1.4生活中的优化问题举例第4课时精品教案

1.4.4 生活中的优化问题举例
【教课目的】：
（1）知识与技术：生活中常常碰到求收益最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题都是优化问题，感觉解决这些优化问题（也称最值问题）的特别现实的意义。

（2）感情态度与价值观：让学生充足领会到生活中到处有数学。

（3 ）过程与方法：培育学生主动发现问题、剖析问题、解决问题的能力，进一步培育学生应用数学的意识 , 领会导数在解决实质问题中的作用 .
【教课要点】：
正确理解求最优化问题的意义；
【教课难点】：
数学模型的成立；
【教课打破点】：
查漏补缺，实时纠正，学习中存在的问题
【教法和学法设计】：
教法：情形研究，师生互动。

学法：自主研究，合作沟通。

【课前准备】： Powerpoint
【教课过程设计】：
教课活动设计企图教课环节
一、※作业存在的问题：
练习格式问题
评讲求导过程不熟习
．．．．．．．．
※《同步》习题二、房价应订为多少查漏补缺，实时纠正，学习中存在的问题
补增补例题：某旅馆有５０个房间供游旅居住，当每个房间每日的订价为１８０元时，房间会
充
所有住满；房间的单价每增添１０元，就会有练
一个房间安闲．假如游旅居住宅间，旅馆每日习每间需花销２０元的各样维修费．房间订价多少时，旅馆的收益最大？
解:设旅馆订价为 (180＋10x)元时，旅馆的收益Ｗ最大经过实例创建问题情境，培育学生的分析能力，激发他们的学习兴趣。

练习练习 2：已知某商品为 a 元／件，依据过去经验，当售价
是 b（ b≥
4a
）元／件时，可卖出 c 件，市场检查表
3
明，当售价降落 10％时，销量可增添４ 0％，现决定一
次性降价，当售价定为多少时，可获取的收益最大？
让学生
充足发布
建议，指引
学生发现
问题、思虑
问题
练习：用总长的钢条制成一个长方体容器的框
架，假如所制做容器的底面的一边比另一边长，
那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容
积。

解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为x 0.5 m，高
为 4 x
4
4 x 2x
由2x 0 和 x 0 ，得0 x ，
设容器的容积为ym 3，设置这个则有 y x x 2x 0 x
练习，既能够
提升
培育学生独立整理，得 y 2x 3 2.2 x 2 ，
思虑的能力，
练习
∴ y 6x 2 x 1.6 令 y 0 ，有6x 2 0 ，又可加强对优
即15 x 2 11 4 0 ，化问题的理
x
4 解，
解得x 1，x
2 （不合题意，舍去）。

1 15
进而，在定义域（0， 1， 6）内只有在x 1处使 y 0 。

由题意，若 x 过小（靠近0）或过大（接受）时，y值很小
（靠近0），所以，当x 1 时y获得最大值
y
最大值 2 1.8 ，
这时，高为 2 1 1.2 。

答：容器的高为 1.2m 时容积最大，最大容积为 3
解决优化问题的方法之一：经过收集大批的统计数据，
成立与其相应的数学模型，再经过研究相应函数的性
质，提出优化方案，使问题获取解决．在这个过程中，
导数常常是一个有益的工具。

小结
优化问题用函数表示的数学识题
优化问题的答案
用导数解决数学识题
教课过程也是学生的认知过程，只有学生主动踊
跃地参加教课活动才能收到优秀的成效．所以，本课
采纳启迪引诱、实例研究、讲练联合的教课方法，揭
露知识的发生和形成过程．这类教课方法以“生动探
设计索”为基础，先“指引发现” ，后“讲评点拨” ，让学
生在战胜困难与阻碍的过程中充足发挥自己的察看
反省
力、想象力和思想力，再加上多媒体的运用，使学生
真实成为学习的主体。

作业：Ｐ 74 11、12
作业
练习与测试 :
1、甲方是一农场，乙方是一工厂. 因为乙方生产须占用甲方的资源，所以甲方
有权向乙方索赔以填补经济损失并获取必定净收入，在乙方不赔付甲方的状况
下，乙方的年收益x（元）与年产量 t（吨）知足函数关系x 2000 t .若乙方每生产一吨产品一定赔付甲方s 元（以下称 s 为赔付价钱），
（1）将乙方的年收益 w（元）表示为年产量 t（吨）的函数，并求出乙方获取最大收益
的年产量；
（ 2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0.002t 2（元），在乙方按照获取最大收益的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获取最大净收入，
应向乙方要求的赔付价钱s 是多少？
解：（ 1）因为赔付价钱为s 元 /吨 ,所以乙方的实质年收益为：w 2000 t st .
由 w '
1000 s 1000
s t
，令 w ' 0 得 t t 0
(1000 ) 2 .
t t
s
当 t
t 0 时， w ' 0 ；当 t t 0 时 w' 0 ，所以 t t 0 时， w 获得最大值 .
所以乙方获得最大年收益的年产量 t 0 ( 1000 )2（吨） .
（2）设甲方净收入为
v 元，则
s
v st
0.002t 2 .
将 t
( 1000 )2 代入上式，获取甲方净收入
v 与赔付价钱 s 之间的函数关系式
s
v 10002 2 1000 3
.
s
s 4
又 v'
10002 8 10003
10002 (8000 s 3 )
0 ，得 s 20 .
s 2
s 5
s 5
，令 v '
当 s
20 时， v ' 0 ；当 s 20 时， v ' 0 ，所以 s 20 时， v 获得最大值 .所以甲方向乙
方要求赔付价钱 s 20 （元 /吨）时，获最大净收入。

2、请您设计一个帐篷。

它下部的形状是高为
1m 的正六 O
棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所 示）。

试问当帐篷的极点 O 究竟面中心 o 1 的距离为多少时， 帐篷的体积最大？
解：设 OO 1 为 x m ，则 1 x 4
O 1
由题设可得正六棱锥底面边长为：
32 (x 1) 2
8 2x
x 2 ，（单位： m ）
故底面正六边形的面积为：
6 3 (
8 2x x 2 )2
= 3 3 (8 2x
x 2 ) ，（单位： m 2 ）
4
2
帐篷的体积为：
V （ x ）
3 2 3
(8 2x
x 2 ) [ 1 ( x 1) 1] 3
(16 12x x 3 ) （单位： m 3 ）
3
2
求导得 V'（ x ）
3
(12 3x 2 ) 。

2
令 V'（ x ） 0 ，解得 x
2 （不合题意，舍去） ， x 2 ，
当 1 x 2
时，
V'（ x ） 0
， V （ x ）
为增函数；
当 2 x 4 时， V'（x ） 0， V （x ）为减函数。

∴当 x 2 时，
最大。

V （x ）
答：当 OO 1为 2 m 时，帐篷的体积最大，最大概积为
16
3 m 3。

3、如图 4，某地为了开发旅行资源， 欲修筑一条连结景色点
P 和居民区 O 的公路，点P 所
在的山坡面与山脚所在水平面
所成的二面角为
（ 0
90 ），且 sin
2
，点P 到
5
平面
的距离
PH
（ km ）．沿山脚原有一段笔挺的公路
AB 可供利用．从点
O 到山脚
修路的造价为
a 万元
/km ，原有公路改建花费为
a
万元 /km ．当山坡上公路长度为
l
km
2
（ 1≤ l ≤ 2 ）时，其造价为 (l 2 1)a 万元． 已知 OA ⊥ AB ， PB ⊥ AB ， AB 1.5(km) ，
OA3(km) ．
（ I ）在 AB 上求一点 D ，使沿折线 PDAO 修筑公路的总造价最小；
（ II ） 关于（ I ）中获取的点 D ，在 DA 上求一点 E ，使沿折线 PDEO 修筑公路的总造价
最小．
解：（ I ）如图， PH ⊥ ， HB
，PB ⊥AB ，
由三垂线定理逆定理知，
AB ⊥ HB ，所以 PBH 是
山坡与 所成二面角的平面角，则 PBH ，
A
PB PH
1．
O
sin
P
设 BD
x(km) ， 0≤ x ≤ ．则
E D
H
B
PD
x 2 PB 2 x 2 1 [1，2] ．
记总造价为 f 1 ( x) 万元，
据题设有 f 1 ( x)
(PD 2 1
1
AD AO)a ( x 2 1 x 11 3)a
2 2 4
2
43
x 1 a 3 a
4 16
当 x 1 1
f 1( x) 最小．
，即 BD (km) 时，总造价
4 4
（II ）设 AE
y(km) ， 0 ≤ y ≤ 5
，总造价为 f 2 ( y) 万元，依据题设有
4
f 2 ( y)
PD
2
1
y
2
3 1 3 1 y a y
2
3 y a
43
a ．
2 2 4
2 16
则 f2 y
y 1
0 ，得y 1．y2 3
a ，由 f2 ( y)
2
当 y (01)，时，f2 ( y) 0 ，f2( y)在(0，1)内是减函数；
当y
5 时，
f2 ( y) 0 ，f2( y)在 5
1，1，内是增函数．4 4
故当 y 1，即AE 1 （km）时总造价f 2 ( y) 最小，且最小总造价为67
a 万元．
16。