2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 教案

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量数乘运算的坐标表示、共线向量的坐标表示。

引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.
课程目标学科素养
A.掌握向量数乘运算的坐标表示；
B.会根据向量的坐标，判断向量是否共线；
1.数学抽象：向量数乘运算的坐标表示；
2.逻辑推理：推导共线向量的坐标表示；
3.数学运算：由向量共线求参数的值；
4.直观想象：学会用坐标进行向量的相关运算，理解
数学内容之间的内在联系；
5.数学模型：通过对共线向量坐标关系的探究，提高
分析问题、解决问题的能力。

1.教学重点：向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线；
2.教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性。

多媒体
一、复习回顾，温故知新 1.已知),(),,(2211y x b y x a ==，则b a b a -+，
的坐标是什么？ 【答案】),(),(21212121y y x x b a y y x x b a --=-++=+，
二、探索新知
思考：已知),(y x a = ，你能得到a λ的坐标吗？
【分析】因为),(y x a =，所以j y i x j y i x a λλλλ+=+=)( 即),(y x a λλλ=。

结论：这就是说，实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标.
例1.已知b a b a 43)43()1,2(+-==，求，，
的坐标。

探究：设),(),,(2211y x b y x a ==，若向量b a ,共线（其中0≠b ），
则这两个向量的坐标应满足什么关系？
【解析】向量b a ,共线的充要条件是存在实数λ，使b a λ=，用坐
标表示为),(),(2211y x y x λ=即，⎩⎨
⎧==2
121y y x x λλ整理得01221=-y x y x ， 这就是说，向量)0(,≠b b a 共线的充要条件是01221=-y x y x 。

例2.已知.//),6(),2,4(y b
a y
b a ，求，且== 通过复习上节所学知识，引入本节新课。

建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过例题让学生进一步识记向量加、减法、数乘的坐标运算，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过探究，掌握
共线向量的坐标之
间的关系，提高学生分析问题、概括能
力。

解：因为0624//=⨯-y b
a ，所以，解得3=y 。

例3.已知),5,2(),3,1(),1,1(C B A --判断A ，B ，C 三点之间的关系。

解：猜想A ，B ，C 三点共线。

因为)4,2())1(3),1(1(=----=AB ，
)6,3())1(5),1(2(=----=AC ，又03462=⨯-⨯
所以AC AB //。

又直线AB ，直线AC 有公共点A ， 所以，A ，B ，C 三点共线。

例4.设点P 是线段P 1P 2上的一点，点P 1，P 2的坐标分别为
),(),,(2211y x y x ，
（1）当P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； （2）当P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标。

结论：中点坐标公式
若点P 1，P 2的坐标分别为),(),,(2211y x y x ， 线段P 1P 2的中点P 的坐标为),(y x ，则⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=2221
21y y y x x x 。

探究：如图，线段P 1P 2的端点P 1，P 2的坐标分别为
),(),,(2211y x y x ，点P 是直线P 1P 2上的一点，当21PP P P λ=时，
点P 的坐标是什么？
与好的问题设计相联系,在课堂教学中还要考虑以问题为主要载体的教学内容的选择,以及与问题的呈现时间、呈现空间和呈现方式相联系的教学情境设计,使教学过程达到最优。

1、在教学中重基础知识,重基本方法,重基本技能,重教材,重应用,重工具作用,不拔高,不选偏题和难题,遵循学生认知规律和按大纲要求进行。

2、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点,提高“向量法”的运用能力,充分发挥工具作用在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示,掌握向量的数乘运算,理解向量运算和实数运算的联系和区别,强化本章基础。