第四章相似图形之回顾与思考(上课用)

想一想
结束寄语
数学源于生活,又反过来服务 于生活.如果你无愧于数学, 那数学就可以助你到达胜利 的彼岸…………
下课了!
数学使人聪明
{
做一做
D
6、如图，小明欲测量红塔 的高，他站在该塔的影子 B ？ 上前后移动，直到他本身 1.6m 18m 2m A 影子的顶端正好与塔的影 E C 子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高 是1.6m，他的影子长是2m。（1）图中△ABC与△ADE 是否相似？为什么？（2）求红塔的高。 解： （1）相似 因为∠A是公共角，∠BCA和∠DEA是直角 （2）由△ABC∽△ADE得， AE DE DE = = BC 1.6 AC 20 2
做一做 B组题
1、如图，在长8cm、宽6cm的矩形中，截去一个矩形 （图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似， 那么留下的矩形面积为多少？ 2 解： 设留下矩形的面积为 x cm， 由题意得 6cm x 6 2
48
=
解得：x =27
cm 2
答：留下矩形的面积为 27 cm2
（
（8
8cm
做一做
AC 2 = AD · AB ∴应该选：C
做一做
3、如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点 P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部， 当他向前再行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部 刚好接触到路灯B的底部。已知王华的身高是1.6m，两 个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB= x m。 （1）求两个路灯之间的距离； （2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？ 解： （1）由题得：
解： 四条线段a、b、c、d成比例
a c = b d 2 a
3
=
6
6a=6 a=1
做一做
3、如图，将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对 折，得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似，确定矩形 ABCD长与宽的比。
D F C
A
E
B
2 = 1 AB 2 AD 2
AB 2 = 2 AD 2
AB = √2 AD
AB ︰AD = √2︰1
{
解：矩形ADFE与矩形ABCD相似 AE AD AD 2=AB· AE = AB 1 AD AE= AB 2
做一做
4、如图，BC//DE//FG，图中有几对相似三角形？你 是怎样判断的？ A B C E G 解： 有三对，它们是：
△ABC∽△ADE
△ABC∽△AFG
D
F
比例的等比性质──
a c ab cd 。 b d b d
a c m (b d n 0) a c m a b d n b d n b
知识回顾
二、黄金分割与相似多边形 黄金比 5 1 点C把线段AB分成两条线段AC和BC, 2 AC BC 如果 , ≈0.618 AB AC 那么称 线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点, AC与AB的比叫做黄金比.
DE=16 m
做一做
7、如果两个相似多边形面积的比为4︰9，那么这两 个相似多边形对应边的比是多少？ 解： 根据相似多边形面积的比等于相似比的平方得：
这两个相似多边形对应边的比是2︰3
做一做
8、如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD， A 3份 D 1份 B 解： DE//BC
{∠AED=∠C
PA = AD PB BC PA = 60 PA+45 90
？
A
D 60m
C
PA=90
45m
90m
B
改变点C的位置，仍可以得到相应的结论
做一做
C组题 1、如图，BC与EF在一条直线上，AC//DF。将图（2） 中的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形。
D G D
A
A
Q
B
C E
F
B
C E
P
F
知识回顾
3、性质：
相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似多边形的周长比等于相似比 相似多边形面积的比等于相似比的平方
知识回顾
四、位似图形
如果两个图形不仅是相似图形，而 且是每组对应点所在的直线都经过同一 个点，那么这样的两个图形叫做位似图 形。这个点叫做位似中心.这时的相似比 又称为位似比. 位似图形上任意一对对应点到位似中 心的距离之比等于位似比
黄金分割 相 似 多 边 形 测 量 旗 杆 的 高 度 相 似 的 综 合 应 用
线 段 的 比 形状相同 的图形
相似三角形 及其 判定条件的 探索
多 边 形 的 性 质 图 形 的 放 bc . 比例的基本性质─ b d
比例的合比性质─
△ADE∽△AFG
根据BC//DE//FG，可得同位角相等， 由此得到两个三角形相似
做一做
5、如图，已知△ADF∽△ABC，AD=6cm，DB=3cm， BC=9.9cm，∠A=70°，∠B=50°。 （1）求∠ADE的大小；（2）求∠AED的的小； （3）求DE的长。 A 解： （1） △ADF∽△ABC 6 70° ∠ADE=∠B=50° D ？ ？？ E 3 50° （2） ∠A=70° ∠AED=60° B C 9.9 ∠ADE=50° DE AD = （3） △ADF∽△ABC AB BC DE 6 = DE=6.6 cm 9 9.9
1.6
∴他的影子长为 3.6 m
做一做
4、如图，为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸 边P点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上 选择点A和B，使得B、A、P在一条直线上，且与河岸 垂直。随后确定点C、D，使BC⊥BP，AD⊥BP，由观 测可以确定CP与AD的交点D。他们测得AB=45m，BC =90m，AD=60m，从而确定河宽PA=90m。 你认为他们的结论对吗？还有其他的测量方法吗？ 解：结论正确！ 理由如下： 由△PAD∽△PBC得 P
A C B
相似多边形的对应角相等， 对应边成比例.
知识回顾 三、相似三角形的定义？判定？性质？ 1、定义：三角对应角相等、三边对应成比例 的两个三角形叫相似三角形 2、判定： 两角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
3、性质：
相似三角形对应角相等，对应边成比例 相似三角形对应高的比，对应角平分线的 比和对应中线的比都等于相似比
{∠C=∠D
OC
OD
△AOC∽△BOD
OA = OB
OA· OD=OC· OB
{
做一做
10、（1）在平面直角坐标系中描 解： 所以、 除以 2 后得到的 出点A（4，2），B（2，4），C （0，4），D（0，2），E（2， 新五边形与原五边形相似 0），顺次连接点A、B、C、D、E、 同样， 除以 3 后 y 得到的新五边形与 A，得到一个五边形ABCDE。 5 （2）将点A、B、C、D、E的横 C B 原五边形相似 ● ● 4 坐标和纵坐标都除以2，得到五 个新的点，顺次连接这五个 点， 3 得到一个新的五边形，这两个五 D B ● A 2● ● 边形相似吗？如果将点A、B、C、C ●A D、E的横坐标和纵坐标都除以 3 1● D 呢？ ● ● -2 -1 0 1E 2 E 3 4 5 x -1 -2
2、如图，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（ C ） C （1）AC︰CD = AB︰BC （2）CD︰AD = BC︰AC （3）AC2 = AD · AB 2 = AD · （4）CD AB
A
D
B
解：已知∠A是两个三角形的公共角， 要使△ACD与△ABC相似， 就要使△ACD中∠A的两边与△ABC中的∠A的两 边对应成比例——即 AD AC = AB AC
x 1.6 = 2x+12 9.6 解得：x = 3 m
9.6
A x
1.6 P 12
Q x
B
∴两个路灯之间的距离是18 m
做一做
（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
9.6
？ A B x 18 解： 设他的影子长为 x m，则由题得： x 1.6 = 18+x 9.6
解得 x = 3.6 m
方法1：作EG//AB， 方法2：在EF上任取一点P过点P作 交DF于点G，沿EG PQ//AB，交DF于点Q，沿PQ将图 将△DEG截去即可。 （2）截开，得△PQF∽△ABC
做一做
2、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的 同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根 长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树 的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图）， 经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测 得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一 起算一下，树高为多少？ 解：首先在图上标上字母， A 过点C作CE⊥AB，垂足为E 根据题意，可得： △AEC∽△FGH AE CE AE = 2.7 2.7m = E FG HG 1 0.9 C F 1.2m 1.2m 1m AE= 3 m D 2.7m B H 0.9 G ∴树高AB = 3 + 1.2 = 4.2 m
{
△ADE∽△ABC AD 2 S△ADE C =（ ） S△ABC AB AD 3 = AD=3BD AB 4 9 S△ADE = S△ABC S△ABC = 27 16 S△ABC = 48 E
{
S△ABC =48，求 S△ADE
∠ADE=∠B
{
做一做
9、如图，AB、CD交于点O，且AC//BD。 则OA· OD=OC· OB吗？为什么？ D O A C B 解： OA· OD=OC· OB，理由如下： AC//BD ∠A=∠B