人教B版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数 3.1.3 第1课时 函数的奇偶性

当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);
当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).
综上可知,对于任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.
(方法二)作出函数f(x)的图象如图所示,
由图象可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,

象并回答下列问题:
图①
图②
图③
(1)各个图象有怎样的对称性?
提示:图①关于y轴对称;图②③关于坐标原点对称.
(2)对于以上三个函数,分别计算f(-x),观察对定义域内的每一个x,f(-x)与f(x)
有怎样的关系?
1
2
提示:对于f(x)=x -1,f(-x)=f(x);对于f(x)=
,f(-x)=-f(x);对于f(x)=2x,f(-x)=-f(x).
所以 f(-x)≠f(x),且 f(-x)≠-f(x),所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
范?
提示:(1)没有判断函数的定义域是否关于原点对称而直接对函数解析式变
形,导致判断错误;(2)没有求函数的定义域,并且没有对函数的解析式变形,
由f(x)为偶函数,得f(-x)=f(x),则m-2=0,解得m=2.
答案:2
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x+1,求f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x+1.
∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=x-1.当x=0时,由f(0)=-f(0),得f(0)=0,
+ 1, > 0,
∴f(x)= 0, = 0,
-1, < 0.
本 课 结 束
(2)f(x)的定义域是R,关于原点对称.
∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)是偶函数.
(3)∵函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
探究二
利用函数的奇偶性求参数的值
【例2】 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则
第三章
第1课时 函数的奇偶性
内
容
索
引
01
自主预习3
随堂练习
课标定位素养阐释
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
自主预习 新知导学
函数的奇偶性
1.已知函数f(x)=x2-1,f(x)=-
1
,f(x)=2x的图象分别如图所示,观察各函数的图
后再判断.
随堂练习
1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是(
)
解析:选项B的函数图象关于y轴对称,所以其对应的函数是偶函数,其余选
项中的图象关于y轴或原点不具有对称性,函数也就不具有奇偶性.
答案:B
2.下列函数是偶函数的是(
A.f(x)=x
B.f(x)=2x2-3
)
C.f(x)= √
D.f(x)=x2,x∈(-1,1]
所以f(x)为偶函数.
判断函数奇偶性的三种方法
(1)定义法
(2)图象法
【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x5;
(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;
2 2 +2
(3)f(x)=
.
+1
解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),∴f(x)是奇函数.
解:(1)∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=0.
当x<0时,-x>0.
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
2 -2, > 0,
综上,f(x)= 0, = 0,
- 2 -2, < 0.
(2)f(x)的图象如图所示.
合作探究 释疑解惑
探究一
判断函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=2-|x|;
(2)f(x)= 2 -1 + 1- 2 ;

(3)f(x)=-1;
+ 1, > 0,
(4)f(x)=
- + 1, < 0.
解:(1)∵函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),
∴f(-x)=
1- 2

,
1-(-)2
-
=-f(x).
∴f(x)是奇函数.
1.已知函数的解析式判断函数的奇偶性时,需先依据解析式求出定义域,在
定义域关于原点对称的前提下,判断解析式是否满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).
2.对于f(-x)和f(x)的关系不明显的函数,要先对函数的解析式进行恒等变形
∴f(x)为偶函数.
(2)∵函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,
又f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数也不
是偶函数.
(4)(方法一)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
解析式.
解:设x<0,则-x>0.
∴f(-x)=(-x)|(-x)-2|=-x|x+2|.
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|,
∴当x<0时,f(x)=x|x+2|.
易错辨析
因忽视函数的定义域致错
【典例】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=(x+1)
(2)利用常见函数如正比例函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条
件也可求得参数.
【变式训练2】 若函数
(+1)(+)
f(x)=
为奇函数,则实数a=

解析:∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
(-+1)(-+) (+1)(+)
即
=,
-

显然x≠0,整理,得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,
解析:对于A,定义域为R,f(-x)=-x=-f(x),是奇函数;对于B,定义域为R,满足
f(x)=f(-x),是偶函数;对于C和D,定义域不关于原点对称,则不是偶函数, 故
选B.
答案:B
3.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则实数
m=
.
解析:f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12).
2.(1)偶函数的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意
一个x,都有-x∈D,且 f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数.
(2)偶函数的图象特征:偶函数的图象关于 y轴对称,反之,结论也成立.
(3)奇函数的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一
1- 2
(2)f(x)=|+2|-2 .
1-
;
1+
错解:(1)因为 f(x)=(x+1)
所以 f(-x)= 1-(-)2 =
1-
1+
=
(1 + )(1-) =
1- 2 ,
1- 2 =f(x),
所以 f(x)是偶函数.
1- 2
1-(-)2
1- 2
(2)因为 f(x)=|+2|-2,所以 f(-x)= |-+2|-2 = |-+2|-2 ,
导致不能判断f(-x)和f(x)的关系,从而判断错误.
1-
正解:(1)由1 +
≥0,且1+x≠0可得函数f(x)的定义域为(-1,1].
∴函数f(x)的定义域不关于原点对称,
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称.
1- 2
∵f(x)=|+2|-2 =
在例3中,把条件变为“函数f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的偶函数”,其余条
件不变,求函数f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0.
∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),
∴f(x)=f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
2 -2, > 0,
综上,f(x)= 2
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)关于x轴对称的图象都是偶函数的图象.( × )
(2)若f(x)是奇函数,f(1)=2,则f(-1)=-2.( √ )
(3)存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个.( √ )
(4)有些函数既不是奇函数也不是偶函数.( √ )
f(-x)=-(-x)2+(-x)=-x2-x.
∵f(x)为奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=x2+x,
即ax2+x=x2+x,∴a=1.
1
答案:(1) 3
0
(2)1
由函数的奇偶性求参数应关注两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数
奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.
故a+1=0,解得a=-1.
答案:-1
.
探究三
利用函数的奇偶性求函数的解析式
【例3】 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象.
分析:根据函数的奇偶性和当x>0时的解析式,求出当x<0时的解析式;同时
注意求出当x=0时的函数值.
个x,都有-x∈D,且 f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇函数.
(4)奇函数的图象特征:奇函数的图象关于原点对称,反之,结论也成立.
(5)函数的奇偶性:如果一个函数是偶函数或是奇函数,则称这个函数具有
奇偶性.可以看出,当n是正整数时,函数f(x)=x2n是偶函数,函数g(x)=x2n-1是
奇函数.
3.(1)若定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(a)=2,则f(-a)=
(2)函数f(x)=x2-2|x|的图象关于
.
对称.
解析:(1)因为y=f(x)是奇函数,所以f(-a)=-f(a)=-2.
(2)因为函数f(x)=x2-2|x|是定义在R上的偶函数,所以其图象关于y轴对称.
答案:(1)-2 (2)y轴
+ 2, < 0.
利用函数的奇偶性求函数的解析式的步骤
(1)“求谁设谁”,即求哪个区间上的解析式,就应在哪个区间上设未知数x.
(2)转化到已知区间上,代入已知的解析式.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而求出f(x).
【变式训练3】 已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时,f(x)的
a=
,b=
.
- 2 + , > 0,
(2)已知函数 f(x)=
是奇函数,则a=
2
+ , < 0
.
1
解析:(1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a= 3 .
1 2
又函数f(x)= x +bx+b+1为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得b=0.
3
(2)当x<0时,-x>0,