人教【数学】数学二模试题分类汇编——圆的综合综合

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求CE的长；
（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．
【答案】（1）证明见解析（2）33）4π
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证；
（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=1
2
BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可
得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EF•AE，即42=CE•（16﹣CE），继而可求得CE长；
（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即可求得BG的长度.
【详解】
（1）如图1，连接AD，OD；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=∠DEA=90°，
∴DE为⊙O的切线；
（2）如图2，连接BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴BF ∥DE ，
∵CD=BD ，
∴DE=12BF ，CE=EF ， ∵∠A=30°，AB=16，
∴BF=8，
∴DE=4，
∵DE 为⊙O 的切线，
∴ED 2=EF•AE ， ∴42=CE•（16﹣CE ），
∴CE=8﹣43，CE=8+43（不合题意舍去）；
（3）如图3，连接OG ，连接AD ，
∵BG ∥DF ，
∴∠CBG=∠CDF=30°，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠C=75°，
∴∠OBG=75°﹣30°=45°，
∵OG=OB ，
∴∠OGB=∠OBG=45°，
∴∠BOG=90°，
∴BG 的长度=908180
π⨯⨯=4π．
【点睛】
本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
2．如图1，在Rt △ABC 中，AC=8cm ，BC=6cm ，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连结DE ，点P 从点A 出发，沿折线AD ﹣DE 运动，到点E 停止，点P 在AD 上以5cm/s 的速度运动，在DE 上以1cm/s 的速度运动，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t （s ）．
（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为_____cm．（用含t的代数式表示）（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P 开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．
【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣3
8
t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=
10
3
s．
【解析】
分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1c m/s，即可求出DP；
（2）由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ=3，根据MN∥BC，求出FN的长，从而得到FM的长，再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；
（3）当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5﹣t，然后由r以0.2c m/s的速度不断增大，
r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN相切时，r=CM=8﹣t=1+0.2t，从而可求得t的值．
详解：（1）由勾股定理可知：AB22
AC BC
．
∵D、E分别为AB和BC的中点，
∴DE=1
2AC=4，AD=
1
2
AB=5，
∴点P在AD上的运动时间=5
5
=1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t﹣1）s．
∵DE段运动速度为1c m/s，∴DP=（t﹣1）cm．
故答案为t﹣1．
（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．
当正方形的边长大于DP 时，重叠部分为五边形，
∴3＞t ﹣1，t ＜4，DP ＞0，∴t ﹣1＞0，
解得：t ＞1，∴1＜t ＜4．
∵△DFN ∽△ABC ，∴DN FN =AC BC =86=43
． ∵DN =PN ﹣PD ，∴DN =3﹣（t ﹣1）=4﹣t ， ∴4t FN -=43，∴FN =344
t -（）， ∴FM =3﹣
344t -（）=34t ， S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ， ∴S =
12×（34t +3）×（4﹣t ）+3（t ﹣1）=﹣38
t 2+3t +3（1＜t ＜4）． （3）①当圆与边PQ 相切时，如图：
当圆与PQ 相切时，r =PE ，由（1）可知，PD =（t ﹣1）cm ，
∴PE =DE ﹣DP =4﹣（t ﹣1）=（5﹣t ）cm ．
∵r 以0.2c m/s 的速度不断增大，∴r =1+0.2t ，
∴1+0.2t =5﹣t ，解得：t =103
s ． ②当圆与MN 相切时，r =CM ．
由（1）可知，DP=（t﹣1）cm，则PE=CQ=（5﹣t）cm，MQ=3cm，∴MC=MQ+CQ=5﹣t+3=（8﹣t）cm，
∴1+0.2t=8﹣t，解得：t=35
6
s．
∵P到E点停止，∴t﹣1≤4，即t≤5，∴t=35
6
s（舍）．
综上所述：当t=10
3
s时，⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切．
点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键．
3．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC垂足为H，∠ABC＝2∠CAD．
（1）如图1，求证：AB＝BC；
（2）如图2，过点B作BM⊥CD垂足为M，BM交⊙O于E,连接AE、HM，求证：AE∥HM;（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD交AE于N，AE与BC交于点F，若NH＝25，AD＝11，求线段AB的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AB的长为10.
【解析】
分析：（1）根据题意，设∠CAD=a，然后根据直角三角形的两锐角互余的关系，推导出
∠BAC=∠ACB，再根据等角对等边得证结论；
（2）延长AD、BM交于点N，连接ED.根据圆周角定理得出∠N=∠DEN=∠BAN，进而根据等角对等边，得到DE=DN,BA=BN，再根据等腰三角形和直角三角形的性质，求得
MH∥AE；
（3）连接CE，根据（2）的结论，由三角形全等的判定与性质证得HF=HC，然后结合勾股定理求出AC2-AH2=CD2-DH2，解得CD=5,CH=4,AH=8，最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解：（1）证明：设∠CAD=a,
则∠ABC=2a,∠C=90°-a,∠BAD=90°-2a,
∴∠BAC=90°-2a+a=90°-a
∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC
(2）证明：延长AD、BM交于点N，连接ED.
∵∠DEN=∠DAB,∠N=∠BCD,∠BCD=∠BAN
∴∠N=∠DEN=∠BAN
∴DE=DN,BA=BN
又∵BH⊥AN,DM⊥EN
∴EM=NM,HN=HA,∴MH∥AE
（3）连接CE.
∠BDA=∠BCA,∠BDM=∠BAC,由（1）知∠BCA=∠BAC
∴∠BDA=∠BDM,∴△BDM≌△BDH,
∴DH=MH,∠MBD=∠HBD,∴BD⊥MH
又∵MH∥AE,∴BD⊥EF,∴△FNB≌△ENB,
同理可证△AFH≌△ACH,∴HF=HC,又∵FN=NE
∴NH∥EC,EC=2NH,又∵NH=25∴EC=45
∠EAC=2∠AEC=2a=∠ABC,可证弧AC=弧EC,
∴AC=EC=5
设HD=x，AH=11-x，
∵∠ADC=2∠CAD,翻折△CHD至△CHG,可证CG=CD=AG
AH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x
又∵AC 2-AH 2=CD 2-DH 2,∴(45)2-(11-x)2=(11-2x)2-x 2
∴x 1=3,x 2=
272(舍去)∴CD=5,CH=4,AH=8. 又∵tan2AH CH a BH DH
==,∴BH=6 ∴AB=22226810BM AH +=+= 点睛：此题主要考查了圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键.
4．(8分)已知AB 为⊙O 的直径，OC ⊥AB ，弦DC 与OB 交于点F ，在直线AB 上有一点E ，连接ED ，且有ED ＝EF.
(1)如图①，求证：ED 为⊙O 的切线；
(2)如图②，直线ED 与切线AG 相交于G ，且OF ＝2，⊙O 的半径为6，求AG 的长．
【答案】（1）见解析；（2）12
【解析】
试题分析：（1）连接OD ，由ED =EF 可得出∠EDF =∠EFD ，由对顶角相等可得出∠EDF =∠CFO ；由OD =OC 可得出∠ODF =∠OCF ，结合OC ⊥AB 即可得知∠EDF +∠ODF =90°，即∠EDO =90°，由此证出ED 为⊙O 的切线；
（2）连接OD ，过点D 作DM ⊥BA 于点M ，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED 、EO 的长度，结合∠DOE 的正弦、余弦值可得出DM 、MO 的长度，根据切线的性质可知GA ⊥EA ，从而得出DM ∥GA ，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM ∽△EGA ，根据相似三角形的性质即可得出GA 的长度
试题解析：解：（1）连接OD ，∵ED =EF ，∴∠EDF =∠EFD ，∵∠EFD =∠CFO ，
∴∠EDF =∠CFO ．∵OD =OC ，∴∠ODF =∠OCF ．∵OC ⊥AB ，∴∠CFO +∠OCF =∠EDF +∠ODF =∠EDO =90°，∴ED 为⊙O 的切线；
（2）连接OD ，过点D 作DM ⊥BA 于点M ，由（1）可知△EDO 为直角三角形，设ED =EF =a ，EO =EF +FO =a +2，由勾股定理得，EO 2=ED 2+DO 2，即（a +2）2=a 2+62，解得，a =8，即ED =8，EO =10．∵sin ∠EOD =
45ED EO =，cos ∠EOD =35OD OE =，∴DM =OD •sin ∠EOD =6×45=245，MO =OD •cos ∠EOD =6×35=185
，∴EM =EO ﹣MO =10﹣185=325
，EA =EO +OA =10+6=16．
∵GA 切⊙O 于点A ，∴GA ⊥EA ，∴DM ∥GA ，∴△EDM ∽△EGA ，∴DM EM GA EA =，即2432
5516GA = ，解得GA =12．
点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO =90°；（2）通过相似三角形的性质找出相似比．
5．已知P 是O 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O 于点C 、D ，两点位
于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1
sin 3P ＝，如图所示．另一个半径为6的
1O 经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝．
（1）当m=6时，求线段CD 的长；
（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；
（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)CD=2523812n n
- ;(3) n 9559155 【解析】
分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论；
（2）解Rt △POH ，得到Rt 3m OH OCH ＝．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论； （3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论． 详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．
在Rt △1sin 63POH P PO =中，＝，，∴2OH =．
∵AB ＝6，∴3OC ＝．
由勾股定理得： 5CH =
∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==．
（2）在Rt △1
sin 3POH P PO m 中，＝，＝，∴3
m OH ＝． 在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝． 在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭＝． 可得： 22
36933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -：＝． （3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况：
① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时
i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n -＝，解得9n ：＝． 即圆心距等于O 、1O 的半径的和，就有O 、1O 外切不合题意舍去．
ii ）11O P OO ＝22233m m n m -
+-（）（） n ＝， 解得：23m n ＝，即23n 23812n n
-＝，解得9155n ：＝
②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 28132n m n -＝． ∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132n n n
-＝，解得955n ：＝． 综上所述：n 的值为955或9155
． 点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．
6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．
（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；
（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF ＝3，求阴影部分的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）
6334π-. 【解析】
【分析】
（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得
∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.
（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.
【详解】
解：（1）证明：连接OC ，如图，
∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PC,
∴∠PCA+∠ACO=90º,
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º
∴∠PCA=∠OCB,
∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠PCA=∠ABC ；
（2）连接OE ，如图，
∵△ACB 中，∠ACB ＝90º,∠CAB ＝2∠B,
∴∠B ＝30º,∠CAB ＝60º,∴△OCA 是等边三角形，
∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD ＝∠CAD ＋∠ABC ＝90º,
∴∠ACD ＝∠B ＝30º,
∵PC ∥AE,∴∠PCA ＝∠CAE ＝30º,∴FC=FA,
同理，CF ＝FM,∴AM ＝2CF=23,
Rt △ACM 中，易得AC=23×3=3＝OC, ∵∠B ＝∠CAE ＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,
∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,
连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点，如图所示，
∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO ＝3
∵△CDO ≌△EDO(AAS)，
∴332 ∴1332
ABM S AB MO ∆=⨯= 同样，易求93AOE S ∆=
， 260333602
BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形933633332ππ-+-=
.
【点睛】
本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.
7．如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长，与⊙O 交于C 、D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM 交CD 于点N ，连接AC 、CM ．
（1）求证：CM 2=MN.MA ；
（2）若∠P=30°，PC=2，求CM 的长．
【答案】（1）见解析；（2）CM=22. 【解析】
【分析】 （1）由CM DM =知CAM DCM ∠=∠，根∠CMA=∠NMC 据证ΔAMC ∽ΔCMN 即可得；
（2）连接OA 、DM ，由直角三角形PAO 中∠P=30°知()1122
OA PO PC CO =
=+，据此求得OA=OC=2，再证三角形CMD 是等腰直角三角形得CM 的长．
【详解】
（1）O 中，M 点是半圆CD 的中点， ∴ CM DM =，
CAM DCM ∴∠=∠，
又CMA NMC ∠=∠，
AMC CMN ∽∴∆∆，
∴ CM AM MN CM
=，即2·CM MN MA =； （2）连接OA 、DM ，
PA 是O 的切线，
90PAO ∴∠=︒，
又30P ∠=︒，
()1122
OA PO PC CO ∴==+， 设O 的半径为r ，
2PC =，
()122
r r ∴=+， 解得：2r =，
又CD 是直径，
90CMD ∴∠=︒，
CM DM =，
CMD ∴∆是等腰直角三角形，
∴在Rt CMD ∆中，由勾股定理得222CM DM CD +=，即()2
22216CM r ==， 则28CM =， 22CM ∴=．
【点睛】
本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点
8．如图，OA ，OD 是⊙O 半径．过A 作⊙O 的切线，交∠AOD 的平分线于点C ，连接CD ，延长AO 交⊙O 于点E ，交CD 的延长线于点B ．
(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线；
(2)如果D 点是BC 的中点，⊙O 的半径为 3cm ，求DE 的长度．(结果保留π)
【答案】（1）证明见解析；（2）DE 的长度为π.
【解析】
（1）证明：∵AC 是⊙O 切线，
∴OA ⊥AC ，
∴∠OAC=90°，
∵CO 平分∠AOD ，
∴∠AOC=∠COD ，
在△AOC 和△DOC 中，
∴△AOC ≌△DOC ，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD ⊥CD ，
∴直线CD 是⊙O 的切线．
（2）∵OD⊥BC，DC=DB，
∴OC=OB，
∴∠OCD=∠B=∠ACO，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=30°，∠DOE=60°，
∴的长度==π．[来源:]
9．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．
（1）求证：PC=PD；
（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．
【答案】(1)见解析 (2) EC=172
AE=
132
【解析】
试题分析：（1）如图1中，连接OC、OE．利用等角的余角相等，证明∠PCD=∠PDC即可；
（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先证明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出
AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12﹣x，推出
x=7
2
，延长即可解决问题；
试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC、OE．
∵AB直径，∴∠ACB=90°，∴CE平分∠ACB，∴∠ECA=∠ECB=45°，∴AE=BE，∴OE⊥AB，∴∠DOE=90°．∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°．∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC．∵∠PCD+∠OCE=90°，∠ODE+∠OEC=90°，∠PDC=∠ODE，
∴∠PCD=∠PDC，∴PC=PD．
（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．
∵CE 平分∠ACB ，EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ，∴EH =EF ，∠EFA =∠EHB =90°．∵AE =BE ，∴AE =BE ，∴Rt △AEF ≌Rt △BEH ，∴AF =BH ，设AF =BH =x ．∵∠F =∠FCH =∠CHE =90°，∴四边形CFEH 是矩形．∵EH =EF ，∴四边形CFEH 是正方形，∴CF =CH ，∴5+x =12﹣x ，∴x =72，∴CF =FE =172，∴EC =2CF =1722
，AE =22EF AF +=2217722（）（）+=1322
． 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ．
（1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标；
（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切
线．
【答案】(1) B （
，2）．(2)证明见解析.
【解析】 试题分析：（1）在Rt △ABN 中，求出AN 、AB 即可解决问题；
（2）连接MC ，NC ．只要证明∠MCD=90°即可
试题解析：（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2），
∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8，
∴由勾股定理可知：NB=，
∴B（，2）．
（2）连接MC，NC ∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN=90°，
∴∠NCB=90°，
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD=NB=ND，
∴∠CND=∠NCD，
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°，
即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线．
考点：切线的判定；坐标与图形性质．。