广宁县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

广宁县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知全集U=R ，集合M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（
）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无穷多个
2． 已知函数f （x ）＝（a ＞0且a ≠1），若f （1）＝1，f （b ）＝－3，则f （5－b ）＝{a x －1，x ≤1
log a 1
x ＋1
，x ＞1
)
（ ）
A ．－
B ．－141
2C ．－ D ．－345
4
3． △ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量
，
，若
，则角B 的大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 若复数z 满足=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）
A ．1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1﹣i
D ．﹣1+i
5． 设函数f （x ）在x 0处可导，则
等于（
）
A ．f ′（x 0）
B ．f ′（﹣x 0）
C ．﹣f ′（x 0）
D ．﹣f （﹣x 0）
6． 已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79），则以下结论正确的是（
）
A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定
B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定
C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定
D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定
7． 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可
知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=（）
A．B．
C．D．
12．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S的值为（）
A．9.6B．7.68C．6.144D．4.9152
二、填空题
13．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为______．
14．函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是 ．
15．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号）
①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；
③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P过定点A（﹣2，0），且在定圆B：（x﹣2）2+y2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．
16．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是.
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.17．已知（x 2﹣
）n ）的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，则展开式中常数项是 ．
18．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+6
x π
=()f x ___________．
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
三、解答题
19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．
（1）若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求m 的取值范围；（2）对于x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，求m 的取值范围．
20．（本小题满分12分）
如图长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，
BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝4，D 1F ＝8，过点E ，F ，C 的平面α与长方体的面相交，交线围成一个四边形．
（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）；（2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．
21．已知函数，，．()x
f x e x a =-+2
1()x g x x a e
=++a R ∈（1）求函数的单调区间；
()f x （2）若存在，使得成立，求的取值范围；[]0,2x ∈()()f x g x <（3）设，是函数的两个不同零点，求证：．
1x 2x ()f x 1
2
1x x e +<22．设A=，,集合2
{x|2x
+ax+2=0}2A ∈2{x |x 1}
B ==
（1）求的值，并写出集合A 的所有子集；
a （2）若集合,且,求实数的值。

{x |bx 1}C ==C B ⊆b 23．如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，且DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1D ⊥CD ，如图
2．
（Ⅰ）求证：平面A 1BC ⊥平面A 1DC ；
（Ⅱ）若CD=2，求BD 与平面A 1BC 所成角的正弦值；（Ⅲ）当D 点在何处时，A 1B 的长度最小，并求出最小值．
24．如图，平面ABB 1A 1为圆柱OO 1的轴截面，点C 为底面圆周上异于A ，B 的任意一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面A 1AC ；
（Ⅱ）若D 为AC 的中点，求证：A 1D ∥平面O 1BC ．
广宁县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M ∩N ，又由M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}得﹣1≤x ≤3，即M={x|﹣1≤x ≤3}，
在此范围内的奇数有1和3．
所以集合M ∩N={1，3}共有2个元素，故选B ．　
2． 【答案】
【解析】解析：选C.由题意得a －1＝1，∴a ＝2.若b ≤1，则2b －1＝－3，即2b ＝－2，无解．∴b ＞1，即有log 2＝－3，∴＝，∴b ＝7.
1b ＋11b ＋118
∴f （5－b ）＝f （－2）＝2－2－1＝－，故选C.
34
3． 【答案】B 【解析】解：若
，
则（a+b ）（sinB ﹣sinA ）﹣sinC （a+c ）=0，
由正弦定理可得：（a+b ）（b ﹣a ）﹣c （
a+c ）=0，
化为a 2+c 2﹣b 2=﹣ac ，
∴cosB=
=﹣
，
∵B ∈（0，π），∴B=，
故选：B ．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．　
4． 【答案】A 【解析】解： =i ，则=i （1﹣i ）=1+i ，可得z=1﹣i ．
故选：A．
5．【答案】C
【解析】解：=﹣=﹣f′（x0），
故选C．
6．【答案】C
【解析】解：∵某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79），∴μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，
∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，
故选：C．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
7．【答案】D
【解析】
8．【答案】B
【解析】
排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，可将7台型号相同的健身设备看成是相同的元素，首先分给甲、乙两个社区各台设备，再将余下的三台设备任意分给五个社区，分三种情况讨论分配方案，①当三台设备都给一个社区，②当三台设备分为1和2两份分给2个社区，③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区，分别求出其分配方案数目，将其相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，7台型号相同的健身设备是相同的元素，
首先要满足甲、乙两个社区至少2台，可以先分给甲、乙两个社区各2台设备，余下的三台设备任意分给五个社区，分三种情况讨论：
①当三台设备都给一个社区时，有5种结果，
②当三台设备分为1和2两份分给2个社区时，有2×C 52=20种结果，③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区时，有C 53=10种结果，∴不同的分配方案有5+20+10=35种结果；故选B ．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，其次注意型号相同的健身设备是相同的元素．
9． 【答案】D.
【解析】设，向量与的夹角为，，
，PO t =PA PB θPA PB ==1
sin 2t θ=，，
2
22cos 12sin 12t θ
θ=-=-∴222
cos (1)(11)PA PB PA PB t t t
θ==--> A
，依不等式的最小值为.
2223(1)PA PB t t t
∴=+-> A PA PB ∴
A 310．【答案】
B 【解析】111]
试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B ．
考点：几何体的结构特征．11．【答案】 C
【解析】解：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
∴R=
故选C．
【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
12．【答案】C
【解析】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（1﹣20%）x，
结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4=6.144．
故选：C．
二、填空题
13．【答案】
【解析】令，则
所以为奇函数且单调递增，因此
即
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性
去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
14．【答案】　（﹣1，﹣1）　．
【解析】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，
即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
15．【答案】　①③④　
【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，
当p 真q 假时，满足p ∨q 为真，但p ∧q 为假，则“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件正确，故①正确；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P ﹣ABC ，顶点P 在底面的射影为O ，则O 为△ABC 的中心，∠PCO 为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=
∵侧棱长为2，∴
在直角△POC 中，tan ∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A （﹣2，0）和定圆的圆心B （2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．
∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，
故动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆，故④正确，
故答案为：①③④
16．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的x 倍数的数，所以所有输出值的和.
54171311751=+++++
17．【答案】　45　．
【解析】解：第三项的系数为C n2，第五项的系数为C n4，
由第三项与第五项的系数之比为可得n=10，则T i+1=C10i（x2）10﹣i（﹣）i=（﹣1）i C10i=，
令40﹣5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（﹣1）8C108=45，
故答案为：45．
18．【答案】1
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，
当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，
则
解得﹣4＜m＜0
综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，
即恒成立．
令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当m＞0时，g（x）是增函数，
所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，
解得．所以
当m=0时，﹣6＜0恒成立．
当m＜0时，g（x）是减函数．
所以g （x ）max =g （1）=m ﹣6＜0，
解得m ＜6．
所以m ＜0．综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．
20．【答案】
【解析】解：
（1）交线围成的四边形EFCG （如图所示）．
（2）∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，
平面A 1B 1C 1D 1∩α＝EF ，
平面ABCD ∩α＝GC ，
∴EF ∥GC ，同理EG ∥FC .
∴四边形EFCG 为平行四边形，
过E 作EM ⊥D 1F ，垂足为M ，
∴EM ＝BC ＝10，
∵A 1E ＝4，D 1F ＝8，∴MF ＝4.
∴GC ＝EF ＝＝＝，
EM 2＋MF 2102＋42116∴GB ＝＝＝4（事实上Rt △EFM ≌Rt △CGB ）．
GC 2－BC 2116－100过C 1作C 1H ∥FE 交EB 1于H ，连接GH ，则四边形EHC 1F 为平行四边形，由题意知，B 1H ＝EB 1－EH ＝12－8＝4＝GB .
∴平面α将长方体分成的右边部分由三棱柱EHG ­FC 1C 与三棱柱HB 1C 1­GBC 两部分组成．
其体积为V 2＝V 三棱柱EHG ­FC 1C ＋V 三棱柱HB 1C 1­GBC
＝S △FC 1C ·B 1C 1＋S △GBC ·BB 1
＝×8×8×10＋×4×10×8＝480，1212∴平面α将长方体分成的左边部分的体积V 1＝V 长方体－V 2＝16×10×8－480＝800.
∴＝＝，V 1V 280048053
∴其体积比为（也可以）．533521．【答案】（１）的单调递增区间为，单调递减区间为；（２）或；（３）()f x (0,)+∞(,0)-∞1a >0a <证明见解析．【解析】
试
题解析： （1）．'()1x
f x e =-令，得，则的单调递增区间为；]
'()0f x >0x >()f x (0,)+∞令，得，则的单调递减区间为．
'()0f x <0x <()f x (,0)-∞（2）记，则，()()()F x f x g x =-21()2x x F x e x a a e
=--+-．1'()2x x F x e e =+
-
∵，∴，1220x x e e +-≥-='()0F x ≥∴函数为上的增函数，
()F x (,)-∞+∞∴当时，的最小值为．[]0,2x ∈()F x 2(0)F a a =-∵存在，使得成立，
[]0,2x ∈()()f x g x <∴的最小值小于0，即，解得或．1
()F x 20a a -<1a >0a <（3）由（1）知，是函数的极小值点，也是最小值点，即最小值为，
0x =()f x (0)1f a =+则只有时，函数由两个零点，不妨设，
1a <-()f x 12x x <易知，，
10x <20x >∴，1222()()()()f x f x f x f x -=--2222()()x x e x a e
x a -=-+-++2222x x e e x -=--令（），
()2x x h x e e x -=--0x ≥
考点：导数与函数的单调性；转化与化归思想．
22．【答案】（1），A 的子集为：，，，；（2）或或。

5a =-φ12⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}21,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭
011-【解析】
试题分析：（1）由有：，解得：，此时集合2A ∈222220a ⨯++=5a =-，所以集合的子集共有4个，分别为：，，，；（2）{}212520,22A x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭A φ12⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}21,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭
由题若，当时，，当时，或，当时，，{}1,1B =-C B ⊆C φ=0b =C φ≠{}1B ={}1B =-{}1C =1b =当时，，所以实数的值为或。

本题考查子集的定义，求一个集合的子集时，注意不要{}1C =-1b =-b 11-漏掉空集。

当集合时，要分类讨论，分和两类进行讨论。

考查学生分类讨论思想方法的应
A B ⊆A φ=A φ≠用。

试题解析：（1）由有：，解得：，2A ∈222220a ⨯++=5a =-{}212520,22A x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭
所以集合A 的子集为：，，，φ12⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}21,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭
（2）,由：当时，{}1,1B =-C B ⊆C φ=0
b = 当时，或，
C φ≠1b =1b =-所以实数的值为：或或b 011
-考点：1.子集的定义；2.集合间的关系。

23．【答案】
【解析】
【分析】（Ⅰ）在图1中，△ABC 中，由已知可得：AC ⊥DE ．在图2中，DE ⊥A 1D ，DE ⊥DC ，即可证明DE ⊥平面A 1DC ，再利用面面垂直的判定定理即可证明．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设平面A 1BC 的法向量为，利用，BE 与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）设CD=x （0＜x ＜6），则A 1D=6﹣x ，利用=（0＜x ＜6），即可得出．
【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，△ABC 中，DE ∥BC ，AC ⊥BC ，则AC ⊥DE ，
∴在图2中，DE ⊥A 1D ，DE ⊥DC ，
又∵A 1D ∩DC=D ，∴DE ⊥平面A 1DC ，
∵DE ∥BC ，∴BC ⊥平面A 1DC ，
∵BC ⊂平面A 1BC ，∴平面A 1BC ⊥平面A 1DC ．
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系：A 1（0，0，4）B （3，2，0），C （0，2，0），D （0，0，0），E （2，0，0）．则，，
设平面A 1BC 的法向量为则，解得，即
则BE 与平面所成角的正弦值为
（Ⅲ）解：设CD=x （0＜x ＜6），则A 1D=6﹣x ，在（2）的坐标系下有：A 1（0，0，6﹣x ），B （3，x ，0），
∴==（0＜x ＜6），即当x=3时，A 1B 长度达到最小值，最小值为．
24．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）因为AB为圆O的直径，点C为圆O上的任意一点
∴BC⊥AC …
又圆柱OO1中，AA1⊥底面圆O，
∴AA1⊥BC，即BC⊥AA1…
而AA1∩AC=A
∴BC⊥平面A1AC …
（Ⅱ）取BC中点E，连结DE、O1E，
∵D为AC的中点
∴△ABC中，DE∥AB，且DE=AB …
又圆柱OO1中，A1O1∥AB，且
∴DE∥A1O1，DE=A1O1
∴A1DEO1为平行四边形…
∴A1D∥EO1…
而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC
∴A1D∥平面O1BC …
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．。