安徽省安庆一中2010届高三第三次模拟(数学理)word(含答案)

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安庆一中2010届高三第三次模拟考试
数学（理）试题
2010.5.15
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分．共 60 分。

在每小题给出的四个选项中．只有
一项是符合题目要求的。

1．对于任意的两个数对(,)a b 和(,)
c d ，定义运算(,)(,)a b c
d ad bc *=-，若
(1,1)(,
)1z zi i -
*=-，则复数z 为
A ．2i +
B ． 2i -
C ．i
D ．i -
2．如果直线13422
22=-=b
y a x x y 是双曲线的一条渐近线，那么该双曲线的离心率等于
A ．35 B.45 C.3
4 D . 2
3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于
A. 12
B. 4
C.
563
D.
3
4．在21n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是
A.15
B.20
C.30
D.120
5．长度分别为2x x x x x 、、、、、的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是 x >
2x <<x << 1>x 6．已知正方形ABCD 的边长为6，空间有一点M （不在平面ABCD 内）满足
10=+MB MA ，则三棱锥BCM A -的体积的最大值是 （ ）
A.48
B.36
C.30
D.24 7．若函数()()0,1x
f x a
a a =>≠为增函数，那么()1
1
log 1
a
g x x =+的图像是 （ ）
A B C D
8．直线0x y m -+=与圆22
210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要．．．．．条件是 A ．31m -<< B ．42m -<< C ．01m << D ．1m < 9．在R 上可导的函数32
11()232
f x x ax bx c =+++，当(0,1)x ∈时取得极大值，当(1,2)x ∈ 时取得极小值，则
2
1
b a --的取值范围是 （ ） A. 11(,)22- B.11(,)24- C.1(,1)4 D. 1(,1)2
10.数列{}n a 满
足111n a a +==，记2
1
n
n i i S a ==∑，若2130n n t S S +-≤对任意的n ()n N *∈恒成立，则正整数t 的最小值为 （ ）
A . 10
B . 9
C . 8
D . 7
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在题中的横线上。

11．在极坐标系中，定点2,
2A π⎛⎫
⎪⎝⎭
，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最
短时，点B 的极坐标为__________。

12．数列721,,,a a a ⋅⋅⋅中，恰好有5个a ，2个
b ()b a ≠，则不相同的数列共有 个.
13．不等式1
21x a x
+
>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是
14．如图所示的程序框图输出的结果是 15．设全集{}
(,),U x y x y R
=∈，集合
A={(,)|sin cos 20,x y x y R ααα+-=∈} ，则在直角平面上集合U C A 内所有元素的对应点构成的图
形的面积等于__ ___.
三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，向量
),sin 2,3(B -=)2cos ,12
cos 2(2
B B
-=，且m //n ， B 为锐角. ⑴求角B 的大小； ⑵设2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值.
第14题
17．（本小题满分12分）
四枚不同的金属纪念币A 、B 、C 、D ，投掷时，A 、B 两枚正面向上的概率为分别为
1
2
，另两枚C 、D 正面向上的概率分别为a (01)<<a .这四枚纪念币同时投掷一次,设ξ表示出现正面向上的枚数。

⑴若A 、B 出现一正一反与C 、D 出现两正的概率相等，求a 的值； ⑵求ξ的分布列及数学期望（用a 表示）；
⑶若有2枚纪念币出现正面向上的概率最大,求a 的取值范围。

18．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDS 中，面ABCD 为矩形，
,1,,=⊥⊥AD AB SD AD SD 且 2=AB ，.3=SD
⑴求证：CD ADS 平面⊥; ⑵求AD 与SB 所成角的余弦值; ⑶求二面角A —SB —D 的余弦值．
19．（本题13分）已知抛物线的焦点F 在y 轴上，抛物线上一点(,4)A a 到准线的距离是5，过点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，过M ，N 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T ．
⑴求抛物线的标准方程； ⑵求FT MN ⋅的值；
⑶求证：FT 是MF 和NF 的等比中项． 20．（本题满分 13分）设函数1
()(2)ln()2f x a x ax x
=--++（a ∈R ）
． ⑴当0a =时，求()f x 的极值； ⑵当0a ≠时，求()f x 的单调区间.
21. （本题满分 13分）集合123,,,
n A A A A 为集合{}1,2,3,,M n =的n 个不同的子集，
S
A
B
C
D
第18题
对于任意不大于n 的正整数,i j 满足下列条件： ①i i A ∉，且每一个i A 至少含有三个元素； ②j i A ∈的充要条件是i j A ∉（其中i j ≠）。

为了表示这些子集，作n 行n 列的数表（即n n ⨯数表），规定第i 行第j 列数为：
0,1j ij j i A a i A ∉⎧⎪=⎨
∈⎪⎩当时
，当时。

⑴该表中每一列至少有多少个1；若集合{}1,2,3,4,5,6,7M =，请完成下面77⨯数表（填符合题意的一种即可）；
⑵用含n 的代数式表示n n ⨯数表中1的个数()f n ，并证明7n ≥；
⑶设数列{}n a 前n 项和为()f n ，数列{}n c 的通项公式为：51n n c a =+
，证明不等式：
1>对任何正整数,m n 都成立。

（第1小题用表）
高三数学模拟卷（理）答案
一、 DABAA ，CDCCA
二、 115(1,)6
π 12、 21 13、(1,3) 14、2.6 15、4π
三、16. 解：（Ⅰ）由//得012cos 2sin 22cos 32
=⎪⎭
⎫
⎝⎛
-⋅+B B B 即0)3
2sin(202sin 2cos 3=+
∴=+π
B B B
,34,332),2,0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+∴∈ππππB B ,32ππ=+∴B 即锐角3
π
=B .
（Ⅱ）∵2,3
==b B π
，∴由余弦定理ac b c a B 2cos 2
22-+=得
0422=--+ac c a . 又∵ac c a 222≥+，代入上式得4≤ac 当且仅当2
==c a 时等号成立）. ∴34
3
sin 21≤==
∆ac B ac S ABC （当且仅当2==c a 时等号成立）.∴ABC ∆面积的最大值为3.
17、解 （1）设从M 中任取一个元素是（3，5）的事件为B ，则1
()36
P B = 所以从M 中任取一个元素是（3，5）的概率为
136
（2）设从M 中任取一个元素，10x y +≥的事件为C ，有 （4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6） 则P （C ）=
16，所以从M 中任取一个元素10x y +≥的概率为1
6
（3）ξ可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
123456(2),(3),(4),(5),(6),(7)36363636363654321
(8),(9),(10),(11),(12)3636363636P P P P P P P P P P P ξξξξξξξξξξξ==
====================
ξ的分布列为
12345654321
2345678910111273636363636363636363636
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 18、解：（I ）ABCD 是矩形，AD CD ⊥∴ --------------1分 又SD CD CD AB AB SD ⊥⊥则,//,
,SD AD ⊥ -------------3∴ CD ADS 平面⊥ -------------4 （II ）由AD SD ⊥，及（I ）结论可知DA 、DC 、DS
两两互相垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系
)0,0,0(),2,0,0(),2,1,0(),0,1,0(),0,0,3(D C B A S ∴
)2,1,3(),0,1,0(-=-=∴ --------------6分
4
2
,cos -
=>=
<∴SB AD --------------7分
∴AD 与SB 所成的角的余弦为
.4
2
--------------8分 （III ）)2,1,0(),0,0,3(==DB DS 设面SBD 的一个法向量为),,(z y x n =
),1,2,0(02036
0-=⇒⎩⎨⎧=-=⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴n z y x n n 取 --------------9分
∴CD 是CS 在面ABCD 内的射影，且,CD BC ⊥
BC SC ⊥∴ --------------6分
,77tan ===
∠a a CB SC SBC ,4
2
cos =∠SBC ----------8分 从而SB 与AD 的成的角的余弦为
.4
2
（III ）,,AB SD AD SD SAD ⊥⊥∆且中
⊥∴SD 面ABCD. ,ABCD SDB 面面⊥∴BD 为面SDB 与面ABCD 的交线.
E DB AE A 于作过⊥∴ 面⊥∴AE SDB SB
AF A ⊥作又过于
F ，连接EF ， 从而得：SB EF ⊥
AFE ∠∴为二面角A —SB —D 的平面角 ------10分
在矩形ABCD 中，对角线,5)2(22a a a BD =+=
ABD
∆∴在中，
.55
252a a
a a BD CD AB AE =⋅=⋅=
所以所求的二面角的余弦为
.5
15
--------------12分 19．解：由题意可设抛物线的方程为2
2x py =(0)p ≠．
因为点(,4)A a 在抛物线上，所以0p >． 又点(,4)A a 到抛物线准线的距离是5，所以
452
p
+=，可得2p =． 所以抛物线的标准方程为2
4x y =．………………………………………………3分
（Ⅱ）解：点F 为抛物线的焦点，则(0,1)F ．
依题意可知直线MN 不与x 轴垂直，所以设直线MN 的方程为1y kx =+．
由2
1,
4.
y kx x y =+⎧⎨
=⎩ 得2440x kx --=．因为MN 过焦点F ，所以判别式大于零．
设11(,)M x y ，22(,)N x y ．则124x x k +=， 124x x =-．………………6分
2121(,)MN x x y y =--2121(,())x x k x x =--．
由于2
4x y =，所以'1
2y x =
． 切线MT 的方程为1111
()2y y x x x -=-， ①
切线NT 的方程为2221
()2
y y x x x -=-． ②
由①，②，得1212
(,)24
x x x x T +．…………………………………8分
则1212
(
,1)(2,2)24
x x x x FT k +=-=-． 所以21212()2()0FT MN k x x k x x ⋅=---=．………………………10分 （Ⅲ）证明：2
222(2)(2)44FT
k k =+-=+．
由抛物线的定义知 11MF y =+，21NF y =+．
则12(1)(1)MF NF y y ⋅=++2
121212(2)(2)2()4kx kx k x x k x x =++=+++
244k =+．所以2
FT MF NF =⋅．
即FT 是MF 和NF 的等比中项．…………………………………………………13 20、解：（Ⅰ）依题意，知()f x 的定义域为(,0)-∞.
当0a =时，1()2ln()f x x x =--+，'221()f x x x -=-2(21)
x x
-+=． 令'
()0f x =，解得12
x =-
. 当x 变化时，'
()f x 与()f x 的变化情况如下表：
由上表知：当12x <-时，'()0f x >；当12
x >-时，'
()0f x <. 故当1
2
x =-
时， ()f x 取得极大值为2ln 22-. （Ⅱ）'221()2a f x a x x -=-+2
2(2)12a x ax x --+=2
1
(21)()a x x a x
+-= 若0a >，令'
()0f x >，解得：12x <-
；令'
()0f x <，解得：102x -<<. 若0a <，①当20a -<<时，11
2a
->
令'()0f x >，解得：112
x a <<-；令'
()0f x <，解得：1x a <或102x -<<.
②当2a =-时，112a
-=，2'
2(21)()0x f x x -+=
≤ ③当2a <-时，112a -< 令'()0f x >，解得：112x a -<<；令'
()0f x <，解得：12
x <-
或1
0x a
<<.
综上，当0a >时，()f x 的增区间为1(,)2-∞-，减区间为1(,0)2
-；
当20a -<<时，()f x 的增区间为11(,)2a -，减区间为1(,)a -∞，1(,0)2
-；
当2a =-时，()f x 的减区间为(,0)-∞,无增区间；
当2a <-时，()f x 的增区间为11(,)2a -，减区间为1(,)2-∞-，1
(,0)a
.
21．⑴根据条件①每个i A 中至少含有三个元素，作出的数表每一列至少有三个1。

77⨯数表如下：
⑵ 题设条件①中的i i A ∉表明的一条对角线上数字都是0，题设条件②表明除对角线以外，
ij a 与ji a 恰好一个为1，而另一个为0，即数表中除该对角线以外，0与1各占一半，故数表中共
有(1)
()2
n n f n -=
个1。

另一方面，根据题设条件①每一个i A 至少含有三个元素得：作出的n n ⨯数表的每一列至少有3个1，所以整个n n ⨯数表（共有n 列）至少有3n 个1，因此列出
不等式：(1)
32
n n n -≥，解得7n ≥。

⑶22
12,()(1)(1)(1)12n n a f n f n n n n n n ⎡⎤≥=--=---+-=-⎣
⎦ 检验1n =也成立，故1n a n =-54n c n ∴=-
1>
，只要证：51mn m n c c c >++54mn c mn =-，(54)(54)2520()16m n c c m n mn m n =--=-++
故只要证：5(54)12520()16mn mn m n ->+-+++
即只要证：202037m n +-> 又
2558558(151529)202037,
m n m n c c c c m n m n m n m n ≤+=+-<+-++-=+-
所以命题得证。

证法二：同上 54n c n ∴=- 54mn c mn ∴=- 又
21)11(1)(1)(53)(33)2515()9,
m n m n m n m n c c c c c c c c m n mn m n =+≤+++=++=--=-++
所以 251)5(54)2515()9
15()291522910,mn c mn mn m n m n -≥--++-=+->⨯-=>
即251)mn c >1>。