高考数学压轴专题宜宾备战高考《函数与导数》知识点总复习有解析

【高中数学】数学《函数与导数》复习知识点(1)
一、选择题
1．若函数32
1()1232b f x x x bx ⎛⎫=
-++ ⎪⎝⎭
在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（ ）.
A ．423
b -
B ．
3223
b - C ．0
D ．2
3
16
b b -
【答案】A 【解析】 【分析】
求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到
(2)f 是函数的极小值即可．
【详解】
解：2
()(2)2()(2)f x x b x b x b x '
=-++=--， ∵函数()f x 在区间[3,1]-上不是单调函数，
31b ∴-<<，
由()0f x '>，解得：2x >或x b <， 由()0f x '<，解得：2b x <<，
()f x ∴的极小值为()84
(2)424233
f b b b =-++=-，
故选：A. 【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.
2．函数2
2()41
x x x f x ⋅=-的图像大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
∵函数()2
2?41x x x f x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U
∴22
2()2()()4114
x x x x
x x f x f x --⋅-⋅-===--- ∴函数()f x 为奇函数，故排除B ，C. ∵2
(1)03
f =>，故排除D. 故选A.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
3．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4
C ．0
D ．﹣4
【答案】A 【解析】
()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处
的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，
()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．
4．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1
C ．1ln2-
D ．1ln2+
【答案】D 【解析】
由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000
002
ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，
0002ln kx x x ∴-=，00
2
ln k x x ∴=+
，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.
5．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋2
4x x
－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两
点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋
x 2的取值范围为
A ．（8
5，＋∞） B ．（
16
5
，＋∞） C ．[
8
5
，＋∞） D ．[
16
5
，＋∞） 【答案】B 【解析】 【分析】
利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2
的取值范围． 【详解】 由题得f′（x ）=4k k x +
﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()2
4x k x k x ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，（x ＞0，k ＞0）
由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），
即21144k k x x +
-﹣1=2
4
k k x +
﹣22
4x ﹣1， 化简得4（x 1+x 2）=（k+4
k
）x 1x 2， 而x 1x 2＜2
12(
)2
x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+
4
k ）21
2()2
x x +， 即x 1+x 2＞
16
4k k
+
对k ∈[4，+∞）恒成立， 令g （k ）=k+
4k
， 则g′（k ）=1﹣
24k =()()222k k k
+-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5， ∴
16
4k k
+≤16
5
， ∴x 1+x 2＞
165
， 故x 1+x 2的取值范围为（16
5
，+∞）. 故答案为B 【点睛】
本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题
的关键，属于中档题.
6．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22
a b a b
+-的最小值等于（ ）．
A B ．C ．2
D ．【答案】D 【解析】
试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1
a b
=
，即1ab =，0a b >>
22a b
a b
+-22()2()2
2()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+
---≥=
当且仅当2
a b a b
-=
-，即a b -=时等号成立
所以22
a b a b +-的最下值为故答案选D
考点：基本不等式．
7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ） A ．()()()0.6
33log 132f f f -<-<
B ．()()()0.6
332log 13f f f -<<-
C ．()()()0.6
3
2
log 133f f f <-<- D ．()()()0.6
3
2
3log 13f f f <-<
【答案】C 【解析】 【分析】
利用指数函数和对数函数单调性可得到0.6
32log 133<<，结合单调性和偶函数的性质可
得大小关系. 【详解】
()f x Q 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，
0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，
()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.
故选：C .
【点睛】
本题考查函数值大小关系的比较，关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，由自变量的大小关系，利用函数单调性即可得到函数值的大小关系.
8．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x
y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于
t 的不等式，求解.
【详解】
由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，
2a
x a
y b t
=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ，
即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】
本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
9．已知函数()2
f x x x =+，且()1
231ln
log 223a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
【答案】A 【解析】 【分析】
由函数()2
f x x x =+，可得()()f x f x -=，得到函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数
()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．
【详解】
由题意，函数()2
f x x x =+，满足()()2
2
()f x x x x x f x -=-+-=+=，
所以函数()f x 为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，
又当0x ≥时，()2
f x x x =+，由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递
增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数， 又由31ln
ln 22e <=，113222log log 1<=-，11
22
-=，
根据对称性，可得11
323(ln )(2)(log )2
f f f -<<，即a c b <<，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中得到函数的单调性与奇偶性，以及熟练应用对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．已知函数
在区间
上有最小值，则函数
在区间
上一定（ ）
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数
【答案】D 【解析】 【分析】 由二次函数
在区间
上有最小值得知其对称轴
，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间
上的单调性.
【详解】 由于二次函数
在区间
上有最小值，可知其对称轴
，
.
当时，由于函数
和函数在上都为增函数，
此时，函数在上为增函数；
当时，
在
上为增函数；
当时，由双勾函数的单调性知，函数
在
上单调递
增，
，所以，函数在
上为增函数.
综上所述：函数在区间
上为增函数，故选D.
【点睛】
本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对
的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
11．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>
C ．b a c >>
D ．c a b >>
【答案】B 【解析】
试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；
7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，
故正确答案为选项B ．
考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．
12．()263,0
34,0x x x x f x x ⎧---≤=⎨->⎩
，则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为（ ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】D 【解析】 【分析】
作出()f x 的图像，将()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数即()0f f x =⎡⎤⎣⎦的实数根个数，令
()t f x =，解()0f t =有三个实数根，再结合图像即可得到答案.
【详解】
由题意，()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数即()0f f x =⎡⎤⎣⎦的实数根个数， 作()f x 的图像如图所示，
设()t f x =，则()0f t =，
当0t ≤时，即2630t t ---=，解得，1236,36t t =-=- 当0t >时，即340t -=，解得33log 4t =； 结合图像知，()36f x =-
()36f x =-+3()log 4f x =时有三个根，
所以()0f f x =⎡⎤⎣⎦有7个根，即()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为7. 故选：D 【点睛】
本题主要考查函数的零点问题、解函数值以及一元二次函数和指数函数的图像，考查学生数形结合的思想，属于中档题.
13．已知函数()
()2f x x +∈R 为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对
称，当[]0,1x ∈时，()2020x
f x =，则()2020f =（ ） A ．2020 B ．12020
C ．11010
D ．0
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，由函数()f x 的对称性可得()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，进而可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得
()()20200f f =，由函数的解析式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数()2f x +为奇函数，即函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则有
()()4f x f x -=-+，
函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则()()2f x f x -=+， 变形可得：()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-， 则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，
()()()20200505400f f f ∴=+⨯==；
故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.
14．已知ln 3ln 4ln ,,34a b e c e
===（e
是自然对数的底数），则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据ln 3ln 4ln ,,34a b e c e
=
==的结构特点，令()ln x f x x =，求导
()2
1ln x
f x x
-'=，可得()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减，再利用单调性求解. 【详解】
令()ln x
f x x
=，
所以()2
1ln x
f x x
-'=， 当0x e <<时， ()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减. 因为34e <<，
所以 ()()()34>>f e f f ， 即b a c <<. 故选：C 【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性比较大小，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
15．已知函数2()f x x m =+与函数1()ln
3g x x x =--，1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5ln )4
[2,2+ B ．5
[2ln 2,
ln 2)4
-+ C ．5(ln 2,2ln 2)4
+- D ．(]2ln2,2-
【答案】A 【解析】 【分析】
将问题转化为()()f x g x =-在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恰有两个不同的解，令()()()h x f x g x =+，将问
题转化为()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个零点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性，进而确定
区间端点值和最值，由此构造不等式求得结果. 【详解】
()f x Q 与()g x 在1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，
()()f x g x ∴=-在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恰有两个不同的解，
即2
21ln
3ln 30x m x x x x m x +--=+-+=在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恰有两个不同的解， 令()2
ln 3h x x x x m =+-+，则()()()2211123123x x x x h x x x x x
---+'=+-==
， ∴当1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '<；当()1,2x ∈时，()0h x '>，
()h x ∴在1
,12
⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，
又15ln 224h m ⎛⎫
=--+
⎪⎝⎭
，()12h m =-，()2ln 22h m =-+， 原问题等价于()h x 在1
,22
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上恰有两个零点，
则5ln 2024m m --+≥>-，解得：5ln 224m +≤<，即m 的取值范围为5ln 2,24⎡
⎫+⎪⎢
⎣
⎭. 故选：A . 【点睛】
本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将两函数图象对称点个数的问题转化为方程根的个数的问题，进一步通过构造函数的方式将问题转化为函数零点个数
的问题.
16．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()80f x f x ++=，且()55f =，则()()20192024f f +=（ ）
A ．-5
B ．5
C ．0
D ．4043
【答案】B
【解析】
【分析】
根据(8)()0f x f x ++=得函数的周期为16，结合()55f =，(0)0f =即可求解.
【详解】
由(8)()0f x f x ++=，得(8)()f x f x +=-，
所以(16)(8)()f x f x f x +=-+=.故函数()y f x =是以16为周期的周期函数. 又在(8)()0f x f x ++=中，令0x =，得(8)(0)0f f +=，
且奇函数()y f x =是定义在R 上的函数，
所以(0)0f =.故(8)0f =.故(2024)(161268)(8)0f f f =⨯+==.
又在(8)()0f x f x ++=中，令3x =-，得(5)(3)0f f +-=.
得(5)(3)(3)5f f f =--==，则(2019)(161263)(3)5f f f =⨯+==.
所以(2019)(2024)5f f +=.
故选：B.
【点睛】
此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R 上的奇函数的特征求值.
17．函数()3ln 2x f x x x
=
+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．64y x =- B ．75y x =- C ．63=-y x D ．74y x =- 【答案】B
【解析】
【分析】
首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可.
【详解】
由函数的解析式可得：()221ln '6x f x x x -=
+， 则所求切线的斜率()221ln1'16171k f -==
+⨯=， 且：()012121
f =+⨯=，即切点坐标为()1,2，
由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-.
本题选择B 选项.
【点睛】
导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
18．[]()x a,b ,f x m ∀∈≥恒成立，等价于[]
()x a,b ,[f x ]m min ∈≥
19．如图，记图中正方形介于两平行线x y a +=与1x y a +=+之间的部分的面积为()S S a =，则()S a 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的部分特征，利用排除法，即可得到本题答案.
【详解】
①当011a ≤+<时，即10a -≤<，21()(1)2
S a a =+；
②当11a +=时，即0a =，1()2S a =. 由此可知，当10a -≤<时，21()(1)2S a a =
+且1(0)2S =，所以,,A B C 选项不正确. 故选：D
【点睛】
本题主要考查根据函数的性质选择图象，排除法是解决此题的关键.
20．设1
23log 2,ln 2,5a b c -===则
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．c b a << 【答案】C
【解析】
【分析】
由ln 2ln 2
ln 3
a b =<=及311log ,22a c >==<=可比较大小. 【详解】 ∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =
<=，即a b <．
又
3311log 2log ,22a c =>=
=<=．∴a c >．综上可知：c a b << 故选C.
【点睛】
本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.。