苏州新草桥中学选修一第一单元《空间向量与立体几何》检测题(包含答案解析)

一、选择题
1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是（ ）
A ．点P 可以是棱1B
B 的中点 B ．线段MP 的最大值为
32
C ．点P 的轨迹是正方形
D ．点P 轨迹的长度为2+5
2．设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足AB AC 0⋅=，AB AD 0⋅=，
AC AD 0⋅=，则BCD 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．等边三角形
3．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-，当AM 、BN 最短时,AM MN ⋅=（ ） A ．43
-
B ．
43
C ．13
-
D ．
13
4．如图所示，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知PA =BC =2，AB =4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为
A ．3010
-
B ．305
-
C ．
305
D ．
3010
5．给出下列两个命题：命题:p 空间任意三个向量都是共面向量；命题:q 若0a >，
0b >，则方程221ax by +=表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ∨
C ．()p q ⌝∧
D ．()p q ⌝∨
6．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=，平面α的法向量2,2(),4n -=-，且直线l ⊥平面
α，则实数x 的值是( )
A ．1
B ．5
C ．﹣1
D ．﹣5
7．两直线14127x y z -+==-和623
511
x y z +--==-的夹角的余弦是（ ） A ．2227-
B ．
22
27
C ．
227
D ．227
-
8．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =，PB ⊥平面ABC ，点M ，N 分别AC ，PB 的中点，6MN =
，Q 为线段AB 上的点，使得异面直线PM 与CQ 所
成的角的余弦值为34
34，则BQ BA
为（ ）
A ．
1
4
B ．
13
C ．
12
D ．
34
9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ） A ．
1515
B ．
155
C ．
53
D ．
5 10．在如图所示的几何体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，
AD DE =，90ADE ∠=，//AB CD ，120ADC ∠=．给出下列三个命题：
1:p 平面ABCD ⊥平面EDCF ；
2:p 异面直线AF 与BD 所成角的余弦值为3
4
；
3:p 直线AF 与平面BDF 5
那么，下列命题为真命题的是（ ） A ．12p p ∧
B ．13p p ⌝∧
C ．23p p ∧
D ．13p p ∧
11．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( ) A ．1-
B ．1
C 3
D ．
73
12．在正方体1111ABCD A B C D -中，在正方形11DD C C 中有一动点P ，满足1PD PD ⊥，则直线PB 与平面11DD C C 所成角中最大角的正切值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．
31
2
+ D ．
51
2
+ 13．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若4AB AC BD ===，则线段CD 的长为（ ）
A ．43
B ．16
C ．8
D ．42
二、填空题
14．已知直二面角l αβ--的棱l 上有A ，B 两个点，AC α⊂，AC l ⊥，BD β⊂，
BD l ⊥，若4AB =，3AC =，5BD =，则CD 的长是______．
15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面
ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为______
16．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值为________.
17．已知向量(1,2,1)a =-，(2,2,0)b =-，则a 在b 方向上的投影为________． 18．如图，点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD ABCD PD AD 底面，⊥=，则PA 与BD 所成角的度数为____________.
19．在空间直角坐标系中， ()()()2,1,1,3,4,,2,7,1,A B C AB CB 若λ-⊥,则λ=____ 20．在棱长为9的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ，F 分别在棱AB ，DD '上，满足
2AE D E D
F
B F '==，点P 是DD '上一点，且//PB 平面CEF ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为______.
21．已知向量()2,1,3a =-，31,,2b k ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，若向量a 、b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是__________．
22．若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.
23．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____.
24．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1B B ，CD 的中点，有以下命题： ①//MN 平面1A BD ；②1MN CD ⊥；③平面1A MN ⊥平面1A AC ， 则正确命题的序号为______.
25．在空间直角坐标系中，(2,0,1)a x =--，(1,,2)b y =，且|2|13a b +=2m x y =+的取值范围是_____．
26．平面α的法向量u =(x,1,-2),平面β的法向量v =1-1,,
2y ⎛⎫
⎪⎝⎭
,已知α∥β,则x+y=______.
参考答案
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，根据MP CN ⊥，确定点P 的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】
在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为1，,M N 分别为111,BD B C 的中点， 则()0,0,0D ，111,,222M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,12N ⎛⎫
⎪⎝⎭
，()0,1,0C ， 所以1,0,12CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，则111,,222MP x y z ⎛
⎫=--- ⎪⎝
⎭，
因为MP CN ⊥， 所以
1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，2430x z +-=，当1x =时，14
z =；当0x =时，3
4z =； 取11,0,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,1,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,4H ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，
连接EF ，FG ，GH ，HE ，则()0,1,0EF GH ==，11,0,2EH FG ⎛
⎫==- ⎪⎝⎭
， 所以四边形EFGH 为矩形，
则0EF CN ⋅=，0EH CN ⋅=，即EF CN ⊥，EH CN ⊥， 又EF
EH E =，且EF ⊂平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，
所以CN ⊥平面EFGH ， 又111,,224EM ⎛⎫=-
⎪⎝⎭，111,,224MG ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，所以M 为EG 中点，则M ∈平面EFGH ，
所以，为使MP CN ⊥，必有点P ∈平面EFGH ，又点P 在正方体的表面上运动， 所以点P 的轨迹为四边形EFGH ， 因此点P 不可能是棱1BB 的中点，即A 错； 又1EF GH ==，5
EH FG ==
，所以EF EH ≠，则点P 的轨迹不是正方形；
且矩形EFGH 的周长为2222
+⨯
=+C 错，D 正确； 因为点M 为EG 中点，则点M 为矩形EFGH 的对角线交点，所以点M 到点E 和点G
的距离相等，且最大，所以线段MP ，故B 错. 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由
MP CN ⊥，求出动点轨迹图形，即可求解.
2．B
解析：B 【分析】
由0AB AC ⋅=，0AB AD ⋅=，0AC AD ⋅=，可得
()()
2
0BC BD AC AB AD AB AB ⋅=--=>，B ∠是锐角，同理可得D ∠，C ∠都是锐
角，从而可得结果． 【详解】
因为0AB AC ⋅=，0AB AD ⋅=，0AC AD ⋅=， 所以
()()
22
0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=--=⋅-⋅-⋅+=>，
cos 0BC BD B BC BD
⋅∴=
>⋅，故B ∠是锐角，
同理0CB CD ⋅>，0DC DB ⋅>，可得D ∠，C ∠都是锐角， 故BCD 是锐角三角形，故选B ． 【点睛】
本题主要考查向量的数量积的运算以及向量运算的三角形法则，属于中档题．判断三角形的形状有两种基本的方法：①看三角形的角；②看三角形的边.
3．A
解析：A 【分析】
根据题意可知M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ，根据题意知，当M 为BCD ∆的中心、
N 为线段AC 的中点时，AM 、BN 最短，然后利用MC 、MA 表示MN ，利用空间向
量数量积的运算律和定义可求出AM MN ⋅的值. 【详解】
由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知，M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ， 当AM 、BN 最短时，AM ⊥平面BCD ，BN AC ⊥，
所以，M 为BCD ∆的中心，N 为AC 的中点， 此时，2432sin 603MC =
=
，23
3
MC ∴=， AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，AM MC ∴⊥，
2
2
2
22326
233MA AC MC ⎛⎫∴=
-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
. 又()
12MN MC MA =+，()
2114
223
AM MN AM MC AM MA MA ∴⋅=⋅+⋅=-=-. 故选：A. 【点睛】
本题考查空间向量数量积的计算，同时也涉及了利用共面向量和共线向量来判断四点共面和三点共线，确定动点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
4．D
解析：D 【解析】
因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥BC ．过点A 作AE ∥CB ，又CB ⊥AB ，则AP ，AB ，AE 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AE ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (4，0，0)，C (4，−2，0)．因为D 为PB 的中点，所以D (2，0，1)．
故CP =(−4，2，2)，AD =(2，0，1)．所以cos 〈AD ，CP 〉=
AD CP AD CP
⋅⋅==−.
设异面直线PC ，AD 所成的角为θ，则cos θ=|cos 〈AD ，CP 〉|=
.
5．D
解析：D 【分析】
判断命题p 和命题q 为假命题，再判断复合命题的真假得到答案. 【详解】
命题:p 空间任意三个向量都是共面向量，为假命题； 当0a b =>时，方程2
2
1ax by +=表示圆，故q 为假命题；
故p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧为假命题，()p q ⌝∨为真命题. 故选：D . 【点睛】
本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.
6．C
解析：C 【分析】
根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值. 【详解】
因为直线l ⊥平面α，所以//m n ， 所以
12224
x -==--，所以1x =-. 故选：C. 【点睛】
本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若//l α则有a b ⊥，若l α⊥则有
//a b . 7．B
解析：B 【分析】
写出直线的方向向量，求出方向向量的夹角的余弦值，其绝对值为两直线夹角余弦． 【详解】
由题意两直线的方向向量分别为(1,2,7)m =-，(5,1,1)n =-，
cos ,271m n m n m n
⋅<>=
=
=-+
∵两直线夹角为锐角或直角，∴所求余弦值为27
． 故选：B ． 【点睛】
本题考查求空间两直线的夹角，求出两直线的方向向量，由方向向量的夹角与两直线夹角相等或互补求解．
8．A
解析：A 【分析】
以B为原点，,,
BA BC BP
坐标轴建立空间直角坐标系，设
BQ
BA
λ
=,由异面直线PM与
CQ所成的角的余弦值为34可列式
2
2234
34
3244
PM CQ
PM CQ
，求出λ即可.【详解】
如图，在三棱锥P ABC
-中，2
AB BC
==，22
AC =，BA BC
∴⊥, PB⊥平面ABC ，以B 为原点，,,
BA BC BP坐标轴建立空间直角坐标系，
可知()
0,0,0
B，()
0,2,0
C，()
1,1,0
M，
2,6
BM MN，222
BN MN BM，
4
PB
∴=，则()
0,0,4
P，
设
BQ
BA
λ
=，且01
λ
<<，则2,0,0
Q ，
可知1,1,4,2,2,0
PM CQ ,
12124022
PM CQ，
2
22
11432
PM，2
44
CQ，
异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为
34
34
，
2
2234
3244
PM CQ
PM CQ
，解得
1
4
λ=或4
λ=（舍去），
14
BQ
BA
∴
=
. 故选：A. 【点睛】
本题考查向量法求空间线段的比例分点，属于中档题.
9．A
解析：A 【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值． 【详解】
解：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，
则(2A ，0，0)，(2E ，1，2)，(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)， (0AE =，1，2)，1(2BD =-，2-，2)，
设异面直线AE 与1BD 所成角为θ， 则11||15cos ||||
512
AE BD AE BD θ=
=
=． ∴异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为1515
．
故选：A ．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
10．D
解析：D 【分析】
利用面面垂直的判定定理可判断命题1p 的真假，利用空间向量法可得判断命题2p 、3p 的真假，再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】
90ADE ∠=，AD DE ∴⊥，四边形EDCF 是正方形，则DC DE ⊥，
AD DC D ⋂=，DE ∴⊥平面ABCD ，
又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ，故1p 为真命题；
由已知//DC EF ，
DC ⊄平面ABFE ，EF ⊂平面ABFE ，所以//DC 平面ABFE ．
又DC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面ABFE AB =，故//AB CD ，
又AD DE =，所以AD CD =，令1AD =，则2AB =，60BAD ∠=， 由余弦定理可得2222cos 3BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，
222AD BD AB ∴+=，AD BD ∴⊥，
如图，以D 为原点，以DA 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，
则()0,0,0D ，()1,0,0A ，132F ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，()
3,0B ，
所以33
,12FA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()
0,3,0=DB ，132DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以异面直线AF 与BD 所成角的余弦值为
3
3
2
cos ,4
23
FA DB FA DB FA DB
-⋅<>=
=
=
⨯⋅2p 为假命题； 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，由00n DB n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以30
13
02
x y z ⎧=⎪
⎨-+=⎪⎩， 取2x =，则0y =，1z =，得()2,0,1n =，5
cos ,25
F FA n FA A n n
⋅<>=
=
=⨯⋅
设直线AF 与平面BDF 所成的角为θ，则5sin 5
θ=． 所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为
5
，故3p 为真命题． 所以13p p ∧为真命题，12p p ∧、13p p ⌝∧、23p p ∧均为假命题. 故选：D. 【点睛】
本题考查复合命题的真假的判断，涉及面面垂直的判断、异面直线所成角以及线面角的计算，涉及空间向量法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
11．A
解析：A 【分析】
根据题意，由正四面体的性质可得：PA BC ⊥，可得0PA BC ⋅=，由E 是棱AB 中点，可得12
PE PA PB ，代入PE BC ⋅，利用数量积运算性质即可得出.
【详解】 如图所示
由正四面体的性质可得：PA BC ⊥ 可得：0PA BC ⋅=
E 是棱AB 中点
12
PE PA PB
11
1
1
22cos12012
222
PE BC
PA PB BC
PA BC PB BC
故选：A 【点睛】
本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.
12．D
解析：D
【分析】
根据题意,可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点.由BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角可知当PC 取得最小值时,PB 与平面11DD C C 所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,与半圆的交点为P ,此时PC 取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得PC ,进而求得tan BPC ∠. 【详解】
正方体1111ABCD A B C D -中,正方形11DD C C 内的点P 满足1PD PD ⊥ 可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:
当直线PB 与平面11DD C C 所成最大角时,点P 位于圆心E 与C 点连线上 此时PC 取得最小值.
则BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角 设正方体的边长为2,则51PC EC EP =-=,2BC = 所以51
tan 251
BC BPC PC ∠===
- 故选:D 【点睛】
本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.
13．D
解析：D 【分析】
分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ，则由题意可知ACE ∆为等边三角形，CDE ∆为直角三角形，求解CD 即可. 【详解】
分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ， 则四边形ABDE 为平行四边形.
线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .
AC AB ∴⊥，AE AB ⊥则CAE ∠为二面角的平面角，即60CAE ∠= 4AB AC BD ===
4AC BD AE AB DE ∴=====，如图所示.
ACE ∴∆为等边三角形，4CE =
AC DE ⊥，AE DE ⊥，AC AE A ⋂=，AC ⊂平面ACE ，AE ⊂平面ACE
DE ∴⊥平面ACE 又CE ⊂平面ACE
∴DE CE ⊥
在Rt CDE ∆中22224442CD CE DE =+=+=故选：D 【点睛】
本题考查空间的距离问题，属于中档题.
二、填空题
14．【分析】首先然后利用向量数量积表示向量的模计算的长度【详解】由条件可知故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查空间几何中长度的计算本题的关键点是分析出从而利用数量积表示比较容易计算结果 解析：52【分析】
首先CD CA AB BD =++，然后利用向量数量积表示向量的模，计算CD 的长度. 【详解】
CD CA AB BD =++， ()()
2
222
2CD CA AB BD
CA AB BD CA AB CA BD AB BD ∴=
++=+++⋅+⋅+⋅
由条件可知CA AB ⊥，CA BD ⊥，AB BD ⊥，
(
)
2
222
9162552CD CA AB BD
CA AB BD ∴=++=++=++=
故答案为：52【点睛】
关键点点睛：本题考查空间几何中长度的计算，本题的关键点是分析出CA AB ⊥，
CA BD ⊥，AB
BD ⊥，从而利用数量积表示CD ，比较容易计算结果.
15．3【分析】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系设根据则可得从而点在底面内的轨迹为一条线段从而可得答案【详解】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则由则即则当时设所以点在底面内
解析：3 【分析】
以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设
(),,0P x y ，根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面
ABCD 内的轨迹为一条线段AF ,从而可得答案. 【详解】
以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，
则()()()112,2,2,1,2,0,0,0,2B E D ，设(),,0P x y ，则02,02x y ≤≤≤≤
()12,2,2PB x y =--，()11,2,2ED =--
由11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，即()22240x y -+⨯-+=，则220x y +-= 当0x =时，1y =,设()0,1,0F
所以点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF , 所以()()
22
21224548B P x y y y =
-+-+=-+，则01y ≤≤
又二次函数2
548t y y =-+的对称轴为2
5
，当01y ≤≤时，当1y =时，1B P 有最大值3. 故答案为：3
【点睛】
关键点睛：本题考查根据垂直关系得出动点的轨迹从而求线段的长度的最值，解答的关键是建立坐标系，利用向量根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ，可得01y ≤≤，从而可出答案，属于中档题.
16．【分析】建立空间直角坐标系以的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向不妨设正方体的棱长为1则异面线与AM 所成角的余弦值转化为求向量的夹角的余弦值利用向量夹角公式即得【详解】分别以的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向建立
解析：
39
【分析】
建立空间直角坐标系，以1
,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，不妨设正方体的棱长为1，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值，转化为求向量1,BD AM 的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即得. 【详解】
分别以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则11(1,0,0),(1,1,0),(0,1,),(0,0,1)2
A B M D ，可得
11
(1,1,1),(1,1,)2
BD AM =--=-，则
1111113
2cos ,||||
13114
BD AM
BD AM BD AM -+
⋅<>=
=
=
⋅++
，即异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为
3. 故答案为：
3
【点睛】
本题考查利用空间向量求异面直线的夹角，运用了向量夹角公式.
17．【分析】根据向量投影的计算公式计算出在方向上的投影【详解】依题意在方向上的投影为【点睛】本小题主要考查向量在另一个向量上的投影的计算考查空间向量的数量积的坐标运算属于基础题 解析：32
2
-
【分析】
根据向量投影的计算公式，计算出a 在b 方向上的投影. 【详解】
依题意a 在b 方向上的投影为(
)
2
232
222
22a b b
⋅=
=
=-+-.
【点睛】
本小题主要考查向量在另一个向量上的投影的计算，考查空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题.
18．【分析】以D 为坐标原点DA 所在的直线为轴DC 所在的直线为轴DP 所在的直线为轴建立空间直角坐标系令求得利用向量的夹角公式即可求解【详解】如图所示以D 为坐标原点DA 所在的直线为轴DC 所在的直线为轴DP 所 解析：60
【分析】
以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，DP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，令1PD AD ==，求得()()1,0,1,1,1,0PA BD =-=--，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】
如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，DP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，
因为点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面,ABCD PD AD =， 令1PD AD ==，所以()()()()1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0A P B D ， 所以()()1,0,1,1,1,0PA BD =-=--, 所以1
cos 2
22PA BD PA BD
θ⋅=
=
=⨯⋅，所以060θ=， 即异面直线PA 与BD 所成的角为060
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19．【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题然后利用向量的数量积坐标运算计算的值即可【详解】又即解得故答案为【点睛】本题主要考查空间向量的应用向量垂直的充分必要条件等知识意在考 解析：3±
【分析】
利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题，然后利用向量的数量积坐标运算计算λ的值即可. 【详解】
()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-， ∴AB ()1,3,1,λ=+CB ()1,3,1λ=--，
又,AB CB ⊥0AB CB ∴⋅=，
即()()()1133110λλ⨯+⨯-++-=，解得3λ=±， 故答案为3±. 【点睛】
本题主要考查空间向量的应用，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．【分析】以为原点分别为轴建立空间直角坐标系设由平面可得P 点的坐标根据四棱锥的特点可得外接球的直径可得答案【详解】以为原点分别为轴建立空间直角坐标系由则设设平面的法向量为则即不妨令则得因为平面所以即解 解析：178π
【分析】
以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)P t ，由
//PB 平面CEF 可得P 点的坐标，根据四棱锥P ABCD -的特点可得外接球的直径可得答案.
【详解】
以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
(0,0,0)D ，由2AE D E D
F
B F '==，
则(9,6,0),(0,9,0)E C ，(0,0,3)F ，(9,9,0)B ，设(0,0,)P t ，
∴()9,3,0EC =-， ()0,9,3CF =-，()9,9,PB t =-
设平面FEC 的法向量为(),,n x y z =，
则·0·
0n EC n CF ⎧=⎨=⎩，即930930x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令3z =，则11,3y x ==，
得1,1,33n ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，因为//PB 平面CEF ，
所以0
PB n⋅=，即1
919
30
3
t
⨯+⨯-=，解得4
t=，
所以(0,0,4)
P，
由PD⊥平面ABCD，且底面是正方形，
所以四棱锥P ABCD
-外接球的直径就是PB，
由()
9,9,4
PB =-，得22
9916178
PB=++=，
所以外接球的表面积
2
4178
2
PB
Sππ
⎛⎫
⎪
==
⎪
⎝⎭
.
故答案为：178π.
【点睛】
本题考查了四棱锥外接球的表面积的求法，关键点是建立空间直角坐标系，确定球的半径，考查了学生的空间想象力和计算能力.
21．【分析】根据向量夹角为钝角可知且解不等式可求得结果【详解】由题意可知：且解得：且即本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解易错点是忽略夹角为的情况造成出现增根
解析：
1311
,,
222
⎛⎫⎛⎫
-+∞
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
【分析】
根据向量夹角为钝角，可知cos,0
a b
<><且cos,1
a b
<>≠-，解不等式可求得结果.【详解】
由题意可知：
2
13
2
cos,0
13
14
4
k
a b
a b
a b
k
--
⋅
<>==<
⋅+
且
2
13
2
cos,1
13
14
4
k
a b
k
--
<>=≠-
⋅+
解得：
13
2
k>-且
1
2
k≠，即
1311
,,
222
k
⎛⎫⎛⎫
∈-+∞
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
本题正确结果：1311,,222⎛⎫⎛⎫
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题考查向量夹角的相关问题的求解，易错点是忽略夹角为π的情况，造成出现增根.
22．【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可【详解】解：两个平面的法向量分别为则这两个平面所成的锐二面角的大小是这两个平面所成的锐二面角的余弦值为故答案为：【点睛】本题考查空间二面
解析：
5
【分析】
直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可． 【详解】
解：两个平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u →=，(1,1,0)v →
=-， 则这两个平面所成的锐二面角的大小是θ，
2cos 4a b
a b
θ→→
→→
+=
=
=
这两个平面所成的锐二面角的余弦值为
5
.
故答案为：5
. 【点睛】
本题考查空间二面角的求法，空间向量的数量积的应用，考查计算能力．
23．1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果【详解】因为点分别是边的中点则又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2所以原式故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的运算解题过
解析：1 【分析】
结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果. 【详解】
因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点, 则111
()()224
AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=
+⋅=⋅+⋅,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1
(22cos6022cos60)14
=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=. 故答案为:1 【点睛】
本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.
24．①②【分析】建立如图所示的空间直角坐标系把空间中的平行垂直关系归结为方向向量法向量之间的关系后可得正确的选项【详解】建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为2则故所以故所以故②正确又设平面的法向 解析：①②
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，把空间中的平行、垂直关系归结为方向向量、法向量之间的关系后可得正确的选项.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则()()()()2,0,0,0,0,0,0,2,0,2,2,0A D C B ，
()()()()11112,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2A D C B ，
故()()2,2,1,0,1,0M N ，所以()2,1,1MN =---，()10,2,2CD =-，
故10MN CD ⋅=，所以1MN CD ⊥，故②正确.
又()2,2,0DB =，()12,0,2DA =，设平面1
A BD 的法向量为(),,n x y z =， 由100n D
B n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得00x y x z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()1,1,1n =--， 因为0MN n ⋅=且MN ⊄平面1A BD ，故//MN 平面1A BD ，故①正确.
又()10,2,1A M =-，设平面1
A MN 的法向量为(),,m x y z =， 由100m MN m A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020
x y z y z ---=⎧⎨-=⎩，取1y =，则3,1,22m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 平面1A AC 的法向量为()2,2,0a =，则0m a ⋅≠
故平面1A MN ⊥平面1A AC 不成立，
故③错，
故答案为：①②.
【点睛】
本题考查空间中平行关系、垂直关系的判断，注意根据几何体的特征建立合适的空间直角坐标系后再利用空间向量来处理，本题属于中档题.
25．【分析】推导出由得到从而由此能求出的取值范围【详解】在空间直角坐标系中整理得：的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查代数式的取值范围的求法考查空间向量坐标运算法则椭圆的参数方程等基础知识考查运算求解
解析：⎡⎣
【分析】
推导出2(a b x +=，2y ，3)，由|2|13a b +=2
214
x y +=，从而2cos sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，(02)θπ≤<，由此能求出2m x y =+的取值范围． 【详解】
在空间直角坐标系中，(2,0,1)a x =--，(1,,2)b y =，
∴2(,2,3)a b x y +=，
|2|13a b +=，
∴=22
44x y +=，∴2214x y +=， ∴2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，(02)θπ≤<，
2sin 4cos )m x y θθθα∴=+=+=+，tan 4α=．
2m x y ∴=+的取值范围是[．
故答案为：[．
【点睛】
本题考查代数式的取值范围的求法，考查空间向量坐标运算法则、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，求解时注意三角函数中辅助角公式及有界性的应用． 26．【解析】【分析】由α∥β可得∥利用向量共线定理即可得出【详解】因为α∥β所以u ∥v 则即故x+y=【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系向量共线定理考查了推理能力与计算能力属于中档题
解析：154
【解析】
【分析】
由α∥β，可得u∥v．利用向量共线定理即可得出．【详解】
因为α∥β,所以u∥v.则
1-2
1 -1
2 x
y
==
,
即
4,
1
-,
4
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
故x+y=
15
4
.
【点睛】
本题考查了空间面面平行与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。