四川省德阳五中2018-2019学年高三数学上学期第一次月考试题文

3
C
B
D
C
D
兀
C
B
D
6 3 3 i-i+i
确敎'
ttIK
C B D
C
B D
x 2 ■tfas/
A. d,2?
1 2
4
6 6
兀亠5
兀
兀亠2兀
A. x 2
JI
A.-
3
2
x 2彳 y 1
A. 2018年德阳五中高三第一次月考数学文科试题
1.已知集合 M =「x|x 2 =1、N =(x| x 2 _3x 2 =0?,则 M 一 N 二 3.在.ABC 中，若 \3a=2bsi nA ,则.B 为 4.某锥体的正视图和侧视图如下图
，其体积为 乙3 ,则该锥体的俯视图可以是
3
圆的方程是 （本题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给的四个选项中，只有一项
1-1,1,2
：
1 3i
1亓
5.某程序框图如图所示 ,若输出的S=120,则判断框内应为 A. k 4? B.
k 7?
2 2
x y
2
2
6.若椭圆— 2 =1过抛物线y =8x 的焦点，且与双曲线x
a b
2
-y =1有相同的焦点，则该椭
•选择题: 符合）
2.已知Z =2 - i ,则复数z 二
1 i
k 5?
C. k 6?
D.
A. -1 3i
B. 1 -3i
iEttS
:-T
y _x
i
7. 已知x, y 满足不等式组 x y - 2,则目标函数z = 2x y 的最大值为
x _ 2
A. 10
B.
8 C. 6 D. 4
8. 设0,€2为单位向量,其中向量a=2e +仓，向量b=€2,且向量a 在b 上的投影为2,则e 与
e 2的夹角为
" 兀 r
兀— 兀 f
n A. — B.
—
C.
一
D.
—
6 4 3
2
9.如图，直三棱柱ABC - ARG 中，若.BAC =90： , AB 二AC 二AA ,,则异面直线BA ,与
A. 60
B. 90
C.
120 D. 150;
10.若实数a,b,c ・R ,且ab ac bc 2・5 = 6-a 2,则2a b c 的最小值为
2 学校为进一步了解学生的身体素质 ，在第1组、第2组、第3组中用分层抽样的方法抽
B.
.5 1 C. 2.5 2 D. 2.5-2
AC i 所成的角为
A.
11.当曲线y - - 4-x2与直线kx-y • 2k -4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围
In x 1 1
12.已知函数f(x) ,若x1, x2都大于0,且x1 x2 ::: e,则的取值范围是
x x-i x2
A. 1, ：：
B. e, ：：
C. e, ：：
D. 2,::
12 丿
二•填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知条件p : x2 - 3x 2 0 ；条件q：x：：：m,若「p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____________________ .
14. 数列:a n ［满足<：a ^ij'3_a i n _3, n ，7,且订/是递增数列，则实数a 的取值范围是
a , n >7
15. 平面向量a =(1,2), 8 =(6,3 ), W = ma + g (m E R ),且2与1的夹角等于C 与b 的夹角, 则 m = _________ .
16. 已知函数f(x)=sinx +J 3cosx ,则下列命题正确的是 ___________________ .
①函数f(x)的最大值为.3 1 ；②函数f (x)的图象与函数h(x)=-2cos X •的图象关
I 6丿
于x 轴对称；③函数f (x)的图象关于点
-一,0对称；④若实数 m 使得方程f(x)=m 在
I 6丿
［0,2二］上恰好有三个实数解 X 1,X 2,X 3,则X 1 • X 2 x 3 2-；
三•解答题：(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第
每个试题考生都必须作答，第 22、23题为选考题，考生根据要求作答
.)
(一)必考题：共 60分。

17.已知等差数列 的前n 项和S n 满足& = 0,S 5 = -5 .
18.人的体重是人的身体素质的重要指标之一
.某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体重
(公斤),体重在40公斤至65公斤之间，按体重进行如下分组：第1组［40,45),第2组［45,50), 第3组［50,55),第4组［55,60),第5组［60,65］,并制成如图所示的频率分布直方图 ，已知第1
组与第3组的频率之比为1:3,第3组的频数为90.
19.如图，在四棱锥P —ABCD 中， ABC 为正三角形，AB_AD,AC_CD,
17~31题为必考题, (1)求 3n ' 的通项公式;
(2)求数列 -一
I. a 2n 」a 2n 1
的前n 项和.
PA 二AC , PA _ 平面ABCD.
(1) 若E为棱PC的中点，求证：PD _平面ABE ；
(2) 若AB=3,求点B到平面PCD的距离•
2 2 /T
20.已知椭圆C ：:X2 -y2 = 1(a b 0)的离心率为—,若圆x2y2 = a2被直线
a b 2
=0截得的弦长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
⑵已知点A、B为动直线y=k x -1 , k=0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定
f X —+ —+ Z Z_. , r li―i—-
点M ,使得MA MB为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值;若不存在，请说明理由.
1 2
21.己知函数f(x)=lnx ax2 x, a R
2
(1)若f(1)=0,求函数f (x)的单调递减区间;
(2)若关于x的不等式f (x) — ax -1恒成立,求整数a的最小值;
e
(3)若a = -2 ,正实数x i, x2满足f (xj •f (x2) •XM2= 0 ,证明：x-i x2
5
(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分.
22. ［选修4—4:坐标系与参数方程］(10分)
在平面直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单
42 x = 3 ——t 位，已知曲线C的极坐标方程为P =2J5s in G,直线I的参数方程为彳2
( t为
参
厂丘
y 5 t I 2 数).
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线I的普通方程.
⑵若P (3, J5 J直线I与曲线C相交于M , N两点，求PM | + PN的值•
23. ［选修4—5:不等式选讲］(10分)
已知函数f(x)=|x—x+3.
⑴解不等式f x - 2 x 0 ;
⑵若关于x的不等式f x空a2-2a在R上的解集为R，求实数a的取值范围
参考答案
一•选择题：1—5: BBCCB 6 —10: DCCAD 11 —12: CA
二•填空题：13: 3 14 : 2,3 15 : 2, ：：16 :②④
三•解答题:
17. 解:( 1) .设 & 的公差为d ,则& = na1 - d ,
2
由已知可得曲3d =Q,
53] +10d = -5
解得a^i = 1,d - -1.
故「a n ?的通项公式为a n = 2 - n.
1 1 F1 1 1 1 1 1 \ n
从而数列彳——1——'的前n项和为丄|丄_丄+丄_1+川+一 -一 =」一
J a2n」a2n1〔 2 -1 1 1 3 2n-3 2n-1 1 - 2 n
18.解：（1）.设该校抽查的学生总人数为n ,第2组、第3组的频率分别为p2, p3,则
90
p3=0.025 3 5 =0.375,所以n 240 ,由
P3
P2 0.375 • 0.025 0.013 0.037 5 = 1,解得P2 = 0.25 ,所以该校抽查的学生总人数为
240人，从左到右第2组的频率为0.25.
（2）.前3组的频率之比是1:2:3 ,则按照分层抽样，这6人的构成是第1组1人（不妨设为A）, 第2组2人（不妨设为B1,B2）,第3组3人（不妨设为C1,C2,C3）,从这6人中任选两人有
AB1 , AB2 , AC1 , AC2 , AC3 , B1+ B2 , BlG , B1C2 , B1C3 , B2C3 , B2C2 , B2C1 , C1C2 , C1C3 .
C2C3,共15个结果，而这2人来自同一组的情况有B+ B2 , C1C2, C1C3. C2C3,共4个结果，
4
所以这2人来自同一组的概率p =丄.
19.解：
15
(1).因为PA —平面ABCD, CD 平面ABCD ,
（2）.由（1 ）知
1
a
2n」a2n 1
1 1 1
= --------------- =— ------- 3 -2n 1-2n 2 .2n -3
丄2n-1
所以PA _ CD . ••• AC _ CD , PA「AC = A,
所以CD —平面PAC .而AE平面PAC , ••• CD — AE . PA = AC , E是PC的中点，••• AE _ PC .又PC「CD =C ,
所以AE—平面PCD .而;PD 平面PCD, • AE — PD.
则x 1 X2 =
4k 2 1 2k 2 2k -2
X 1 X 2
2 1
2
1 2k 2
••• PA_底面 ABCD , •••平面 PAD_平面 ABCD ,又 AB_ AD , 面面垂直的性质定理可得 BA_平面PAD , AB_ PD . 又T AB 「AE = A , • PD_平面 ABE .
(2).因为PA_平面ABCD ,所以PA_AC ,
所以PC =3、. 2.由1的证明知，PA_平面PAC ,
所以CD _ PC .因为AB _ AD ,厶ABC 为正三角形，
所以 CAD =30 ,因为 AC _CD ,所以 CD^ACtan30=” 3.
设点B 到平面PCD 的距离为D , 在 BCD 中，BCD =150 ,
1
113 所以 S BCD 3 .3 sin150
3 、3 3.
2
2
2 4
所以V p 上CD
2 X 2
y 2
(2).假设在x 轴上存在定点 M m,0 ,使得MA MB 为定值.
设 A 为，％ , B X 2, y 2 ,联立｛x 2
2
,化为 1 2k 2 x 2 -4k 2x 2k 2 -2 =0,
y 二 1
2
则 V B _PCD
3'2
"却
因为V B -PCD =V
P-BCD ,
所以込二
2 4
,解得
=312 ,即点B 到平面PCD 的距离为 ±2 .
4
4
20.解：(1).圆x 2
y^a 2
的圆心 0,0到直线x -y -、.2：
=0的距离d
•- 2=2. a 2 -12,解得 a 2
=2,又-
a
2 2 2
,a =b c ,联立解得：
0- <2
a 2 = 2, c = 1二
b .
•椭圆C 的标准方程为 =1.
2
=1,
MA MB = % _ m,比
x 2 - m, y^ = x^ m x? _ m y 1y 2
2
2
2
2
2
=X -m E -m k 音 一 1 x 2 -1 = 1 k % x 2 -：；：m k i ［禺 x 2 i 亠 m k 口
ry r\
, J
令 2m -4m 1 =2 m -2 ,解得 m .
4
因此在x 轴上存在定点M -,0使得MA MB 为定值
14丿
a
21.解：(1).因为 f(1)=1
0,所以 a = 2, 2
2
f (x) = In x -x x, x 0
此时
2
’ 1 -2x +x +1
f (x) 2x 1
x 0
x
x
由 f (x) <0,得2x 2 —x —1 0,
又x 0,所以x 1.
所以f(x)的单调减区间为 1,-
1
(2)
.由f (x)辽ax -1恒成立，得ln x
ax 2 • x _ ax -1在0,上恒成立, 2
问题等价于a _lnx x 1在o,七 上恒成立
1 2 .
x x
2
1
k 2
2k _2
4k 2
2
1 2k
.2
4k
2
. 2
-m k
2 m k 口
丿 1 +2k
2 2 2
k 2m -4m+1 +m -2
1 2k 2
7 16
ln x x 1 r
令 g x 7 ,只要 a-g X max .
^X 2 +x 2
,令g x =0,得- x Tn 2 '■1 2 1x
-In x , h x 在0,亠「j 上单调递减
1
不妨设 x-1 nx =0的根为x °.当x ・（O,X o ）时,g x 0 ；当x ・（x °, •：：）时,
2
g x ：0,
所以g x 在（0,x 。

）上是增函数；在（x 。

，=）上是减函数.所以
1 」ln
2 —1 0,h 1 - -1 ：：
2 4 2
1 1
所以 x 0 <1,此时1 2,即g x max ・1,2 .所以整数a 的最小值为2.
(3).当 a =「2 时,f (x) =1 n x x 2 x x 0
由 f (x-i ) f (x 2) XM 二 0
即 In x 1 x ； x 1 In 冷 X x 2 = 0
t _1
令 t=X 1X 2,则由't =tT nt 得，'：
t t
可知，•: t 在区间0,1上单调递减，在区间1, •::上单调递增
g X max 二 g X 。

二 In x ° x ° 1
1 2 尹0 X °
,1
1 2x 0 1 沧 1 1 X °
X °
2
因为h X 0 从而X 1 2 i
X 2 X 1
x 2 = x/2 Tn x 1x 2
所以，t _「1 =1,所以x1x2x1x2 -1
5—1 -、5 —1 e e
因此X! x2成立•又因为,所以X! x2
2 2 5 5
22.解：(1).曲线C的极坐标方程为r =2.、5si nr,即T2=2、、5r si nr,可得直角坐标方程
(t为参数)消去参数t可得普通方程
x2 y2 _2、5y 二0 •
(2).把直线l的方程代入圆的方程可得：t2-3・、2t • 4 = 0 ,则t1t^ 3 2 , t i t2二4 ,
PM + PN = t| +|t2| =|b +t2 =3/2
23.解：(1).不等式f(x—2)+x>0可化为x — 2+X A x + 1
当x ” 一1 时，一：；：x -2 厂x 八［x • 1 ,解得x 兮一3,即一3 ：：： x ” 一1; 当一1屋x空2时，一x -2 ［亠x x 1,解得x :: 1,即一1乞x ： 1;
当x 2时，x-2 • x x 1,解得x 3,即x 3
综上所述,不等式f x -2 • x • 0的解集为{x| -3 ：：： x :：: 1或x 3}.
(2).由不等式f(x)^a2—2a 可得x — x+3^a2—2a,
x—x+3 兰x—(x+3)=3, a —2a 兰3,即a —2a—330,
解得a % T或a _ 3,
故实数a的取值范围是a岂-1或a _3.
(1) 求该校抽取的学生总数以及第2组的频率；
取6人进行测试.若从这6人中随机选取2人去共同完成某项任务，求这2人来自于同一组的
概率•。