《二次函数的应用复习》课件
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《二次函数的应用复习》课件
东来乡海联学校 校本研修与网络研修整合 暨第三轮磨课活动 数学组 主讲人：许洪芹（第二次上课） 年级：九年级 2016.5.12
课前热身：
请研究二次函数y=x2+4x+3的图象及其性质，并尽可能 多地写出有关结论。
解（1）图象的开口方向: 向上 （2）顶点坐标：（-2，-1） （3）对称轴： 直线x=-2 （4）图象与x轴的交点为： （-3，0），（-1，0） （5）图象与y轴的交点为： （0，3） （6）图象与y轴的交点关于 （-4，3） 对称轴的对称点坐标为： （7）最大值或最小值： 当x=-2时，y最小值= -1； （8）y的正负性： 当x=-3或-1时，y=0；当-3<x<-1时y<0；当x>-1或x<-3时，y>0 （9）图象的平移： 抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到抛物线y=x2+4x+3 （10）图象在x轴上截得的线段长 为2
(0,3)
(-3,0) (-1,0) (1,0)
(4) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动 点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的 最大值，并求此时E点的坐标．
(m,-m² -2m+3 )E
(0,3)
(-3,0)
F
(1,0)
利润问题
例题分析：
例 1： 某种商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件．如果每件商品的售价上涨 1 元， 则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 72 元)．设每件商品 的售价上涨 x 元(x 为整数)，每个月的销售利润为 y 元． (1)求 y 与 x 之间的函数解析式并直接写出自变量 x 的 取值范围； (2)当每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利 润？最大利润是多少？
课前热身：
请研究二次函数y=x2+4x+3的图象及其性质，并尽可能 多地写出有关结论。
解（1）图象的开口方向: 向上 （2）顶点坐标：（-2，-1） （3）对称轴： 直线x=-2 （4）图象与x轴的交点为： （-3，0），（-1，0） （5）图象与y轴的交点为： （0，3） （6）图象与y轴的交点关于 （-4，3） 对称轴的对称点坐标为： （7）最大值或最小值： 当x=-2时，y最小值= -1； （8）y的正负性： 当x=-3或-1时，y=0；当-3<x<-1时y<0；当x>-1或x<-3时，y>0 （9）图象的平移： 抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到抛物线y=x2+4x+3 （10）图象在x轴上截得的线段长 为2
(0,3)
(-3,0) (-1,0) (1,0)
(4) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动 点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的 最大值，并求此时E点的坐标．
(m,-m² -2m+3 )E
(0,3)
(-3,0)
F
(1,0)
利润问题
例题分析：
例 1： 某种商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件．如果每件商品的售价上涨 1 元， 则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 72 元)．设每件商品 的售价上涨 x 元(x 为整数)，每个月的销售利润为 y 元． (1)求 y 与 x 之间的函数解析式并直接写出自变量 x 的 取值范围； (2)当每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利 润？最大利润是多少？
中考数学总复习17二次函数的应用 (共42张PPT)
最大年利润是800万元．
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价
x(元/件)的取值范围．
解 当40≤x＜60时，由W≥750得：
－2(x－50)2＋800≥750，解得：45≤x≤55，
当60≤x≤70时，W的最大值为600＜750，
∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的售价x(元/件)
规律方法
规律方法
利用二次函数解决抛物线型问题，一般先根据实际问题的具体情况建立平 面直角坐标系，选择合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件 转化为点的坐标，代入解析式求解，最后把求出的结果转化为实际问题的 答案．此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界 点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数 关系x＝10t，已知球门的高度为 2.44m，如果该运动员正对球门射门时， 离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
解
把 x＝28 代入 x＝10t，得 t＝2.8，
25 1 2 ∴当 t＝2.8 时，y＝－16×2.8 ＋5×2.8＋2＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门．
件售价－每件进价；再根据所列二次函数求最大值．本题主要考查待定
系数法求一次函数解析式与二次函数的应用，根据相等关系列出函数解
析式，并由二次函数的性质确定其最值是解题的关键．
练习2
(2016· 襄阳)襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一 种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量 －2x＋14040≤x<60， y＝ y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为： －x＋8060≤x≤70. (1) 若企业销售该产品获得的年利润为 W( 万元 ) ，请直接写出年利润 W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式；
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价
x(元/件)的取值范围．
解 当40≤x＜60时，由W≥750得：
－2(x－50)2＋800≥750，解得：45≤x≤55，
当60≤x≤70时，W的最大值为600＜750，
∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的售价x(元/件)
规律方法
规律方法
利用二次函数解决抛物线型问题，一般先根据实际问题的具体情况建立平 面直角坐标系，选择合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件 转化为点的坐标，代入解析式求解，最后把求出的结果转化为实际问题的 答案．此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界 点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数 关系x＝10t，已知球门的高度为 2.44m，如果该运动员正对球门射门时， 离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
解
把 x＝28 代入 x＝10t，得 t＝2.8，
25 1 2 ∴当 t＝2.8 时，y＝－16×2.8 ＋5×2.8＋2＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门．
件售价－每件进价；再根据所列二次函数求最大值．本题主要考查待定
系数法求一次函数解析式与二次函数的应用，根据相等关系列出函数解
析式，并由二次函数的性质确定其最值是解题的关键．
练习2
(2016· 襄阳)襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一 种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量 －2x＋14040≤x<60， y＝ y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为： －x＋8060≤x≤70. (1) 若企业销售该产品获得的年利润为 W( 万元 ) ，请直接写出年利润 W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式；
第13节二次函数的应用-中考数学一轮知识复习课件
4m＋n＝0，
n＝2.
解得m＝－12， n＝2.
∴BC 的解析式为 y＝－12 x＋2.
设 Et，－12t2＋23t＋2 ，则 Gt，－12t＋2 ，
其中 0＜t＜4.
∴EG＝－12 t2＋32 t＋2－－21t＋2
＝－12 (t－2)2＋2.∴DEFF ＝－12 (t－2)2＋2.
∵－12 ＜0，∴当 t＝2 时，DEFF 有最大值，最大值为 2，此时点 E 的坐标为(2，3).
出，小球达到的离地面的最大高度为( C )
A．23.5 m
B．22.5 m
C．21.5 m
D．20.5 m
4．(2020·坪山区一模)在美化校园的活动 中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角 (两边足够长)，用 28 m 长的篱笆围成一个矩 形花园 ABCD(篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB ＝x m.
3 3
x－32
－
3 2
，
BC＝ 3 CD，B(3，0)，∴D 的横坐标为－ 3 . 代入抛物线解析式得
y＝3＋6
3
×3＋1＋
3 3
×
3
－32
－
3 2
＝3＋2
3＋
3
＋1－
3 2
－32
＝
3 ＋1.
∴D(－ 3 ， 3 ＋1). 设 BD 的解析式为 y＝kx＋m.－ 0＝3k＋m.
易求出 Q3 的坐标为4 3 3－1，0 .
④当△PQB∽△BAD 时，如图 4. tan ∠PBQ＝tan ∠BDA， tan ∠PQM＝tan ∠DAE，
易求出 Q4 的坐标为(5－2 3 ，0).
3．(2020·东莞市一模)草莓是云南多地盛产的一种 水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成本 为每千克 18 元的草莓，规定试销期间销售单价不低 于成本单价，也不高于每千克 40 元．经试销发现，销 售量 y (kg)与销售单价 x (元/kg)符合一次函数关系， 如图是 y 与 x 的函数关系图象．
二次函数的应用课件面积问题(共10张PPT)
使销售利润最大？
请同学们完成这个 问题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框 的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。由题 意得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
2
配方，得:
的距离）能否通过此隧道？ 如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1
米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
A CB
)
（6）y=- x2-4x+1
值范围； 例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。
该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
O x
（2） 有一辆宽2.8米，高3米的 y=x·
(0<x<2)
∴当x=5，y最大值=50
农用货车（货物最高处与地面AB y随着x的增大而减小。
（4）y=100-5x2 将这个函数关系式配方，得：
y=- 3 (x-1)2+ 3
2
2
∴它的顶点坐标是（1，1.5）
∴当x=1，y最大值=1.5
因为x=1时，满足0<x<2,这时
6-3x 2
=1.5
答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1.5m时，它的透光
面积最大，最大面积为1.5m2。
1.求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=x2-3x+4
（2）y=1-2x-x2
物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角
请同学们完成这个 问题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框 的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。由题 意得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
2
配方，得:
的距离）能否通过此隧道？ 如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1
米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
A CB
)
（6）y=- x2-4x+1
值范围； 例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。
该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
O x
（2） 有一辆宽2.8米，高3米的 y=x·
(0<x<2)
∴当x=5，y最大值=50
农用货车（货物最高处与地面AB y随着x的增大而减小。
（4）y=100-5x2 将这个函数关系式配方，得：
y=- 3 (x-1)2+ 3
2
2
∴它的顶点坐标是（1，1.5）
∴当x=1，y最大值=1.5
因为x=1时，满足0<x<2,这时
6-3x 2
=1.5
答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1.5m时，它的透光
面积最大，最大面积为1.5m2。
1.求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=x2-3x+4
（2）y=1-2x-x2
物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角
二次函数复习课件PPT
个单位,再向 平移
个单位可
得到抛物线 y=3(x+2)2 -3.
16、将函数y＝－3（x－1）2－1的图象 (1) 沿y轴翻折后得到的函数解析式_____. (2) 沿X轴翻折后得到的函数解析式_____. (3) 沿原点旋转180°后得到的函数解析式
_____. (4) 沿顶点旋转180°后得到的函数解析式
解: y ax2 bx c
a x2 b x c 提取二次项系数
a x2
a a
b x b 2 b 2 a 2a 2a
c a
配方:加上再减去一 次项系数绝对值一 半的平方
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
y的 最值
增减性
在对称 在对称 轴左侧 轴右侧
y=ax2
a＞0 向上 y轴
（0，0）
最小值 是0
y随x的增 y随x的增 大而减小 大而增大
a＜0 向下
y轴
（0，0）
最大值 y随x的增 是0 大而增大
y随x的增 大而减小
y=ax2+c
a＞0 向上 a＜0 向下
y轴 y轴
（0，c）
最小值 是C
y随x的增 y随x的增 大而减小 大而增大
4a
➢当a>0时，抛物线的开口向上，顶点 是抛物线上的最低点；
➢当a<0时，抛物线的开口向下，顶点 是抛物线上的最高点.
二次函数关系式的常见形式：
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x+m)2+k
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
确定二次函数的解析式时，应该根据 条件的特点，恰当地选用一种函数表达式.
《二次函数的应用》二次函数PPT教学课件(第1课时)
A
1.25米 O
当堂练习
y B
解：建立如图坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水处与x轴交于C点.
A 1.25
由题意可知A（ 0，1.25）、
O
Cx
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1；
∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.
当堂练习
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求 出这个费用. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积 最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
当堂练习
5.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装 一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶 端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物 线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素， 那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到 池外？
∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x=
-
3 2
,顶点坐标为（ -
3 2
，25
4
）,
∴当x=
-3 2
时，y取最大值，最大值为
25 4
;
讲授新课
例2 已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，
则a的值为( C )
A．3
B．－1
C．4
D．4或－1
解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，
1.25米 O
当堂练习
y B
解：建立如图坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水处与x轴交于C点.
A 1.25
由题意可知A（ 0，1.25）、
O
Cx
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1；
∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.
当堂练习
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求 出这个费用. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积 最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
当堂练习
5.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装 一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶 端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物 线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素， 那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到 池外？
∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x=
-
3 2
,顶点坐标为（ -
3 2
，25
4
）,
∴当x=
-3 2
时，y取最大值，最大值为
25 4
;
讲授新课
例2 已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，
则a的值为( C )
A．3
B．－1
C．4
D．4或－1
解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，
二次函数的应用ppt课件
②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m
二次函数的应用复习(新人教)精选教学PPT课件
二次函数的应用 解决形状是抛物线的实际问题
学以致用
复习
• 求函数的解析式 • 1）（2008云南中考试题）已知在同意个直 角坐标系中，反比例函数y=5/X与二次函数 y=-x2+2x+c的图像交于点A(-1,m) • （1）求m,c的值 （2）求二次函数的对称 轴和顶点坐标。
复习解析式的求法
• 已知二次函数的顶点是（-1，2)且经过点（3，9） 求函数的解析式 • 已知二次函数经过点（0，-3） （1，-2）和点 （3，0),求解析式
• ６、抛物线 y＝x2－4x＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ） • A、0 B、4 C、－4 D、2 • 图像３、已知二次函数的经过（0，1），（2，1） 和（3，4），求该二次函数的解析式。
探究题
• 如图是抛物线形拱形，当水面在l时拱顶离 水面2m，水面宽4m.水面下降1m，水面宽 度增加多少？
实际问题
• 四、（10分）校运会上，小明参加铅球比 赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 y＝ －x2＋x＋，求小明这次试掷的成绩及铅球 的出手时的高度。
实际问题 要修建一个圆形的喷水池，在池中 心竖直安装一根水管，在水管的顶 端安一个喷水头，使喷出的抛物线 形水柱在与池中心的水平距离是1m 处达到最高，高度是3m，水柱落地 处离池中心3m，水管的高应是多少？
你想到这种方法了吗？
• 六、（12分）有一个抛物线形的拱形桥洞， 桥洞离水面的最大高角坐 标系中。 • ①求这条抛物线所对应的函数关系式。 • ②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞 离水面的高是多少？
总结
• 我们学习的二次函数有哪几方面的应用？ • 1)求最值问题 • 2）求生活中形状是抛物线的物体的有关计 算。首先建立适当的坐标系，然后根据条 件求出解析式。把求线段长度的问题转化 成函数求y或x的值的问题。
学以致用
复习
• 求函数的解析式 • 1）（2008云南中考试题）已知在同意个直 角坐标系中，反比例函数y=5/X与二次函数 y=-x2+2x+c的图像交于点A(-1,m) • （1）求m,c的值 （2）求二次函数的对称 轴和顶点坐标。
复习解析式的求法
• 已知二次函数的顶点是（-1，2)且经过点（3，9） 求函数的解析式 • 已知二次函数经过点（0，-3） （1，-2）和点 （3，0),求解析式
• ６、抛物线 y＝x2－4x＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ） • A、0 B、4 C、－4 D、2 • 图像３、已知二次函数的经过（0，1），（2，1） 和（3，4），求该二次函数的解析式。
探究题
• 如图是抛物线形拱形，当水面在l时拱顶离 水面2m，水面宽4m.水面下降1m，水面宽 度增加多少？
实际问题
• 四、（10分）校运会上，小明参加铅球比 赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 y＝ －x2＋x＋，求小明这次试掷的成绩及铅球 的出手时的高度。
实际问题 要修建一个圆形的喷水池，在池中 心竖直安装一根水管，在水管的顶 端安一个喷水头，使喷出的抛物线 形水柱在与池中心的水平距离是1m 处达到最高，高度是3m，水柱落地 处离池中心3m，水管的高应是多少？
你想到这种方法了吗？
• 六、（12分）有一个抛物线形的拱形桥洞， 桥洞离水面的最大高角坐 标系中。 • ①求这条抛物线所对应的函数关系式。 • ②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞 离水面的高是多少？
总结
• 我们学习的二次函数有哪几方面的应用？ • 1)求最值问题 • 2）求生活中形状是抛物线的物体的有关计 算。首先建立适当的坐标系，然后根据条 件求出解析式。把求线段长度的问题转化 成函数求y或x的值的问题。
初三数学中考复习：二次函数的应用 复习课 课件(共32张PPT)
二次函数的应用
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图像性质 用函数观点看方程与不等式
应用
一1.从、二二次次函函数数角与度方看程二次、方不程等、式不等式
(形)
（数）
解法一：观察图像， 解法二：解方程，
(形)
（数）
解法一：观察图像，
一、二次函数与方程、不等式
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例2：
某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种 水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
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解决最值类的主要步骤：
第三步：确定自变量取值范围。（与自变量相关的量） 第四步：利用二次函数性质解决最值等问题。（顶点、图像） 第五步：回归实际题。
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例2：
分析：
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➢ 构造函数解方程，利用两个函数图象交点确定解。 ➢ 可对方程进行同解变形，再构造函数。
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图像性质 用函数观点看方程与不等式
应用
一1.从、二二次次函函数数角与度方看程二次、方不程等、式不等式
(形)
（数）
解法一：观察图像， 解法二：解方程，
(形)
（数）
解法一：观察图像，
一、二次函数与方程、不等式
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例2：
某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种 水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
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解决最值类的主要步骤：
第三步：确定自变量取值范围。（与自变量相关的量） 第四步：利用二次函数性质解决最值等问题。（顶点、图像） 第五步：回归实际题。
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例2：
分析：
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➢ 构造函数解方程，利用两个函数图象交点确定解。 ➢ 可对方程进行同解变形，再构造函数。
二次函数的应用经典ppt课件
轴两个交点坐标求。
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
二次函数的交点式
已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和 （1，0）两点，又通过点（3，－5）， 求这个二次函数的解析式。 当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
专题一： 待定系数法确定二次函数
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
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最值应用题——运动观点
在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发， 沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B
的表达式的区别与联系，你发现了什么？
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二次函数的交点式
已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和 （1，0）两点，又通过点（3，－5）， 求这个二次函数的解析式。 当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
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专题一： 待定系数法确定二次函数
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
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最值应用题——运动观点
在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发， 沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B
的表达式的区别与联系，你发现了什么？
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第4讲二次函数的应用题复习课件(共60张PPT)
图1－4－4
全效优等生
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解：(1)∵y＝ax2＋bx－75的图象经过点(5，0)，(7，16)， ∴4295aa＋＋75bb－－7755＝＝106，， 解得ab＝ ＝－20，1， 即y＝－x2＋20x－75＝－(x－10)2＋25， ∴当销售单价为10元时，最大利润为25元． (2)∵x＝10为抛物线的对称轴，且(7，16)在抛物线上， ∴(13，16)也在该抛物线上， ∴当7≤x≤13时，销售利润不低于16元．
令 x＝－1，∴m＝14×(－1)2—4＝－145，∴C－1，－145. ∵点 C 关于原点的对称点为 D，∴D1，145，∴CE＝DF＝ 145， S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝＝12OB·DF＋12OB·CE ＝12×4×145＋12×4×145＝15(m2)， ∴△BCD 的面积为 15 m2.
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3．某种商品每天的销售利润y(元)与销 售单价x(元)之间满足关系y＝ax2＋bx－75， 其图象如图1－4－4所示．
(1)销售单价为多少元时，该种商品每 天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)销售单价在什么范围时，该种商品 每天的销售利润不低于16元？
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1．如图1－4－2，排球运动员站在O处练习发球，将球 从点O正上方2 m的点A处发出，把球看成点，其运行的高度 y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知 球网与原点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界点 的水平距离为18 m.
【思路生成】(1)设t与x的函数关系式为t＝kx＋b，将x＝ 38，t＝4；x＝36，t＝8分别代入求出k，b，即可得到t与x之 间的函数关系式．
备战 中考数学基础复习 第14课 二次函数的应用课件（33张ppt）
cm;
(2)如图③,动点M重新从点A出发,在矩形边上按原来的速度和 方向匀速运动,同时,另一个动点N从点D出发,在矩形边上沿着 D→C→B的方向匀速运动,设动点N的运动速度为v(cm/s).已知 两动点M,N经过时间x(s)在线段BC上相遇(不包含点C),动点M, N相遇后立即同时停止运动,记此时△APM与△DPN的面积分别 为S1(cm2),S2(cm2). ①求动点N运动速度v(cm/s)的取值范围; ②试探究S1·S2是否存在最大值,若存在,求出S1·S2的最大值并确定运动时间x 的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设y与销售单价x之间的函数解析式为:y=kx+b,将点
(60,100),(70,80)代入一次函数解析式得: 180007600kkbb，
解得
k b
2 ,
220
故函数的解析式为y=-2x+220;
(2)设药店每天获得的利润为W元,由题意得: W=(x-50)(-2x+220)=-2(x-80)2+1 800, ∵-2<0,函数有最大值, ∴当x=80时,W有最大值,此时最大值是1 800, 故销售单价定为80元时,该药店每天获得的利润最大,最大利润为1 800元.
第14课 二次函数的应用
【知识清单】 一、列二次函数解应用题 1.列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法 是一致的,不同的是,学习了二次函数后,表示量与量的关系的代数式是含有两 个变量的等式.对于应用题要注意以下步骤: (1)审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本 关系是什么,找出等量关系(即函数关系). (2)设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要 准确.
《二次函数的应用》数学教学PPT课件(5篇)
A(1.5，3.05)，篮球在最大高度时的位置为点B(0，
3.5)．以点C表示运动员投篮球的出手处．
设以y轴（直线x=0）为对称轴的抛物线为y=a(x-0)2+k，
即y=ax2+k，而点A，B在这条抛物线上，所以有
解得
2.25a k 3.05， k 3.5.
a 0.2， k 3.5.
(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.
解：设AM的长为x(m),则BM的长为（2-x)m,以AM和MB为边的两块正方形面积之
和为y.依题意得y与x之间的函数解析式为
D
2m
C
y=x2+(2-x)2
=2x2-4x+4
=2(x2-2x)+4
=2(x2-2x+1-1)+4 =2(x-1)2+2
A Xm M
B
∵a=2＞0∴当x=1时，y有最小值，最小值为2.
因为两条直线相交于点（2,3),
｛X=2
所以原方程组的解是
交流思考
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?
➢ 首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围， ➢然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最 小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的
。 自变量的值必须在自变量的取值范围内
例2：如图，ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板，在边AB上选取 一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料。当 AM的长为何值时，截取的板料面积最小？
何时窗户通过的光线最多
用长为6m的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的 矩形窗框．窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积 最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
二次函数的应用复习 PPT课件 浙教版
示的坐标系，其函数的表达式为y= - 1 x2 ， 当水位线在AB位
25
置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ D ）
A、5米
B、6米； C、8米； D、9米
解：当x=15时，
y
0
Y=-1/25 × 152
h
x
A
B
=-9
问题2：炮弹从炮口射出后，飞行的高度h(m)
与飞行时间t(s)之间的函数关系式是h=V0tsinα
•
8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。
•
9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。
•
10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
•
11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
•
12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。
•
•
63、彩虹风雨后，成功细节中。
•
64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。
•
65、只要有信心，就能在信念中行走。
•
66、每天告诉自己一次，我真的很不错。
•
67、心中有理想 再累也快乐
•
68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。
•
69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。
当 xb时 ,最小4值 ac为 b2 当 xb时 ,最大4值 ac为 b2
2a
4a
2a
4a
学习的目的在于应用，日常生活 中，工农业生产及商业活动中，方 案的最优化、最值问题，如盈利最 大、用料最省、设计最佳等都与二 次函数有关。
一、根据已知函数的表达式解 决实际问题：
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●
A(2,-2) ●B(X,-3)
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点, 有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交 点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c
解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最 高点和球篮的坐标分别为B(0,3.5),C(1.5,3.05). 设所求的二次函数的表达式为y=ax2+c. 将点B和点C的坐标代入，得 3.5=c 3.05=1.52a+c a= -02 解得 c= 3.5 ∴该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5 球的出手点A的横坐标为-2.5，将x=-2.5 代入抛物线表达式得y=2.25,即当出手高 度为2.25m时，才能投中。
D
a 1 0 b 15 当x＝ 7.5(cm)时 2a 2 2 4ac b 225 2 y 最大值＝ 56 .25(cm ) 4a 4
B
C
例3：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆 才能使其所围成矩形的面积最大?
方法2：解:如图,设矩形的一边AB=x m,那 么另一边BC=(15-x) m,面积为S m2,则
七星街镇仙洞中学
曾华
二次函数的应用
一、最大值问题 1、最大利润问题； 2、最大高度问题； 3、最大面积问题。 二、需建立坐标系的问题 三、二次函数与一元二次方程
例1：某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价 800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增 加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当 旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
-40 5
即当t＝1时，足球距离地面的高度是14.7m。
h 4.9 2 19.6 2 19.6
2
-30
10
即当t＝2时，足球距离地面的高度是19.6m。 （2）是足球离开地面及落地的时间。 （3）是足球高度是14.7m时的时间。
-5
-10
-15
-20
课堂小结：
1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之 间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.
4ac b 由 15 4a 2 v0 得 15 . 4 5
2
v0 10 3 17 .32 (m / s )
答：喷水的速度应该达到17.32m/s.
例2：竖直向上发射物体的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0t，其 中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.某公 园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水 的速度应该达到多少？(结果精确到0.01m/s). 方法2:(用顶点式)根据题意,h=-5t2+v0t顶点的纵坐标为15.
解：设AD=x,则AB=32-4x+3=35-4x
从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34x ∵AB≤10 ∴6.25≤x
D
H
G F
C B
S=-4x2+34x，对称轴x=4.25,开口朝下 ∴当x≥4.25时S随x的增大而减小 故当x=6.25时，S取最大值56.25
A
ห้องสมุดไป่ตู้
E
例5： 如图，一位运动员在距篮下4m处 起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球 运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高 度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离地面多高时才能投中？
2
时为一元二次方程?它们的关 系如何?
当y取定值时，二次函数即是 一元二次方程。
例7：一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以 2 用公式 h 4.9t 19.6t 来表示。其中t（s）表示足球被 踢出后经过的时间，图象如图所示：
（1）当t＝1和t＝2时，足球的高度分别是多少？
作业： 课本复习题 A组 第5，6，7题； B组
第5，6题.
S x(15 x) x 15
2
A
D
( x 7.5) 56 .25
2
B
C
a 1 0 当x 7.5(cm)时 y 最大值 56 .25(cm )
2
例4.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙， 为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃， 他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花 和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通 道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）。花圃的宽AD 究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
的图象和x轴的交点
有两个交点 有一个交点 没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
思考与复习
y ax bx c 何 二次函数
30
25
（2）方程 4.9t
（3）方程 4.9t
2
19.6t 0
的根的实际意义是什么？
20
你能在图象上表示出来吗？
2
15
19.6t 14.7 的根的实际意义是什么？ 19.6 1 14.7
-20 -10
10
你能在图象上表示出来吗？ 解：（1）当t＝1时，h 4.9 12 当t＝2时，
v0 v 2 2 由y 5t v0t 5 t 10 20 v0 得： 15 20 v 10 3 17.32(m / s)
2
2
最大面积问题 例3：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆 才能使其所围成矩形的面积最大?
方法1：解:如图,设矩形的一边AB=x m,那么 另一边BC=(15-x) m,面积为S m2,则 A 2 S x(15 x) x 15
例2：竖直向上发射物体的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0t，其 中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.某公 园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水 的速度应该达到多少？(结果精确到0.01m/s). 方法1:(公式法)根据题意,h=-5t2+v0t顶点的纵坐标为15 .
y x[800 10 ( x 30 )]
10 x 1100 x
2
10 ( x 55) 30250
2
当x＝55时，y 最大值＝30250 （元）
答：当旅行社的人数是55人时，旅行社可以获得 最大的营业额。
自我检测
1、某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元, 要求每箱售价在40元～70元之间.市场调查发现:若每箱 按50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均 每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱. (1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数 关系式; (2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大 利润是多少?
y B C
A
3.5 3.05 O 2.5m 4m
此类问题需建立 坐标系
例6：一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m, 拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精 确到0.1m).
解:建立如图所示的坐标系
则可设抛物线表达式为y ax2 则有A点坐标为（2,2）， B点坐标为（x，－3） 1 2 所以可得函数表达式为: y x 2 1 当y 3时，得 3 x 2 2 x 6 水面的宽 2 6 4.9(m)