福建福州市台江区达标名校2024届中考数学四模试卷含解析

福建福州市台江区达标名校2024届中考数学四模试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．下列命题中假命题是（）
A．正六边形的外角和等于B．位似图形必定相似
C．样本方差越大，数据波动越小D．方程无实数根
2．某春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩()m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数124332
这些运动员跳高成绩的中位数是（）
A．1.65m B．1.675m C．1.70m D．1.75m
3．下列说法不正确的是（）
A．某种彩票中奖的概率是
1
1000
，买1000张该种彩票一定会中奖
B．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查
C．若甲组数据的标准差S甲=0.31，乙组数据的标准差S乙=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定
D．在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件
4．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
5．点A（－1，），B（－2，）在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（）
A．＞B．=C．＜D．不能确定
6．李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如下：阅读时间（小时） 2 2.5 3 3.5 4 学生人数（名） 1 2 8 6 3 则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（）
A ．众数是8
B ．中位数是3
C ．平均数是3
D ．方差是0.34
7．在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．.
D ．
8．明明和亮亮都在同一直道A 、B 两地间做匀速往返走锻炼.明明的速度小于亮亮的速度(忽略掉头等时间).明明从A 地出发，同时亮亮从B 地出发.图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y(米)与行走时间x(分)的函数关系的图象，则( )
A ．明明的速度是80米/分
B ．第二次相遇时距离B 地800米
C ．出发25分时两人第一次相遇
D ．出发35分时两人相距2000米
9．如图，直线y ＝kx+b 与y ＝mx+n 分别交x 轴于点A （﹣1，0），B （4，0），则函数y ＝（kx+b ）（mx+n ）中，则不等式()()0kx b mx n ++>的解集为（ ）
A ．x ＞2
B ．0＜x ＜4
C ．﹣1＜x ＜4
D ．x ＜﹣1 或 x ＞4
10．已知3a ﹣2b=1，则代数式5﹣6a+4b 的值是（ ） A ．4 B ．3 C ．﹣1 D ．﹣3
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，在Rt ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ，过点M 作MN //BC 交AC 于点N ，且MN 平分AMC ∠，若AN 1=，则BC 的长为______．
12．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=8，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接DB ，若tan ∠CBD=3
4
，则BD=_____．
13．已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：
x
… -1 0 1 2 3 4 … y
…
6
1
-2
-3
-2
m
…
下面有四个论断：
①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，
； ②240b ac -=；
③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．
其中，正确的有___________________． 14．计算：
1
2
×（﹣2）=___________. 15．已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)都在反比例函数y ＝
6
x
的图象上．若x 1x 2＝﹣4，则y 1⋅y 2的值为______． 16．如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是_____． 17．如果m ，n 互为相反数，那么|m+n ﹣2016|=___________． 三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）在2018年韶关市开展的“善美韶关•情暖三江”的志愿者系列括动中，某志愿者组织筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种书包若干个送给贫困山区的学生，已知每个甲种书包的价格比每个乙种书包的价格贵10元，用350元购买甲种书包的个数恰好与用300元购买乙种书包的个数相同，求甲、乙两种书包每个的价格各是多少元？ 19．（5分）如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （1，3）、B （4，1）、C （1，1）．在图中以点O 为位似中心在原点的
另一侧画出△ABC放大1倍后得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标；请在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E
求证：△ACD≌△AED；若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
21．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=2AE；
（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=25，CE=2，求线段AE的长．
22．（10分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：OC OP PD AP
；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
23．（12分）张老师在黑板上布置了一道题：计算：2(x+1)2﹣(4x﹣5)，求当x＝1
2
和x＝﹣
1
2
时的值．小亮和小新展
开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由．
24．（14分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．该商家购进的第一批衬衫是多少件？若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解题分析】
试题解析：A、正六边形的外角和等于360°，是真命题；
B、位似图形必定相似，是真命题；
C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；
D、方程x2+x+1=0无实数根，是真命题；
故选：C．
考点：命题与定理．
2、C
【解题分析】
根据中位数的定义解答即可．
【题目详解】
解：在这15个数中，处于中间位置的第8个数是1.1，所以中位数是1.1．
所以这些运动员跳高成绩的中位数是1.1．
故选：C．
【题目点拨】
本题考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
3、A
【解题分析】
试题分析：根据抽样调查适用的条件、方差的定义及意义和可能性的大小找到正确答案即可．
试题解析：A、某种彩票中奖的概率是
1
1000
，只是一种可能性，买1000张该种彩票不一定会中奖，故错误；
B、调查电视机的使用寿命要毁坏电视机，有破坏性，适合用抽样调查，故正确；
C、标准差反映了一组数据的波动情况，标准差越小，数据越稳定，故正确；
D、袋中没有黑球，摸出黑球是不可能事件，故正确．
故选A．
考点：1.概率公式；2.全面调查与抽样调查；3.标准差；4.随机事件．
4、B
【解题分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【题目详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不正确；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不正确；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不正确.
故选B.
【题目点拨】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识.
5、C
【解题分析】
试题分析：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小，根据题意可得：－1＞－2，则．考点：反比例函数的性质．
6、B
【解题分析】
A、根据众数的定义找出出现次数最多的数；
B、根据中位数的定义将这组数据从小到大重新排列，求出最中间的2个数的平均数，即可得出中位数；
C、根据加权平均数公式代入计算可得；
D、根据方差公式计算即可．
【题目详解】
解：A、由统计表得：众数为3，不是8，所以此选项不正确；
B、随机调查了20名学生，所以中位数是第10个和第11个学生的阅读小时数，都是3，故中位数是3，所以此选项正确；
C、平均数=122 2.5386 3.543
3.35
20
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=，所以此选项不正确；
D、S2=1
20
×[（2﹣3.35）2+2（2.5﹣3.35）2+8（3﹣3.35）2+6（3.5﹣3.35）2+3（4﹣3.35）2]=
5.65
20
=0.2825，所以此选
项不正确；
故选B．
【题目点拨】
本题考查方差；加权平均数；中位数；众数．
7、B
【解题分析】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，因此：
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
考点：轴对称图形和中心对称图形
8、B
【解题分析】
C、由二者第二次相遇的时间结合两次相遇分别走过的路程，即可得出第一次相遇的时间，进而得出C选项错误；
=时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，利用速度=路程÷时间可求出亮亮的速度及两人的速度和，二A、当x35
者做差后可得出明明的速度，进而得出A选项错误；
-、B两地间的距离，即可求出第二次相遇B、根据第二次相遇时距离B地的距离=明明的速度⨯第二次相遇的时间A
时距离B地800米，B选项正确；
D、观察函数图象，可知：出发35分钟时亮亮到达A地，根据出发35分钟时两人间的距离=明明的速度⨯出发时间，即可求出出发35分钟时两人间的距离为2100米，D选项错误．
【题目详解】
⨯米，且二者速度不变，
解：第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了32800
c60320
∴=÷=，
∴出发20分时两人第一次相遇，C选项错误；
÷=米/分)，
亮亮的速度为28003580(
÷=米/分)，
两人的速度和为280020140(
-=米/分)，A选项错误；
明明的速度为1408060(
⨯-=米)，B选项正确；
第二次相遇时距离B地距离为60602800800(
⨯=米)，D选项错误．
出发35分钟时两人间的距离为60352100(
故选：B．
【题目点拨】
本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
9、C
【解题分析】
看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
【题目详解】
∵直线y1＝kx+b与直线y2＝mx+n分别交x轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)，
∴不等式(kx+b)(mx+n)＞0的解集为﹣1＜x＜4，
故选C．
【题目点拨】
本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
10、B
先变形，再整体代入，即可求出答案．
【题目详解】
∵3a﹣2b=1，
∴5﹣6a+4b=5﹣2（3a﹣2b）=5﹣2×1=3，
故选：B．
【题目点拨】
本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、1
【解题分析】
根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
【题目详解】
∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=1，
故答案为1．
【题目点拨】
本题考查含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
12、
【解题分析】
由tan∠CBD=CD
BC
=
3
4
设CD=3a、BC=4a，据此得出BD=AD=5a、AC=AD+CD=8a，由勾股定理可得（8a）2+（4a）
2=82，解之求得a的值可得答案．
解：在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=CD
BC
=
3
4
，
∴设CD=3a、BC=4a，
则BD=AD=5a，
∴AC=AD+CD=5a+3a=8a，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得（8a）2+（4a）2=82，
解得：或（舍），
则
故答案为
【题目点拨】
本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，解题关键是熟记性质与定理并准确识图．
13、①③．
【解题分析】
根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.
【题目详解】
由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；
∴①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；
②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；
③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；
④m＝﹣3，结论错误，
∴其中，正确的有.①③
故答案为：①③
【题目点拨】
本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.
14、-1
【解题分析】
根据“两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘”即可求出结论．
【题目详解】
()1212
⨯-=-， 故答案为 1.-
【题目点拨】
本题考查了有理数的乘法，牢记“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”是解题的关键．
15、﹣1．
【解题分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到121266,y y x x =
=， 再把它们相乘，然后把124x x =-代入计算即可． 【题目详解】 根据题意得1212
66,y y x x ==， 所以1212126636369.4
y y x x x x =⋅===-- 故答案为:−1.
【题目点拨】
考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点,A B 的坐标代入反比例函数解析式得到1212
66,,y y x x =
=是解题的关键. 16、2:1
【解题分析】
先根据相似三角形面积的比是4：9，求出其相似比是2：1，再根据其对应的角平分线的比等于相似比，可知它们对应的角平分线比是2：1．
故答案为2：1.
点睛：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．
17、1．
【解题分析】
试题分析：先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n ﹣1|，
∵m ，n 互为相反数，∴m+n=0，∴|m+n ﹣1|=|﹣1|=1；故答案为1．
考点：1.绝对值的意义；2.相反数的性质.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、每件乙种商品的价格为1元，每件甲种商品的价格为70元
【解题分析】
设每件甲种商品的价格为x元，则每件乙种商品的价格为（x-10）元，根据数量=总价÷单价结合用350元购买甲种书包的个数恰好与用300元购买乙种书包的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论.
【题目详解】
解：
设每件甲种商品的价格为x元，则每件乙种商品的价格为（x﹣10）元，
根据题意得：，
解得：x=70，
经检验，x=70是原方程的解，
∴x﹣10=1．
答：每件乙种商品的价格为1元，每件甲种商品的价格为70元．
【题目点拨】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：根据数量=总价÷单价，列出分式方程．
19、（1）A（﹣1，﹣6）；（1）见解析
【解题分析】
试题分析：（1）把每个坐标做大1倍,并去相反数.(1)横纵坐标对调，并且把横坐标取相反数.
试题解析：
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A（﹣1，﹣6）；
（1）如图，△A1B1C1为所作．
20、（1）见解析（2）BD=2
【解题分析】
解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD AD {
CD DE
=
=
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，∴DC=DE=1．
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．
∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．
（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可．（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
21、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
.
【解题分析】
试题分析：（1）依据AE=EF，∠DEC=∠AEF=90°，即可证明△AEF是等腰直角三角形；
（2）连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，先求得EH=DH=CH
，Rt△ACH中，AH
，即可得到
AE=AH+EH
试题解析：解：（1）如图1．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF．∵AB=AC，∴AC=DF．∵DE=EC，
∴AE=EF．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE．∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC．∵DF=AB=AC，∴KF=AD．在△EKF和△EDA中，
EK ED EKF ADE KF AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△EKF≌△EDA（SAS），∴EF=EA，
∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF
AE．
（3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平
分CD，而CE=2，∴EH=DH=CH
，Rt△ACH中，AH
，∴AE=AH+EH
．
点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点．
22、(1)详见解析；（2）10.
【解题分析】
①只需证明两对对应角分别相等可得两个三角形相似；故OC OP PD AP
=.
②根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．
【题目详解】
①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.
∴∠APO=90°.
∴∠APD=90°−∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
∴OC OP PD AP
=.
②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，∴OCPD=OPPA=CPDA=14−−√=12.
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.
∵AD=8，
∴CP=4，BC=8.
设OP=x，则OB=x，CO=8−x.
在△PCO中，
∵∠C=90∘，CP=4，OP=x ，CO=8−x ，
∴x 2=(8−x)2+42.
解得：x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴边AB 的长为10.
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及翻转变换，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与翻转变换的相关知识.
23、小亮说的对,理由见解析
【解题分析】
先根据完全平方公式和去括号法则计算，再合并同类项，最后代入计算即可求解.
【题目详解】
2（x+1）2﹣（4x ﹣5）
=2x 2+4x+2﹣4x+5，
=2x 2+7，
当x=
12时，原式=12+7=712
； 当x=﹣12时，原式=12+7=712． 故小亮说的对．
【题目点拨】
本题考查完全平方公式和去括号，解题的关键是明确完全平方公式和去括号的计算方法.
24、（1）120件；（2）150元．
【解题分析】
试题分析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则购进第二批这种衬衫可设为2x 件，由已知可得，，这种衬衫贵10元，列出方程求解即可.（2）设每件衬衫的标价至少为a 元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润表达式，然后列不等式解答即可.
试题解析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则第二批衬衫是2x 件. 由题意可得：
2880013200102x x
-=，解得120x =，经检验120x =是原方程的根. （2）设每件衬衫的标价至少是a 元. 由（1）得第一批的进价为：132********÷=（元/件），第二批的进价为：120（元）
由题意可得：()120(110)24050(120)50(0.8120)25%42000a a a ⨯-+-⨯-+⨯-≥⨯
解得：35052500a ≥，所以，150a ≥，即每件衬衫的标价至少是150元. 考点：1、分式方程的应用 2、一元一次不等式的应用.。