2016-2017学年广东省深圳中学高三(上)段测数学试卷(文科)(2)(解析版)

2016-2017学年广东省深圳中学高三（上）段测数学试卷（文科）
（2）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．
1．设，B={x|x＞a}，若A?B，则实数a的取值范围是（）A．B．C．a≤1 D．a＜1
2．若（a﹣2i）i2013=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2+b2等于（）A．0 B．2 C．D．5
3．已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，则|+|的值为（）A．B． C．5 D．13
4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．2 B．4 C．6 D．1
5．下列叙述正确的个数是（）
①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；
②若命题p：?x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1＞0；
③在△ABC中“∠A=60°”是“cosA=”的充要条件；
④若向量，满足?＜0，则与的夹角为钝角．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）
A．21 B．20 C．19 D．18
7．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两
只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为（）A．B．C．D．
8．若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）
A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8
9．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．
D．
10．已知函数f（x）=e|x|+x2，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）
A． B．C．（﹣，）
D．
11．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直
线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线
的离心率为（）
A．4 B．C．D．
12．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（）
A．4πB．2πC．πD．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知数列{a n}的前n项的和S n满足log2（S n+1）=n，则a n=．
14．若f（x）=ax3+4x+5的图象在（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为﹣．则a=．
15．若x，y满足约束条件，则x2+y2的最小值为．
16．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）
上的导函数为f″（x），若区间（a，b）上f″（x）＞0．则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，己知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在（1，3）上为“凹函数”．则实数m的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点．
（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；
（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．
19．（12分）以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．
（1）如果x=7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；
（2）如果x=9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰
好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．
20．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆C：x2+y2﹣4x﹣1=0与x轴正半轴的
交点为D．
（1）若直线m：ax﹣2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，求a的值；
（2）过原点O的直线l与圆C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx，（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当方程f（x）=2ax有唯一解时，求a的取值范围．
22．（10分）已知在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是θ＝，且直线l与圆C交于A，B两点，试求弦AB 的长．
2016-2017学年广东省深圳中学高三（上）段测数学试卷
（文科）（2）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．
1．（2014?安徽模拟）设，B={x|x＞a}，若A?B，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．a≤1 D．a＜1
【分析】根据题意A集合中的元素是在区间（，5）内的整数，再利用A?B，求出a符合的条件即可．
【解答】解：∵A={x|＜x＜5，x∈Z}，∴A={1，2，3，4}
∵A?B，∴a≤1
故选C
【点评】本题考查集合中参数的取值问题．正确理解集合语言是解决此类题的关键．
2．若（a﹣2i）i2013=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2+b2等于（）A．0 B．2 C．D．5
【分析】由于i4=1，可得i2013=i，于是（a﹣2i）i2013=b﹣i，化为（a﹣2i）i=b﹣i，再利用复数的运算性质与复数相等即可得出．
【解答】解：∵i4=1，∴i2013=（i4）503?i=i，
∴（a﹣2i）i2013=b﹣i，化为（a﹣2i）i=b﹣i，
∴2+ai=b﹣i，
∴2=b，a=﹣1，
∴a2+b2=5．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的周期性、复数的运算性质与复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．（2013?惠州三模）已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，则|+|的值为（）
A．B． C．5 D．13
【分析】根据两个向量平行的坐标表示求出x的值，然后运用向量的坐标加法运算求出两个和向量的坐标，最后利用求模公式求模．
【解答】解：由向量=（2，﹣3），=（x，6），且，
则2×6﹣（﹣3）x=0，解得：x=﹣4．
所以，
则=（﹣2，3）．
所以=．
故选B．
【点评】本题考查了两个平行的坐标表示，考查了平面向量的坐标运算，考查了向量模的求法，是基础题．
4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．2 B．4 C．6 D．1
【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD．AB=2，CD=4，AD=2，PA=2．即可得出．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
AB∥DC，AB⊥AD．AB=2，CD=4，AD=2，PA=2．
∴该几何体的体积V==4．
故选：B．
【点评】本题考查了四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．下列叙述正确的个数是（）
①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；
②若命题p：?x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1＞0；
③在△ABC中“∠A=60°”是“cosA=”的充要条件；
④若向量，满足?＜0，则与的夹角为钝角．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用复苏苗头的真假判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误；数量积的特殊情况判断④的正误．
【解答】解：①不正确，因为若p∧q为假命题，则p、q至少有1个为假命题；
②正确，因为特称命题的否定为全称命题；
③正确，因为在△ABC中，0°＜A＜180°，所以cosA=只有一个解即：∠A=60；
④不正确．当?＜0，时还可能与的夹角为π．
综上可得正确的有2个，所以B正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及命题的否定，以及向量的数量积的运算，是基础题．
6．（2009?安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）
A．21 B．20 C．19 D．18
【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．
【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得
a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①
a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②
由①②联立得a1=39，d=﹣2，
∴S n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，
故当n=20时，S n达到最大值400．
故选：B．
【点评】求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值
问题，但注意n取正整数这一条件．
7．（2010?沙坪坝区校级模拟）羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、
暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的
概率为（）
A．B．C．D．
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从5只羊中选2只，共有C52种结果，满足条件的事件是喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中，
共有C21C31种结果，得到概率．
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件是从5只羊中选2只，共有C52=10种结果，
满足条件的事件是喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中，共有C21C31=6种结果，
∴喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率是
故选C．
【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是能够做出试验发生所包含的事件数和满足条件的事件数，正确应用概率的公式求出结果，本题是一个基础题．
8．（2016?洛阳二模）若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）
A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，结合输出的S是126，即可得到退出循环的条件．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，
由于S=2+22+…+26=126，
故①中应填n≤6．
故选：B．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高
度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
9．（2016?湖南二模）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．
D．
【分析】根据当a=0时，y=1，可判断图象哪个符合，
当a≠0时，f（x）周期为，振幅a，
分类讨论a＞1时，T＜2π；0＜a≤1，T≥2π利用所给图象判断即可得出正确答案．
【解答】解：∵函数f（x）=1+asinax
（1）当a=0时，y=1，函数图象为：C
故C正确
（2）当a≠0时，f（x）=1+asinax 周期为T=，振幅为a
若a＞1时，振幅为a＞1，T＜2π，
当0＜a≤1，T≥2π．
∵D选项的图象，振幅与周期的范围矛盾
故D错误，
故选：D
【点评】本题考察了三角函数的图象和性质，分类讨论的思想，属于中档题，关
键是确定分类的标准，和函数图象的对应．
10．（2016?浙江校级模拟）已知函数f（x）=e|x|+x2，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）
A． B．C．（﹣，）D．
【分析】根据f（x）解析式可以判断f（x）在[0，+∞）上为增函数，在R上为偶函数，从而由f（x）＞f（2x﹣1）便可得到|x|＞|2x﹣1|，两边平方即可解出该不等式，从而得出x的取值范围．
【解答】解：x≥0时，f（x）=e x+x2，∴x增大时e x增大，x2增大，即f（x）增大；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；
f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=f（x）；
∴f（x）为偶函数；
∴由f（x）＞f（2x﹣1）得：f（|x|）＞f（|2x﹣1|）
∴|x|＞|2x﹣1|；
∴x2＞（2x﹣1）2；
解得；
∴x的取值范围为．
故选：A．
【点评】考查指数函数、二次函数的单调性，增函数的定义，偶函数的定义，以
及通过两边平方解绝对值不等式的方法．
11．（2016?锦州一模）如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、
右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A．4 B．C．D．
【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即
可得到所求．
【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，
A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，
B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，
由，则，
在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2?2a?4a?cos120°，
得c2=7a2，则．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算
能力，属于中档题．
12．（2011?广州一模）如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（）
A．4πB．2πC．πD．
【分析】根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边
MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分．
【解答】解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的球面积．
所以答案为，
故选D．
【点评】解决此类问题的关键是熟悉结合体的结构特征与球的定义以及其表面积
的计算公式．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．（2011?辽宁模拟）已知数列{a n}的前n项的和S n满足log2（S n+1）=n，则a n= 2n﹣1．
【分析】根据log2（S n+1）=n，可得S n的公式，进而代入a n=S n﹣S n﹣1中即可求得a n
【解答】解：由log2（S n+1）=n得S n+1=2n，∴S n=2n﹣1，
∴a1=S1=2﹣1=1，a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1；
∴a n=2n﹣1．
2n﹣1；
【点评】本题主要考查数列的求和问题．属基础题．
14．若f（x）=ax3+4x+5的图象在（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为﹣．则a=1．
【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的
导函数值，由此求得切线的斜率值，再根据x=1求得切点的坐标，最后结合直线
的方程求出切线在x轴上的截距，利用条件求出a的值．
【解答】解：∵f（x）=ax3+4x+5，∴f′（x）=3ax2+4，
∴f′（1）=3a+4，即切线的斜率为3a+4，
又f（1）=a+9，故切点坐标（1，a+9），
∴切线的方程为：y﹣a﹣9=（3a+4）（x﹣1），当y=0时，x=﹣，代入可得a=1，故答案为：1．
【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线方程的概念、直线在坐标轴上的截距等基础知识，属于基础题．
15．若x，y满足约束条件，则x2+y2的最小值为2．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用两点间距离的几何意义，结合数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，
由图象知，O到直线AB：x+y+2=0的距离最小，
此时原点到直线的距离d=，
则d2=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据点到直线的距离公式以及数形结合
是解决本题的关键．
16．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若区间（a，b）上f″（x）＞0．则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，己知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在（1，3）上为“凹函数”．则实数m的取值范围是m≤﹣3．．
【分析】本题根据二阶导数的定义及函数特征，研究原函数的二阶导数，求出m 的取值范围，得到本题结论．
【解答】解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2，
∴f′（x）=x4﹣mx3﹣4x，
∴f″（x）=x3﹣mx2﹣4．
∵f（x）在区间（1，3）上为“凹函数”，
∴f″（x）＞0．
∴x3﹣mx2﹣4＞0，x∈（1，3）．
∴m＜x﹣，
∵x﹣在（1，3）上单调递增，
∴x﹣在（1，3）上满足：x﹣＞1﹣4=﹣3．
∴m≤﹣3．
故答案为：m≤﹣3．
【点评】本题考查了二阶导数和函数恒成立问题，是一道中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．（12分）（2013?浙江模拟）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的
正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；
（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．【解答】解：（1）由正弦定理得：
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
将上式代入已知，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴，
∵B为三角形的内角，∴；
（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：
b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，
∴ac=3，
∴．
【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．利用正弦定理表示出a，b及c是第一问的突破点．
18．（12分）（2012?福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点．
（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；
（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．
【分析】（1）由题意可知，A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，易求=1，从而可求；
（2）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值．易证CM⊥平面B1C1M，从而CM⊥B1M，同理可证，B1M⊥AM，
问题得到解决．
【解答】解：（1）由长方体ABCD﹣A1B1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，
∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，
又=CC1×CD=×2×1=1，
∴=AD?=．
（2）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，
当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值．
由AD=CD=1，AA1=2，得M为DD1的中点．连接C1M，在△C1MC中，C1M=，MC=，C1C=2，
∴=+MC2，得∠CMC1=90°，即CM⊥C1M，又B1C1⊥平面CDD1C1，
∴B1C1⊥CM，又B1C1∩C1M=C1，
∴CM⊥平面B1C1M，
∴CM⊥B1M，同理可证，B1M⊥AM，又AM∩MC=M，
∴B1M⊥平面MAC
【点评】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等知识，
考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与
转化思想，属于难题．
19．（12分）（2013?金川区校级一模）以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．
（1）如果x=7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；
（2）如果x=9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰
好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．
【分析】（1）如果x=7，直接利用平均数和方差的定义求出乙组同学去图书馆学
习次数的平均数和方差．
（2）求出所有的基本事件共有4×3个，满足这两名同学分别在两个图书馆学习
且学习的次数和大于20的基本事件有10个，根据古典概型概率计算公式求得结果．
【解答】解：（1）如果x=7，则乙组同学去图书馆学习次数的平均数为=9，方差为S2==3.5．
（2）如果x=9，则所有的基本事件共有=15个，满足这两名同学的去图书馆
学习次数大于20的基本事件有：
（9，12），（11，12），（12，9），（12，9），（12，12），共有5个，
故两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率为=．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，茎叶图的应用，属于基础题．
20．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆C：x2+y2﹣4x﹣1=0与x轴正半轴的交点为D．
（1）若直线m：ax﹣2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，求a的值；
（2）过原点O的直线l与圆C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．
【分析】（1）由点到直线的距离公式，即可求得a的值；
（2）将直线方程代入圆方程，利用三角形的面积公式，采用换元法，根据基本
不等式的性质，即可求得△ABD面积的最大值．
【解答】解：（1）由相切得，化简得：a2+3a﹣4=0，解得a=1或a=
﹣4，
由于a＞0，故a=1．…（4分）
（2）设A，B两点的纵坐标分别为y1，y2，易知，…
设直线AB的方程为x=ty，由，
消元得（t2+1）y2﹣4ty﹣1=0，…（6分）
∴由△＞0，则丨y1﹣y2丨===，…（7分）
，…（8
分）
设m=5t2+1（m≥1），
则…（10分）∴（当m=4时取等号）
∴△ABD面积最大值为…（12分）
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查换元法，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx，（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当方程f（x）=2ax有唯一解时，求a的取值范围．
【分析】（1）先求定义域，再求导函数f′（x），根据f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求得函数f（x）的单调区间；
（2）构造函数g（x）=f（x）﹣2ax=x2﹣2alnx﹣2ax，将方程f（x）=2ax有唯一解，转化为g（x）=0有唯一解，即可求得a的值．
【解答】解：（1）由已知得x＞0且．…（1分）
当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），没有减区间…（2分）
当a＞0时，f′（x）=，
所以当时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）的减区间是，增区间是…（4分）
（2）记g（x）=f（x）﹣2ax=x2﹣2alnx﹣2ax，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
，
令g'（x）=0，得x2﹣αｘ﹣a=0，△=a2+4a=a（a+4），
（i）当﹣4≤a＜0时，△≤0，函数g（x）在（0，+∞）上是增函数；…
当a＜﹣4时，△＞0，设方程x2﹣ax﹣a=0的两个根为x1，x2，
x1+x2=a＜0，x1?x2=﹣a＞0
所以当x＞0时，g'（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．…（6分）所以当a＜0时，g（1）=1﹣2a＞0且x→０时，g（x）→﹣∞，
所以方程f（x）=2ax有唯一解…（7分）
（ii）当a＞0时，方程x2﹣ax﹣a=0的两个根x1＜0，x2＞0
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）是单调递减函数；
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．
当x=x2时，g（x2）=0，g（x）min=g（x2）∵g（x）=0有唯一解，∴g（x2）=0…（9分）
则，即，2alnx2+ax2﹣a=0，∵a＞0，∴2lnx2+x2
﹣1=0（※）
设函数h（x）=2lnx+x﹣1，∵在x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解，
∵h（1）=0，∴方程（※）的解为x2=1，且，所以
综上所述，当a＜0或时，方程f（x）=2ax有唯一解…（12分）
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，同时考查了函数的零点问题．在解决数学问题的时候，经常会运用分类讨论的数学思想方法，在运用的时候关键是要弄清楚分类讨论的依据是
什么．属于难题．
22．（10分）（2016春?宜春校级期中）已知在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是θ＝，且直线l与圆C交于A，B两点，试求弦AB 的长．
，能【分析】（1）先求出圆C的普通方程，再由由ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα
求出圆C的极坐标方程．
（2）直线l的直角坐标方程是y=，先求出圆心C（1，0）到直线l的距离d，由此利用勾股定理能求出弦AB的长．
【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为（θ为参数），
∴圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=4，
即x2+y2=2x+3，
，
由ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα
∴圆C的极坐标方程为ρ2=2ρcosθ
+3．
（2）∵直线l的极坐标方程是θ＝，∴直线l的直角坐标方程是y=，
圆C：（x﹣1）2+y2=4的圆心C（1，0），半径r=2，
圆心C（1，0）到直线l的距离d==，
又直线l与圆C交于A，B两点，
∴弦AB的长|AB|==2=．
【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，是基础题，解题时
要认真审题，注意圆的性质、直角坐标和极坐标转化公式的合理运用．。