甘肃省2020-2021届高三数学上学期期末考试试题理

高三数学上学期期末考试试题 理
第I 卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

）
1．已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N= （ ） A ．｛-2，-1，0,1｝ B ．｛-3，-2，-1，0｝ C ．{-2，-1，0} D ．{-3，-2，-1 } 2．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R,2x 0>0 B ．存在x 0∈R,2x 0≥0 C ．对任意的x∈R,2x≤0 D ．对任意的x∈R,2x>0 3． 下列命题中，为真命题的是 ( ) A ．若ac>bc ，则a>b B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若a>b ，则<
D ．若ac 2>bc 2，则a>b
4．己知等差数列{}n a 中，1714a a +=，则4a =（ ） A ．7
B ．8
C ．14
D ．16
5. 若x ，y 满足约束条件10,
0,0,x y x y y -+≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．1-
B ．3-
C ．0
D ．2-
6. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4±
B ．4
C ．2±
D ．2
7. 函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值是（ ） A ．0
B ．1
C ．1-
D ．与a 有关
8．设m ，n 表示直线，α，β表示平面，下列命题为真命题的是( ) A ．若m ⊥α，α⊥β，则m ∥β
B.m ∥α，m ⊥β，则α⊥β
C ．若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥α
D ．m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n
9．已知向量(1,2)a =，(2,)b x =，a b +与b 平行，则实数x 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10.已知函数f(x)＝xln x ，则f(x) ( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减
C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增
D ．在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e 上单调递减 11．函数||
x y x x
=
+的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
12. 函数x
x x f 2
ln )(-
=的零点所在的大致区间是( ) A ．（1,2） B ．（e ，3） C ．（2，e ） D ．（e ，+∞） 第II 卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数()()()2log ,03,0x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩
，则14f f ⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的函数值是____________. 14．若x>o,y>0且2x+y=1，则
y
x 1
1+的最小值是 . 15．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .
16. 已知函数f(x)=4x 2
-kx-8在[5，20]上具有单调性，实数k 的取值范围是____________ 三、解答题（本题共6小题，第17小题10分、其余每小题12分，共70分） 17. 已知函数2
(sin cos )y x x =+
⑴求它的最小正周期和最大值；⑵求它的递增区间.
18. 已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2
－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；
(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围．
19．四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为BC 和PC 的中点. （1）求证：EF ∥平面PBD ；
（2）如果AB=PD ，求EF 与平面ABCD 所成角的正切值.
20．记等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知246a a +=，410S =.
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）令2n n n b a =()n N *∈，求数列{n b }的前项和n T ．
21. 在ABC ∆中，32b =6
cos A =
，2B A π=+．
（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求cos 2C 的值．
22．已知函数2
()1f x ax =+，（0a >），3
()g x x bx =+
（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a,b 的值
（2）当3,9a b ==-时，若函数()()f x g x +在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围。

答案
一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D
D
A
D
D
C
B
D
D
D
C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 19 １４．3+22 15. 2
3 16.
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.解⑴
222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2y x x x x x x x =+=++=+
22
T π
π∴=
=，112y =+=最大值 ⑵由2222
244
k x k k x k π
π
ππ
ππππ-+
⇒-+≤≤≤≤得要求的递增区间是
[]44
k k π
π
ππ-
+,
18.解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，
所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
所以f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x2－2x ，x ≥0，
－x2－2x ，x ＜0.
(2)方程f(x)＝a 恰有3个不同的解， 即y ＝f(x)与y ＝a 的图象有3个不同的交点．
作出y ＝f(x)与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f(x)＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1，
故实数a 的取值范围为(－1,1)．
19 . 证：（1）在△PBC 中，E 、F 为BC 和PC 的中点，所以EF∥BP .因此
EF PB
EF PBD EF PBD PB PBD ⎫⎪
⊄⇒⎬⎪⊂⎭
平面平面平面∥∥.
解：（2）因为EF∥BP，PD ⊥平面ABCD ，
所以∠PBD 即为直线EF 与平面ABCD 所成的角. 又ABCD 为正方形，2AB ，
所以在Rt △PBD 中，2
tan PB PBD BD ∠=
=. 所以EF 与平面ABCD 所成角的正切值为2
2
.
20.记等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知246a a +=，410S =.
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）令2n n
n b a =()n N *∈，求数列{n b }的前项和n T ．
（Ⅰ）设等差数列{n a }的公差为d ，由已知条件得
123413112424110,4,224,1,6,
6,
246,
1.
{
{
{
{
a a a a a a a d a a a a a a d d +++=+=+==+=+=+==⇒⇒⇒
可得数列{n a }的通项公式为n a =n . ------4分 （Ⅱ）231222322,n n T n =⨯+⨯+⨯+
+⨯
234121222322,n n
T n +=⨯+⨯+⨯+
+⨯
2312(12)2(23)2[(1)]22n n n
T n n n +∴=-+-+
+--+⨯-
=-2
31(22
22)2n n n ++++++⨯
=12(12)212
n n n +--+⨯- =
1(1)22n n +-+
21. 【答案】（Ⅰ）3a =（Ⅱ）
7
9
解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由6cos A =
，(0,)A π∈得23sin 1cos A A =-=． 因为2
B A π
=+
， 由正弦定理
sin sin a b A B
=，
得sin()322
a A A π
+
=，即3cos 32a A =， 所以3a =． （Ⅱ）因为6
cos 3
A =
，2B A π=+，
所以6sin sin()cos 2
3B A A π
=+
==
，23cos 1sin 3
B B =-=-． 所以1
sin sin()sin()sin cos cos sin 3
C A B A B A B A B π=--=+=⋅+⋅=． 故2
7
cos212sin 9
C C =-=．
22.【答案】3a b == 3k ≤-
【解析】（1）'()2f x ax =，'2
()3g x x b =+
∵曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线 ∴23a b =+，11a b c +=+= ∴3a b ==
（2）当3,9a b ==-时，2()31f x x =+，3()9g x x x =-，32
()()391f x g x x x x +=+-+ 令()()()F x f x g x =+，则'
2
()3693(3)(1)F x x x x x =+-=+-，令'
()0F x =，
123,1x x =-=∴(,3)(1,)-∞-+∞和为单调递增区间，(3,1)-为单调递减区间，其中F （-3）
=28为极大值，所以如果区间[k,2]最大值为28，即区间包含极大值点13x =-，所以3k ≤-
1、在最软入的时候，你会想起谁。

21.4.264.26.202106:2306:23:57Apr-2106:23
2、人心是不待风吹儿自落得花。

二〇二一年四月二十六日2021年4月26日星期一
3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。

06:234.26.202106:234.26.202106:2306:23:574.26.202106:234.26.2021
4、与肝胆人共事，无字句处读书。

4.26.20214.26.202106:2306:2306:23:5706:23:57
5、若注定是过客，没何必去惊扰一盏灯。

Monday, April 26, 2021April 21Monday, April 26, 20214/26/2021
6、生的光荣，活着重要。

6时23分6时23分26-Apr-214.26.2021
7、永远叫不醒一个装睡的人。

21.4.2621.4.2621.4.26。

2021年4月26日星期一二〇二一年四月二十六日 亲爱的用户：
相识是花结成蕾。

在那桃花盛开的地方，在这醉人芬
芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。