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2，=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF∴S△AEF=4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2=6．21．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改进行驶，试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（取1.732）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】首先过点A作AH⊥CF于点H，易得∠ACH=60°，然后利用三角函数的知识，求得AH的长，继而可得消防车是否需要改进行驶．【解答】解：如图：过点A作AH⊥CF于点H，由题意得：∠MCF=75°，∠CAN=15°，AC=125米，∵CM∥AN，∴∠ACM=∠CAN=15°，∴∠ACH=∠MCF﹣∠ACM=75°﹣15°=60°，∴在Rt△ACH中，AH=AC•sin∠ACH=125×≈108.25（米）＞100米．答：消防车不需要改道行驶．22．A、B两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B城，甲车到达B城1小时后沿原路返回．如图是它们离A城的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）求甲车返回过程中y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，求乙车的行驶速度．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设出一次函数解析式，代入图象上的两个点的坐标，即可解答；（2）把x=6代入（1）中的函数解析式，求得路程（甲、乙距A城的距离），进一步求得速度即可解答．【解答】解：（1）设甲车返回过程中y与x之间的函数解析式y=kx+b，∵图象过（5，450），（10，0）两点，∴，解得，∴y=﹣90x +900．函数的定义域为5≤x ≤10；（2）当x=6时，y=﹣90×6+900=360，（千米/小时）．23．在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x ，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y ，这样确定了点P 的坐标（x ，y ）．（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P 所有可能的坐标；（2）求点P （x ，y ）在函数y=﹣x +5图象上的概率．【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）首先根据题意画出表格，即可得到P 的所以坐标；（2）然后由表格求得所有等可能的结果与数字x 、y 满足y=﹣x +5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：列表得：（1）点P所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种；（2）∵共有12种等可能的结果，其中在函数y=﹣x+5图象上的有4种，即：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）∴点P（x，y）在函数y=﹣x+5图象上的概率为：P=．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA ⊥PA，从而得出结论；（2）利用含30°的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径．【解答】（1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵，∴．∴⊙O的直径为．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据平移规律写出抛物线解析式，再求出M、A、B坐标即可．（2）首先证明△ABE∽△AMF，推出的值，∠BAM=90°，根据tan∠ABM=即可解决问题．（3）分点P在x轴上方或下方两种情形解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣3，∴顶点M（1，﹣3），令x=0，则y=（0﹣1）2﹣3=﹣2，∴点A（0，﹣2），x=3时，y=（3﹣1）2﹣3=4﹣3=1，∴点B（3，1），（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，∵EB=EA=3，∴∠EAB=∠EBA=45°，同理可求∠FAM=∠FMA=45°，∴△ABE∽△AMF，∴==，又∵∠BAM=180°﹣45°×2=90°，∴tan∠ABM==，（3）过点P作PH⊥x轴于H，∵y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2，∴设点P（x，x2﹣2x﹣2），①点P在x轴的上方时，=，整理得，3x2﹣7x﹣6=0，解得x1=﹣（舍去），x2=3，∴点P的坐标为（3，1）；②点P在x轴下方时，=，整理得，3x2﹣5x﹣6=0，解得x1=（舍去），x2=，x=时，y=x2﹣2x﹣2=，∴点P的坐标为（，），综上所述，点P的坐标为（3，1）或（，）．26．【问题探究】（1）如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF= AE，并说明理由；（2）如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；【问题解决】（3）如图③，A、B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路．点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置，并求出AM的长．（结果保留根号）【考点】作图—应用与设计作图．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，得出EF=AE；（2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时最小，进而求出即可；（3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求，在Rt△ABD中，求出AD的长，在Rt△MBD中，得出MD的长，即可得出答案．【解答】解：（1）如图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求．理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点，∴∠BAD=30°，∵EF⊥AB，∴EF=AE；（2）如图②，作CN⊥AB，垂足为点N，交AD于点M，此时最小，最小为CN的长．∵△ABC是边长为2的正△ABC，∴CN=BC•sin60°=2×=，∴MN+CM=AM+MC=，即的最小值为．（3）如图③，作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求．在Rt△ABD中，AD===480（km），在Rt△MBD中，∠MBD=∠MAF=30°，得MD=BD•tan30°=（km），所以AM=km．2017年3月19日。

北京市2017中考数学试题(解析版)

2016年市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。

1. 如图所示，用量角器度量∠AOB ，可以读出∠AOB 的度数为（A ） 45° （B ） 55° （C ） 125° （D ） 135° 答案：B考点：用量角器度量角。

解析：由生活知识可知这个角小于90度，排除C 、D ，又OB 边在50与60之间，所以，度数应为55°。

2. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28 000公里。

将28 000用科学计数法表示应为（A ）（B ） 28（C ）（D ）答案：C考点：本题考查科学记数法。

解析：科学记数的表示形式为10n a ⨯形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，28000＝。

故选C 。

3. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ） a （B ）（C ）（D ）答案：D考点：数轴，由数轴比较数的大小。

解析：由数轴可知，－3＜a ＜－2，故A 、B 错误；1＜b ＜2，－2＜－b ＜－1，即－b 在－2与－1之间，所以，。

4. 角和为540的多边形是答案：ｃ考点：多边形的角和。

解析：多边形的角和为(2)180n-⨯︒，当n＝5时，角和为540°，所以，选C。

5. 右图是某个几何体的三视图，该几何体是（A）圆锥（B）三棱锥（C）圆柱（D）三棱柱答案：D考点：三视图，由三视图还原几何体。

解析：该三视图的俯视为三角形，正视图和侧视图都是矩形，所以，这个几何体是三棱柱。

6. 如果,那么代数2()b aaa a b--的值是（A）2 （B）-2 （C）（D）答案：A考点：分式的运算，平方差公式。

解析：2()b aaa a b--＝22a b aa a b--＝()()a b a b aa a b-+-＝a b+＝2。

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B.1.3 ， 1.3 D.1.4 ， 1.3
5. 如图， AB∥ CD,直线 EF分别交 AB，CD于 M，N两点，将一个含有
∠ EMB=75°，则∠ PNM等于
A.15 °
B.25 °
C.30
°
D.45 °
45°角的直角三角形按如图所示的方式摆放，若
6. 下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同
2017 北京市东城初三（一模）数
学
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的 .
1. 数据显示， 2016 年我国就业增长超出预期，全年城镇新增就业
1314 万人，高校毕业生就业创业人数再创新高，
将数据 1314 用科学计数法表示应为
A.1.314 × 103
1
（ 1）分别以 A， B 为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点
2
（ 2）作直线 CD交 AB于点 O （ 3）以 O为圆心， OA长为半径作圆，则 O 即为所求作的 .
C， D；
请回答：该作图的依据是
三、解答题（本题共 72 分，第 17~26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）
3
（ 2）若点 P 在 x 轴上，且 S = △ACP S△BOC，求点 P 的坐标 . （直接写出结果）
2
y A
C
O
x
B
22. 列方程或方程组解应用题：
在某常 CBA比赛中，某位运动员的技术统计如下表所示：
技术上场时间
出手投篮
投中
罚球得分
（分钟）
（次）
（次）
（分）
数据
38
27
11
6
注：（ 1）表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；
A.
B.
7. 我国传统建筑中，窗框（如图
图形，其对称轴有
A.1 条
B.2 条
C.
D.
1）的图案玲珑剔透、千变万化 . 如图 2，窗框的一部分所展现的图形是一个轴对称
C.3 条
D.4 条
8. 如图，点 A， B 的坐标分别为（ 2, 0），（ 0, 1），若将线段 AB平移至 A1B1，则 a+b 的值为
A.2
B.3
C.4
D.5
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9. 某经销商销售一批电话手表，第一个月以
550 元/ 块的价格售出 60 块，第二个月起降价，以 500 元 / 块的价格将
这批电话手表全部售出，销售总额超过了．．． 5.5 万元，这批电话手表至少有
A.103 块
B.104 块
C.105 块
D.106 块
10. 图 1 是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边△ ADE和正方形 ABCD组成，正方形 ABCD两条对角线
14. 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为
.
15. 北京市 2012— 2016 年常住人口增量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估
2017 年北京市常住人口增
量约为
万人，你的预估理由是
.
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16. 下面是“以已知线段直径作圆”的尺规作图过程
已知：线段 AB 求作：以 AB为直径的 O 作法：如图，
4 只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出
1 只球，则取出黑球的概率是
1
1
1
A.
B.
C.
2
3
4
4. 某健步走运动的爱好者用手机软件记录了某几个月（
1
D.
6
30 天）每天健步走的步数（单位：万步）
，将记录结果绘制
成了如图所示的统计图 . 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是
A.1.2 ， 1.3 C.1.4 ， 1.35
于点 M， N，作直线 MN，交 BC于点 D，连接 AD，求 BAD 的度数 .
A
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B
D
C
21. 如图，在平面直角坐标系
xOy中，直线 y
kx b （ k
0 ）与双曲线 y
6
相交于点.
（ 1）求直线 y kx b （ k 0）的解析式；
17. 计算： 12 2sin 60
1
01 2
2
x +1 2x + 2
18. 解不等式
>
- 1, 并写出他的所有正整数解 .
2
3
19. 先化简，再求值： 1 2 x
x 2 x 4 , 其中 2x2 4x 1 0 . x 2 x+2
20. 如图，在△ ABC中 , B 55 , C 30 ，分别以点 A 和点 C为圆心，大于 1 AC 的长为半径画弧，两弧相交 2
11. 分解因式： ab2 - 2ab + a=
.
12. 请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向上；②与
y 轴的交点坐标为（ 0， 1），此二次函数的解析式
可以是
.
13. 若关于 x 的一元二次方程 x2 + 2(k - 1)x + k2 - 1 = 0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 .
交于点 O，在 AD的中点 P 处放置了一台主摄像机，游戏参与者行进的时间为
x，与主摄像机的距离为 y，若游戏参
与者匀速前进，且表示 y 与 x 的函数关系大致如图 2 所示，则游戏参与者的行进路线可能是
图1
图2
A. A→ O→ D
B. E→ A→ C
C. A→ E→ D
D. E→ A→ B
二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）
B.1.314 × 104
C.13.14 × 102
D.0.1314 ×104
2. 实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A. a ＜ b
B. a＞ b
C. b＞a
D. a＞ 2
3. 在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球
2 只，红球 6 只，黑球
（ 2）连接 BE，若 BE AF , BFA 60 , BE 2 3 , 求平行四边形 ABCD的周长 .
A
D
E
B
C
F
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24，阅读下列材料 :
“共享单车”是指企业与政府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区，公共服务区等提供自行车共
享的一种服务，是共享经济的一种新形态．共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择，自行车也代替了一
（ 2）总得分 =两分球得分 +三分球得分 +罚球得分 .
根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个
篮板助攻
（个）（次）
3
4
个人总得分（分） 33
.
23. 如图，四边形 ABCD为平行四边形，（ 1）求证： BF=CD；
BAD 的角平分线 AF交 CD于点 E，交 BC的延长线于点 F.