高中数学 K三关试题(第2.3课时)新人教A版必修3

2.3变量间的相关关系
1．变量之间的相关关系
当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的_________，则这两个变量之间的关系叫相关关系.由于相关关系的不确定性，在寻找变量之间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作用.我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断.
注意：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系. 2．散点图
将样本中的n 个数据点(,)(1,2,,)i i x y i n =⋅⋅⋅描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图.根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系.
（1）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为_________，如图（1）所示；
（2）如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为_________，如图（2）所示.
3．两个变量的线性相关
（1）如果散点图中点的分布从整体上看大致在_________附近，我们就称这两个变量之间具有_________，这条直线叫做回归直线.
回归直线对应的方程叫做回归直线方程（简称回归方程）.
（2）设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ⋅⋅⋅，直线方程
y bx a =+，其中,a b 是待定参数.
经数学上的推导，,a b的值由下列公式给出：
$11
2
22
11
()()
(
)
n
n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x nx
a y bx
==
==
⎧
---
⎪
⎪==
⎪
⎨--
⎪
⎪
=-
⎪⎩
∑∑
∑∑
$
$
.
其中，回归直线的斜率为b$，截距为$a，即回归方程为$$
y bx a
=+
$.
上述求回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做_________.
（3）利用回归方程，我们可以进行预测并对总体进行估计.
4．相关关系的强与弱
若相应于变量x的取值
i
x，变量y的观测值为(1)
i
y i n
≤≤，则变量x与y的相关系数
1
22
11
()()
()()
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
==
--
=
--
∑
∑∑
，即1
22
22
11
()()
n
i i
i
n n
i i
i i
x y nx y
r
x nx y ny
=
==
-
=
--
∑
∑∑
，通常用r来衡量x与y之间的线性关系的强弱.r的范围为11
r
-≤≤，r为正时，x与y正相关；r为负时，x与y负相关.||r越接近于1，x与y的相关程度越大；||r越接近于0，二者的相关程度越小.当||1
r=时，所以数据点都在一条直线上.
K知识参考答案：
1．随机性
2．（1）正相关（2）负相关
3．（1）一条直线线性相关关系（2）最小二乘法
K—重点会画散点图，利用散点图认识两个变量之间的线性关系，求线性回归方程
K—难点求线性回归方程
K—易错（1）易忽略求回归方程的前提，即两个变量线性相关；
（2）求回归方程时，易记错求
$a，b$的公式或混淆$a，b$的位置
一、回归方程的求解
1.求回归方程的步骤：列表→计算相关量的值→代入公式计算
$a，b$的值→写出回归方程.
2.回归直线一定经过样本点的中心.
【例1】假设关于某设备的使用年限x (年)和所支出的年平均维修费用y (万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料：
使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
（1）画出散点图；
（2）从散点图中发现使用年限与所支出的年平均维修费用之间关系的一般规律； （3）求回归方程；
（4）估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少? 【解析】（1）画出散点图如图所示：
（2）由上图可知，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，使用年限与所支出的年平均维修费用之间成正相关，即使用年限越长，所支出的年平均维修费用越多.
（3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，两变量呈线性相关关系. 由题表数据可得5
5
21
1
4,5,
112.3,90i i
i i i x y x y
x ======∑∑，
由公式可得$2
112.3545 1.23,5 1.ˆ2340.089054
ˆb
a y bx -⨯⨯===-=-⨯=-⨯， 即回归方程是$1.230.08y x =+.
（4）由（3）知，当10x =时，$1.23100.0812.38y =⨯+=. 故估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是12.38万元.
【名师点睛】若两个变量之间呈线性相关关系，则不需要进行相关性的检验，否则，应先进行相关性的检
验，再求回归方程.若两个变量之间不具有相关关系，则求出的回归方程是无意义的. 二、回归直线的理解及其应用
在回归方程$$y bx
a =+$中，
b $是回归直线的斜率，它代表x 每增加一个单位，y 的平均增加单位数，而不是增加单位数.
对于具有线性相关关系的两个变量，在求出回归方程后，就可以对总体的数据进行估计或者由已知数据的趋势去预测未知数据的值.
【例2】根据如下样本数据得到的回归方程为$$y bx
a =+$，若$ 5.4a =，则x 每增加1个单位，y 就
A ．增加0.9个单位
B ．减少0.9个单位
C ．增加1个单位
D ．减少1个单位 【答案】B
【解析】(5,0.9)在回归直线上，∴0.95 5.4b
=+$，解得0.9b =-$，故回归方程为$0.9 5.4y x =-+，则x 每增加1个单位，y 就减少0.9个单位，故选B ．
【名师点睛】当0b
>$时，两个变量呈正相关关系,含义为：x 每增加一个单位，y 平均增加b $个单位数；当0b
<$时，两个变量呈负相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均减少b $个单位数. 【例3】中国柳州从2011年起每年国庆期间都举办一届国际水上狂欢节，到2016年已举办了六届，旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，吸引了不少外地游客到柳州，这将极大地推进柳州的旅游业的发展，现将前五届水上狂欢节期间外地游客到柳州的人数统计如下表：
（1）求y 关于x 的线性回归方程$$y bx
a =+$； （2）旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2017年第七届柳州国际水上狂欢节期间外地游客可为本市增加的旅游收入达多
少？
参考公式：1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑$,$a
y bx =-$． 【解析】（1）由所给数据计算得1(12345)35x =
⨯++++=，1
(0.60.80.9 1.2 1.5)15
y =⨯++++=， 5
2
1()
4101410i
i x x =-=++++=∑，
5
1
()()(2)(0.4)(1)(0.2)010.220.5 2.2i
i
i x x y y =--=-⨯-+-⨯-++⨯+⨯=∑，
则 2.20.2210
b
==$，$10.2230.34a
y bx =-=-⨯=$， 故所求的回归方程为$0.220.34y x =+．
（2）由（1）知，当7x =时，$0.2270.34 1.88y =⨯+=，
于是预测2017年第七届中国柳州国际水上狂欢节到柳州的外地游客可达18万8千人，
由18800010018800000⨯=（元），预测2017年第七届柳州国际水上狂欢节期间外地游客可为本市增加的旅游收入达1880万元．
【名师点睛】注意所得的值只是一个估计值，不是精确值.
三、弄错回归方程中$a
，b $的位置 【例4】某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
（1）画出散点图.
（2）求物理成绩y 对数学成绩x 的线性回归方程. 【错解】（1）散点图如图所示：
（2）计算得
1
(8876736663)73.2 5
x=
⨯++++=，
1
(7865716461)67.8
5
y=⨯++++=，
5
1
8878766573716664636125054
i i
i
x y
=
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=
∑，
5
222222
1
887673666327174
i
i
x
=
=++++=
∑，
所以
5
1
52
2
2
1
5
25054573.267.8
0.6
ˆ25
27174573.2
5
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
=
=
-
-⨯⨯
==≈
-⨯
-
∑
∑
，67.80.625
ˆ
ˆ73.222.05
a y bx
=-=-⨯=. 所以y对x的线性回归方程是22.0502
ˆ.65
y x
=+.
【错因分析】错解中回归方程记忆错误，应为
$$
y bx a
=+
$.
【正解】（1）散点图如图所示：
（2）计算得
1
(8876736663)73.2
5
x=⨯++++=，
1
(7865716461)67.8
5
y=⨯++++=，
5
1
8878766573716664636125054
i i
i
x y
=
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=
∑，
5
222222
1
887673666327174
i
i
x
=
=++++=
∑，
所以
5
1
52
2
2
1
5
25054573.267.8
0.6
ˆ25
27174573.2
5
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
=
=
-
-⨯⨯
==≈
-⨯
-
∑
∑
，67.80.625
ˆ
ˆ73.222.05
a y bx
=-=-⨯=.
所以y 对x 的线性回归方程是0.62520ˆ 2.5y
x =+. 【名师点睛】不要受前面学习的直线方程的影响，而将回归方程写为$$y ax b =+$，实际上，回归方程应为$$y bx
a =+$.
1．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程$$y bx
a =+$中，回归系数
b $ A ．不能小于0 B ．不能大于0 C ．不能等于0 D ．只能小于0 2．下列关系中，属于相关关系的是 A ．正方形的边长与面积 B ．农作物的产量与施肥量 C ．人的身高与眼睛近视的度数 D ．哥哥的数学成绩与弟弟的数学成绩
3．工人工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为$5080y x =+，下列判断中正确的是 A ．劳动生产率为1000元时，工资为130元
B ．劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高80元
C ．劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高130元
D ．当工资为250元时，劳动生产率为2000元
4．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是
A ．a 为正相关，b 为负相关，c 为不相关
B ．a为负相关，b为不相关，c为正相关C．a为负相关，b为正相关，c为不相关
D．a为正相关，b为不相关，c为负相关
5．根据如下的样本数据：
3 4 5 6 7 8
10 9 7 6 4 3
得到的回归方程为$$
y bx a
=+
$，则
A．$0,0
a b
>>
$ B．$0,0
a b
><
$
C．$0,0
a b
<>
$ D．$0,0
a b
<<
$
6．某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：
根据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是
A．
$0.7 2.05
y x
=+ B．$0.71
y x
=+
C.
$0.70.35
y x
=+ D．$0.70.45
y x
=+
7．如图，有5组()
,x y数据，去掉组(填A,B,C,D,E中的某一个)后，剩下的4组数据的线性相关程度最强.
8．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到的5组数据如下表：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
x
10 20 30 40 50 y
62
75
81
89
由最小二乘法求得回归方程为$0.6754.9y x =+，现发现表中有一个数据模糊看不清，请推断出该数据的值为 .
9．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ,y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y 与x 负相关，且$ 2.347 6.423y x =-； ②y 与x 负相关，且$ 3.476 5.648y x =-+； ③y 与x 正相关，且$ 5.4378.493y x =+； ④y 与x 正相关，且$ 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确的结论的序号是 .
10．某青年教师近五年内所带班级的数学平均成绩统计数据如下：
年份x （年） 2012 2013 2014 2015 2016 平均成绩y （分）
97
98
103
108
109
（1）利用所给数据，求出平均成绩与年份之间的回归直线方程$$y bx
a =+$，并判断它们之间是正相关还是负相关；
（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该教师2017年所带班级的数学平均成绩.
参考数据：1
1
2
2
2
1
1
()()ˆ()
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y n b
x x x nx y
x
====---==
--∑∑∑∑，$a
y bx =-$.
11．为研究两变量x 和y 的线性相关性，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线1l 和2l ，
两人计算x 相同，y 也相同，则下列说法正确的是 A ．1l 与2l 重合 B ．1l 与2l 平行 C ．1l 与2l 交于点(,)x y D ．无法判定1l 与2l 是否相交
12．某公司2010~2015年的年利润x （单位：百万元）与年广告支出y （单位：百万元）的统计资料如下
表所示：
年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 年利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3 年广告支出y 0.62
0.74
0.81
0.89
1.00
1.11
根据统计资料，则
A ．利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系
B ．利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系
C ．利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系
D ．利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系
13．某单位为了了解用电量y （单位：度）与气温x （单位：C ︒）之间的关系，随机统计了某4天的用电
量与当天气温，并制作了对照表如下：
气温（C o
） 20 16 12 4 用电量（度）
14
28
44
62
由表中数据得回归直线方程$$y bx
a =+$中3
b =-$，则预测当气温为2C ︒时，用电量的度数是 A ．70 B ．68 C. 64 D ．62
14．某高中的一个综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象
局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日
期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 昼夜温差
x (°C)
10 11 13 12 8 6 就诊人数
y (个)
22
25
29
26
16
12
综合实践研究小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4 组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程
$ˆy
bx a =+$. （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想?
（参考公式：1
2
21
n
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx
==-=-∑∑$；参考数据：
4
2
22221
1113128498i
i x
==+++=∑，
4
1
112513i i
i x y
==⨯+⨯∑
2912268161092+⨯+⨯=）
15．（2015湖北）已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是 A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关
D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关
16．（2015福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下
统计数据表：
收入x （万元）
8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为
A ．11.4万元
B ．11.8万元
C ．12.0万元
D ．12.2万元
17．（2016新课标Ⅲ）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：
7
1
9.32i
i y
==∑，7
1
40.17i i i t y ==∑7
2
1
()
0.55i
i y y =-=∑7≈2.646.
参考公式：相关系数1
2
2
1
1
()()
()()
n
i
i
i n n
i
i
i i t t y y r t t y y ===--=
--∑∑∑ 回归方程$$y a
bt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1
2
1
()()
()n
i
i i n
i
i t
t y y b t
t ==--=-∑∑$，$=.a y b
t -$
1．C 【解析】因为ˆ0b
=时，不具有线性相关关系，所以b $不能等于0，但b $能大于0，也能小于0.故选C.
2．B 【解析】A 项，正方形的边长和面积之间的关系是函数关系，不是相关关系；B 项，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；C 项，人的身高与眼睛近视的度数之间的关系既不是函数关系也不是相关关系；D 项，哥哥的数学成绩与弟弟的数学成绩之间既不是函数关系也不是相关关系.故选B.
3．B 【解析】由80b
=$，可知劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高80元.故选B. 4．D 【解析】根据变量之间的相关性，由图象可知，图a 中表示正相关，图b 中两个变量不相关，图c 中表示负相关，故选D ．
5．B 【解析】本题主要考查了线性相关和线性回归方程,在直线y ＝kx ＋b 中，当k ＞0时，函数单调递增；
当k ＜0时，函数单调递减.根据题中的数据可观察出y 随x 的增大而减小，则x 的系数0b <$.根据x 为正数时，y 的值为正值，可知$0a
>.故选B. 6．C 【解析】由题意可设回归直线方程为$$0.7y x a
=+.由样本数据计算可得 4.5, 3.5x y ==.因为回归直线经过点(,)x y ，所以$3.50.7 4.5a
=⨯+，解得$0.35a =.故选C. 7．D 【解析】根据题意，除点D 之外，其余的点基本都在一条直线附近摆动，那么要使线性相关程度最强，则去掉点D 即可.
8．68 【解析】设该数据的值为2y ，∵回归直线经过点(,)x y ，又1020304050
305
x ++++==
，
226275818930755y y y +++++=
=，∴
2
3070.673054.95
y +=⨯+，解得268y =. 9．①④ 【解析】①中，y 与x 负相关，而斜率为正，不正确；④中，y 与x 正相关，而斜率为负，不正确.故填①④.
10．【解析】（1）2014,103x y ==.
22222(2)(6)(1)(5)001526 3.4(2)10ˆ12
b -⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯==-++++，$103 3.420146744.6a =-⨯=-.
所以$3.46744.6y x =-.
因为0b
>$，所以平均成绩与年份成正相关关系. （2）$ 3.420176744.6113.2y =⨯-=，
所以预测2017年所带班级的数学平均成绩为113.2分.
11．C 【解析】因为回归直线必过样本中心点(,)x y ，所以直线1l 与2l 交于点(,)x y .故选C. 12．B
以x 与y 有正线性相关关系，故选B. 13．A
得$37313a =-⨯+，所以$76a =，所以$376y x =-+，当2x =时，$327670y =-⨯+=，故选A ．
14．【解析】（1）根据题意，得1(1113128)114x =
⨯+++=，1
(25292616)244
y =⨯+++=， 所以4
1
4
22
21
41092411241849841174i i
i i i x y x y
b
x x
==--⨯⨯==
=-⨯-∑∑$，则$1830241177
a y bx =-=-⨯=-$， 故y 关于x 的线性回归方程为1830
7ˆ7
y
x =-. （2）当10x =时，ˆ1507y =，150|
22|27-<. 同样，当6x =时，ˆ787y
=，78
|12|27-<. 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.
15．C 【解析】因为变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，其中0.10-<，所以x 与y 成负相关；又因为变
量y 与z 正相关，不妨设z ky b =+(0)k >，则将0.11y x =-+代入即可得到(0.11)z k x b =-++=
0.1()kx k b -++，所以0.10k -<，所以x 与z 负相关.综上可知，应选C.
16．B 【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++=
=， 6.27.58.08.59.8
85
y ++++==，故
0.76b
=$，$80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.760.4y x =+.把15x =代入上式，得ˆ0.76150.411.8y
=⨯+=.故选B ．
17．【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得4=t ，
28)(7
1
2
=-∑
=i i
t t
，
55.0)(7
1
2=-∑=i i
y y
，
89.232.9417.40))((7
1
7
1
7
1
=⨯-=-=--∑∑∑===i i i i i i i i y t y t y y t t ，99.0646
.22
55
.089
.2≈⨯⨯≈
r .
因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.
（2）由331.17
32.9≈=y 及（1）得103.028
89
.2)()
)((ˆ7
1
2
7
1
≈=
---=∑∑==i i
i i i
t t
y y t t
b ， 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a
. 所以，y 关于t 的回归方程为t y
10.092.0ˆ+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得82.1910.092.0ˆ=⨯+=y
. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
缺8数
人们把12345679叫做“缺8数”，“缺8数”有许多让人惊讶的特点，比如用9的倍数与它相乘，乘积竟会是由同一个数字组成的，人们把这叫做“清一色”：123456799111111111⨯=，1234567918222222222⨯=，1234567927333333333⨯=，…，1234567981999999999⨯=．“缺8数”还有一个有趣的规律，就是它在乘以9的时候，从个位数起，每个进位依次是8，7，6，5，4，
3，2，1．。