人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1变化率问题【同步课件】

A.－1
√B.－12
C.－2
D.2
解析 v ＝s22－－1s1＝12－1＝－12.
二、瞬时速度
问题2 我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超 速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我 们应该如何改进高速路上的区间测速问题？ 提示 由 v ＝ft2t2－－tf1t1可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路 程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程， 这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法， 如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了. 我们把函数值的增量f(t2)－f(t1)记为Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自变量的增 量t2－t1记为Δt，即Δt＝t2－t1，
(3)求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于的常数 v 即为瞬
时速度，即
v＝lim Δt→0
Δs Δt.
跟踪训练2 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.
解 质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.
知识梳理
1.瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
2.瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，
ht0＋Δt－ht0
则物体在t0时刻的瞬时速度为
lim
Δt→0
Δt
.
3.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋
近于0时，平均速度 v 就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度. 注意点：Δt可正，可负，但不能为0.
D.7
解析
lim
Δt→0
s2＋ΔΔtt－s2＝Δlit→m0(Δt＋6)＝6.
1234
3.一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为
A.－2
B.－1
C.0
√D.2
解析
因为lim Δt→0
ΔΔst＝
－t＋Δt2＋2t＋Δt－－t2＋2t
lim
Δt→0
Δt
＝lim (－2t＋2－Δt)＝－2t＋2， Δt→0
√C.18 m/s 是物体在 3 s 这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s 是物体从 3 s 到(3＋Δt)s 这段时间内的平均速度
解析 由瞬时速度与平均速度的关系可知选C.
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5.已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为
A.4
B.16
√C.8
D.2
22＋Δx2－2×22
解析 k＝lim Δx→0
Δx
＝8.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则
这里的Δt可以看成是t1的一个增量，可用t1＋Δt来表示t2， 则平均变化率可记为ΔΔyt ＝ft2t2－－tf1t1＝ft1＋ΔΔtt－ft1， 我们发现如果时间的增量Δt无限小， 此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间t＝t1的瞬时速度， 这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限趋近于0.
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为 ΔΔst＝s2＋ΔΔtt－s2＝a2＋ΔΔtt2－4a＝4a＋aΔt，
∴lim Δt→0
ΔΔst＝4a＝8，
即a＝2.
三、抛物线的切线的斜率
问题3 前面我们从物理的角度研究了瞬时速度的问题，它反映到我们
几何上是什么意思？ 提示 从 v ＝ft2t2－－ft1t1形式上来看，它表示的是图象上两点割线的斜率， 而曲线上两点的平均变化率与直线 l 的斜率 k＝yx22－－yx11不同，曲线两点的 平均变化率表示的是曲线的陡峭程度，而直线的斜率表示的是直线的倾 斜程度. 从ΔΔyt ＝ft2t2－－tf1t1＝ft1＋ΔΔtt－ft1来看，当曲线上两点无限接近时，此时 的割线的斜率无限接近曲线在 t＝t1 这一点的切线的斜率.
1 A.2
√B.－12
C.1
D.－1
解析 Δs＝2＋12－(2＋1)＝－12.
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2.已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则
Δy Δx
的值为
A.－0.11
√B.－1.1
C.3.89
D.0.29
解析 ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， ∴ΔΔyx＝－00.1.11＝－1.1.
内容索引
一、平均速度 二、瞬时速度 三、抛物线的切线的斜率
随堂演练
课时对点练
一、平均速度
问题1 在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间存
在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，根据上述探究，你能求该运动员
在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤
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内的平均速度吗？
提示 0≤t≤0.5 时， v ＝h00.5.5－－0h0＝4.05(m/s)； 1≤t≤2 时， v ＝h22－－1h1＝－8.2(m/s)；
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3.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数
f(x)从A点到B点的平均变化率为
A.4
B.4x
√C.4.2
D.4.02
解析 ΔΔxf＝fxxBB－－xfAxA＝－1.15.81－－1－2＝4.2.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0＝(2t0＋1)＋Δt.
lim
Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). (2)求平均速度 v ＝ΔΔst.
解 设切点(x0，x20－2x0＋3)， 故fx0＋ΔΔxx－fx0 ＝x0＋Δx2－2x0＋ΔΔxx＋3－x20＋2x0－3 ＝2x0－2＋Δx， 所以 k＝lim (2x0－2＋Δx)＝2x0－2，
Δx→0
故有2x0－2＝2，解得x0＝2， 所以切点为(2,3)，所求切线方程为2x－y－1＝0.
反思感悟 (1)求抛物线在某点处的切线方程的步骤
(2)求曲线过某点的切线方程需注意，该点不一定是切点，需另设切点 坐标.
跟踪训练3 求抛物线f(x)＝x2－x在点(2,2)处的切线方程.
解 f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2
＝3Δx＋(Δx)2，
所以切线的斜率 k＝lim Δx→0
0≤t≤6459时， v ＝h46649559－－h00＝0(m/s)；
虽然运动员在0≤t≤
65 49
这段时间里的平均速度是0
m/s，
但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述
运动员的动状态.
例 1 某物体运动的位移 s 与时间 t 之间的函数关系式为 s(t)＝sin t， t∈0，π2. (1)分别求 s(t)在区间0，π4和π4，π2上的平均速度；
f2＋Δx－f2 Δx
＝ lim Δx→0
3Δx＋ΔxΔx2＝Δlixm→0(3＋Δx)＝3.
则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.
课堂小结
1.知识清单： (1)平均速度. (2)瞬时速度. (3)曲线在某点处的切线方程. 2.方法归纳：极限法、定义法. 3.常见误区：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位.
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s3＋Δt－s3
4.物体运动方程为 s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若 v＝lim Δt→0
Δt
＝18 m/s，则下列说法中正确的是
A.18 m/s 是物体从开始到 3 s 这段时间内的平均速度
B.18 m/s 是物体从 3 s 到(3＋Δt)s 这段时间内的速度
第五章 §5.1 导数的概念及其意义
学习目标
1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系. 3.体会极限思想.
导语
同学们，大家知道，在高速路上经常看到“区间测速”这样的 提醒，这其实是在提醒司机安全驾驶，其实它测速的方式是在 固定的路程上，看你用了多少时间，从而达到测速的目的；大 家也经常能听到家长们讨论车辆油耗的问题，你的车几个油？ 这里所说的几个油实际上是汽车百公里的油耗，不过有些车上 可以查看汽车的瞬时油耗，今天我们就来研究生活中的变化率 问题.
例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
解 ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0(3＋Δt)＝3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
知识梳理
1.切线：设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于
点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线
P0T称为曲线在点P0处的切线.
2.切线的斜率：设P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点
fx0＋Δx－fx0
P0(x0，y0)处的切线的斜率为k0＝
例3 求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程.
解 由f1＋ΔΔxx－f1 ＝1＋Δx2－2Δ1x＋Δx＋3－2＝Δx， 可得切线的斜率为 k＝lim Δx＝0.
Δx→0
所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.
延伸探究 本例函数不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程.
解
物
体
在
区
间
0，π4
上
的
平
均
速
度
为
v
1
＝
st2－st1 t2－t1
＝
sπ4－s0 4π－0
＝
22π－0＝2 π 2. 4
物体在区间π4，π2上的平均速度为
v
2＝sπ2π2－－sπ4π4＝1－π4
2 2 ＝4－π2
2 .
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义.
解 由(1)可知 v 1－ v 2＝4 2π－4>0，所以 v 2< v 1. 作出函数 s(t)＝sin t 在0，π2上的图象，如图所示，可以发现，
所以当t＝0时，其速度为2.
1234
4.抛物线y＝x2＋4在点(1,5)处的切线的斜率为___2__.
解析
k＝ lim Δx→0
1＋ΔxΔ2x＋4－5＝Δlixm→0
(Δx＋2)＝2.
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课时对点练
基础巩固
1.已知某质点运动的方程是 s＝2＋1t ，当 t 由 1 变到 2 时，其路程的增 量 Δs 等于
lim
Δx→0
Δx
.
3.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔 |Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0 处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的 斜率k0. 注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率.
延伸探究 1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度.
解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度， ∵ΔΔst＝s0＋ΔΔtt－s0＝0＋Δt2＋0Δ＋t Δt＋1－1 ＝1＋Δt， ∴lim(1＋Δt)＝1.
Δt→0
即物体的初速度为1 m/s.
2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
s(t)＝sin t 在0，π2上随着 t 的增大，函数值 s(t)变化得越来越慢.
反思感悟 求物体运动的平均速度的主要步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)， (2)再计算时间的改变量t2－t1， (3)得平均速度 v ＝st2t2－－ts1t1.
跟踪训练 1 一质点按运动方程 s(t)＝1t 作直线运动，则其从 t1＝1 到 t2 ＝2 的平均速度为
随堂演练
1.某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1,2]内的平均速度为
A.2
B.3
C.－2
√D.－3
解析 v ＝1－222－－11－12＝－3.
1234
2.一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t
＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为
A.4
B.5
√C.6