陕西师范大学附属中学、渭北中学等2022-2023学年高三上学期期初联考理科数学试题(含答案)

陕西师大附中渭北中学高2023届高三第一学期期初检测
数学（理科）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合{
}
{}2,1A x y x Z B y y x ==
∈==-，则A B =（ ）
A ．[2,2]-
B ．[1,2]-
C ．{2,1,0,1,2}--
D ．{1,0,1,2}- 2．已知复数z 满足(1i)i 23i z ++=+，则||z =（ ）
A ．2
B ．3
C
D ．3．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）
A ．1
3 B ．
12 C ．23 D ．16
4．已知空间中的两个不同的平面,αβ，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“m α∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
5．如图，角,αβ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，则OA OB ⋅=（ ）
A ．cos()αβ-
B ．cos()αβ+
C ．sin()αβ-
D ．sin()αβ+
6．下列四个函数：①23y x =+；②1y x
=；③2x
y =；④1
2y x =，其中定义域与值域相同的函数的个数为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．根据祖暅原理，对于3D 打印制造的零件，如果能找到另一个与其高相等，并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算几何体的体积得到打印的零件的体积．现在要用3D 打印技术制造一个高为2的零件，该零件的水平截面面积为S ，随高度h 的变化而变化，变化的关系式为
()2()4(02)S h h h π=-≤≤，则该零件的体积为（ ）
A ．
43π B ．83π C ．163π D ．323
π
8．若()2|sin |cos f x x x =，则（ ） A ．图像关于直线4x π=
对称 B ．图像关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．最小正周期为π D ．在,44ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增 9．设11
0,022
a b <<
<<，随机变量ξ的分布列是（ ）
则当a 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
内增大时，（ ）
A ．()E ξ增大，()D ξ增大
B ．()E ξ增大，()D ξ减小
C ．()E ξ减小，()
D ξ增大 D ．()
E ξ减小，()D ξ减小
10．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且()f x 在区间(1,0)-上递减若125a f -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
(ln2)b f =-，()3log 18c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ．c b a <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
11．函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）
A ．向左平移
6π个单位长度 B ．向左平移12π
个单位长度 C ．向右平移
6π个单位长度 D ．向右平移12
π个单位长度 12．已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,F F ，它们的离心率分别为12,e e ，P 是它们的一个公共点，且
1223
F PF π
∠=
．若12e e =，则2e =（ ）
A ．
12+ B ．2 C ．2 D ．2
2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量,a b 满足||2,(2,2)a b ==，且|2|6a b +=，则||a b +=_________．
14．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．若,4,3
A b ABC π
==△的面积为sin B =
__________．
15．已知关于x 的不等式2
0(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为{34}x x <<，则25
c a b
++的取值范围为
____________．
16．设函数2,1
()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩
’
①若1a =，则()f x 的最小值为_____________；
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是______________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题．考生根据要求作答．
17．在ABC △C 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos a B c B b C -=． （1）求角B 的大小；
（2）若点D 为BC 的中点，且AD b =，求
sin sin A
C
的值． 18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某城市自2021年起全面推行家庭医生签约服务．已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．
（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；
（2）据统计，该城市被访者的签约率约为44%．为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由．
19．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长2
的等边三角形，PA PC ==F 在线段BC 上，
且3FC BF =，D 为AC 的中点，E 为的PD 中点．
（1）求证：EF ∥平面PAB ；
（2）若二面角P AC B --的平面角的大小为
23
π
，求直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值． 20．已知抛物线2
:2(0)C y px p =>，O 是坐标原点，F 是C 的焦点，M 是C 上一点，||4,120FM OFM =∠=︒．
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）设点()0,2Q x 在C 上，过Q 作两条互相垂直的直线,QA QB ，分别交C 于A ，B 两点（异于Q 点）． 证明：直线AB 恒过定点． 21．已知函数2211()ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫
=--+
⎪⎝⎭
．
（1）若()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 的值；
（2）当
1344a e <<时，设函数()
()f x g x x
=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy 中，曲线M
的参数方程为11x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈），直线1l 的参
数方程为tan x t y t
α=⎧⎨=⋅⎩（t 为参数，0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭），直线21l l ⊥垂足为O ．以O 为坐标原点，x 轴非负半轴为
极轴建立极坐标系．
（1）分别求出曲线M 与直线2l 的极坐标方程；
（2）设直线12l l 、分别与曲线M 交于A 、C 与B 、D ，顺次连接A 、B 、C 、D 四个点构成四边形ABCD ，求
2222||||||||AB BC CD DA +++．
23．【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()||2|1|f x x a x =++-．
（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；
（2）若[1,2]x ∃∈，使得不等式2
()f x x >成立，求实数a 的取值范围．
陕西师大附中渭北中学高2023届高三第一学期期初检测
数学（理科）答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14 15．)+∞ 16．①1-；②1,1[2,)2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23为选考题考生根据要求作答）
17．【本题满分12分】
解：（1）∵2cos cos cos a B c B b C -=．
∴由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=． ∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=． 又∵(0,)A π∈，即sin 0A >．
∴1
cos 2
B =
． 又∵(0,)B π∈．
∴3
B π
=
．
②∵在ABD △中，由余弦定理可得2
2
222cos 242a a ac b c ac B c ⎛⎫
=+-=+- ⎪⎝⎭
．
在ABC △中，由余弦定理可得22222
2cos b a c ac B a c ac =+-=+-．
∴222242
a ac c a c ac +-=+-，即32a c =． ∴在ABC △中，由正弦定理可得sin 2
sin 3
A a C c ==． 18．【本题满分12分】
解：（1）由图1知，该城市年龄在50-60岁，60-70岁，70-80岁，80岁以上的居民人数分别为：
0.015101000150⨯⨯=万，0.01101000100⨯⨯=万，0.00410100040⨯⨯=万，
(0.00250.0005)10100030+⨯⨯=万．
由图2知，该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数：
1500.5571000.617400.7300.758195.99⨯+⨯+⨯+⨯=万．
（2）由图1，图2可得：
年龄在10-20岁的人数为：0.00510100050⨯⨯=万 年龄在20-30岁的人数为：0.018101000180⨯⨯=万
所以，年龄在18-30岁的人数大于180万，小于230万，签约率为30.3%．
年龄在30-50岁的人数为：(0.0210.016)101000370+⨯⨯=万，签约率为37.1%，
年龄在50岁以上的人数为：1501004030320+++=万，签约率超过55%，上升空间不大．
由以上数据可知这个城市在3050岁这个年龄段的人数为370万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率为
37.1%，非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高30-50这个年龄段
的签约率．
19．【本题满分12分】
解：（1）取AD 的中点M ，连接MF EM 、，因为E 为PD 的中点，D 为AC 的中点，所以EM PA ∥，
3CM AM =，又3FC BF =，所以MF AB ∥，
因为EM ⊄面PAB ，FM ⊄面PAB ，,PA AB ⊂面PAB ， 所以EM ∥面PAB ，FM ∥面PAB ，
又,,EM FM M EM FM =⊂面EFM ，
所以面EFM ∥面PAB ，
因为EF ⊂面EFM ，所以EF ∥平面PAB ；
（2）连接BD ，因为底面ABC 是边长2
的等边三角形，PA PC ==BD AC ⊥，PD AC ⊥，所
以PDB ∠为二面角P AC B --的平面角，即23
PDB π∠=
，
如图建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,4D A C P F ⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
，
所以133,,0,(2,0,0),(1,44DF CA CP ⎛⎫
=-
==-
⎪⎝⎭
， 设面PAC 的法向量为(,,)n x y z =，则20
n CA x n CP x
y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，
令y =
1,0z x =
=
，所以(0,3,1)n =，
设直线DF 与平面PAC 所成角为θ
，所以||
sin ||||
1
DF n DF n θ⋅=
=
=
⋅⎛-
故直线DF 与平面PAC
所成角的正弦值为28
； 20．【本题满分12分】
解：（1）由||4,120FM OFM =∠=︒，可得2,2p M ⎛+±
⎝，
代入2:122242p C p p p ⎛⎫=+=+
⎪⎝⎭
．解得2p =或6p =-（舍）
．从而2
:4C y x =． （2）由题意可得(1,2)Q ，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x my n =+，
设()()1122,,,A x y B x y ，由24y x x my n
⎧=⎨=+⎩，得2
440y my n --=，从而216160m n +>，
且12124,4y y m y y n +==-．又()2
1212242x x m y y n m n +=++=+，
()()()22212121212x x my n my n m y y mn y y n n =++=+++=，
∵QA QB ⊥，∴()()()()121211220QA QB x x y y ⋅=--+--=， 故()()121212121240x x x x y y y y -+++-++=，
整理得2246850n m n m ---+=．即2
2
(3)4(1)n m -=+，
从而32(1)n m -=+或32(1)n m -=-+，即25n m =+或21n m =-+．
若21n m =-+，则21(2)1x my n my m m y =+=-+=-+，过定点(1,2)，与Q 点重合，不符合： 若25n m =+，则25(2)5x my n my m m y =+=++=++，过定点(5,2)-． 综上，直线AB 过异于Q 点的定点(5,2)-． 21．【本题满分12分】 解：（1）()()ln f x x a x -'=．
因为()f x 在(0,)+∞单调递增，所以()0f x '≥，即()ln 0x a x -≥ （ⅰ）当1x >时，ln 0x >，则需0x a -≥，故min a x ≤，即1a ≤； （ⅱ）当1x =时，ln 0x =，则a R ∈；
（ⅲ）当01x <<时，ln 0x <，则需0x a -≤，故max a x ≥，即1a ≥． 综上述，1a =． （2）()11()ln 24f x g x x a x x a x ⎛⎫
=
=--+ ⎪⎝⎭
，11()ln 24a g x x x =-+'，21()2a g x x x '=+'． 因为
13
44
a e <<，所以()0g x ''>，所以()g x '在(0,)+∞单调递增
又因为13
(1)0,()04e 4
a g a g e ''=-+
<=-+>．所以存在0(1,)x e ∈，使()00g x '=， 且当()00,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 调递增． 故()g x 最小值为()000011ln ()24g x x a x x a h a ⎛⎫
=--+=
⎪⎝⎭
．
由()00g x '=，得00011ln 24a x x x =+，因此000031()ln ln 42h a x x x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．
令11()ln ,(1,)24x x x x x e τ=
+∈，则13
()ln 024
x x τ=+>'， 所以()x τ在区间(1,)e 上单调递增，又因为1344a e <<，且13
(1),()44
e e ττ==，
所以01x e <<，即0x 取遍(1,)e 的每一个值， 令2311131()ln ln (1),()ln ln (2ln 3)(ln 1)0422444x x x x x x e x x x x x ϕϕ⎛⎫
=-<<='--+=-+->
⎪⎝⎭
，
函数()x ϕ在(1,)e 单调递增．又e (1)0,()4e ϕϕ==，所以e
0()4
x ϕ<<， 故函数()h a 的值域为e 0,4⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
．
【选做题】请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写． 22．【本题满分10分】
解：（1）由M
的参数方程，可得cos sin θθ==，则22(1)(1)5x y -+-=，即22
223x y x y +--=，
∴曲线M 的极坐标方程为：2
2cos 2sin 3ρρθρθ--=．
由题设知：1l 的方程为为tan y x α=⋅，故1l 的极坐标方程为θα=，又21l l ⊥， ∴2l 为2π
θα=
+且0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
． （2）由题设知：()
22222222||||||||2||||||||AB BC CD DA OA OB OC OD +++=+++，
若1234||,||,||,||OB OD OA OC ρρρρ====，
联立2l 与2:2
2(cos sin )30
M πθαρρθθ⎧=+⎪⎨⎪-+-=⎩，可得12122(cos sin ),3ρρααρρ+=-=-， 联立1l 与2:2(cos sin )30M θαρρθθ=⎧⎨
-+-=⎩，可得34342(sin cos ),3ρρααρρ+=+=-， ∴()()22222212123434||||||||2220OA OB OC OD ρρρρρρρρ+++=+-++-=． ∴2222
||||||||40AB BC CD DA +++=．
23．【本题满分10分】
解：（1）当2a =时，()|2|2|1|f x x x =++-． 当2x ≤-时，()2224f x x x =---+≤，解得43
x ≥-，此时x ∈∅； 当21x -<≤时，()2224f x x x =+-+≤，解得0x ≥，此时01x ≤≤； 当1x >时，()2224f x x x =++-≤，解得43x ≤，此时413x <≤． 因此，当2a =时，不等式()4f x ≤的解集为40,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
； （2）当12x ≤≤时，2||2|1|x a x x ++->可化为2||22x a x x +>-+， 所以，222x a x x +>-+或2
22x a x x +<-+-，
即存在[1,2]x ∈，使得232a x x >-+或22a x x <-+-． 2
2313224a x x x ⎛⎫>-+=-- ⎪⎝⎭，因为[1,2]x ∈，所以21324x x -+≥-，则14a >-， 2
217224a x x x ⎛⎫<-+-=--- ⎪⎝⎭，因为[1,2]x ∈，所以222x x -+-≤-，所以2a <-， 因此，实数a 的取值范围为1(,2),4⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．。