2019版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第四节 导数与函数的综合问题实用

y′＜0；当 x＞200 时，y′＞0.所以当 x＝200 时，y 取得最
小值，故其周长至少为 800 米．
答案：800
4．(2018·北京东城模拟 )某商场从生产厂家以每件 20 元的价格 购进一批商品，若该商品零售价为 p 元，销量 Q(单位：件) 与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则 该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为 ________元．
2．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存 款利率的平方成正比，比例系数为 k(k＞0)，贷款的利率为 4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为 x(x∈(0,0.048))，则银行获得最大收益的存款利率为________． 解析：依题意知，存款量是 kx2，银行应支付的利息是 kx3，银行 应获得的利息是 0.048kx2，所以银行的收益 y＝0.048kx2－kx3， 故 y′＝0.096kx－3kx2，令 y′＝0，得 x＝0.032 或 x＝0(舍去)．因 为 k＞0，所以当 0＜x＜0.032 时，y′＞0；当 0.032＜x＜0.048 时，y′＜0.因此，当 x＝0.032 时，y 取得极大值，也是最大值， 即当存款利率定为 3.2%时，银行可获得最大收益． 答案：3.2%
3．已知某矩形广场面积为 4 万平方米，则其周长至少为_____米． 解析：设广场的长为 x 米，则宽为40 x000米，于是其周长为 y
＝2x＋40

x000(x＞0)，所以
y′＝21－40x0200，令
y′＝0，
解得 x＝200(x＝－200 舍去)，这时 y＝800.当 0＜x＜200 时，
[方法技巧] 利用导数解决实际生活中的问题的步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数 学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f(x)；
(2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的大 小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
利用导数解决实际生活中的问题 [典例] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的 销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系 式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3＜x＜6，a 为常数．已知销售 价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
第四节 导数与函数的综合问题
本节主要包括 3 个知识点： 1.利用导数解决实际生活中的问题； 2.利用导数研究函数的零点或方程根的综合问题； 3.利用导数研究与不等式有关的综合问题.
K12课件
1
01 突破点(一) 利用导数解决实际生活中的问题
02 突破点(二) 利用导数研究函数的零点或方 程根的综合问题
5.(2017·苏北四市期末)如图，OA 是南北方向的一 条公路，OB 是北偏东 45°方向的一条公路， 某风景区的一段边界为曲线 C.为方便游客观 光，拟过曲线 C 上某点 P 分别修建与公路 OA， OB 垂直的两条道路 PM，PN，且 PM，PN 的造价分别为 5 万元 /百米、40 万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，则 曲线 C 符合函数 y＝x＋4x22(单位：百米，1≤x≤9)的模型．设 PM＝x，修建两条道路 PM，PN 的总造价为 f(x)(单位：万元)． (1)求 f(x)的解析式； (2)当 x 为多少时，总造价 f(x)最低？并求出最低总造价．
[解] (1)因为 x＝5 时，y＝11， 所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62 ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6. 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)．
p (20,30)
y′
＋
30 (30，＋∞)
0
－
y
极大值
故当 p＝30 时，y 取极大值 23 000. 又 y＝－p3－150p2＋11 700p－166 000 在[20，＋∞)上只有一 个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件 30 元时， 所获利润最大为 23 000 元．答案：30 23 000
于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值
由上表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也 是最大值点．
所以，当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的 利润最大．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可 以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新的墙 壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________． 解析：要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设堆料厂
的宽为 x 米，则长为51x2米，因此新墙总长为 L＝2x＋51x2(x＞0)， 则 L′＝2－5x122，令 L′＝0，得 x＝±16.又 x＞0，∴x＝16.则当 x＝16 时，L 取得极小值，也是最小值，即用料最省，此时长为 51162＝32(米)． 答案：32 米，16 米
解析：设商场销售该商品所获利润为 y 元，则 y＝(p－20)(8 300 －170p－p2)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000(p≥20)，则 y′＝ －3p2－300p＋11 700.令 y′＝0 得 p2＋100p－3 900＝0，解得 p ＝30 或 p＝－130(舍去)．则 p，y，y′变化关系如下表：
03 突破点(三) 利用导数研究与不等式有关的 综合问题
04
课时达标检测
K12课件
2
01 突破点（一） 利用导1．生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题， 这些问题通常称为优化问题．一般地，对于实际问题，若函数 在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．利用导数解决实际生活中问题的基本思路