6.2 第2课时 矩形的判定 课件2024-2025学年鲁教版数学八年级下册

解：(1)由题意得，BQ＝DP＝t，则AP＝CQ＝6－t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形， ∴t＝6－t， 解得，t＝3， 故当t＝3时，四边形ABQP为矩形；
(2)由(1)可知，四边形AQCP为平行四边形， ∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形， 即 32 ＝t26－t时，四边形AQCP为菱形， 解得，t＝ 9，
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在Rt△AEC中，
∵O为AC中点， ∴EO＝1AC，
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∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
变式二 如图，在菱形ABCD中，对角 线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点 F，使CF＝BE，连接DF. (1)求证：四边形AEFD是矩形； (2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
点的四边形是平行四边形， 则有t＝4－2t，解得t＝ 4.
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②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A，M，E，F为顶点的四
边形是平行四边形，
则有t＝2t－4，解得t＝4， 综上所述，t＝4或 4s时，以A，M，E，F为顶点的四边形
3是平行四边形．来自变式三 如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝6 cm.点P 从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B 出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1 cm/s.连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t s. (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由； (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由．
(2)∵四边形ABEC是矩形，
∴AB＝EC＝2，∠BEC＝90°，
∴BE＝ BC2 ＝CE2 ＝422 2.2
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变式一 如图，AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点， 点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四 边形ABCD是矩形．
答案：证明：连接EO，如图所示： ∵O是AC，BD的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△EBD中， ∵O为BD中点， ∴EO＝ 1BD.
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故当t＝9时，四边形AQCP为菱形．
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答案：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC. ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形．
(2)解 ∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
考点一 矩形的判定 典例一 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使 CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC，BE；若∠AFC＝ 2∠D，AB＝2，BC＝4. (1)求证：四边形ABEC是矩形； (2)求BE的长．
思路导析 (1)先证四边形ABEC是平行四边形，得BC＝ 2BF，AE＝2AF，再证AE＝BC，即可得出四边形ABEC 是矩形； (2)由矩形的性质得AB＝EC＝2，∠BEC＝90°，由勾股 定理求出BE即可．
思路导析 (1)当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，列出 方程即可解决问题； (2)分两种情形列出方程即可解决问题． 解 (1)当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形， 则有6－t＝10－2t，解得t＝4， ∴t＝4 s时，四边形EFCD为矩形．
(2)①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A，M，E，F为顶
∵EC＝4，
∴BE＝10－4＝6，
在Rt△ABE中，
AE＝ AB2 B＝E2 ＝1082 ，62 在Rt△AEC中，
AC＝ AE E＝C2 ＝82 442.
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∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OE＝1AC＝2
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5.
考点二 矩形中的动点问题 典例二 在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6 cm， BC＝10 cm，点E从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点F从 点B出发，以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达 终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t， (1)t取何值时，四边形EFCD为矩形？ (2)M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A，M，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？
解 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠D， ∵CE＝CD， ∴AB＝CE， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴BC＝2BF，AE＝2AF， ∵∠AFC＝∠ABC＋∠BAE＝2∠D， ∴∠ABC＝∠BAE， ∴AF＝BF， ∴AE＝BC， ∴四边形ABEC是矩形．
第二课时 矩形的判定
知识点1 矩形的判定 1．定义法：有一个角是_直__角__的平行四边形是矩形． 几何语言：如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∠A＝_9_0_°__， ∴▱ABCD是矩形．
2．定理1：有_三__个__角__是直角的四边形是矩形． 几何语言：如图所示， ∵_∠__A_＝__∠__B_＝__∠__C_＝__9_0_°__， ∴四边形ABCD是矩形．
3．定理2：对角线_相__等__的平行四边形是矩形． 几何语言：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，_A_C_＝__B_D_， ∴▱ABCD是矩形．
注意 判定矩形的两种基本思路：
知识点2 解决矩形问题常添辅助线 1．连接对角线构造等腰三角形或直角三角形． 2．作对角线上的高，构造含特殊角的直角三角形