高考物理万有引力与航天解题技巧(超强)及练习题(含答案)

高考物理万有引力与航天解题技巧(超强)及练习题(含答案)
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形．2013年6月，“神舟十号”与“天宫一号”成功对接，6月20日3位航天员为全国中学生上了一节生动的物理课．已知“天宫一号”飞行器运行周期T ，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，“天宫一号”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为G ．求： (1)地球的密度； (2)地球的第一宇宙速度v ； (3)“天宫一号”距离地球表面的高度． 【答案】(1)34g
GR
ρπ= (2)v gR =
(3)22
3
2
4gT R h R π
=- 【解析】
（1）在地球表面重力与万有引力相等：2
Mm
G
mg R =， 地球密度：
343
M M R V
ρπ=
=
解得：34g
GR
ρπ=
（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，2
v mg m R
=
v gR =
（3）天宫一号的轨道半径r R h =+， 据万有引力提供圆周运动向心力有：()
()2
2
24Mm
G
m R h T
R h π=++，
解得：22
3
2
4gT R h R π
=
-
2．一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r ，周期为T ，引力常量为G ，行星半径为求： (1)行星的质量M ；
(2)行星表面的重力加速度g ； (3)行星的第一宇宙速度v ． 【答案】（1） （2）
（3）
【解析】 【详解】
(1)设宇宙飞船的质量为m ，根据万有引力定律
求出行星质量 (2)在行星表面
求出:
(3)在行星表面
求出:
【点睛】
本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力．
3．宇航员在某星球表面以初速度v 0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h .已知该星球的半径为R ，且物体只受该星球的引力作用.求： (1)该星球表面的重力加速度；
(2)从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度.
【答案】(1)202v h
(2) 2v R h 【解析】
本题考查竖直上抛运动和星球第一宇宙速度的计算．
(1) 设该星球表面的重力加速度为g ′，物体做竖直上抛运动，则2
02v g h ='
解得，该星球表面的重力加速度20
2v g h
'=
(2) 卫星贴近星球表面运行，则2
v mg m R
'=
解得：星球上发射卫星的第一宇宙速度2R v g R v h
=
='
4．我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在2030年前后实现航天员登月，对月球进行科学探测。

宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出小球，测量出小球的水平射程为L (这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R ，万有引力常量为G 。

(1)试求月球表面处的重力加速度g . (2)试求月球的质量M
(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为T ，试求月球的平均密度ρ.
【答案】（1）2022hv g L =（2）22
02
2hv R
M GL = （3）23GT πρ=
【解析】 【详解】
（1）根据题目可得小球做平抛运动, 水平位移: v 0t =L
竖直位移:h =
12
gt 2 联立可得:20
22hv g L
=
（2）根据万有引力黄金代换式2mM
G
mg R
＝， 可得2220
2
2hv R gR M G GL
== （3）根据万有引力公式2224mM G m R R T π＝；可得23
2
4R M GT
π=， 而星球密度M V ρ=,3
43
V R π= 联立可得2
3GT πρ=
5．2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”（LIGO ）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并．已知光在真空中传播的速度为c ，太阳的质量为M 0，万有引力常量为G ．
（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26倍和39倍，合并后为太阳质量的62倍．利用所学知识，求此次合并所释放的能量．
（2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在．假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体．
a ．因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在．天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T ，半径为r 0的匀速圆周运动．由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M ；
b ．严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在．我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m 1、m 2的质点相距为r 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为12
p m m E G
r
=-（规定无穷远处势能为零）．请你利用所学知识，推测质量为M′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径
R 最大不能超过多少？
【答案】（1）3M 0c 2
（2）23
02
4r M GT
π=；22GM R c '＝ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）合并后的质量亏损
000(2639)623m M M M ∆=+-=
根据爱因斯坦质能方程
2E mc ∆=∆
得合并所释放的能量
203E M c ∆=
（2）a ．小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m 根据万有引力定律和牛顿第二定律
2
0202Mm G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
解得
23
02
4r M GT π=
b ．设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律
2102Mm mv G R ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭ 解得
22GM R v '
=
因为连光都不能逃离，有v =c 所以黑洞的半径最大不能超过
2
2GM R c '
=
6．“嫦娥一号”探月卫星在空中的运动可简化为如图5所示的过程，卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道.已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行的半径分别为R 和R 1，地球半径为r ，月球半径为r 1，地球表面重力加速度为g ，月球表面重力加速度为.求： (1)卫星在停泊轨道上运行的线速度大小； (2)卫星在工作轨道上运行的周期.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）卫星停泊轨道是绕地球运行时，根据万有引力提供向心力：
解得：卫星在停泊轨道上运行的线速度；
物体在地球表面上，有，得到黄金代换，代入解得；
（2）卫星在工作轨道是绕月球运行，根据万有引力提供向心力有，
在月球表面上，有，得，
联立解得：卫星在工作轨道上运行的周期．
7．利用万有引力定律可以测量天体的质量．
（1）测地球的质量
英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G．若忽略地球自转的影响，求地球的质量．
（2）测“双星系统”的总质量
所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个星球A和B，如图所示．已知A、B间距离为L，A、B绕O点运动的周期均为T，引力常量为G，求A、B的总质量．
（3）测月球的质量
若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”．已知月球的公转周期为T1，月球、地球球心间的距离为L1．你还可以利用（1）、（2）中提供的信息，求月球的质
量．
【答案】（1）2
gR G
；（2）232
4L GT π；（3）23
21214L gR GT G π-． 【解析】 【详解】
（1）设地球的质量为M ，地球表面某物体质量为m ，忽略地球自转的影响，则有
2Mm G mg R =解得：M =2
gR G
； （2）设A 的质量为M 1，A 到O 的距离为r 1，设B 的质量为M 2，B 到O 的距离为r 2， 根据万有引力提供向心力公式得：
2
12112
2()M M G M r L T
π=， 2
12222
2()M M G
M r L T π=， 又因为L =r 1+r 2
解得：23
122
4L M M GT π+=；
（3）设月球质量为M 3，由（2）可知，23
1
32
14L M M GT π+=
由（1）可知，M =2
gR G
解得：23
2
13214L gR M GT G
π=-
8．已知地球质量为M ，万有引力常量为G 。

将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体。

忽略地球自转影响。

（1）求地面附近的重力加速度g ； （2）求地球的第一宇宙速度v ；
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明。

【答案】（1）2GM g R =
（2
）v =3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。

【解析】 【详解】
（1）设地球表面的物体质量为m , 有
2Mm
G
mg R
= 解得
2
GM
g R =
（2）设地球的近地卫星质量为m '，有
22Mm G m R R
''=v 解得
v =
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。

设太阳质量为M '，地球绕太阳运动的轨道半径为r 、周期为T ，根
据2
224M M G M r r T
π'=可知若知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量可求
得太阳的质量。

9．已知“天宫一号”在地球上空的圆轨道上运行时离地面的高度为h 。

地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，万有引力常量为G ．求： （1）“天宫一号”在该圆轨道上运行时速度v 的大小； （2）“天宫一号”在该圆轨道上运行时重力加速度g’的大小；
【答案】（1）v =2）22
gR g R h ='+（） 【解析】 【详解】
（1）地球表面质量为m 0的物体，有：0
02
Mm G
m g R =① “天宫一号”在该圆轨道上运行时万有引力提供向心力：
2
2
Mm v G m R h R h
=++（）②
联立①②两式得：飞船在圆轨道上运行时速度：v =（2）根据2
Mm
G
mg R h '=+（）
③ 联立①③解得：2
2
gR g R h ='+（）
10．2017年4月20日19时41分天舟一号货运飞船在文昌航天发射中心由长征七号遥二运载火箭成功发射升空。

22日12时23分，天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室顺利完成首次自动交会对接。

中国载人航天工程已经顺利完成“三步走”发展战略的前两步，中国航天空间站预计2022年建成。

建成后的空间站绕地球做匀速圆周运动。

已知地球质量为
M，空间站的质量为m0，轨道半径为r0，引力常量为G，不考虑地球自转的影响。

（1）求空间站线速度v0的大小；
（2）宇航员相对太空舱静止站立，应用物理规律推导说明宇航员对太空舱的压力大小等于零；
（3）规定距地球无穷远处引力势能为零，质量为m的物体与地心距离为r时引力势能为
Ep=-
GMm
r。

由于太空中宇宙尘埃的阻力以及地磁场的电磁阻尼作用，长时间在轨无动力运行的空间站轨道半径慢慢减小到r1（仍可看作匀速圆周运动），为了修正轨道使轨道半径恢复到r0，需要短时间开动发动机对空间站做功，求发动机至少做多少功。

【答案】(1)
GM
v
r
=；(2)0；(3)
10
22
GMm GMm
W
r r
=-
【解析】
【详解】
解：(1)空间站在万有引力作用下做匀速圆周运动，则有：
2
000
2
00
GMm m v
r r
=
解得：
GM
v
r
=
(2)宇航员相对太空舱静止，即随太空舱一起绕地球做匀速圆周运动，轨道半径与速度和太空舱相同，此时宇航员受万有引力和太空舱的支持力，合力提供向心力
设宇航员质量为m，所受支持力为N F，则有：
2
000
2
00
N
GMm m v
F
r r
-=
解得：0
N
F=
根据牛顿第三定律，宇航员对太空舱的压力大小等于太空舱对宇航员的支持力，故宇航员对太空舱的压力大小等于零
(3) 在空间站轨道由1r修正到0r的过程中，根据动能定理有：22
01
11
22
W W mv mv
+=-
万
而：
10
()
GMm GMm
W
r r
=---
万
2
1
2
11
mv
GMm
r r
=
联立上述方程解得：10
22GMm GMm
W r r =
-。