人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解单元测试与练习(word解析版)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
()()()()()()()223111111111x x x x x x x x x x x x +++++=++++=++=⎤⎣+⎡⎦. （1）上述分解因式的方法是______________法.
（2）分解220191(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++的结果应为___________.
（3）分解因式：21(1)(1)(1)n x x x x x x x ++++++++.
【答案】（1）提公因式 ; （2）()
20201x + ；（3）()11n x ++
【解析】
【分析】
（1）用的是提公因式法； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；.
（3）由（2）中得到的规律即可推广到一般情况.
【详解】
解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法．
（2）()()()()()2333111111x x x x x x x x x x +++++++=+++=()4
1x + ()()()()()()234441111111x x x x x x x x x x x x +++++++++=+++=()51x + ……
由此可知()2201911(1)(1)x x x x x x x ++++++++=()20201x +
（3）原式=（1+x ）[1+x+x （x+1）]+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，
=（1+x ）2（1+x ）+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，
=（1+x ）3+x （1+x ）3+…+x （1+x ）n ，
=（1+x ）n +x （x+1）n ，
=（1+x ）n+1．
【点睛】
本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想．
2．（1）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法
例如：
()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++.
22222221(21)(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--.
试用上述方法分解因式222a ab ac bc b ++++=
（2）利用分解因式说明：22(5)(1)n n +--能被12整除.
【答案】（1）()()a b a b c +++；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）a 2+2ab+ac+bc+b 2可以进行分组变成（a 2+2ab+b 2）+（ac+bc ），则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分解．
（2）先利用平方差公式将22(5)(1)n n +--进行因式分解，之后即可得出答案.
【详解】
（1）原式=()()222a ab b
ac bc ++++
=()()2a b c a b +++
=()()a b a b c +++
（2）22(5)(1)n n +--
=[][](5)+(1)(5)(1)n n n n +-+--
=()624n +
=()122n +
∴ 22(5)(1)n n +--能被12整除.
【点睛】
本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给的例子是解题关键.
3．观察以下等式：
（x+1)(x 2-x+1)=x 3＋1
（x+3）（x 2-3x+9）=x 3+27
（x+6）（x 2-6x+36）=x 3+216
．．．．．． ．．．．．．
(1)按以上等式的规律，填空：（a+b ）（___________________）=a 3+b 3
(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立.
(3)利用（1）中的公式化简：（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）
【答案】（1）a 2-ab+b 2；（2）详见解析；（3）2y 3．
【解析】
【分析】
（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）结合题目本身的特征，利用（1）中的公式直接运用即可．
【详解】
（1）（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3；
（2）（a+b ）（a 2-ab+b 2）
=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
=a3+b3；
（3）（x+y）（x2-xy+y2）-（x-y）（x2+xy+y2）
=x3+y3-（x3-y3）
=2y3．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律是解决本题的基本思路．
4．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是，共应用了次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法次，结果是 .
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).
【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x＋1）2005；(3) (x＋1)1n+
【解析】
【分析】
（1）根据已知材料直接回答即可；
（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x），进而得出答案；
（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．
【详解】
（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．
故答案为提公因式法，2次；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，
=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+ x(x+1)2003]
⋯
=
2
2003(1) (1)(1)(1)(1)
x
x x x x
+
++++
个
=（1+x）2005，
故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．
故答案为（x+1）n+1．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
5．阅读理解：
把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．
（1）请写出一个六位连接数 ，它 （填“能”或“不能”）被13整除．
（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．
（3）若一个四位连接数记为M ，它的各位数字之和的3倍记为N ，M ﹣N 的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？
【答案】（1）证明见解析（2）abcabc 能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个
【解析】
分析：（1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；
（2）设abcabc 为六位连接数，将abcabc 进行因数分解，判断得出它能被13整除； （3）设xyxy 为四位连接数，用含x 、y 的代数式表示M 与N ，再计算M ﹣N ，然后将13M N -表示为77x +7y +3413
x y +，根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1～9之间的整数，求得x 与y 的值，即可求解．
详解：（1）123123为六位连接数；
∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；
（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：
设abcabc 为六位连接数．∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77，∴abcabc 能被13整除；
（3）设xyxy 为四位连接数，则
M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ，N =3（x +y +x +y ）=6x +6y ，∴M ﹣N =（1010x +101y ）﹣（6x +6y ）=1004x +95y ，∴
13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +．∵M ﹣N 的结果能被13整除，∴3413
x y +是整数．∵3x +4y 取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有13，26，39，52，∴x =1，y =9；x =2，y =5；x =3，y =1；x =8，y =7；x =9，y =3；x =5，y =6；x =6，y =2；
满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7个． 点睛：本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．
6．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来
解释2222()a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
（1）图B 可以解释的代数恒等式是 ；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C ），试画出．．
一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++，并利用你所画的图形面积对
2223a ab b ++进行因式分解．
【答案】（1）2222()a ab a a b +=+；（2）()()22
232a ab b a b a b ++=++ 【解析】
试题分析：（1）根据图所示，可以得到长方形长为2a ，宽为a+b ，面积为：2a （a+b ），或四个小长方形和正方形面积之和；
（2）①根据题意，可以画出相应的图形然后完成因式分解.
试题解析：（1）()2
222a ab a a b +=+ （2）①根据题意，可以画出相应的图形，如图所示
②因式分解为：()()22
232a ab b a b a b ++=++
7．阅读以下文字并解决问题：
对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式，但对于二次三项式2627x x +-，就不能直接用公式法分解了。

此时，我们可以在2627x x +-中间先加上一项9，使它与26x x +的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变。

即：
()2262769927x x x x +-=++--()()()2
2363636x x x =+-=+++-()()93x x =+-，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法.
（1）利用“配方法”因式分解：2245x xy y +-.
（2）若6a b +=，5ab =，求：①22a b +，②44a b +的值.
（3）如果2222264130a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值.
【答案】（1）（x+5y ）（x-y ）；（2）①26，②626；（3）8
【解析】
【分析】
（1）原式变形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；
（2）利用完全平方公式变形，代入计算即可；
（3）已知等式左边配方后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出a ，b ，c 的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】
解：（1）原式=x 2+4xy+4y 2-9y 2=（x+2y ）2-（3y ）2=（x+5y ）（x-y ）；
（2）①a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=36-10=26，
②a 4+b 4=（a 2+b 2）2-2a 2b 2=626；
（3）∵a 2+2b 2+c 2-2ab-6b-4c+13=0．
∴a 2+b 2-2ab+b 2-6b+9+c 2-4c+4=0
∴（a-b ）2+（b-3）2+（c-2）2=0，
可得a=b=3，c=2，
则原式=3+3+2=8．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次幂，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．阅读下列材料：
1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为：对于一个高于二次的关于x 的多项式，“x a =是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x a -）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．
例如：分解因式3223x x +-．
∵1x =是32230x x +-=的一个解，∴3223x x +-可以分解为()1x -与另一个整式的乘积．
设()()
322231x x x ax bx c +-=-++ 而()()
()()2321x ax bx c ax b a x c b x c -++=+-+--，则有 1203a b a c b c =⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，得133a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而()()
32223133x x x x x +-=-++ 运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）①运用上述方法分解因式323x x ++时，猜想出3230x x ++=的一个解为_______（只填写一个即可），则323x x ++可以分解为_______与另一个整式的乘积；
②分解因式323x x ++；
（2）若1x -与2x +都是多项式32x mx nx p +++的因式，求m n -的值．
【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②3223=(1)(3)x x x x x +++-+；（2）3
【解析】
【分析】
（1）①计算当x=-1时，方程成立，则323x x ++必有一个因式为（x+1）,即可作答； ②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论；
（2））设32=(1)(2)x mx mx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，
x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解，然后列方程组求解即可．
【详解】
解：（1）①323x x ++，观察知，显然x=-1时，原式=0，则3230x x ++=的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积．
故答案为：x=-1；（x+1）
②设另一个因式为（x 2+ax+b ），
（x+1）（x 2+ax+b ）=x 3+ax 2+bx+x 2+ax+b
=x 3+（a+1）x 2+（a+b ）x+b
∴a+1=0 ，a=-1， b=3
∴多项式的另一因式为x 2-x+3．
∴32
23=(1)(3)x x x x x +++-+．
（2）设32=(1)(2)x mx nx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），
由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解， ∴可得108420m n p m n p +++=⎧⎨-+-+=⎩
①②， ∴②-①，得m-n=3
∴m n -的值为3．
【点睛】
本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键．
9．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（24﹣1）（24+1）（28+1）
=（28﹣1）（28+1）
=216﹣1
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=_____．（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=_____．（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．
【答案】232﹣1
32
31 2
-
；
【解析】
【分析】
（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
（3）分m=n与m≠n两种情况，化简得到结果即可．
【详解】
（1）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1；
（2）原式=1
2（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=
32
31
2
-；
（3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．
当m≠n时，原式=
1
m n
-
（m-
n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）=
3232
m n
m n
-
-
；
当m=n时，原式=2m•2m2…2m16=32m31．
【点睛】
此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
10．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的；
A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结
果：；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x+1）4．
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式．
【详解】
（1）故选C；
（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x=y，则：
原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+4）2=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4．
故答案为：（x﹣2）4；
（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4．
【点睛】
本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．。