教案高教版(数学)第三册——138函数的连续性(中职教育).docx

1连续性概念
I.教学目的与要求
理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.
II・教学重点与难点：
重点：函数连续性的概念.
难点：函数连续性的概念.
III.讲授内容
连续两数是数学分析屮着重讨论的一类两数.
从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平血上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性.
一函数在一点的连续性
定义1设函数/在某〃（心）内有定义•若!叨'”=/（兀0）,则称/在点兀0连续.
例如，函数连续2x+l在点x = 2连续，因为
凹/(x)J凹(2兀+ 1) = 5 二/ ⑵
乂如，两数/（X），在点x = 0连续，因为
imxsin- = O = /(O)
为引入函数y = 在点％。

连续的另一种表述，记心二兀一兀（），称为自变量兀（在点X。

）的增量或改变量.设儿=/（兀0）,和应的函数V （在点兀0）的增量记为：
Ay = /（%）-/（x0） = f（x0 + Ar） - f（x0）=y-y（）
注白变量的增量心或函数的增最可以是正数，也可以是°或负数.引进了增
由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用£一力方式来叙述，RP：若
对任给的£>°,存在使得当兀一兀。

"时有
则称函数/在点“0连续.
山上述定义，我们可得出函数/在点X。

有极限与/与兀。

连续这两个概念之间的联系.首先，了在点心有极限是/在兀。

连续的必要条件；进一步说，“/在点“0连续”不仅耍求，/在点X。

有极限，而且其极限值应等于于在兀。

的函数值/Go）.其次，在讨论极限时，我们假定/在点心的某空心邻域〃”（心）内有定义（/在点兀0可以没有定义），而“/在点X。

连续”则要求/在某U（x（J 内（包括点刃））冇定义，此时由于⑵式当兀="）时总是成立的，所以在极限定义屮的“ ° V卜一对V 〃”换成了在连续定义屮的“卜—对V 〃”.最后,
lim /（x）= f
limx
（1）式又口丁表示为：心心
应法则/的可交换性.
例1证明函数在点X = O连续，其中D（尢）为狄利克雷函数.
证由『（0） = 0及ID（x）lSl,对任给的£>0,为使
\f（x）~ f（0）= \xD（x）<\x\< e
只要取〃 = 即可按£一/定义推得/在x = 0连续.相应于/在点兀。

的左、右极限
的概念，我们给出左、右连续的定义如下：
定义2 设函数于在某”+山购上。

））内有定义.若
，则称/在点兀o右（左）连续.
根据上述定义1与定义2,不难推出如下定理.
定理4・1函数/在点"连续的充要条件是：/在点刃）既是右连续又是左连续.
/M =
例2讨论函数 lim f'（x ）= lim （x + 2）= 2
解因为（厂 心（）+ ,
出丿（小出（一2—2,而朋）=2,所以/在貯 连续，但不左连续，
从而它在x = °不连续（见图4-1）・
二间断点及其分类
定义3设函数/在某”"（兀0）内有定义.若/在点“0无定义，或/在点“0有定义而不 连续，则称点兀。

为函数/的间断点或不连续点.
按此定义以及上一段中关于极限•连续性Z 间联系的讨论，若兀。

为函数/的间断点, 则必出现下列情形
f
丫 lim /（x ）
（i ） J 在点心无定义或极限2心 不存在； （n ） 了在点x （＞有定义且极限存在，AI !吧'工/KJ
据此，我们对函数的间断点作如下分类：
1 •可去间断点 若而f 在点兀0无定义，或有定义但/G O ）H A ，则称兀。

为
f
的口J 去间断点.
定义，所以X=G 是函数g 的可去间断点.
设兀0为函数/的可去间断点，II -也“'=A 我们按如下方法定义•个 函数/:
A A A
当"Hx 。

时，/（%）=/（x ）.当x 二兀°时，/（^o ） = A ；易见，对于函数/,忑是它的连
sin x 八 工 0 兀 A
1,x = o 则g 在兀=0连续.
f lim / （尢）工 lim
/（x ） 称点X 。

为函数/的跳跃间断点.
例如，对函数/&）=［兀］（图1 — 8）,当XF （ n
为整数）时有 lim ［x\ = n-l lim ［x ］ x + 2,x > 2 兀- 2, x v 0在点兀=°的连续性.
例如，对于函数/（x ）=l s s nx l 因/（0）= 0，而 !吧儿）=1*（0）故*0为 /(x) = |sgn X / \ sin x 的可去间断点.又如函数'"-兀
由于叫曲）「而g 在*0无 &（兀）=沁 A
续点.例如，对上述的 兀，定义：g ⑴ 2.跳跃间断点 若函数丿在点兀o 的左、右极限都存在，但 心瑞 2石 则
= n
”一>/?_ , x->n+,
所以在整数点上函数/的左、右极限不相等，从而整数点都是函数的跳跃间断点.又如符号函数昭心工在点x = 0处的左、右极限分别为-1和1故兀=0是昭心的跳跃间断点（图1—3）.
町去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.笫一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在.
3.函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为第二类间断点.
1 1
y = —y =—例如，函数X,当时，不存在有限的极限，故X = 0是X的笫二类间断
.1 . 1
sin —sin —
点.函数兀在点无=°处左、右极限都不存在，故x = 0是兀的第二类间断点.又如，
对于狄利克雷函数D（“），其定义域R上每一点％都是第二类间断点.
三区间上的连续函数
若函数于在区间/上的每一点都连续，则称了为1上的连续函数.对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续.
例如，函数y = c9y = x,y = sinx和y = cosx都是R上的连续函数.又如函数y = ^~x2在（i，l）每一点处都连续，在X = 1为左连续，在X = -l为右连续，因而它在［一口］上连续.
若函数/在区间［%］上仅有有限个第一类间断点，则称/在k"］上分段连续.例如, 函数）y
k］和歹二兀一国］在区间［-邛］上是分段连续的.
在§3中我们将证明任何初等函数在其定义区间上为连续函数•同时，也存在着在其定
义区间上每一点处都不连续的函数，如前而己提到的狄利克雳函数.
例3证明：黎曼函数
丄，当兀=£（〃，q 为正整数,p/q 为既约真分数） K \x ） = \q q
0,当兀= 0,1及（0,1）内无理数
在（0,1）内任何无理点处都连续，任何冇理点处都不连续.
g < — — O
证 设歹*（0，1）为无理数.任给£>0（不妨设 2）,满足9 的正整数9显然只 有有限个（但至少有一个，如9 = 2）,从阳使> s 的有理数-r e （0,1）只有有限个（至少有 一个，如2）,设为S …百取宀min 仏胡，•十”胡$1-自 兀討（§;淤=（0,1））,当x 为有理数时有恥）<£,当兀为无理数时恥）=°于是，对任 何"陀;5）,总有1恥）-凤歹）'=恥）v $.所以恥）在无理点£处连续.
匕 匂」
现设q 为（°」）内任一•有理数，取 M ,对于任何正数/ （无论多么小），在
冇理点处都不连续. 则对任何
内总可以取到无理数兀&（（°」））,
（\
R （x ）_R £ 使得
W 丄〉£ CI 所以凤兀）在任何。