人教版九年级数学 上册 第二十四章 圆之阴影面积专项训练(含答案)

人教版九年级数学上册第二十四章圆之阴影面积专项训练
1．已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过C点的切线与AB的延长线交于点D．（1）求证：∠BCD＝∠A；
（2）若⊙O的半径为2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．
2．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，与AB交于点G，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠EDG＝120°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
3．如图已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，AC＝4．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
4．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DP A＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
5．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．
6．如图，AB为⊙O直径，OE⊥BC垂足为E，AB⊥CD垂足为F．
（1）求证：AD＝2OE；
（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求两阴影部分面积的和．
7．Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，BE＝AE＝2，以AE为直径作⊙O交A C于点F，交BC于点D，且点D为切点，连接AD、EF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求阴影部分面积．（结果保留π）
8．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，AE∥CD交⊙O于点E，连结BE交CD于点F．（1）求证：弧BD＝弧ED；
（2）若⊙O的半径为6，AE＝6，求图中阴影部分的面积．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．（1）求证：OD⊥DE；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝12，求阴影部分的面积．
10．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．（1）求证：AB＝CB；
（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；
（2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．
12．如图，图中圆O的周长为8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD为45度，求图中阴影部分（即扇形AOD）的面积．（结果保留π）
13．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝E D；
（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
14．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．
15．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．
证明：S
矩形
ABCD ＝S 1+S 2+S 3＝2，S 4＝ ，S 5＝ ，S 6＝ + ，S
阴影
＝S 1+S 6＝S 1+S 2+S 3
＝ ．
16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 在AC 上，经过A ，B ，E 三点的圆O 交BC 于点D ，且D 点是弧BE 的中点， （1）求证AB 是圆的直径；
（2）若AB ＝8，∠C ＝60°，求阴影部分的面积； （3）当∠A 为锐角时，试说明∠A 与∠CBE 的关系．
参考答案
1．（1）证明：连接OC ， ∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠DCO ＝90°， ∴∠OCB +∠DCB ＝90°， ∵AB 为⊙O 的直径； ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACO +∠OCB ＝90°， ∴∠ACO ＝∠BCD ， ∵OA ＝OC ， ∴∠A +∠ACO ， ∴∠BCD ＝∠A ； （2）解：∵∠A ＝30°， ∴∠DOC ＝60°， ∵∠OCD ＝90°， ∴∠D ＝30°，
∴CD ＝
OC ＝2
，
∴图中阴影部分的面积＝S △OCD ﹣S 扇形BOC ＝×2×2
﹣
＝2
﹣
．
2．解：
（1）证明：∵⊙O 切BC 于D ， ∴OD ⊥BC ， ∵AC ⊥BC ， ∴AC ∥OD ， ∴∠CAD ＝∠ADO ， ∵OA ＝OD ，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠CAD，
即AD平分∠CAB；
（2）设EO与AD交于点M，连接ED．
∵∠EDG＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∵OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE＝OA，∠AOE＝60°，
∴AE＝AO＝OD，
又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，
∴S
△AEM ＝S
△DMO
，
∴S
阴影＝S
扇形EOD
＝＝π．
3．解：（1）在△OCE中，
∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴OC＝OA＝AC＝4，
∵CD⊥AB，
∴OE＝OC＝2，
∴CE＝AEOC＝2，
∵OA⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝4；
（2）∵S △ABC ＝AB •EC ＝×8×2＝8，
∴S 阴影＝π×42﹣8＝8π﹣8
．
4．解：（1）连接OF ， ∵直径AB ⊥DE ，
∴CE ＝DE ＝1． ∵DE 平分AO ，
∴CO ＝AO ＝OE ． 设CO ＝x ，则OE ＝2x ． 由勾股定理得：12+x 2＝（2x ）2．
x ＝
．
∴OE ＝2x ＝．
即⊙O 的半径为．
（2）在Rt △DCP 中， ∵∠DPC ＝45°，
∴∠D ＝90°﹣45°＝45°． ∴∠EOF ＝2∠D ＝90°．
∴S 扇形OEF ＝
＝π．
∵∠EOF ＝2∠D ＝90°，OE ＝OF ＝
S Rt △OEF ＝
＝．
∴S 阴影＝S 扇形OEF ﹣S Rt △OEF ＝π﹣．
5．（1）证明：连结AD ，
∵AB 为⊙O 直径， ∴AD ⊥BC ， 又∵AB ＝AC ， ∴BD ＝CD ；
（2）解：连结OE ， ∵AB ＝4，∠BAC ＝45°，
∴∠BOE ＝90°，BO ＝EO ＝2，∠AOE ＝90°，
∴S 阴＝S △BOE +S 扇形OAE ＝×2×2+
＝π+2．
6．解：（1）证明：连接AC ， ∵AB ⊥CD ，
∴
，
∴AC ＝AD ， ∵OE ⊥BC ， ∴E 为BC 的中点， ∵O 为AB 的中点， ∴OE 为△ABC 的中位线，
∴OE ＝AC ，
∴OE ＝AD ， 即AD ＝2OE ；
（2）S 半圆＝π•OB 2＝＝2π，
∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠ABC ＝30°，AB ＝4，
∴AC＝AB＝，
BC＝，
S
△ABC
＝AC•BC＝＝2，∵AB⊥CD，
∴拱形AD的面积＝弓形AC的面积，
∴S
阴影
＝S
半圆
﹣S
△ABC
＝2π﹣2．
7．（1）证明：连接OD交EF于M．∵BC切⊙O于D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠DAC＝∠ODA，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴AD平分∠ABC．
（2）连接OF．∵AE是直径，
∴∠AFE＝90°，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∵∠C＝∠AFE＝∠ODC＝90°，
∴四边形DMFC 是矩形，
∴DM ＝CF ＝AF ，
∵OM ＝DM ＝OD ＝OE ， ∴∠OEM ＝30°， ∴∠EOF ＝120°，
∵BE ＝AE ＝2， ∴OE ＝2，
∴OM ＝1，EM ＝
，EF ﹣2
，
∴S 阴＝S 扇形OEF ﹣S △OEF ＝
﹣×2
×1＝
﹣
．
8．（1）证明：∵AB ，CD 是⊙O 的两条直径， ∴∠AOC ＝∠BOD ，
∴
＝
，
∵AE ∥CD ，
∴＝，
∴
＝
；
（2）解：连接OE ，作OH ⊥AE 于H ，
则AH ＝HE ＝AE ＝3，
cos ∠OAH ＝
＝
， ∴∠OAH ＝30°，
∴OH ＝OA ＝3，∠AOH ＝60°， ∴∠AOE ＝120°，
∴图中阴影部分的面积＝
﹣×6
×3＝12π﹣9
．
9．（1）证明：连接DB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠EDC＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠ADO+∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE；
（2）∵AB＝12，∠BAC＝30°，
∴AD＝6，
阴影部分的面积＝﹣×6×3
＝12π﹣9．
10．（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，
∴△ADE ≌△BDC （SAS ）， ∴∠ADE ＝∠BDC ，
∴
＝
．
∴AB ＝BC ．
（2）解：S 阴＝S 扇形CAF +S △CFG ﹣S △ABC ＝S 扇形CAF ＝＝
．
11．解：（1）如图，连接OE ，
∵∠C ＝60°，AB ＝AC ， ∴∠BAC ＝60°， ∴∠AOE ＝60°， ∴∠BOE ＝120°， ∴∠OBE ＝30°， ∵AB ＝8， ∴OB ＝4，
∴S 阴影＝S 扇形AOE +S △BOE ＝
+×2×4＝π+4；
（2）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BEA ＝90°，
∴∠EBC +∠C ＝∠CAD +∠C ＝90°， ∴∠EBC ＝∠CAD ， ∴∠CAB ＝2∠EBC ． 12．解：设圆O 的半径为r 由题意：2•π•r ＝8π， ∴r ＝4，
∵S
△AOB
＝•OA•OB＝•AB•OC，
∴OA2＝8×4＝32，
∴S
扇形OAD
＝＝4π．
13．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED；
（2）连接CD，OD，
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，
∵∠COD＝2∠CBD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴S
阴
＝S
扇形OAD
﹣S
△ADO
＝﹣•4×2＝﹣4 14．解：（1）∵AB为半圆⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝45°；
（2）∵AB＝2，
∴阴影部分的面积＝2×1﹣＝1﹣．
15．证明：由题意：S 矩形ABCD ＝S 1+S 2+S 3＝2，
S 4＝S 2，S 5＝S 3，S 6＝S 4+S 5，S 阴影面积＝S 1+S 6＝S 1+S 2+S 3＝2． 故答案为：S 2，S 3，S 4，S 5，2．
16．解：（1）连结AD ，∵D 是中点，
∴∠BAD ＝∠CAD ， 又∵AB ＝AC ， ∴AD ⊥BD ， ∴∠ADB ＝90°， ∴AB 是⊙O 直径；
（2）连结OE ，
∵∠C ＝60°，AB ＝AB ， ∴∠BAC ＝60°， ∴∠AOE ＝60°， ∴∠BOC ＝120°， ∴∠OBE ＝30°， ∵AB ＝8， ∴OB ＝4，
∴S 阴影＝S 扇形AOE +S △BOE ＝+×2×4
＝π+4
．
（3）由（1）知AB 是⊙O 的直径， ∴∠BEA ＝90°，
∴∠EBC +∠C ＝∠CAD +∠C ＝90°， ∴∠EBC ＝∠CAD ， ∴∠CAB ＝2∠EBC ．。