【课堂设计】高二数学北师大版选修4-4课件2.4 平摆线和渐开线

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选修4-4高中数学课件4.渐开线与摆线

E x
第 3、4 题.
3. 有一个半径是 a 的轮子沿着直线轨道滚动, 在轮辐上有一点 M, 与轮子中心的距离是 b (b<a), 求点 M 的轨迹方程. y j 解: 建立如图的坐标系. 圆心为 B, M B C BA⊥x 轴于 A, E O D A x MC⊥BA于 C, MD⊥x 轴于 D. 则 |AB|=a, |BM|=b. 取∠MBA=j (弧度) 为参变数. 则 OA 等于滚动 j 弧度的大圆弧长, 即 OA=aj, 设点 M 的坐标为 (x, y), 则 x=OD =OA-DA =aj-MC=aj-bsinj, y=DM =AB-CB =a-bcosj,
3. 有一个半径是 a 的轮子沿着直线轨道滚动, 在轮辐上有一点 M, 与轮子中心的距离是 b (b<a), 求点 M 的轨迹方程. y j 解: 建立如图的坐标系. 圆心为 B, M B C BA⊥x 轴于 A, E O D A x MC⊥BA于 C, MD⊥x 轴于 D. 则 |AB|=a, |BM|=b. 取∠MBA=j (弧度) 为参变数. 则点 OA j 弧度的大圆弧长, 即 OA=aj, ∴ M等于滚动的轨迹方程为设点的坐标为 =a j - bsinj ,(x, y), xM (a jj为参数 )j-bsinj, = 则x OD = OA DA = MC = a y = a - bcosj . y=DM =AB-CB =a-bcosj,
一曲线的参数方程
二圆锥曲线的参数方程
三直线的参数方程
四渐开线与摆线
1. 渐形线是怎样的图形? 怎样建立它的方程?
2. 摆线是怎样产生的? 怎样建立摆线的方程?
1. 渐开线
问题 1. 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上, 在绳的外端系上一支铅笔, 将绳子拉紧绕圆盘回放绳子, 将画出一条什么样的曲线? 你能建立适当的坐标系写出这条曲线的方程吗?

2018版数学《课堂讲义》北师大版选修4-4讲义：第二讲参数方程 4 平摆线和渐开线

§4 平摆线和渐开线1.平摆线定义一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线).当圆滚动半周时，过定点M 的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(πr ，2r )，再滚动半周，点M 到达(2πr ，0)，这时圆周和x 轴又相切于点M ，得到平摆线的一拱.圆滚动一周时，平摆线出现一个周期.平摆线上点的纵坐标最大值是2r ，最小值是0，即平摆线的拱高为2r . 2.平摆线轨迹的参数方程⎩⎨⎧x ＝r （α－sin α），y ＝r （1－cos α）(－∞＜α＜＋∞，α为参数) 3.渐开线定义把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线，这条曲线叫圆的渐开线，这个圆叫作渐开线的基圆. 4.圆的渐开线的参数方程⎩⎨⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(其中φ为参数). 【思维导图】【知能要点】1.平摆线，平摆线的参数方程.2.圆的渐开线，渐开线的参数方程.题型一平摆线在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解“一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假设圆周上定点M 的起始位置是圆与定直线的切点O ，圆保持与定直线相切向右滚动，点M 就绕圆心B 作圆周运动.如果点M 绕圆心B 转过φ弧度后，圆与直线相切于A ，那么线段OA 的长等于AM ︵的弧长，即OA ＝rφ；点M 绕圆心B 运动一周回到切点的位置E ，那么OE 的长恰等于圆周长.这就是所谓“无滑动地滚动”的意思.从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过程中，圆周上定点M 的位置可以有圆心角φ惟一确定，因此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.【例1】已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程. 解根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)可知，只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝2k π (k ∈Z )代入可得x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1. 所以r ＝12k π.又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r >0.所以，应有k >0且k ∈Z ，即k ∈N ＋.所以，所求摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π（φ－sin φ），y ＝12k π（1－cos φ）(φ为参数) (其中k ∈N＋).【反思感悟】本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面.1.圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O ，圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角.试求点M 的轨迹方程. 解 x M ＝r ·θ－r ·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（φ＋θ）－π2＝r [θ－sin(φ＋θ)]， y M ＝r ＋r ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋θ－π2 ＝r [1－cos(φ＋θ)].题型二圆的渐开线渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上动点所满足的几何条件，建立渐开线参数方程的关键是将“切线BM 的长就是AB ︵的长”用坐标表示出来. 渐开线的参数方程不能化为普通方程.【例2】求半径为4的圆的渐开线的参数方程.解以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧AM 0︵的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0︵＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角和向量知识，得OA→＝(4cos θ，4sin θ). 由几何知识知∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM →＝OA →＋AM → ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).又OM →＝(x ，y )，因此有⎩⎨⎧x ＝4（cos θ＋θsin θ），y ＝4（sin θ－θcos θ）这就是所求圆的渐开线的参数方程.【反思感悟】关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系.用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y ). (2)取定运动中产生的某一角度为参数.(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式.(4)用向量运算得到OM→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.2.写出半径为2的基圆的渐开线参数方程.解直接利用圆的渐开线的参数方程公式，方程为：⎩⎨⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ） (φ是参数).【例3】已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π2，求A 、B 两点的距离.分析首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A 、B 对应的参数代入参数方程可得对应的A 、B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A 、B 之间的距离.解根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φ sin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为 |AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12 ＝16（13－63）π2－6π－363＋72.即点A 、B 之间的距离为 16（13－63）π2－6π－363＋72.【反思感悟】对于参数方程给出的曲线上点，可以求出点的坐标，转化为两点间的距离问题.3.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________.解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋28π，22－28π1.若某圆的渐开线方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ (φ为参数)，则此圆的方程是____________，对应的φ＝0的点的坐标是__________，对应的φ＝π2的点的坐标是________.答案 x 2＋y 2＝4 (2，0) (π，2)2.曲线⎩⎨⎧x ＝－a cos φ＋a sin φy ＝a sin φ－a cos φ(φ是参数)的形状为( )A.第一、三象限的平分线B.以原点为圆心，2|a |为半径的圆C.以(－a ，－a )，(a ，a )为端点的线段D.以(－2a ，－2a )，(2a ，2a )为端点的线段解析 ⎩⎨⎧x ＝－a cos φ＋a sin φ＝a （－cos φ＋sin φ），y ＝a sin φ－a cos φ＝a （sin φ－cos φ），∴x －y ＝0，y ＝x . 但是x ＝a (－cos φ＋sin φ)＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin φ－22cos φ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ，－2|a |≤x ≤2|a |，∴对应的曲线为y ＝x (－2|a |≤x ≤2|a |)，亦即是以第一、三象限角平分线上的点(－2a ，－2a )，(2a ，2a )为端点的一段线段. 答案 D3.当φ＝π2·π时，求出渐开线⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φyy ＝sin φ－φcos φ上对应的点A 、B ，并求出A 、B间的距离.解 φ＝π2代入渐开线方程，x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2， y ＝sin π2－π2cos π2＝1， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.同理x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π，点B 的坐标为(－1，π). 即|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＋（π－1）2 ＝π24＋π＋1＋π2－2π＋1＝54π2－π＋2.一、选择题1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案 C2.已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ (φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1B. 2C.10D.3π2－1解析根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ） (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3， ∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋（3－2）2＝10.答案 C3.如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( ) A.3π B.4π C.5πD.6π解析根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C 二、填空题4.渐开线⎩⎨⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ） (φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为__________. 解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0). 答案 (63，0)和(－63，0)5.我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ） (φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________.解析关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换.答案 ⎩⎨⎧x ＝r （1－cos φ），y ＝r （φ－sin φ） (φ为参数)三、解答题6.有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程.解如图：B 点坐标为(2aφ，2a )，MB→＝(a sin φ，a cos φ)，设OM→＝(x ，y )，OM →＝OB →＋BM →＝(2aφ，2a )＋(－a sin φ，－a cos φ)＝(2aφ－a sin φ，2a －a cos φ)，∴⎩⎨⎧x ＝a （2φ－sin φ），y ＝a （2－cos φ）. 7.已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α (α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程； (3)求摆线和x 轴的交点.解 (1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎨⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数).(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z ). 代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的摆线和x 轴的交点为(12k π，0) (k ∈Z ).8.设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴. 解轨迹曲线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝8（t －sin t ），y ＝8（1－cos t ）(0≤t ≤2π). 即t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 第一拱(0≤t ≤2π)的对称轴为x ＝8π.习题2－4 (第47页)A 组1.解 (1)取点A 的初始位置O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴，圆滚动的方向为正方向建立平面直角坐标系，设圆转动的角度α为参数，则点A 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝12（α－sin α），y ＝12（1－cos α）. (2)令y ＝0即cos α＝1，取α＝0，α＝2π，得点A 相邻两次着地点间的距离为24π. 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2252（cos φ＋φsin φ），y ＝2252（sin φ－φcos φ）(φ为参数)B 组解如图，设圆的渐开线上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)，作直线MN 和基圆相切于点N ，连接OM ，ON ，以∠MON ＝α为参数，则在直角三角形OMN 中，cos α＝|ON ||OM |＝R ρ，所以，ρ＝R cos α. 又tan α＝|MN ||ON |＝AN ︵R ＝（θ＋α）RR ＝θ－α.所以θ＝tan α－α这就得到圆的渐开线的极坐标参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝R cos α，θ＝tan α－α(α为参数).。

高中数学第二章参数方程 4 平摆线和渐开线学案北师大版-4

§4 平摆线和渐开线［对应学生用书P35]［自主学习]1．平摆线(1)平摆线的概念:一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时,我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线）．（2）摆线的参数方程:①定点M在滚动过程中满足的几何条件：在平面直角坐标系中，设圆的半径为r，圆在x轴上滚动，开始时点M在原点O（如图)．设圆转动的角度为α时，圆和x轴的切点是S，圆心是N，M的坐标为（x,y），取角度α为参数．连接NM，NS,过M作x轴的垂线MP，垂足为点P，过M作NS的垂线MQ，垂足为Q.因为∠MNQ＝α,所以OS＝SM＝rα。

这就是圆周上的定点M在圆N沿直线滚动过程中满足的几何条件．②摆线的参数方程：如图(1），由①分析可得：x＝OP＝OS－PS＝SM－MQ＝rα－r sin α＝r（α－sin α），y＝PM＝SQ＝SN－QN＝r－r cos α＝r(1－cos α)．图(1)所以摆线的参数方程是错误!(－∞<α<＋∞)．2．渐开线（1）渐开线的相关概念:把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，此时,我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．（2)渐开线的参数方程：①动点（笔尖)所满足的几何条件：如图(2），我们把圆盘抽象成一个圆，把铅笔尖抽象成一个动点M,它的初始位置记作A，绳子离开圆盘的位置记作B，随着绳子逐渐展开,动点B从点A出发在圆周上运动，动点M 满足以下条件：（Ⅰ）MB与圆相切于B；（Ⅱ)MB的长度与B在圆周上走过的弧长相等，即MB＝AB。

图（2）图(3)②渐开线的参数方程：如图(3)，以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系．设圆的半径为r,则动点M的初始位置A的坐标为（r，0)，设动点M的坐标为（x，y)，φ是以OA为始边、OB为终边的正角，令φ为参数,此时AB的弧长为rφ.作ME⊥Ox,BC⊥Ox,垂足分别为E，C；作MD⊥BC,垂足为D,则∠MBD＝∠AOB＝φ，由此可得圆的渐开线的参数方程是:{x＝r cos φ＋φsin φ，，y＝r sin φ－φcos φ（其中φ是参数）．[合作探究]1．在摆线的参数方程中α的取值范围是什么？提示：α的取值范围为（－∞，＋∞）2．在图（1)中点O，E间的部分所成拱的宽度和高度各是多少？提示：这一个拱的宽度等于滚动圆的周长2πr，拱高等于圆的直径2r。

高中数学第2章参数方程 2.4 平摆线和渐开线课件北师大版选修44

φ 取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.
【导学号：12990031】
【解析】所给的圆的渐开线的参数方程可化为
x＝21kπα－sinα， y＝21kπ1－cosα
(α 为参数，k∈N＋).
根据圆的摆线的参数方程
x＝rα－sin α， y＝r1－cos α
(α 为参数)，可知只需求出其中的半径 r.圆摆线的参数方
程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的.
【答案】 A
圆的渐开线参数方程及其应用已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A，
B 对应的参数分别是π2和32π，求 A，B 两点间的距离.
【精彩点拨】根据渐开线的参数方程，分别求出 A，B 两点的坐标，再由 A，B 两点间的距离公式求出.
【自主解答】由题意，知 r＝1，则圆的渐开线参数方程为
【答案】 (1)√ (2)√
教材整理 2 渐开线的参数方程 1.把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离开圆周，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆.
2.设基圆的半径为 r，圆的渐开线的参数方程是
x＝rcos φ＋φsin φ， y＝rsin φ－φcos φ
x＝cos φ＋φsin φ， y＝sin φ－φcos φ
(φ 为参数).
当 φ＝π2时，xy＝＝csions2ππ2－＋π2π2csoinsπ2π2＝＝π21，，
所以 Aπ2，1.
当 φ＝32π时，xy＝＝csions3322ππ－＋3322ππ··csoins3322ππ＝＝－－312π，，所以 B 点坐标为－32π，－1. 所以|AB|＝ π2＋32π2＋1＋12 ＝2 π2＋1.

高中数学第二章参数方程2.4平摆线和渐开线备课资料北师大版选修4_4

4.1 平摆线4.2 渐开线教学建议对于本节内容,课标中定位为了解,高考中也很少涉及,因此在教学中要控制好教学深度,只要能够让学生通过实例,了解平摆线、渐开线的定义及形成过程,以及二者参数方程的形式,注意参数方程中字母和参数的含义即可,无需人为地设置一些综合性较强的题目.备选习题我们都使用过蚊香,蚊香是由一圈螺旋线组成的.为了兼顾美观和燃烧的效果,通常在设计时,有以下几种方案:方案一:等速螺线,如图①.图中画出的关于点O对称的两支蚊香是沿这两支曲线剪开的平面部分(以下同).方案二:圆的渐开线,如图②.图中曲线是圆弧,曲线是圆的渐开线 (以下同).受方案二的启示,可得方案三:正方形的渐开线,如图③.请根据图①②③,写出图③对应曲线的方程.分析:本题是数学美在实际问题中的体现.要写出相应曲线的方程,可以根据曲线满足的条件,可以使用参数方程,普通方程或者极坐标方程写出,关键在于对知识的灵活掌握和应用.首先要明白渐开线的含义,可以根据课本中圆的渐开线的定义和求解的方法进行类比.建立适当的坐标系,根据条件写出坐标满足的关系式.解:在方案三中,曲线是由圆弧与圆弧内连接的,建立如题图中图③所示的直角坐标系,设OA=OC=1,则曲线的各段弧的方程如下(式中n∈N):(0≤x<1,≤y<0);x2+(y-1)2=2(4n-3)2〔4n-3≤x<(4n-3),-4n+4≤y<4n-2〕;(x+1)2+y2=2(4n-2)2〔-4n+1≤x<4n-3,4n-2≤y<(4n-2)〕;x2+(y+1)2=2(4n-1)2〔-(4n-1)≤x<-4n+1,-4n≤y<4n-2〕;(x-1)2+y2=2(4n)2(-4n+1≤x<4n+1,-4n≤y<-4n).。

2018-2019学年度最新北师大版数学选修4-4教学案：第二章4平摆线和渐开线

§4平摆线和渐开线[对应学生用书P35][自主学习]1．平摆线(1)平摆线的概念：一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线)．(2)摆线的参数方程：①定点M 在滚动过程中满足的几何条件：在平面直角坐标系中，设圆的半径为r ，圆在x 轴上滚动，开始时点M 在原点O (如图)．设圆转动的角度为α时，圆和x 轴的切点是S ，圆心是N ，M 的坐标为(x ，y )，取角度α为参数．连接NM ，NS ，过M 作x 轴的垂线MP ，垂足为点P ，过M 作NS 的垂线MQ ，垂足为Q .因为∠MNQ ＝α，所以OS ＝S M ＝rα.这就是圆周上的定点M 在圆N 沿直线滚动过程中满足的几何条件．②摆线的参数方程：如图(1)，由①分析可得：x ＝OP ＝OS －PS ＝S M －MQ ＝rα－r sin α＝r (α－sin α)，y ＝PM ＝SQ ＝SN －QN ＝r －r cos α＝r (1－cos α)．图(1)所以摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(－∞<α<＋∞)． 2．渐开线(1)渐开线的相关概念：把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，此时，我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．(2)渐开线的参数方程：①动点(笔尖)所满足的几何条件：如图(2)，我们把圆盘抽象成一个圆，把铅笔尖抽象成一个动点M ，它的初始位置记作A ，绳子离开圆盘的位置记作B ，随着绳子逐渐展开，动点B 从点A 出发在圆周上运动，动点M 满足以下条件：(Ⅰ)MB 与圆相切于B ；(Ⅱ)MB 的长度与B 在圆周上走过的弧长相等，即MB ＝A B .图(2) 图(3)②渐开线的参数方程：如图(3)，以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系．设圆的半径为r ，则动点M 的初始位置A 的坐标为(r,0)，设动点M 的坐标为(x ，y )，φ是以OA 为始边、OB 为终边的正角，令φ为参数，此时A B 的弧长为rφ.作ME ⊥Ox ，BC ⊥Ox ，垂足分别为E ，C ；作MD ⊥BC ，垂足为D ，则∠MBD ＝∠AOB ＝φ，由此可得圆的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(其中φ是参数)． [合作探究]1．在摆线的参数方程中α的取值范围是什么？提示：α的取值范围为(－∞，＋∞)2．在图(1)中点O ，E 间的部分所成拱的宽度和高度各是多少？提示：这一个拱的宽度等于滚动圆的周长2πr ，拱高等于圆的直径2r .其中r 为滚动圆的半径．[对应学生用书P35][例1] 方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的平摆线和渐开线参数方程的求解，解答此题，根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(α为参数)和渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线和渐开线的参数方程即可．[精解详析] 令y ＝0，可得r (1－cos α)＝0，由于r >0，即得cos α＝1，所以α＝2k π (k ∈Z)．代入x ＝r (φ－sin φ)，而φ＝α得x ＝r (2k π－sin2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z)．又由实际可知r >0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1π(α－sin α)，y ＝1π(1－cos α)(α为参数)．圆的渐开线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1π(cos φ＋φsin φ)，y ＝1π(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．根据已知条件求圆的平摆线及渐开线的参数方程，关键记住推导圆的平摆线、渐开线的参数方程的过程及得到的方程，确定出待定系数即可．1．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x 轴正方向的夹角．∵直径为10，∴半径r ＝5.代入圆的渐开线的参数方程得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5(cos φ＋φsin φ)，y ＝5(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．这就是所求的圆的渐开线的参数方程.。

高中数学4 课件2.4平摆线和渐开线

一二
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
2.渐开线的参数方程半径为r的圆的渐开线的参数方程是 �� = ��(cos�� + ��sin��), �� = ��(sin��-��cos��) (其中 φ 为参数).
一二
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做一做2 半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )
A.
��
= =
��1��--scions��,(θ 为参数)
B.
��
= =
�� = ��(��-sin��), 为 �� = ��(1-cos��) (-∞<α<∞).
一二
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3.平摆线的性质当圆滚动半周时,过定点M的半径转过的角度是π,点M到达最高点(πr,2r),再滚动半周,点M到达(2πr,0),这时圆周和x轴又相切于点M, 得到平摆线的一拱.圆滚动一周时,平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是2r,最小值是0,即平摆线的拱高为
2r .
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2.4 渐开线与摆线课件(人教A选修4-4)(2)

[悟一法]
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚
动时，圆周上一个定点的轨迹．
(2)在圆的摆线中，圆周上定点M的位置也可以由圆心角φ
唯一确定．
[通一类]
2．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．
π 解：xM＝r· θ－r· [(φ＋θ)－2] cos ＝r[θ－sin (φ＋θ)]， π yM＝r＋r· (φ＋θ－2) sin ＝r[1－cos (φ＋θ)]．
[研一题] [例 1] 求半径为 4 的圆的渐开线的参数方程．
本题考查圆的渐开线的参数方程的求法，解答
[精讲详析]
本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．
以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量 OM 0 的方
向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐开线定义，弧 0 AM 的长和线段 AM 的长相等，记 OA 和 x 轴正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则
[读教材·填要点] 1．渐开线的概念及产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆． 2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[研一题] [例2] 求半径为2的圆的摆线的
参数方程．(如图所示，开始时定
点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数) [精讲详析] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答

高中数学第2章参数方程2.4平摆线和渐开线教案北师大版选修4-4(2021学年)

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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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2.4 平摆线和渐开线教学目的：知识目标：了解圆的渐开线的参数方程，了解摆线的生成过程及它的参数方程；能力目标:学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤。

教学重点: 圆的渐开线的参数方程，摆线的生成过程及它的参数方程。

教学难点: 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.授课类型：新授课教学模式：讲练结合,启发、诱导发现教学．教具：多媒体、实物投影仪教学过程:一、探究引入:把一支没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧，保持绳子与园相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线，这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？［］二、讲解新课:1、以基圆圆心O 为原点，直线ＯA 为x 轴,建立平面直角坐标系,可得圆渐开线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x (ϕ为参数） 2、在研究平摆线的参数方程中,取定直线为x 轴，定点Ｍ滚动时落在直线上的一个位置为原点,建立直角坐标系,设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。

⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）例１求半径为4的圆的渐开线参数方程。

高中数学第二章参数方程24平摆线和渐开线课件北师大版选修4

π
5．圆的渐开线 y＝ 2（sint－tcost）
(t 为参数)上与 t＝ 4
对应的点的直角坐标为________．
第26页
ππ 答案 (1＋ 4 ，1－ 4 )
π
ππ π
π
解析 t＝ 4 时 x＝ 2(cos 4 ＋ 4 sin 4 )＝1＋ 4 ，
ππ π
π
y＝ 2(sin 4 － 4 cos 4 )＝1－ 4 .
复习课件
高中数学第二章参数方程24平摆线和渐开线课件北师大版选修4
2021/4/17
高中数学第二章参数方程24平摆线和渐开线课件北师大版选修4
§4 平摆线和渐开线
第2页
知识探究
第3页
1.平摆线 (1)平摆线的定义：一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线，又叫旋轮线．
线的拱高为________．
答案 4 解析圆的半径 r＝2，所以拱高 2r＝4.
第24页
4．已知圆的半径为 3，圆心在原点，动点的初时位置在 x 轴
正半轴上，则圆的渐开线方程为________．
x＝3（cosφ＋φsinφ），
答案
(φ 为参数)
y＝3（sinφ－φcosφ）
第25页
x＝ 2（cost＋tsint），
所以 φ＝2kπ(k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1.
第10页
所以 r＝2k1π. 又 r>0.所以，应有 k>0 且 k∈Z，即 k∈N＋. 所以，所求平摆线的参数方程是 x＝2k1π（φ－sinφ）， y＝2k1π（1－cosφ） (φ 为参数)(其中 k∈N＋)．
第11页

高中数学第2章参数方程2.4平摆线和渐开线课件北师大版选修4-4

2.设基圆的半径为 r，圆的渐开线的参数方程是
x＝rcos φ＋φsin φ， y＝rsin φ－φcos φ
(φ 是参数).
[小组合作型] 圆的平摆线参数方程及其应用
已知一个圆的平摆线过一定点(1,0)，请写出该平摆线的参数方程.
【精彩点拨】定点1，0 ―→ 滚动圆的半径 ―→ 平摆线的参数方程
根据圆的摆线的参数方程
x＝rα－sin α， y＝r1－cos α
(α 为参数)，可知只需求出其中的半径 r.圆摆线的参数方
程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的.
圆的渐开线参数方程及其应用已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A，
B 对应的参数分别是π2和32π，求 A，B 两点间的距离.
【精彩点拨】根据渐开线的参数方程，分别求出 A，B 两点的坐标，再由 A，B 两点间的距离公式求出.
利用圆的渐开线的参数方程求解有关问题时，关键是求.
1.给出下列说法： ①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程； ②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化出的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题. ③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
2.当
φ＝2π
时，圆的渐开线xy＝＝66csions
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ
上的点是(
)
A.(6,0) C.(6，－12π)
B.(6,6π) D.(－π，12π)
【解析】当 φ＝2π 时，代入圆的渐开线方程. ∴x＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6， y＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π. 【答案】 C

高中数学北师大版选修坐标系与参数方程平摆线和渐开线部优课件

y
B
O
M
Ax
取为参数，则点B的坐标为（r cos, r sin）,从而
BM (x r cos, y r sin),| BM | r.
由于向量e1 (cos,sin)是与OB同方向的单位向量，
因而向量e2 (sin, cos)是与向量BM同方向的单位向量。
渐开线的参数方程
y
所以| BM | (r)e2,即
思考：小明同学的自行车轮上喷有一个红色印记，当他骑车在笔直的道路上行驶时，这个红色印记会画出一条什么样的曲线？
上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？
定义：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线.
相切于点A，圆心在点B。
从点M 分别做AB，x轴的垂线，垂足分别是C，D。
设点M的坐标为(x, y),取为参数，根据点M满足
的几何条件，有
y
B
M C
OD
A
Ex
x OD OA DA OA MC r r sin,
y DM AC AB CB r r cos.
所以，摆线的参数方程为：
齿轮工作原理
课堂小结
摆线的参数方程
x
y
r( sin), r(1 cos).
(为参数)
渐开线的参数方程
x
y
r(cos r (sin
sin) cos)
(是参数)
作业
课本p47 1，2 推导短幅摆线、长幅摆线的参数方程.
B
O
M
Ax
BM (x r cos, y r sin) r(sin, cos)

高中数学第二章参数方程 2.4 平摆线和渐开线素材北师大版选修44

2.4 平摆线和渐开线一、平摆研究1、情境创设问题：如图，一个人的自行车外带上沾了一点白色油漆，当他骑车向前直行时，这个白色油漆斑点在空中会描出一条什么样的曲线？引导学生拖动点C ，使车轮在地面上滚动，观察点P 的轨迹；学生会发现，点P 的轨迹是一条以前没有研究过的曲线．从而引入主题，即：一个圆沿着一条直线作无滑动的滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，又叫旋轮线.．操作提示：先按【滚动】或直接拖动点C ，使得圆在直线上无滑滚动，初步认识、猜想点P 轨迹的形状；继而【追踪】，直观刻画点P 的轨迹形状，2、方程探究通过对平摆线的直观研究，可以发现平摆线的一些性质如：图象是由一些呈周期性排列的拱组成，每个拱的拱高为2r ，拱底长为2πr ．引导学生认识到进一步研究平摆线需要研究其曲线方程．以问题：“如何才能实现动圆在直线上无滑滚动呢？”为主线引导学生在实验平台中探究，学生容易发现在滚动过程中保持线段AC 及弧长»PC的长度相等，从而进一步尝试方程的推导如下：设(),P x y 是轨迹上任一点，COP θ∠=则»AC CPr θ== 那么()sin (1cos )x AD AC CD r y DP r θθθ==-=-==-，从而得出相应的轨迹参数方程．操作提示：按【比较】会显示线段AC 及弧长»PC的动态度量值，从而能帮助学生认识其中的规律．3、平摆变幅在问题：“P 点的轨迹是平摆线，若直线OP 上另有一点Q ，那么圆在直线上作无滑滚动时，Q 点的轨迹如何呢？”的指引下，引导学生探究相应的轨迹，从而得出下列结论：一个圆沿着一条直线作无滑动的滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，圆内一个定点的轨迹叫做短幅平摆线；圆外一个定点的轨迹叫做长幅平摆线．操作提示：按纽【轨迹】会给出点Q的轨迹，拖动点Q能帮助学生初步对变幅摆线形成动态印象；按纽【比较】会给出两条典型的短幅摆线和长幅摆线，再次拖动点Q可以帮助学生形成整体动态认识，从而能认识到可以根据点Q相对于圆的位置对变幅摆线加以分类．二、拓展研究1、外摆线探究有了平摆线的研究经历和基础，学生对类似情境“动圆在定圆外滚动会得到什么样的曲线呢”的研究会产生极大的兴趣．学生在如图所示的实验平台中容易发现，轨迹是一条与平摆线相似的曲线，从而引出探究主题，即动圆在定圆外无滑滚动时，动圆圆周上的一个定点的轨迹是外摆线．操作提示：与平摆线的研究相类似，学生在外摆线的探究上也须经历一个由感性认识到理性升华的过程，先让学生在【滚动】中猜想外摆线的形状，通过【追踪】验证直觉判断，继而通过【比较】度量值的大小，从而对动圆在定圆外无滑滚动有所感悟，从而对外摆线有个全面而深刻的认识．2、摆线拓展在前面探究的基础上，改变相应的R、r的值，可以得到不同类型的摆线模型，初步认识到摆线的形状取决于R、r的比例．操作提示：选中参数R或r的度量值，按动小键盘上的“+”或“-”改变相应参数的值，可以发现摆线的形状发生变化，当r值为负时表示动圆在定圆内滚动；拖动半径r的两端点可以改变图形的大小，从而能在屏幕上得到合适的显示．3、摆线全景在实验平台中同时显示四个图，目的是让学生对摆线形成整体认识，即摆线包括三种类型：外摆线、内摆线、环摆线，并在比较中归纳出摆线的分类（如下表，根据R、r的相对比例）：操作提示：按动按纽【选中R】将选中全部四个图中参数R，这样再按小键盘上的“+”或“-”就可以同时改变四个图中的参数了，从而可以地实现对摆线的整体研究，按动按纽【选中r】也有相类似的效果．在R或r的值过大的情况下，对应的图形也会超出相应的范围，这样不利于观察图形的特征，可以拖动绿色点（与红色点接近图形缩小，反之则图形放大）后再按按纽【统一长度】即可解决问题．4、摆线变幅在顺利研究了摆线的分类后，与平摆线的变幅相类似，学生在问题“P点的轨迹是摆线，若直线OP上另有一点Q，那么动圆P在定圆O外（或内）作无滑滚动时，Q点的轨迹如何呢”的引领下，很自然地会想到研究摆线的变幅．在相应数学实验平台的支持下，学生容易认识到：当Q点在圆P上时，Q点的轨迹是摆线；当Q点在圆P内时，Q点的轨迹是短幅摆线；当Q点在圆P外时，Q点的轨迹是长幅摆线．操作提示：在显示【轨迹】的基础上，拖动点Q，随着点Q相对于动圆的位置不同，将产生不同的变幅摆线；同时也可改变参数R或r，观察不同类型的摆线的变幅，感受其异同之处，对摆线的变幅形成整体认识．5、哥白尼定理在摆线全景中，学生会发现特殊情形下的摆线会成为一条直线，从而产生探究兴趣．动圆P在定圆O内无滑滚动且R=2|r|时，动圆上一个定点的轨迹是定圆的一条直径（哥白尼定理）．根据哥白尼定理，可以把旋转运动变成往返的直线运动，这一定点机械设计上是很有用的．上述条件下，动圆所在平面内与动圆固定地连接在一起的圆内（或圆外）一点的轨迹是椭圆（卡丹转盘）．操作提示：拖动点Q，当Q与点P重合时，对应的变幅曲线是圆；当Q点处于其他位置时，相应的变幅曲线为一椭圆．。

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2 6 2
探究一
探究二
探究三
探究二求渐开线的参数方程
正确求解此类问题的前提是记住渐开线的参数方程的形式,明确每个字母的意义. 关键是求出圆的半径.
典型例题2
有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为32 mm,求齿廓线的渐开线的参数方程. 思路分析:直接利用圆的渐开线的参数方程来求解.
解:因为基圆的直径为 32 mm, 所以基圆的半径为 16 mm, 因此齿廓线的渐开线的参数方程为 �� = 16(cos�� + ��sin��), (φ 为参数). �� = 16(sin��−��cos��)
探究一
探究二
探究三
解 :(1)圆 C 平移后圆心为 O(0,0),它到直线 x-y-6 2 =0 的距离为 d= =6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的. �� = 6��−6sin��, (2)由于圆的半径是 6,所以可得摆线方程是 (φ 为参 �� = 6−6cos�� 数). (3)令 y=0,得 6-6cos φ=0⇒cos φ=1,所以 φ=2kπ(k∈Z).代入 x=6φ-6sin φ,得 x=12kπ(k∈Z),即圆的摆线和 x 轴的交点为(12kπ,0)(k∈Z).
§4 平摆线和渐开线
4.1 平摆线 4.2 渐开线
学习目标 1.了解平摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程. 2.了解平摆线和渐开线在实际中的作用.
思维脉络
1
2
一、平摆线
1.平摆线(旋轮线) 一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时,我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线),如图.
探究一
探究二
探究三
解:令 r(1-cos φ)=0,可得 cos φ=1. 所以 φ=2kπ(k∈Z),代入可得 x=r(2kπ-sin 2kπ)=1. 1 所以 r=2��π. 又根据实际情况可知 r 是圆的半径,故 r>0. 所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N+. 所以所求摆线的参数方程是 1 �� = 2��π (��−sin��), (φ 为参数)(其中 k∈N+). 1 �� = 2��π (1−cos��)
探究一
探究二
探究三
点评
求渐开线的参数方程,只需知道半径即可.
变式训练 2 已知圆的直径为 2,其渐开线上两点 A,B 对应的标准形式的参数方程中的参数分别是3 和 2,求 A,B 两点的坐标.
π π
探究一
探究二
探究三
π ,1 2
∴|AB|=
=
5π 2 4
π
+1 2
2
+ (1−π)2
2
−π + 2 =
5π 2 −4π +8 2
5π 2 −4π+8
.
答案:
探究一
探究二
探究三
探究一求平摆线的参数方程
求平摆线的参数方程,只需由题意求出圆的半径r即可.
典型例题1
平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线的参数方程.
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做一做1
半径为4的圆的渐开线的参数方程为 .
�� = 4(cos�� + ��sin��), 答案: (φ 为参数) �� = 4(sin��−��cos��)
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做一做2
π 当 φ 为2 ,π 时,圆的渐开线
�� = cos�� + ��sin��, 上对应点 A,B 之间的距 �� = sin��−��cos��
探究一
探究二
探究三
点评
典型例题1中的易错点是误把点(1,0)中的1或0当成φ的值,代入参数方程中求出x 和y的值;或者在求出sin φ=1后,直接得出φ=0,从而导致答案不全面.
探究一
探究二
探究三
�� = 1 + 6cos��, 变式训练 1 已知圆 C 的参数方程是 (α 为参数)和直 �� = −2 + 6sin�� 线 l 对应的普通方程是 x-y-6 2=0. (1)如果把圆心平移到原点 O,请问平移后圆和直线有什么关系? (2)写出平移后圆的摆线方程. (3)求摆线和 x 轴的交点.
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温馨提示
摆线的特征
圆的摆线每一拱的宽度等于圆的周长,拱高等于圆的直径(摆线在它与定直线的
两个相邻交点之间的部分叫作一个拱).
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二、渐开线
1.渐开线、基圆把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上,将铅笔系在绳的外端,把绳拉紧再逐渐地展开,要求绳的拉直部分和圆保持相切,此时,铅笔尖所画出的曲线称为此圆的渐开线,此圆称为渐开线的基圆,如图.
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2.平摆线(旋轮线)的参数方程半径为r的圆在x轴上滚动,起点为原点O,它的平摆线的参数方程为
�� = ��(��−sin��), (-∞<α<+∞). �� = ��(1−cos��)
3.平摆线的性质
当圆滚动半周时,过定点M的半径转过的角度是π,点M到达最高点(πr,2r),再滚动半周,点M到达(2πr,0),这时圆周和x轴又相切于点M,得到平摆线的一拱.圆滚动一周时,平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是2r,最小值是0,即平摆线的拱高为2r.
�� = ��(��−sin��), (φ 为 �� = ��(1−cos��) 参数),可知只需求出其中的 r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一确定,因此只需把点 (1,0) 代入参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式. 思路分析:根据圆的摆线的参数方程的表达式
离为
.
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解析:当 φ= 时,
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π
�� = cos 2 + 2 sin 2 = 2 , �� = sin 2 − 2 cos 2 = 1, .
π π π
π
π
π
π
∴点 A 为
当 φ=π 时,
Байду номын сангаас
�� = cos π + πsin π = −1, �� = sin π−πcos π = π, ∴点 B 为(-1,π).