工作室研修活动记录表(15)

工作室研修活动记录表（15）
时间：2009年3月1日地点：曹杨中学形式：研讨交流
出席：工作室部分成员，曹杨二中和曹杨中学高三数学教研组，饶建民工作室
研修主题：高三二轮复习计划和针对学有困难学生的对策
研修过程：
1.二中三月份进行二轮复习，列出十几个专题，按重点知识专题和重要的思想方法两条线索齐头并进地进行复习。

二轮复习纲目：
第1讲函数的性态的研究
第2讲函数、方程和不等式
第3讲函数综合问题
第4讲含参数的不等式
第5讲不等式综合问题
第6讲数列的通项与求和
第7讲数列综合问题
第8讲三角比与解三角形
第9讲三角函数综合问题
第10讲复数综合问题
第11讲向量综合问题
第12讲曲线与轨迹
第13讲直线与圆锥曲线
第14讲空间角的求法
第15讲多面体与旋转体
2.两校在上月底都进行了八校卷的考试，暴露了学生中存在的问题，曹杨中学的情况更严重一些，二中的低端学生也很多，这部分学生成绩的提升是两校必须关注的课题。

这是本次活动的共同点。

3.曹杨中学在补弱方面积累了很多的经验，用最基础的题进行训练，易错的题集中训练，当堂消化。

曹杨中学的老师介绍近几年来的做法。

（1）学生考试的题要认真讲解，学生思考过的问题，老师要精讲。

（2）对外面的试题要进行筛选，根据学生的实际水平重新组织。

（3）单纯讲考卷效果不好，作业中的错误要及时讲评，做好个别辅导工作，帮助学生整理好知识点，重要的知识点要逐个过关。

4.二轮复习讲清数学思想方法很重要，尤其是数学中最为重要的方法，如等价转化的方法，数形结合，分类讨论等方法。

5.二轮复习的几种对策
（1）重拾遗忘知识点
由于第二轮复习的前后跨越性比较大，这就要求同学们要事先回顾基础知识，回顾第一轮中的相关内容，抓住复习的主动权，以适应大跨度带来的不适应。

经过第一轮复习，同学们对所学知识有了较全面系统的复习，但综合运用的能力还比较薄弱，有些概念、公式和典型解题方法可能也遗忘了。

因此在第二轮复习中还应回顾课本、学习笔记和纠错本，浓缩所学知识，熟练掌握解题方法，加快解题速度，缩短遗忘周期，达到复习巩固提高的效果。

（2）搭建知识结构桥梁
由于第一轮复习是以各知识板块为主，横向联系不多，因此在第二轮复习中应重点突出在知识网络交汇点处的复习。

（3）领会通法通则
在复习中应淡化特殊技巧的训练，重视数学思想和方法的作用。

常用的数学思想方法有：
函数思想方法
根据问题的特点构建函数，将所要研究的问题转化为对构建函数的性质的研究，如对函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性、范围和图像的交点个数等研究。

方程思想方法
通过列方程(组)建立问题中的已知数和未知数的关系，通过解方程（组）实现化未知为已知，从而实现解决问题的目的。

函数与方程都是中学数学重要的内容。

也是处理许多数学问题时经常要用的基本思想方法。

函数是对于客观事物的运动变化过程中，各个变量之间的相依关系，运用函数形式把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题得到解决。

与函数的概念有必然联系的概念是方程。

若变量的关系用解析式表示，则这个解析式又可视为一个方程。

或者说：函数能反映的变化在某一特定状态时（如量值相等），可以由一个方程为描述。

通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这就是方程的思想。

数形结合的思想方法
中学数学研究的对象是现实世界的空间形式与数量关系。

这是数形结合的根本依据。

数形结合，就是把抽象的数学符号、字母与直观的图形结合，使抽象思维与形象思维相结合。

在运用数形结合的思想考虑问题时，既可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来解决，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来处理。

它可以把抽象的数学语言与直观图形相对应，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，比如：点M(x，y)到点A(a，b)距离的平方，点M与点A(a，b)两点间直线的斜率。

但此方法主要运用于解选择题和填空题，在解答题中要使用慎重。

分类讨论的思想方法
有些问题，局部与整体之间存在着必然的因果关系。

当对问题的整体研究有困难时，应转向研究其各个局部。

通过对各个局部的研究以及对这些局部结论的归纳综合，从而完成对整体的研究，这就是分类讨论的思想。

在分析含有参变量的问题时，分类讨论思想更显得重要。

分类讨论的思想方法在解答题中越来越体现出其重要地位，在解题中应明确分类原则：标准要统一；不重不漏；不主动先讨论，尽量推迟讨论。

此外在解题过程中，尽可能地简化分类讨论，常可采取：①消去参数；②整体换元；③变换主元；④考虑反面；⑤整体变形；
⑥数形结合。

化归与转化的思想方法
将未知向已知转化，是一种重要的思维模式，也是解决数学问题的一种重要的思想和方法。

正是通过不断的转化，把不熟悉的问题，不规范的问题转化为规范化的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把此一种方式的问题转化为彼一种方式的问题，使问题得到解决。

应当注意：转化都是有条件的。

忽视了转化的条件，就达不到转化的目的。

从广义讲，转化可能是等效或不等效的。

中学数学中，强调对于等效转化的理解、掌握。

（4）跟紧老师复习思路
课堂上要认真听讲，力图当堂课内容当堂课消化；认真完成老师布置的习题，同时要重视课本中的典型习题。

做练习时，遇到不会的或拿不准的题目要打上记号。

不管对错都要留下自己的思路，等老师讲评时心中就有数了，起码能够知道当时解题时的思维偏差在何处，对偶尔做错的题目也不会轻易放过，还能够检测出在哪些地方复习不到位，哪些地方有疏忽或漏洞。

提高听课的效率，深刻体会老师对问题的分析过程，密切注意老师解决问题时的“突破口，切入点”，及时弥补自己的不足之处，在纠正中强化提高。

（5）多做中档题
不片面追求解题技巧，如果基础不好，则不要过多做难题，而要把常用的解法掌握熟练。

提高准确率，优化解题方法，提高解题质量，这关系考试的成败。

定时定量做一些客观题和中档题，训练速度和正确率，适量做一些综合题，提高解题思维能力。

并及时总结、记忆，内化提高。

强化技能的形成。

技能包括：计算、推理、画图、语言表达，这些必须做得非常规范，非常熟练，做的时候要再现数学思想，也就是要明白每一步为什么要这么做。

加强阅读分析能力的训练，平时做题时要养成一个良好的读题、审题习惯，强化用数学思想和方法在解题中的指导性。

小结与反思：
一轮、二轮高三复习的区别所在是二轮进行重点知识专题的研究，并从数学思想方法的角度促进学生的理解。

对于基础较差的学生要注意查漏补缺，他们不仅存在方法上的偏差，还有知识层面上的偏差，要及时补救。

附件1：
曹杨二中高三二轮复习的讲义模式
第一讲 函数性态的研究
【研究内容】
从函数的三要素和三特性入手，三要素是指定义域、解析式和值域，三特性是指奇偶性、单调性和周期性，三要素中值域的研究最困难，三特性中单调性的研究最重要.
【研究方法】
[分类讨论]
例1设函数2
()||1,,f x x x a x R a R =+-+∈∈， （1）判断()f x 的奇偶性，并加以证明； （2）求()f x 的最小值.
练习题：已知0a >，函数()||1()f x x x a x R =-+∈. （1）求函数()y f x =在闭区间[1，2]上的最小值； （2）讨论函数()y f x =的图像与直线y a =的交点个数.
[对称变换]
例 2 设函数()(,)f x -∞+∞在上满足(2)(2),(7)(7)f x f x f x f x -=+-=+且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f
（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性；
（2）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2009，2009]上的根的个数，并证明你的结论.
练习题：设函数()f x 是R 上的奇函数，对于任意实数x 有33()()22
f x f x +=--恒成立.
（1）证明：()y f x =是周期函数，并指出周期； （2）若(1)2f =，求(2)(3)f f +的值；
（3）若2
()3g x x ax =++，且|()|()y f x g x =⋅是偶函数，求实数a 的值.
[等价转换]
例3 对实数,αβ定义运算：1αβ
αβαβ
+⊕=
+.设在R 上的奇函数()f x 的最小正周期
为2，(0,1)x ∈时，()22x x
f x =⊕.
（1）讨论()f x 在x ∈（0，1）上的单调性； （2）求函数()f x 在[1,1]-上的解析式.
练习题：对定义域分别是f g D D 、的函数()y f x =、()y g x =，定义函数：
()(),()(),(),
f g f g f g
f x
g x x D x D
h x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪
=∈∉⎨⎪
∉∈⎩若且若且若且.
（1）若函数1
()1
f x x =-，2()
g x x =，写出函数()
h x 的解析式；
（2）求问题（1）中函数()h x 的值域；
（3）若()()g x f x α=+，其中α是常数，且[0,]απ∈，请设计一个定义域为R 的函数()y f x =，及一个α的值，使得()cos 4h x x =，并予以证明.
【能力训练】
一、填空题：
1．函数2(1)x y x =≥的图像关于直线y x =对称图像的函数解析式是__________.
2．函数21
()2ax f x -=的单调递增区间为(0,)+∞，那么实数a 的取值范围是_______.
3．设()f x 是周期为4的周期函数，且在区间[2,2]-上有()f x x =-，则(
9.5)_____.
f =
4．若2
2
()(1)(1)3()f x m x m x x R =-+-+∈是偶函数，则实数______.m = 5．对数函数log a y x =在[1，2]上的最大值比最小值大1，则_____.a = 6．已知函数()ax b
f x x
+=的图像关于直线y x =对称，则,a b 满足__________. 7．函数1
(1)
1(1,0)x y a a a +=++>-≠的图像恒过定点________.
8．函数2|log |y x =的定义域为[, ]a b ，值域为[0, 2]，则区间[, ]a b 的长度b a -的最小值为________.
9．定义在R 上的函数()f x 的最小正周期为T ，若函数(),(0,]y f x x T =∈时，有反函数
1(),y f x x D -=∈，则函数(),(,2]f x x T T ∈的反函数是__________.
10
．设()())22
f x
g x x ππ
+=
-<<，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则
22()()f x g x +的值等于____________.
二、选择题：
11．若函数2()(1)25f x m x mx =---是偶函数，则()f x （ ） （A ）先增后减 （B ）先减后增 （C ）单调递增 （D ）单调递减
12．已知函数()f x 的定义域为R ，且1x ≠，若函数(1)f x +为奇函数，且当1x <时，
2()21f x x x =-+，则当1x >时，()f x 的递减区间是（ ）
（A ）5[,)4+∞ （B ）5(1,]4 （C ）7[,)4+∞ （D ）7(1,]4
13．函数a ax x x f +-=22)(在区间),
(1-∞上有最小值，则函数x
x f x g )
()(=
在区间),(∞+1上一定（ ）
（A ）有最小值 （B ）有最大值 （C ）是减函数 （D ）是增函数
14．设函数()f x x x bx c =++ 给出下列四个命题：①0c =时，()y f x =是奇函数； ②0,0b c =>时，方程()0f x =只有一个实根；③()y f x =的图像关于(0,)c 对称；
④方程()0f x =至多有两个实根 其中正确的命题是（ ）
（A ）①④ （B ）①③ （C ）①②③ （D ）①②④
三、解答题：
15．求函数2()21f x x ax =--在区间[0,2]上的最大值与最小值.
16．已知||1
()1;()(2)1
x f x g x f x =+
=-. （1）写出()f x 和()g x 的定义域；
（2）函数()f x 和()g x 是否具有奇偶性，并说明理由； （3）求函数()g x 的单调递增区间.
17．已知定义在区间[,]2
π
π-
上的函数()y f x =的图像关于直线4
x π
=
对称，当4
x π
≥
时，
()sin f x x =.
（1）求(),()24
f f π
π
-
-；
（2）求()y f x =的函数表达式；
（3）如果关于x 的方程()f x a =有解，那么将方程中的a 取某一确定值时所得的所有解的和记为a M ，求a M 的所有可能的值及相应的a 的取值范围.
18．已知函数()||()f x x x a a R =-∈. （1）解关于x 的不等式2()2f x a ≥； （2）当0a ≥时，求函数()f x 的单调区间；
（3）设集合M 是满足下述性质的函数()f x 的全体，存在非零常数k ，对任意x R ∈，有
()()f x k kf x +=成立，问是否存在实数a ，使得()||f x x x a =-属于M ，若存在，求出
实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由.
第二讲 函数、方程与不等式
【研究内容】
函数()y f x =可以看成关于,x y 的二元方程()0f x y -=，而解方程()0f x =即为求函数()y f x =的零点.而不等式()0(()0)f x f x ><可以看成函数()y f x =在x 轴上（下）方部分的图像所对应的x 的取值范围.
【研究方法】
[构造方程]
例1 关于x 3
2
ax >+的解集是(4,)m ，求实数,a m 的值.
练习题：已知,αβ为锐角，且3
cos cos cos()2
αβαβ+-+=，求,αβ的值.
[构造函数]
例 2 方程2
10x -=的解可视为函数y x =1
y x
=
的图像交
点的横坐标.若方程4
40x ax +-=的各个实根12,,,(4)k x x x k ≤ 所对应的点
4
(,
)(1,2,,)i i
x i k x = 均在直线y x =的同侧，则实数a 的取值范围是 .
练习题：已知2()log ,f t t t =∈，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式
2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围.
[等价转化]
例1已知函数1(),()1x g x h x x x a
=
=++，a R ∈且()()().f x g x h x = （1）若1a =，并设()f x 的定义域是[1，2]，求函数()f x 的值域； （2）若()()g x h x >在[1，2]上恒成立，求a 的取值范围；
（3）是否存在常数a 、k (0)a >，使函数()f x 的定义域为[,1]a ，值域为[,]ka k ？ 若存在，求出a 、k 的值；若不存在，说明理由.
练习题：已知函数2
()(,2)2
x f x x R x x =
∈≠-. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数2()2g x x ax =-与函数()f x 在[0,1]x ∈上有相同的值域，求实数a 的范围；
（3）设1a ≥，函数32
()35,[0,1]h x x a x a x =-+∈，若对任意1[0,1]x ∈，总存在
0[0,1]x ∈，使01()()h x f x =成立，求实数a 的取值范围.
【能力训练】
一、填空题：
1．若不等式2
20ax x a ++>的解为12x <<，则____.a =
2．对于实数x ，不等式|1||2|x x a +-->恒成立，则实数a 的取值范围是______. 3．若函数2
(1)4y x k x =+-+的图像在x 轴上方，则实数k 的取值范围为___________.
4．()2,()4x x f x g x ==，如果(())(())g f x f g x >，则x 的取值范围是__________.
5．若函数)(1
2
R x x b ax y ∈++=
的值域为[]4,1-，则=b a
. 6．若关于x 的方程13
()25x a a
+=-有负根，则实数a 的取值范围是________.
7．若关于x 的指数方程9(4)340x x a +++=有实数解，则实数a 的取值范围是________. 8．设()f x 是定义在正实数上的单调递增函数，且对定义域内任意,x y 有
()()()f xy f x f y =+，(2)1f =，且满足()(3)2f x f x +-≤的x 的取值范围是______.
9．已知关于的方程2
sin cos 20x a x a +-=有解，则a 的取值范围是________.
10．已知抛物线21y x =-上一定点(1,0)A -和两动点P 、Q ，当PA PQ ⊥时，点Q 的横坐标的取值范围是___________.
二、选择题：
11．设关于x 的方程：21lg x a =+有负实数解，实数a 的取值范围是（ ）
（A ）1a <（B ）01a <<（C ）1110a << （D ）110
a > 12．当a R ∈时，方程1
sin cos x x a a
+=+（ ）
（A ）至少有一解 （B ）至多有一解 （C ）一定有两解 （D ）无解
13
．已知()log (2)]x a f x a =-对任意1(,)2
x ∈+∞都有意义，则a 的范围是（ ） （A ）1(0,]4 （B ）1(0,)4 （C ）1[,1)4 （D ）11(,)42
14．设定义域为R 的函数1
(1)|1|()1(1)x x f x x ⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩
若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有
三个不同的实数解123,,x x x ，则222123x x x ++等于（ ）
（A ）5 （B ）13 （C ）2222b b + （D ）22
32
c c
+
三、解答题：
15．设集合2
{|42
0,}x
x A x a x R +=-+=∈.
（1）若A 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合B ；
（2）若对任意a B ∈，不等式26(2)x x a x -<-恒成立，求x 的取值范围.
16．设()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，且在(0,)+∞上是增函数. （1）判断并证明()f x 在(,0)-∞上的单调性；
（2）若(1)0f =，解关于x 的不等式：22[log (1)1]0f x -+>.
17．问a 为何值时，方程lg(1)lg(3)lg(1)x x ax -+-=-有两个不同的实数解？
18．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠
（1）当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；
（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若()y f x =图像上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线2121
y kx a =++对称，求b 的最小值.
第三讲 函数综合问题的研究
【研究内容】
加强函数与集合、函数与三角、函数与几何等知识的联系，运用函数思想方法解决综合问题和实际问题等.
【研究方法】
[数形结合]
例1 设()||,()||,,,{(,)|()}f x x a g x x b a b R A x y y f x +
=-=-+∈=≥，B =
{(,)|()}x y y g x ≤，且A B ≠∅ .
（1）当,a b 满足什么条件时，A B ≠∅ ；
（2）在（1）的条件下A B 所覆盖的图形的面积.
练习题：已知{}n a 是等差数列, d 为公差且不为零, 1a 和d 均为实数, 它的前n 项和记为n S .
设集合*,
|n n S A a n N n ⎫⎧⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
,221(,)|1,,4B x y x y x y R ⎧⎫=-=∈⎨⎬⎩⎭. 试问下列命题是否是真命题, 如果是真命题, 请给予证明；如果是假命题, 请举出反例.
（1）若以集合A 中的元素作为点的坐标, 则这些点都在同一条直线上； （2）A B 至多有一个元素； （3）当10a ≠时，一定有A B ≠∅ .
[配方法]
例2 三棱锥S-ABC ，SA=x ，其余所有棱长均为1，它的体积为V . （1）求()V f x =的解析表达式，并求此函数的定义域； （2）当x 为何值时，V 有最大值？并求出此最大值.
练习题：椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，已知点3(0,)2
P
求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的点的坐标.
[三角代换]
例3.一条河的两岸是平行线，两岸边各有一个小镇A 和B ，它们的直线距离为2千米，河宽AC 为1千米.根据规划需在两镇间铺设一条点缆线.已知铺设水下电缆的费用是铺设地下电缆费用的2倍.设D 为线段BC 上任意一点，记ADC θ∠=.
（1）设铺设地下电缆的费用是每千米a 元，把该项工程的总费用y 表示成θ的函数； （2）当θ为何值时，工程总费用y 最低？
练习题：如图所示，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，∆ABC 的内接正方形PQRS 为一块水池，其余的地方种花.若BC=,BAC αθ∠=，设∆ABC 的面积为
1S ，正方形PQRS 的面积为2S .
（1）用,a θ表示12,S S ；
（2）当a 固定，θ变化时，求12
S
S 取得最小值时的角θ.
【能力训练】
一、填空题：
1．若二次函数()f x 的图像经过点A （0，1）、B （2-，0）、C （2，0），则()________.f x = 2．方程2
2x
x =的根的个数是_______.
3．设集合{|2lg lg(815),},{
|cos 0,}2
x
A x x x x R
B x x R ==-∈=>∈，则A B 的元素个数为_________个.
4．已知等腰三角形的周长为常数l ，底边长为y ，腰长为x ，则()y f x =的定义域为_______. 5．集合{(,)|,},{(,)|1,,0x
P x y y k x R Q x y y a x R a ==∈==+∈>，且1}a ≠，若
P Q =∅ ，则实数k 的取值范围是___________.
6．已知函数2
()f x x =，集合{|(1)}A x f x ax =+=，且A R R +
+
= ，则实数a 的取值
范围是___________.
7．设P (,)x y 是椭圆22
44x y +=上的一个动点，定点M （1，0） ，则||PM 的最大值是
___________.
8．已知()sin cos f x x a x =+的图像关于直线4
x π
=-
对称，则________.a =
9．设函数f (x )＝|x －a |－|x －a 2|，若f (1)＜0，则(0)f 的取值范围是_____________. 10．若函数)(x f 满足：对于任意0,21>x x ，都有,0)(,0)(21>>x f x f 且
)()()(2121x x f x f x f +<+成立，则称函数)(x f 具有性质M ．给出下列五个函数：
①3x y =， ②),1(log 2+=x y ③12-=x
y ， ④x y sin =， ⑤x
y 1=
． A B
C
R
Q
R
S
其中具有性质M 的函数是 .
二、选择题：
11．函数(),[,]y f x x a b =∈，那么集合{(,)|(),[,]}{(,)|1}x y y f x x a b x y x =∈= ，
所含的元素的个数是（ ）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）0或1个 （D ）1个或2个
12．函数log a y x =在[2,)+∞上恒有||1y >，则实数a 的取值范围是（ ）
（A ）1(,1)(1,2)2
（B ）1(0,)(1,2)2
（C ）(1,2) （D ）1
(0,)(2,)2
+∞
13．已知函数f （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如右图，则（ ） （A ）b ∈（－∞，0） （B ）b ∈（0，1） （C ）b ∈（1，2） （D ）b ∈（2，＋∞） 14．若直线
1x y
a b
+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） （A ）22
1a b +≤
（B ）22
1a b +≥
（C ）
22
111a b +≤ （D ）
22
111a b +≥
三、解答题：
15．设关于x 的方程2
2
lg lg 30x x p -+=的两个实数根是,αβ. （1）求实数p 的取值范围； （2）将log log q α
ββα=+表示成p 的函数；
（3）求q 的取值范围.
16．公园有一块边长为a 2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪.AB 、AC 边上两点D 、E 连
线把草坪分成面积相等的两部分. （1）设y ED a x x AD =≥=，)(，求y 关于x 的函数关系式；
（2）如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应该在哪里？ （3）如果DE 时参观路线，则希望它最长，DE 又应该在哪里？请给予证明.
17．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为22
m 的正四棱锥形有盖容器，设容器的高为hm ，盖子边长为am . （1）求a 关于h 的函数关系式；
（2）设容器的容积为3
Vm ，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值.
18．已知函数()
*21()log (2),()()
(),02
n f x n n f x n x g x n N a =+=∈>.
（1）确定实数a 的取值范围，使得命题M ：集合12{|()(2)}A x f x f x a ==-+≠∅为真命题；
（2）确定实数a 的取值范围，使得命题N ：当113
()()(),[,1]2
F x g x f x x =-∈--时，集合min {||2|()}Q x x x a F x R =+->=为真命题；
（3）如果M 和N 有且有一个为真命题，求实数a 的取值范围.
P
A B
C
D。