广东省湛江市2021届新高考二诊数学试题含解析

广东省湛江市2021届新高考二诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，则23z x y =+的最小值为（ ）
A ．2
B ．24
C ．16
D ．14
【答案】D
【解析】
【分析】
做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.
【详解】 做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
的可行域，如下图阴影部分，
根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，
由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42
x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ， 所以23z x y =+的最小值为14.
故选：
D.
【点睛】
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ）
A ．28
B ．14
C ．7
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得
1774()772
a a S a +==，即可求出结果． 【详解】
因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()7142
a a S a +=
==， 故选：B
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题． 3．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，
,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）
A ．34
B ．13
C ．12
D ．
14 【答案】A
【解析】
【分析】
如图设AF ⊥平面BCD ，球心O 在AF 上，根据正四面体的性质可得34
AO AF =
，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出x y z ++的值.
【详解】
如图设AF ⊥平面BCD ，球心O 在AF 上，由正四面体的性质可得：三角形BCD 是正三角形，
233BF ==，3
AF ==，在直角三角形FOB 中，
222222()(334
OB OF BF OA AO AO =+⇒=-+⇒=， 34AO AF =，=+u u u r u u u r u u u r AF AB BF ，AF AD DF =+u u u r u u u r u u u r ，AF AC CF =+u u u r u u u r u u u r ，因为F 为重心，因此0FB FC FD ++=u u u r u u u r u u u r r ，则3AF AB AC AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此()
14AO AB AC AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此14
x y z ===，则34x y z ++=，故选A.
【点睛】
本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题. 4．下列不等式正确的是（ ）
A ．3sin130sin 40log 4>>o o
B ．tan 226ln 0.4tan 48<<o o
C ．()cos 20
sin 65lg11-<<o o
D ．5tan 410sin 80log 2>>o o 【答案】D
【解析】
【分析】 根据3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)sin 70sin 65<1<<<-=>o o o o o ，利用排除法，即可求解．
【详解】
由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>o o o o o o ，
可排除A 、B 、C 选项， 又由551tan 410tan 501sin80log 5log 22
=>>>
=>o o o ， 所以5tan 410sin 80log 2>>o o ． 故选D ．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r ，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数
λ=( )
A ．33
B ．32
C ．63
D ．62
【答案】D
【解析】
将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
中计算即可.
【详解】 由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，知O 为ABC ∆的重心， 所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ， 所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u r u u u r
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC =u u u r u u u r ，||||
AB AC λ===u u u r u u u r . 故选：D
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
6．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:
得到正确结论是( ) A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”
D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”
【答案】B
【解析】
【分析】
通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.
【详解】
解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.
【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.
7．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( )
A ．－30
B ．－40
C ．40
D ．50
【分析】
先写出()5
2x y -的通项公式，再根据33x y 的产生过程，即可求得. 【详解】
对二项式()52x y -，
其通项公式为()()()555155221r r r
r r r r r r T C x y C x y ---+=-=- 5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数
是()5
2x y -展开式中23x y 的系数与32x y 的系数之和. 令3r =，可得23x y 的系数为()3
3252140C -=-； 令2r =，可得32
x y 的系数为()2
2352180C -=； 故5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为804040-=. 故选：C.
【点睛】
本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.
8．要得到函数()sin(3)3f x x π=+
的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ） A ．向右平移
3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移
6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移
3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移
6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 【答案】D
【解析】
【分析】
先求得()'f x ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】 依题意()'553cos 33cos 33sin 33626f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3f x x π
=+向左平移6π
个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
9．已知()()11,101,012
x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是
( )
A ．{}()81,-⋃+∞
B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦
C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦
D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞
【答案】B
【解析】
【分析】 求出()f x 的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出a 的范围即可．
【详解】
解：令10x -<<，则011x <+<， 则1(1)2
x f x ++=， 故21,101(),012
x x f x x x ⎧--<<⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩„，如图示： 由()21f x ax a -=-，
得()(21)1f x a x =+-，
函数(21)1y a x =+-恒过1(2
A -，1)-， 由1(1,)2
B ，(0,1)
C ， 可得1121112
AB k +==+，2OA k =，11412AC k +==， 若方程()21f x ax a -=-有唯一解，
则122a <„或24a >，即1a 12
<„或2a >；
当22111
ax a x +-=-+即图象相切时， 根据0∆=，298(2)0a a a --=，
解得16(0a =-舍去），
则a 的范围是{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦
， 故选：B ．
【点睛】
本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．
10．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56
B ．72
C ．88
D ．40 【答案】B
【解析】
【分析】
2319a a a =⇔2111(2)(8)a d a a d +=+，将12a =代入，求得公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式计算即可.
【详解】
由已知，2319a a a =，12a =，故2111(2)(8)a d a a d +=+，解得2d =或0d =（舍），
故2(1)22n a n n =+-⨯=，1888()4(228)722
a a S +=
=+⨯=. 故选：B.
【点睛】 本题考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.
11．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为
98
，则5S 的值是( )
A ．29
B ．30
C ．31
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】
设正项等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．
【详解】
设正项等比数列的公比为q，
则a4=16q3，a7=16q6，
a4与a7的等差中项为9
8
，
即有a4+a7=9
4
，
即16q3+16q6，=9
4
，
解得q=1
2
（负值舍去），
则有S5=
()5
1
1
1
a q
q
-
-
=
5
1
161
2
1
1
2
⎛⎫
⨯-
⎪
⎝⎭
-
=1．
故选C．
【点睛】
本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．
12．若双曲线E：
22
1
x y
m n
-=(0)
mn>绕其对称中心旋转
3
π
后可得某一函数的图象，则E的离心率等于
（）
A
B
C．2
D．2
【答案】C 【解析】【分析】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o
，所以
b
a
=
，由
离心率公式e=即可算出结果. 【详解】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o ，又双曲线的焦点既可在x
轴，又可在y 轴上，所以3b a =或33，212b e a ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭
或233. 故选：C
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x ，y 满足约束条件10,240,2,x y x y y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩
，则z x y =+的最小值为__________.
【答案】3-
【解析】
【分析】
作出约束条件所表示的可行域，利用直线截距的几何意义，即可得答案.
【详解】
画出可行域易知z x y =+在点()1,2--A 处取最小值为3-.
故答案为：3-
【点睛】
本题考查简单线性规划的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于基础题.
14．设x ，y 满足约束条件2633x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，若3z x y a =++的最大值是10，则a =________.
【答案】72
-
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.
【详解】
画出不等式组表示的平面区域如下所示：
目标函数3z x y a =++可转化为133z a y x -=-+与直线13
y x =-平行， 数形结合可知当且仅当目标函数过点9,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，取得最大值， 故可得91092a =
++，解得72
a =-. 故答案为：72-. 【点睛】
本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.
15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin 3A B C +=，且1c =，则ABC ∆面积的最大值为________. 【答案】
24 【解析】
【分析】 利用正弦定理将角化边得到3a b +=1cos 1C ab
=-，根据同角三角函数的基本关系表示出sin C ，最后利用面积公式得到211121sin 12222
S ab C ab ab ab ab ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭由基本不等式求出ab 的取值范围，即可得到面积的最值；
【详解】
解：∵在ABC ∆中，sin sin 3A B C +=，∴33a b c +== ∴22222()21cos 122a b c a b ab c C ab ab ab
+-+--===-， ∴222112sin 1cos 11C C ab ab ab ⎛⎫⎛⎫=-=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴11sin 22S ab C ===
∵a b +=≥304ab <≤，当且仅当a b ==时等号成立，
∴S =≤=，∴ABC ∆
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.
16．已知1e u r ，2e u u r 是互相垂直的单位向量，12e -r u u r 与1e +u r λ2e u u r 的夹角为60°，则实数λ的值是__．
【答案】
3
【解析】
【分析】
根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．
【详解】 解：由题意，设1e =u r （1，0），2e =u u r （0，1），
12e -=r u u r 1），
1e +u r λ2e =u u r （1，λ）
； 又夹角为60°，
12e -r u u r ）•（1e +u r λ2e u u r ）=λ＝2cos60°，
λ=
解得λ=
【点睛】
本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数．
（1）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可）
（2）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）
（3）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．
【答案】（1）{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．（2）{0,,,}b c b c +；证明见解析．（3）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；
（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，由0S ∈知0a =；由0d c S <-∈可知d c c -=或d c b -=，分别讨论两种情况可的结果；
（3）记1009n =，则21S n =+，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，由归纳推理可求得()1i x im i n =≤≤，从而得到22n M x nm ==，从而得到S ，可知存在元素m 满足题意.
【详解】
（1）{}0，{}0,1，{}0,2，{}0,1,2．
（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，
则由题意：d d S +∉，故0S ∈，即0a =，
考虑,c d ，可知：0d c S <-∈，d c c ∴-=或d c b -=，
若d c c -=，则考虑,b c ，
2c b c c d <+<=Q ，c b S ∴-∈，则c b b -=，
{},,2,4S a b b b ∴=，但此时3b ，5b S ∉，不满足题意；
若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，
{0,,,}S b c b c ∴=+，其中,b c 为相异正整数．
（3）记1009n =，则21S n =+，
首先，0S ∈，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=，
分别考虑M 和其他任一元素i x ，由题意可得：i M x -也在S 中，
而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<，()21i n i M x x i n -∴-=≤≤，
2
n M x ∴=， 对于1i j n ≤<≤，考虑2n i x -，2n j x -，其和大于M ，故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈，
特别的，21x x S -∈，2122x x m ∴==，
由31x x S -∈，且1313x x x x <-<，3213x x x m ∴=+=，
以此类推：()1i x im i n =≤≤，
22n M x nm ∴==，此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，
故S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．
【点睛】
本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.
18．已知函数()||,f x x x a a R =+∈．
（1）若()()111f f +->，求a 的取值范围；
（2）若0a <，对,(,]x y a ∀∈-∞-，不等式3(2
)4f x y y a ≤+++恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）[)3,0-.
【解析】
【分析】
（1）分类讨论1a ≤-，11a -<<，1a ≥，即可得出结果；
（2）先由题意，将问题转化为3))42((max min f x y a y ≤+
++即可，再求出()max f x ，423a y y +++的最小值，解不等式即可得出结果.
【详解】
（1）由()()111f f +->得111a a +-->，
若1a ≤-，则111a a --+->，显然不成立；
若11a -<<，则111a a ++->，12
a >，即112a ＜＜； 若1a ≥，则111a a +-+>，即21>，显然成立，
综上所述，a 的取值范围是12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，
． （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需3))42((max min f x y a y ≤+
++， 当(,]x a ∈-∞-时，()()f x x x a =-+，所以2()24
max a a f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；
因为22
3344a y y a +++≥-， 所以23442
a a ≤-，解得31a -≤≤，结合0a <， 所以a 的取值范围是[)3,0-．
【点睛】
本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.
19．设2()x f x xe ax =-，2ln ()1(0)e g x x x a a x =+-+-
> （1）求()g x 的单调区间；
（2）设()()()0h x f x ag x =-≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+∞；（2）0a e <≤
【解析】
【分析】
（1）'(21)(1)()x x g x x -+-=
，令()'0g x >，()'0g x <解不等式即可； （2）'(1)()(1)(1)()x x a x a h x x e x e x x
+=+-=+-，令()0h x '=得0x ，即00x a e x =，且()h x 的最小值为()00000ln x h x x e a x ax a e =---+，令()00h x ≥，结合00x a e x =
即可解决. 【详解】
（1）'1(21)(1)()12x x g x x x x
-+-=+-=，(0,)x ∈+∞ 当()0,1x ∈时，()'0g x >，()g x 递增，
当(1,)x ∈+∞时，()'
0g x <，()g x 递减. 故()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+∞.
（2）()()()ln x
h x f x ag x xe a x ax a e =-=---+， '(1)()(1)(1)()x x a x a h x x e x e x x
+=+-=+-， 0a >，设()0h x '=的根为0x ，即有00
x a e x =可得， 00ln ln x a x =-，当()00,x x ∈时，()'0h x <，()h x 递减，
当0(,)x x ∈+∞时，()'
0h x >，()h x 递增. ()0min 0000()ln x h x h x x e a x ax a e ∴==---+
()0000
ln a x a x a ax a e x =+---+ ln 0e a a =-≥，
所以ln a a e ≤，
①当(0,1],ln 0a a a e ≤≤<；
②当1a >时，设()ln a a a ϕ=，()1ln 0a a ϕ'=+>
()ln a a a ϕ=递增，ln a a e ≤，所以1a e <≤.
综上，0a e <≤.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题，这里要强调一点，处理恒成立问题时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理.
20．如图，在四面体DABC 中，AB BC DA DC DB ⊥==，.
（1）求证:平面ABC ⊥平面ACD ；
（2）若30CAD ∠=︒，二面角 C AB D --为60o ，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（23【解析】
【分析】
（1）取AC 中点,F 连接,FD FB ，得,DF AC ⊥AB BC ⊥，可得FA FB FC ==，
可证DFA DFB V V ≌，可得DF FB ⊥，进而DF ⊥平面ABC ，即可证明结论；
（2）设,,E G H 分别为边,,AB CD BD 的中点，连,,,,DE EF GF FH HG ，可得//GF AD ，//,//GH BC EF BC ，可得FGH ∠（或补角）是异面直线AD 与BC 所成的角，BC AB ⊥，可得
EF AB ⊥，DEF ∠为二面角 C AB D --的平面角，即60DEF ∠=o ，设AD a =，求解FGH ∆，即可得出结论.
【详解】
（1）证明:取AC 中点,F 连接,FD FB ，
由,DA DC =则,DF AC ⊥
AB BC ⊥Q ，则FA FB FC ==，
故DFA DFB V V ≌，2DFB DFA π
∠=∠=，
,,DF AC DF FB AC FB F ⊥⊥⋂=Q
DF ⊥∴平面ABC ，又DF ⊂平面ACD ，
故平面ABC ⊥平面ACD
（2）解法一:设,G H 分别为边,CD BD 的中点，
则//,//FG AD GH BC ，
FGH ∠（或补角）是异面直线AD 与BC 所成的角.
设E 为边AB 的中点，则//EF BC ，
由,AB BC ⊥知EF AB ⊥.
又由（1）有DF ⊥平面,ABC DF AB ∴⊥，
,EF DF F AB =⊥I 平面.,D F B E E D A ∴⊥，
所以DEF ∠为二面角C AB D --的平面角，60DEF ∴∠=o ，
设,DA DC DB a ===则2
a DF AD CAD =⋅∠= 在Rt DEF △
中，2a EF ==
从而12GH BC EF === 在Rt BDF V 中，122a FH BD =
=， 又122
a FG AD ==， 从而在FGH V 中，因FG FH =，
126
GH cos FGH FG ∴∠==，
因此，异面直线AD 与BC
所成角的余弦值为36
.
解法二:过点F 作FM AC ⊥交AB 于点,M
由（1）易知,,FC FD FM 两两垂直，
以F 为原点，射线,,FM FC FD 分别为x 轴，
y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F xyz -.
不妨设2AD =，由30CD AD CAD =∠=︒,，
易知点,,A C D 的坐标分别为()0,3,0,()()3,0, 0,0,1A C D - 则 (0)3,1AD =u u u r
显然向量()0,0,1k =r 是平面ABC 的法向量
已知二面角 C AB D --为60︒，
设(),,0B m n ，则22
3,,3,0()m n AB m n +==+u u u r 设平面ABD 的法向量为(),,n x y z =r ， 则(300030z AD n AB n mx n y ⎧+=⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=++=⎩⎪⎩u u u v v u u u v v 令1y =，则33n n m ⎛=- ⎝r 由2||31,234k n cos k n k n n m ⋅<>===⎛⎫++ ⎪⎝⎭u u r r r r r r 由上式整理得2923210n n +-=， 解之得3n =舍)或39
n =
4673,,099B ⎛⎫∴± ⎪
⎪⎝⎭4623,,099CB ⎛⎫∴=±- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ，
233,232AD CB cos AD CB AD CB ⋅<>===⨯u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为
36.
【点睛】
本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
21．在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A A B =-=，角C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值；
（2）求边c 的长. 【答案】（1）10sin B =
（2）13c = 【解析】
【分析】
（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理
sin sin a A b B =得到 310a =13c =． 【详解】
(1)因为角C 为钝角，3sin 5A =
，所以24cos 1sin 5A A =-= ， 又()1tan 3A B -= ，所以02
A B π<-< ，
且()()sin ,cos 1010A B A B -=-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦
3455101010
=⨯-⨯= . (2)因为sin 310sin a A b B == ，且5b = ，所以310a = ， 又()cos cos cos cos sin sin 510
C A B A B A B =-+=-+=- ， 则2222cos 952523105169510c a b ab C ⎛=+-=+-⨯⨯-
= ⎪⎝⎭ ， 所以 13c = .
22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：
，直线的参数方程为（为参数）
.直线与曲线交于，两点．
（I ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）；
（II ）设
，若，，成等比数列，求的值． 【答案】（I ），；（II ）.
【解析】
【分析】
（I ）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II ）联立直线的参数方程和C 的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.
【详解】
（I ）曲线：
，两边同时乘以 可得
，化简得）；
直线的参数方程为（为参数），可得 x-y=-1，得x-y+1=0；
（II ）将（为参数）代入并整理得
韦达定理：
由题意得
即 可得
即
解得 【点睛】
本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.
23．已知函数()1f x x =-，不等式()()15f x f x +-<的解集为{}
x m x n <<.
（1）求实数m ，n 的值；
（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +≥.
【答案】（1）1m =-，4n =.（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）分三种情况讨论即可
（2）将m ，n 的值代入，然后利用均值定理即可.
【详解】
解：（1）不等式()()15f x f x +-<可化为125x x -+-<. 即有1325x x ≤⎧⎨-<⎩或12x <<或2235x x ≥⎧⎨-<⎩
. 解得，11x -<≤或12x <<或24x ≤<. 所以不等式的解集为{}14x x -<<，故1m =-，4n =.
（2）由（1）知，0nx y m ++=，即41x y +=，
由0x >，0y >得，()1111445549x y x y x y x y y x ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭，
当且仅当4x y
y x
=，即1
6
x=，
1
3
y=时等号成立.故
11
9
x y
+≥，即9
x y xy
+≥.
【点睛】
考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.。