18六年级奥数专题十八：取整计算

六年级奥数专题十八：取整计算
关键词：整除计算奥数小数整数运算符号个数年级部分
任何一个小数（或分数）都可以分成整数和纯小数（或真分数）两部分。

在数学计算中，有时会略去数字的小数部分，而只取它的整数部分。

比如，做
得到正确答案是2件。

为了方便，我们引进符号［］：
［a］表示不超过数a的最大整数，称为a的整数部分。

与+，-，×，÷符号一样，符号［］也是一种运算，叫取整运算。

显然，取整运算具有以下性质：对于任意的数字a，b，
（1）［a］≤a；
（2）a≤［a］＋1；
（3）［a］＋［b］≤［a＋b］；
（4）若a≤b，则［a］≤［b］；
（5）若n是整数，则［a＋n］=［a］＋n。

同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。

例1计算［13÷［π］×4］。

解：［13÷［π］×4］
［13÷3×4］
例2 1000以内有多少个数能被7整除？
分析与解：同学们在三年级“包含与排除”一节中就见过这类题目，现在我们用取整运算来重新计算。

1000以内能被7整除的数，从1开始每7个数有1个，所以共有
例3 求1～1000中能被2或3或5整除的数的个数。

都被重复计算了，应当减去。

另外，同时能被2，3，5整除的数，开始被加了三遍，后来又被减了三遍，所以还应当补上。

例4 1000以内有多少个数既不是3也不是7的倍数？
分析：在1～1000中，除去“既不是3也不是7的倍数”的数，剩下的数或者是3的倍数，或者是7的倍数。

用例3的方法可求出这部分数的个数。

1000与这部分数的个数之差即为所求。

例5求下式约简后的分母：
分析与解：因为6=2×3，所以分母中的500个6相乘，等于2500×3500。

只要我们求出分子中有多少个因子2、多少个因子3，就可以与分母中的因子2和因子3约分了。

因为分子的1000个因数中有500个偶数，所以至少有500 个因子2，这样分母中的500个因子2将被全部约掉。

分子中有因子3的数，有的只有1个因子3，有的有2个因子3，等等。

因为
36=729＜1000＜37＝2187，所以分子的每个因数最多有6个因子3。

与分母约分后，分母还剩两个因子3。

所以，约简后的分母是9。

注意：在上面的计算中，并不需要真的这样计算。

因为式中的分子都是1000，分母依次是3，32，33，…后面一个是前面一个的3倍，所以在取整运算中，只需口算：1000除以3等于333（小数部分舍掉，下同），333除以3等于111，111除以3等于37，37除以3等于12，12除以3等于4，4除以3等于1。

于是得到[小精灵儿童网站]。