潜江市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

潜江市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．直线l将圆x2+y2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是（）
A．x﹣y+1=0，2x﹣y=0 B．x﹣y﹣1=0，x﹣2y=0
C．x+y+1=0，2x+y=0 D．x﹣y+1=0，x+2y=0
2．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（）
A．=1.23x+4 B．=1.23x﹣0.08 C．=1.23x+0.8 D．=1.23x+0.08
3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1，且a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m等于（）A．38 B．20 C．10 D．9
4．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（）
A．﹣7 B．﹣1 C．﹣1或﹣7 D．
5．已知函数f（x）=，则的值为（）
A．B．C．﹣2 D．3
6．函数y=（x2﹣5x+6）的单调减区间为（）
A．（，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，2）
7．“”是“A=30°”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也必要条件
8．已知集合，则
A0或
B0或3
C1或
D1或3
9．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥β，m⊥β，则m∥α；
其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．②④
D ．①③
10．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()
2121
0f x f x x x -<-，则
（ ）
A ．()()()213f f f -<<
B ．()()()123f f f <-<
C ．()()()312f f f <<
D ．()()()321f f f <-<
11．如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）
12．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A ）∩（∁U B ）=（ ） A ．{5，8}
B ．{7，9}
C ．{0，1，3}
D ．{2，4，6}
二、填空题
13．设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）=
，
则f （）= ．
14．抛物线y 2=8x 上一点P 到焦点的距离为10，则P 点的横坐标为 ．
15．抛物线y 2=4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF|=4，则点M 的横坐标x= ．
16．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ．
17．已知点E 、F 分别在正方体 的棱上，且, ,则
面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .
18．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣a|． （I ）若a=﹣1，解不等式f （x ）≥3；
（II ）如果∀x ∈R ，f （x ）≥2，求a 的取值范围．
20．如图，四边形ABCD 与A ′ABB ′都是边长为a 的正方形，点E 是A ′A 的中点，AA ′⊥平面ABCD ． （1）求证：A ′C ∥平面BDE ；
（2）求体积V A ′﹣ABCD 与V E ﹣ABD 的比值．
21．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中a＜c，f（A）=，且a=，b=，求△ABC
的面积．
22．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AB=2，
（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；
（3）求三棱锥A1﹣DEC的体积．
23．坐标系与参数方程
线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共点个数．
24．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
潜江市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：圆x2
+y2﹣2x+4y=0化为：圆（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为，直线l将圆
x2+y2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，
∴直线l的方程是：y+2=﹣（x﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题．
2．【答案】D
【解析】解：设回归直线方程为=1.23x+a
∵样本点的中心为（4，5），
∴5=1.23×4+a
∴a=0.08
∴回归直线方程为=1.23x+0.08
故选D．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m﹣1+a m+1=2a m，
则a m﹣1+a m+1﹣a m2=a m（2﹣a m）=0，
解得：a m=0或a m=2，
若a m等于0，显然S2m﹣1=
=（2m﹣1）a m=38不成立，故有a m=2，
∴S2m﹣1=（2m﹣1）a m=4m﹣2=38，
解得m=10．
故选C
4．【答案】A
【解析】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行．
所以，解得m=﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．
5．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=，
∴f（）==﹣2，
=f（﹣2）=3﹣2=．
故选：A．
6．【答案】B
【解析】解：令t=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）＞0，可得x＜2，或x＞3，
故函数y=（x2﹣5x+6）的定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞）．
本题即求函数t在定义域（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间．
结合二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间为（3，+∞），
故选B．
7．【答案】B
【解析】解：“A=30°”⇒“”，反之不成立．
故选B
【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题．
8．【答案】B
【解析】，
，故或，解得或或，又根据集合元素的互异性，所以
或。

9．【答案】B
【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面：
在①中：若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直得m⊥n，故①正确；
在②中：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，
∵m⊥α，∴由直线垂直于平面的性质定理得m⊥γ，故②正确；
在③中：若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m∥n，故③正确；在④中：若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误．
故选：B．
10．【答案】D
11．【答案】
【解析】选B.取AP的中点M，
则P A＝2AM＝2OA sin∠AOM
＝2sin x
2
，
PB＝2OM＝2OA·cos∠AOM＝2cos x
2，
∴y＝f（x）＝P A＋PB＝2sin x
2＋2cos x
2
＝22sin（x
2
＋
π
4
），x∈[0，π]，根据解析式可知，只有B选项符合要求，
故选B.
12．【答案】B
【解析】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，
所以C U A={2，4，6，7，9}，C U B={0，1，3，7，9}，
所以（C U A）∩（C U B）={7，9}
故选B
二、填空题
13．【答案】1．
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴=1．
故答案为：1．
【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．
14．【答案】8．
【解析】解：∵抛物线y2=8x=2px，
∴p=4，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=x+=x+2=10，
∴x=8，
故答案为：8．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
15．【答案】3．
【解析】解：∵抛物线y2=4x=2px，
∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=4=x+=4，
∴x=3，
故答案为：3．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
16．【答案】﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．
【解析】解：根据题意知：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，两圆圆心距d=|a|，∴2﹣1＜|a|＜2+1，
∴﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．
故答案为：﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．
【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，属中档题．
17．【答案】
【解析】延长EF 交BC 的延长线于P ，则AP 为面AEF 与面ABC 的交线，因为，所以为
面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角。

18．【答案】
.
【解析】由题意,y ′=ln x +1−2mx
令f ′（x ）=ln x −2mx +1=0得ln x =2mx −1，
函数()()ln f x x x mx =-有两个极值点,等价于f ′（x ）=ln x −2mx +1有两个零点， 等价于函数y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，
，
当m =
1
2
时，直线y =2mx −1与y =ln x 的图象相切， 由图可知,当0<m <1
2
时，y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，
则实数m 的取值范围是（0,1
2
），
故答案为：（0,1
2
）.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f （x ）=|x+1|+|x ﹣1|， 由f （x ）≥3即|x+1|+|x ﹣1|≥3
当x ≤﹣1时，不等式可化为﹣x ﹣1+1﹣x ≥3，解得x ≤﹣；
当﹣1＜x＜1时，不等式化为x+1+1﹣x≥3，不可能成立，即x∈∅；
当x≥1时，不等式化为x+1+x﹣1≥3，解得x≥．
综上所述，f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；
（Ⅱ）由于|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|，
则f（x）的最小值为|a﹣1|．
要使∀x∈R，f（x）≥2成立，
则|a﹣1|≥2，解得a≥3或a≤﹣1，
即a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，运用分类讨论和绝对值不等式的性质，是解题的关键．
20．【答案】
【解析】（1）证明：设BD交AC于M，连接ME．
∵ABCD为正方形，∴M为AC中点，
又∵E为A′A的中点，
∴ME为△A′AC的中位线，
∴ME∥A′C．
又∵ME⊂平面BDE，A′C⊄平面BDE，
∴A′C∥平面BDE．
（2）解：∵V E﹣ABD====V A′﹣ABCD．∴V A′﹣ABCD：V E﹣ABD=4：1．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵由图象可知，T=4（﹣）=π，
∴ω==2，
又x=时，2×+φ=+2kπ，得φ=2kπ﹣，（k∈Z）
又∵|φ|＜，
∴φ=﹣，
∴f（x）=sin（2x﹣）…6分
（Ⅱ）由f（A）=，可得sin（2A﹣）=，
∵a＜c，
∴A为锐角，
∴2A﹣∈（﹣，），
∴2A﹣=，得A=，
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：7=3+c2﹣2，即：c2﹣3c﹣4=0，
∵c＞0，∴解得c=4．
∴△ABC的面积S=bcsinA==…12分
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识的应用，属于基本知识的考查．
22．【答案】
【解析】（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，
由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，
∴DF∥BC1，
∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD；…
（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．
DF=BC1==1，A1D==，A1F=A1C=1．
在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，
∵∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=，
∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；…
（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，
∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==1．
∴=﹣S△BDE﹣﹣=
∴三棱锥C﹣A1DE的体积V=…
【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC1和A1D所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．
23．【答案】
【解析】解：圆C：的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4
由于圆心C（﹣1，2）到直线l：3x+4y﹣12=0的距离
d==＜2
故直线与圆相交
故他们的公共点有两个．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的参数方程，其中将圆的参数方程化为标准方程，进而求出圆心坐标和半径长是解答本题的关键．
24．【答案】
【解析】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．
（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，
∴当x=15时，S取最大值．
（2）V=a2
h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），
由V′=0得x=20，
当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；
∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，
此时，．
即此时包装盒的高与底面边长的比值是．。