三元一次方程组 优秀教案

三元一次方程组
【教学目标】
1．理解三元一次方程组的含义。

2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组。

3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路。

【教学重点】
1．使学生会解简单的三元一次方程组。

2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想。

【教学难点】
针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法。

【教学过程】
一、导入新课
前面我们学习了二元一次方程组的解法。

有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解。

实际上，有不少问题中含有更多的未知数。

大家看下面的问题。

二、研究探讨
出示引入问题
小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张。

1．题目中有几个未知数，你如何去设？
2．根据题意你能找到等量关系吗？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
请大家分组讨论上述问题。

（教师对学生进行巡回指导）
学生成果展示：
1．设1元，2元，5元各x张，y张，z张。

（共三个未知数）
2．三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍。

3．上述三种条件都要满足，因此可得方程组12,2522,4.x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩
师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。

怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？
（学生小组交流，探索如何消元。

）
可以把③分别代入①②，便消去了x ，只包含y 和z 二元了：
8,412,512,2,42522,6522. 2.x y y z y z y y y z y z z =⎧++=+=⎧⎧⎪=⎨⎨⎨++=+=⎩⎩⎪=⎩
即解得 解此二元一次方程组得出y 、z ，进而代回原方程组可求x 。

教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程。

消元二元一次方程组消元
三、例题讲解
例1：解三元一次方程组347,239,5978.x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩
（让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较。

）
解：②×3+③，得11x+10z=35．
①与④组成方程组347,5,111035. 2.
x z x x z z +==⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得 把x=5，z=-2代入②，得y=13。

因此，三元一次方程组的解为5,1,32.
x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 归纳：此方程组的特点是①不含y ，而②③中y 的系数为整数倍关系，因此用加减法从②
③中消去y 后，再与①组成关于x 和z 的二元一次方程组的解法最合理。

•反之用代入法运算较烦琐。

例2：在等式y=ax ²+bx+c 中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a ，b ，c 的值。

（师生一起分析，列出方程组后交由学生求解。

）
解：由题意，得三元一次方程组0,
423,25560.
a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
②-①，得a+b=1，④
③-①，得4a+b=10．⑤
④与⑤组成二元一次方程组1,410.
a b a b +=⎧⎨+=⎩。

解得3,
2a b =⎧⎨=-⎩
把a=3，b=-2代入①，得c=-5．
因此3,
2,5.
a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，
答：a=3，b=-2，c=-5．
四、知能训练
1．解下列三元一次方程组：
29,34,
(1)3,(2)2312,
247; 6.
22,2,:(1)15.5,(2)3,
12.5; 1.
x y x y z
y z x y z z x x y z x x y y z z -=--+=⎧⎧⎪⎪-=+-=⎨⎨⎪⎪+=++=⎩⎩==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪==⎩⎩解
2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的
13等于丙数的12，求这三
个数。

解：设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z，则
35,10, 25,15,
10.
,
32
x y z x
x y y
y z z
⎧
⎪++==
⎧
⎪⎪
-==
⎨⎨
⎪⎪=
⎩
⎪=
⎩
解得
即甲、乙、丙三数分别为10，15，10。

五、课堂小结
1．学会三元一次方程组的基本解法。

2．掌握代入法，加减法的灵活选择，体会“消元”思想。

【作业布置】
1．已知方程组
326,22,
622,,,2341,
62533351
x y z ax by cz
x y z x y z ax by cz
x y z ax by cz
-+=++=
⎧⎧
⎪⎪
+-=--+=-
⎨⎨
⎪⎪
++=-+=
⎩⎩
与关于的方程组相同，求a，b，
c的值。

2．解方程组
:3:2,
:5:4,
66. x y
y z
x y z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪++=
⎩
3．在y=ax²+bx+c中，当x=1，2，3时，y=0，3，28，求a，b，c的值。

当x=-1时，y•的值是多少？
参考答案
1．分析：因为两个方程组的解相同，即x ，y ，z 取值相同，可求解第一个方程组中的x ，y ，z ，代入第二个方程组后，求解a ，b ，c ． 解：解方程组1,326,3622,2,6253, 1.x x y z x y z y x y z z ⎧=⎪-+=⎧⎪⎪+-=-=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎪⎩
解得
1222,,322,322,
2341,641,313351,65 1.9,1,21.
a b c x ax by cz y ax by cz a b c z ax by cz a b c a b c ⎧-+=⎧⎪=⎪++=⎧⎪⎪⎪⎪=--+=-++=-⎨⎨⎨⎪⎪⎪=-+=⎩++=⎪⎪⎩⎪⎩
=⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩把解得 2．提示：将①②变为x=32y ，z=45
y 后求解。

答案：30,20,16.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
3．解：由题意，得0,11,423,30,9328.19.a b c a a b c b a b c c ++==⎧⎧⎪⎪++==-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩
解得
所以y=11x ²-30x+19．
所以当x=-1时，y=11×（-1）2-30×（-1）+19=60.。