北师大版九年级上册第四章相似图形单元复习题( 无答案)
北师大版九年级上册数学单元测试卷(第四章 图形的相似)
2019年秋北师九上数学单元测试卷班级 姓名第四章 图形的相似 [时间：120分钟 分值：150分]一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)1．2018· 如果x ∶(x ＋y )＝3∶5，那么xy＝( )A.32B.38C.23D.852．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，则EF 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．83．能说明△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( ) A.AB A ′B ′＝AC A ′C ′或BC B ′C ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠C ′C.AB A ′B ′＝BCB ′C ′且∠B ＝∠B ′D.AB A ′B ′＝BCA′C′且∠B ＝∠A ′ 4．[2018·滨州]在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，8)，B (10，2)．若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩短为原来的12后得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为( )A ．(5，1) ．(4，3) C ．(3，4)．(1，5)5．[2018·贵港]如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE .若S 四边形BCFE＝16，则S △ABC ＝( )B.18D.246．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为( )A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 48．如图，已知AB ，CD ，EF 都与BD 垂直，垂足分别是点B ，D ，F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A.13B.23C.34D.459．[2018·厦门一模]我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度PQ (如图)：(1)测量者在水平线上的A 处竖立一根竹竿，沿射线QA 方向走到M 处，测得山顶P 、竹竿顶端B 及M 在一条直线上；(2)将该竹竿竖立在射线QA 上的C 处，沿原方向继续走到N 处，测得山顶P 、竹竿顶端D 及N 在一条直线上；(3)设竹竿与AM ，CN 的长分别为l ，a 1，a 2，可得公式PQ ＝d la 2－a 1＋l.则上述公式中，d 表示的是( )A ．QA 的长 ．AC 的长C ．MN 的长D ．QC 的长10．[2018·包头]如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F .若BC ＝4，∠CBD ＝30°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.435二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝2 cm ，b ＝3 cm ，d ＝6 cm ，则c ＝____ ____ cm.12．[2018·上海]如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是__ __．,13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，且AD ＝2.5 cm ，DB ＝0.9 cm ，则CD ＝__ __cm ，S △ACD ∶S △CBD ＝__ __．14．[2018·包头]如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EF ∥BC ，且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE ＝2EB ，连接DF .若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为__ __．15．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 上一点，且BP ＝1，点D 为AC 上一点．若∠APD ＝60°，则CD 的长为__ __.16．[2018秋·金牛区期末]如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是BC 边上的一动点，连接OE ，将△BOC 分成了两个三角形，若BE ＝OB ，且OC 2＝CE ·BC ，则∠BOC 的度数为__ __．三、解答题(本大题共9个小题，共96分)17．(10分)若a b ＝c d ＝e f ＝25.求：(1)a －c b －d； (2)2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f； (3)比较(1)(2)的结论能发现什么规律？18．(10分)[2018秋·宜宾县期中]已知，如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是点F，E，试证明：(1)△BAF∽△BCE；(2)△BEF∽△BC A.19．(10分)[2018·青海]如图，在平行四边形ABCD中，E为AB 边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.(1)求证：AD＝BF；(2)若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．20．(10分)将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标．(1)沿y轴正方向平移2个单位；(2)关于y轴对称；(3)以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍．21．(10分)如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EA D.22．(10分)如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A ＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．23．(12分)[2018·金华、丽水节选]在ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝12.点D 在直线CB 上，直线AB 与直线CE ，DE 的交点分别为点F ，G .如图，点D 在线段CB 上，四边形ACDE 是正方形．(1)若点G 为DE 的中点，求FG 的长． (2)若DG ＝GF ，求BC 的长．,24．(12分)如图，已知Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线交于点F ，求证：(1)△ABD ∽△CAD ； (2)AB AC ＝DF AF.25．(12分)[2018·淮安节选]如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝__ __ ；(2)如图，在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．参考答案一、1．A 【解析】 由xx ＋y ＝35得5x ＝3x ＋3y ，即x y ＝32.2．C 【解析】 ∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF ，即13＝2EF，得EF ＝6. 3．C 【解析】C 项满足三角形两边对应成比例且夹角相等，其他选项都不满足三角形相似的条件．4．C 【解析】 根据题意点C 的坐标为(6×12，8×12)，即C (3，4)．5．B 【解析】 设△AEF 的面积为S ，则△ABC 的面积为16＋S ，由于在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE ，所以S 16＋S ＝(AE AB )2＝(13)2＝19，解得S ＝2，所以S △ABC ＝16＋2＝18，故选．6．B 【解析】 ∵DE ∥AB ，∴△DEF ∽△ABF .∵AD ∥BC ，∴△EDF ∽△ECB ，因此与△DEF 相似的三角形有2个．7．C 【解析】 ∵∠BAC ＝∠PED ，而AB AC ＝32，∴EP ED ＝32时，△ABC ∽△EP D.∵DE ＝4，∴EP ＝6，∴点P 落在P 3处．8．C 【解析】 ∵AB ∥EF ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴EC BE ＝DCAB ＝3，同理△BEF ∽△BCD ，∴EF CD ＝BE BC ＝BE BE ＋EC ＝14，∴EF ＝34.9．B 【解析】 ∵AB ∥PQ ，∴PQ AB ＝MQ AM ，∴PQ l ＝a 1＋AQ a 1，∴AQ ＝PQl ·a 1－a 1.∵CD ∥PQ ，∴PQ CD ＝NQ CN ，∴PQ l ＝a 2＋AC ＋AQ a 2，∴AQ ＝PQl ×a 2－a 2－A C.∴PQ ＝AC·la 2－a 1＋l ，∴d＝A C.10．D【解析】 连接DE ，∵∠BDC ＝90°，∴DE ＝BE ＝12BC ＝2，∴∠CBD ＝∠EDB ＝30°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°， ∴AB ∥DE ，∴△DEF ∽△BAF ，∴DE AB ＝DF BF， 易求得AB ＝3，∴DE AB ＝DF BF ＝23，∴DF ＝25BD ＝25×23＝45 3.二、11．4. 12． 127．答图【解析】 如答图，作AH ⊥BC 于点H ，交GF 于点I .设正方形的边长是x ，∵△ABC 的面积是6，∴12×BC ×AH ＝6.又∵BC ＝4，∴AH＝3，AI ＝3－x .∵正方形DEFG ，∴GF ∥BC ，∴GF BC ＝AI AH ，3－x 3＝x4，解得x ＝127，∴正方形的边长是127.13． 1.5 25∶9．【解析】 ∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°， ∴∠A ＝∠BC D.又∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴△ACD ∽△CBD ，∴AD CD ＝CD DB，∴CD 2＝AD ·DB ＝2.5×0.9＝2.25， ∴CD ＝1.5 cm ，∴S △ACD S △CBD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2.51.52＝259. 14．52 【解析】 ∵3AE ＝2EB ，∴AE EB ＝23.∵EF ∥BC 易证得△AEF ∽△ABC ，∴S △AEF S △ABC ＝425，又∵S △AEF ＝1，∴S △ABC ＝254，∵AC 是对角线，∴S △ADC ＝254，又∵AF FC ＝AE EB ＝23， ∴S △ADF ＝25S △ADC ＝25×254＝52.15．23 【解析】 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝3，∠B ＝∠C ＝60°， ∴∠BAP ＋∠APB ＝180°－60°＝120°. ∵∠APD ＝60°，∴∠APB ＋∠DPC ＝180°－60°＝120°， ∴∠BAP ＝∠DP C.又∵∠B ＝∠C ，∴△BAP ∽△CPD ，∴AB CP ＝BPCD.∵AB ＝BC ＝3，BP＝1，∴CP ＝BC －BP ＝2，即32＝1CD ，解得CD ＝23. 16．108°解：∵OC 2＝CE ·BC ，∴OC CE ＝BCOC，∵∠OCE ＝∠OCB ， ∴△OCE ∽△BCO ， ∴∠COE ＝∠CBO . ∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝∠COE ，设∠OBC ＝∠OCB ＝∠COE ＝x ，∵BE ＝BO ，∴∠BOE ＝∠BEO ＝∠COE ＋∠ECO ＝2x ， ∵∠OBC ＋∠OCB ＋∠BOC ＝180°， ∴x ＋x ＋3x ＝180°， ∴x ＝36°， ∴∠BOC ＝3x ＝108°.三、17．解：(1)∵a b ＝c d ＝25，∴a ＝25b ，c ＝25d∴a －c b －d ＝25b －25d b －d ＝25（b －d ）b －d ＝25. (2)∵a b ＝c d ＝e f ＝25，∴2a 2b ＝3c 3d ＝－4e －4f ＝25，同(1)可知， 2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f ＝25（2b ＋3d －4f ）2b ＋3d －4f ＝25.(3)a －c b －d ＝2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f ＝a b. 18．证明：(1)∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴∠AFB ＝∠CEB ＝90°. ∵∠B ＝∠B ， ∴△BAF ∽△BCE . (2)∵△BAF ∽△BCE ，∴BF BE ＝BA BC，∴BFBA＝BEBC，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BC A.19．(1)证明：∵点E是AB中点，∴AE＝BE.1分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥B C.又∵点F在CB，DE的延长线上，∴AD∥BF，∴∠ADE＝∠BFE，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED≌△BEF，∴AD＝BF；(2)解：∵EB∥CD，∴△EFB∽△FD C.∵△AED≌△BFE，∴ED＝EF，S△AED＝S△BFE，∴EFDF＝12，∴S△BEFS△DCF＝14，设S△BFE为x，S四边形EBCD为3x，则4x＝32，x＝8，S四边形EBCD＝3×8＝24.20．解：图略．(1)△ABC沿y轴正方向平移2个单位后所得△A1B1C1的三个顶点坐标为A1(0，0)，B1(3，1)，C1(2，3).(2)△ABC关于y轴对称的△A2B2C2的三个顶点坐标分别为A2(0，－2)，B2(－3，－1)，C2(－2，1).(3)将△ABC以点C为位似中心，放大为原来的2倍后所得△A3B3C3的三个顶点坐标分别为A3(6，7)，B3(0，5)，C3(2，1)或A3(－2，－5)，B3(4，－3)，C3(2，1).21．证明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BA D.又∵∠AED＝∠B＋∠2，∠BAC＝∠BAD＋∠1，∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠AED，∴△ABC∽△EA D.22．解：图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.以下证明△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E，∠DME＝∠A＝∠B，∴∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG.又∵∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.23．答图解：(1)在正方形ACDE 中，有DG ＝GE ＝6. 在AEG 中，AG ＝AE 2＋EG 2＝122＋62＝6 5.∵EG ∥AC ，∴△ACF ∽△GEF . ∴FG AF ＝EG AC ，∴FG AF ＝612＝12. ∴FG ＝13AG ＝2 5.(2)如答图，在正方形ACDE 中，AE ＝ED ，∠AEF ＝∠DEF ＝45°， 又EF ＝EF ，∴△AEF ≌△DEF . 设∠1＝∠2＝x .∵AE ∥BC ，∴∠B ＝∠1＝x . ∵GF ＝GD ， ∴∠3＝∠2＝x .在△DBF 中，∠3＋∠FDB ＋∠B ＝180°， ∴x ＋(x ＋90°)＋x ＝180°，解得x ＝30°， ∴∠B ＝30°.∴在ABC中，AB＝2AC＝24，BC＝AB2－AC2＝242－122＝12 3.24．证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠ACD＝90°，∴∠BAD＝∠AC D.又∵∠ADB＝∠ADC，∴△ABD∽△CA D.(2)∵△ABD∽△CAD，∴ABCA＝BDAD.∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EC，∴∠ACD＝∠ED C.∵∠EDC＝∠BDF，∠ACD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BDF.又∵∠AFD＝∠DFB，∴△AFD∽△DFB，∴ADDB＝AFDF，∴ABAC＝DFAF.25．【解析】 (1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC是“准互余三角形”，又∠C ＞90°，则有2∠A ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠A ＝90°， 又∵∠A ＝60°，∴2∠A ＋∠B ＝90°不成立，即代入2∠B ＋∠A ＝90°；可得∠B ＝15°. 解：(2)存在，BE ＝95.∵点E 在BC 边上， ∴∠AEB ＞90°，∴2∠BAE ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠BAE ＝90°， ∵点E (异于点D )，∴2∠BAE ＋∠B ＝90°不成立． 在ABC 中，可得∠BAE ＋∠EAC ＋∠B ＝90°，又由“准互余三角形”定义可知：2∠B ＋∠BAE ＝90°， ∴∠B ＝∠EAC ， ∴△ABC ∽△EAC ，∴AC EC ＝BC AC， ∵AC ＝4，BC ＝5， ∴EC ＝165，∴BE ＝BC －EC ＝95.。
北师大版九年级上册数学 第四章 图形的相似(单元综合卷)(解析版)
第四章 图形的相似（单元综合卷）一、单选题1．若0234a b c ==≠，则22a b c a-+= ( ) A ．45 B ．54 C ．34 D ．无法确定【答案】B【解析】【分析】设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入算式进行计算即可求解.【详解】 设234a b c k ===、 则2a k =、3b k =、4c k =、 ∴2223452224a b c k k k a k -+⨯-+==⨯. 故选、B .【点睛】本题考查了比例的性质，利用设“k ”法表示出a 、b 、c 是解题的关键，设“k ”法是中学阶段常用的方法之一，需熟练掌握并灵活运用.2．若、ABC、、DEF ，且、ABC 与、DEF 的面积比是94，则、ABC 与、DEF 对应中线的比为（ ） A ．23 B ．8116 C ．94 D ．32【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．【详解】、、ABC、、DEF、、ABC与、DEF的面积比是9 4、、、ABC与、DEF的相似比为3 2、、、ABC与、DEF对应中线的比为3 2、故选D、【点睛】考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．3．如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，过点G作//GE BD，交AB边于点E，作//GF AC，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．AB AGAE AD=B．DF DGCF AD=C．FG EGAC BD=D．AE CFBE DF=【答案】D 【解析】由GE、BD、GF、AC利用平行线分线段成比例，可得出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，进而可得出AE CFBE DF=，此题得解．【详解】、GE、BD，GF、AC，、AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，、AE CF BE DF=．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把、EFO缩小为、E′F′O，且、E′F′O与、EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）【答案】C【解析】【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．【详解】、点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把、EFO缩小为、E'F'O，、点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．故选C．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．5．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（、A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【答案】C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，、同一时刻物高与影长成正比例，、AE、ED=1、0.4、即AE、4.6=1、0.4、、AE=11.5米，、AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，、树的高度是11.8米、故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.6．如图所示的两个四边形相似、则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.7．下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是（ ）A ．、C ＝98°，、E ＝98°，AC DE BC DF； B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，EF ＝8，DE ＝10，FD ＝6C ．、A ＝、F ＝90°，AC ＝5，BC ＝13，DF ＝10，EF ＝26；D ．、B ＝35°，BC ＝10，BC 上的高AG ＝7；、E ＝35°，EF ＝5，EF 上的高DH ＝3.5【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.【详解】A 、若、ABC~、DEF ，则AC DF =BC EF，故本选项错误； B 、若、ABC~、DEE ，则AB AC BC ==DE DF EF 而AB 1=DE 10≠AC 1.5=DF 6，故本选项错误； C 、若、ABC~、DEF ，、A ＝90°，则、D ＝90°，故本选项错误；D 、BC AG ==2EF DH且、AGC ＝、BHF ＝90°，因此、AGC、、BHF ，所以、C ＝、F ，而、B ＝、E ＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，解答此类题目时要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似8．如图，、ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作DE、BC 交AC 于点E ，过点E 作 EF、AB 交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点G ，则下列说法不正确的是（ 、A ．BD BF FG FC =B ．DE AE BC AC = C ．AD AE AB AC = D ．BF AD BC AB= 【答案】A【解析】因为DE、BC, 所以,,DE AE AD AE BC AC AB AC== 因为EF、AB, 所以,,BF AE BD BC BC AC FK CF== 所以,BF AD BC AB = 故选A.9．如图， ABC 中， 90C ∠=︒，3,4,AC BC M ==是BC 边上的动点，过M 作//MN AB 交AC 于点,N P 是MN 的中点，当PA 平分BAC ∠时， BM =（ ）A ．2011B ．2013C ．1511D ．2513【答案】A【解析】【分析】根据题意作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，利用相似三角形判定证得BMF BAC ∽，进而设3,PD PE MF x ===建立方程求解即可．【详解】解：作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，则,PD PE MF BMF BAC ==∽．、3,4,AC BC ==、5AB =设3,PD PE MF x ===则26,5CM PD x BM x ===由65114,BC x x x =+==得420 =,1111x BM =． 故选：A ．【点睛】 本题考查三角形动点问题，熟练掌握相似三角形判定并运用方程结合思维进行分析是解题的关键． 10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分、DCB 交BD 于点F ，且、ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ，下列结论：、、ACD ＝30°；、S 平行四边形ABCD ＝AC BC ⋅；、OE ：AC ＝1：4；、S 、OCF ＝2S 、OEF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，得到、ABC=、ADC=60°，、BAD=120°，根据角平分线的定义得到、DCE=、BCE=60°推出、CBE 是等边三角形，证得、ACB=90°，求出、ACD=、CAB=30°，故、正确； 由AC、BC ，得到S、ABCD=AC•BC ，故、正确；根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC ，于是得到OE ：AC=6，故、错误；由三角形的中位线可得BC、OE ，可判断、OEF、、BCF ，根据相似三角形的性质得到CF BC EF OE==2，求得S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．【详解】解：、四边形ABCD是平行四边形，、、ABC=、ADC=60°，、BCD=120°，、CE平分、BCD交AB于点E，、、DCE=、BCE=60°、、CBE是等边三角形，、BE=BC=CE，、AB=2BC，、AE=BC=CE，、、ACB=90°，、、ACD=、CAB=30°，故、正确；、AC、BC，、S、ABCD=AC•BC，故、正确，在Rt、ACB中，、ACB=90°，、CAB=30°，，、AO=OC，AE=BE，、OE=12 BC，、OE：6；故、错误；、AO=OC，AE=BE，、OE、BC，、、OEF、、BCF ， 、CF BC EF OE==2 、S 、OCF ：S 、OEF =CF EF =2， 、S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．二、填空题11．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且3AB =，4BC =， 4.8EF =，则DE 的长为__________．【答案】3.6【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】由平行线分线段成比例定理得：AB DE BC EF= 3AB =，4BC =， 4.8EF =34 4.8DE ∴= 解得 3.6DE =故答案为：3.6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．12．已知x 是正整数，且x 是4和16的比例中项，那么x =______．【答案】8【解析】【分析】根据比例中项的性质进行求解．【详解】解：、x 是4和16的比例中项，且是正整数，、241664x =⨯=，解得8x =．故答案是：8．【点睛】本题考查比例中项的性质，解题的关键是掌握比例中项的性质．13．如图，、ABC 与、A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__、【答案】（9，0）【解析】【分析】【详解】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．故答案为：(9，0)．14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【答案】4【解析】【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt、EDC、Rt、CDF，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】如图：过点C作CD、EF，由题意得：、EFC是直角三角形,、ECF=90°，、、EDC=、CDF=90°，、、E+、ECD=、ECD+、DCF=90°，、、E=、DCF，、Rt、EDC、Rt、CDF，有EDDC=DCFD;即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为4.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.15．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC 的长为_____．【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】、矩形ABCD与矩形EABF相似，、AEAB＝ABAD，即121AD＝1AD，解得，AD，、矩形ABCD 的面积＝AB •AD ，．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.16．如图，////AB EF DC ，//AD BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有__________对．【答案】6【解析】【分析】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，因为////AB EF DC ，//AD BC ，所以、AEG、、ADC、、CFG、、CBA ，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，、////AB EF DC ，//AD BC ，、、AEG、、ADC、、CFG、、CBA共有6个组合分别为：、AEG、、ADC ，、AEG、、CFG ，、AEG、、CBA ，、ADC、、CFG ，、ADC、、CBA ，、CFG、、CBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.17．如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝__________.【答案】9或16【解析】【分析】根据相似三角形的判断，要使得、ADE与、ABC相似，已经满足、BAC＝、DAE，因此只要两边对应成比例即可，由于本题中三角形相似，对应点没有确定，因此分两种情况，画出图形，然后根据相似三角形对应边成比例，就出AE的长.【详解】第一种情况：当、ABC、、ADE时，如图、；、、ABC、、ADE，、AB AC AD AE=，、AB＝24，AC＝18，AD＝12，、2418 12AE=，、AE＝9.第二种情况：当、ABC、、AED ，如图、；、、ABC、、AED ， 、AB AC AE AD=， 、AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12， 、241812AE =， 、AE ＝16.故填9或16.考点：相似三角形的性质.18．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______.【答案】1:20【解析】【分析】根据、BDE和、CDE高相同得到BE:EC=1:4,再证明、BDE、、BAC,利用面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】、、BDE和、CDE高相同,且:1:4BDE CDES S=,、BE:EC=1:4,、//DE AC、、BDE、、BAC,即BE:BC=1：5、:BDE BACS S=1:25、:BDE ACDS S=1、、25-1-4、=1:20【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉相似三角形性质是解题关键.19．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt、BEF的顶点E在边CD上，且、BEF＝90°，EF＝12 BE，DF BE＝_____．【解析】【分析】过F作FG、CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝12EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝12x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝94，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】解：如图所示，过F作FG、CD，交CD的延长线于G，则、G＝90°，、四边形ABCD是矩形，、、C＝90°，AB＝CD＝2，又、、BEF＝90°，、、FEG+、BEC＝90°＝、EBC+、BEC，、、FEG＝、EBC，又、、C＝、G＝90°，、、BCE、、EGF，、FG GE EF EC CB BE ==，即142EG CE EC ==， 、FG ＝12EC ，GE ＝2＝CD ， 、DG ＝EC ，设EC ＝x ，则DG ＝x ，FG ＝12x ， 、Rt、FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，、（12x ）2+x 22， 解得x 2＝94， 即CE 2＝94，、Rt、BCE 中，BE ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形和勾股定理的结合，准确分析计算是解题的关键．20．如图，在直角坐标系中，将OAB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -、()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为_______．【答案】913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出OA 、OB ，由旋转的性质即可求出OC 和OD ，从而证出OAC、OBD ，列出比例式即可求出AC ，再利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式列出方程即可求出结论．【详解】解：连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ）、()3,1A -、()4,3B ，=5由旋转的性质可得，OD=OB=5，、AOC=、BOD、点D 的坐标为（5,0）,OA OC OB OD==OAC、OBD、AC OA BDOB== 解得AC=2、()()222210314a b a b ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩ 解得：95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31a b =-⎧⎨=-⎩ 、点C 在第二象限，、95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即点C 913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题考查的是坐标与图形的变化、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，此题难度较大，掌握旋转的性质、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．三、解答题21．化简并求值：已知2,235a c e a c e b d f===-+=，求b -2d+3f 的值． 【答案】52【解析】【分析】 由2a c e b d f===可知2,2,2a b c d e f ===，代入235a c e -+=易得b -2d+3f 的值． 【详解】 解：2a c e b d f=== 2,2,2a b c d e f ∴===232462(23)5a c e b d f b d f ∴-+=-+=-+=5232b d f ∴-+=【点睛】 本题考查了比例的性质，灵活的利用比例进行等量代换是解题的关键.22．如图，已知DE、BC ，FE、CD ，AF ＝3，AD ＝5，AE ＝4．（1）求CE 的长；（2）求AB 的长．【答案】（1）CE＝83；（2）AB＝253．【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC即可解决问题；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可．【详解】解：（1）、FE、CD，、AEAC＝AFAD，即4AC＝35，解得，AC＝203，则CE＝AC﹣AE＝203﹣4＝83；（2）、DE、BC，、ADAB＝AEAC，即5AB＝4203，解得，AB＝253．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．如图，在、ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，、AED=、B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：、ADF、、ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．【答案】(1)证明见解析；（2、1.【解析】（1）欲证明、ADF、、ACG，由可知，只要证明、ADF=、C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：、、AED=、B，、DAE=、DAE，、、ADF=、C，、，、、ADF、、ACG．（2）解：、、ADF、、ACG，、，又、，、，、1．24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=⋅．【答案】详见解析【解析】【分析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证.【详解】解：、四边形ABCD 是平行四边形，、AD BC ∥，AB CD ∥． 、GF DF CF BF =，CF DF EF BF= 、GF CF CF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键.25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点、ABC （顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，、ABC 绕旋转中心P 逆时针旋转90°后得到、A 1B 1C 1、、1）在图中标示出旋转中心P ，并写出它的坐标；、2）以原点O 为位似中心，将、A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到、A 2B 2C 2，在图中画出、A 2B 2C 2，并写出C 2的坐标．【答案】、1、见解析、P点坐标为（3、1、、、2、作图见解析、C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【解析】【分析】、1）作BB1和AA1的垂直平分线，它们的交点即为P点，然后写出P点坐标；（2）把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2或-2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到、A2B2C2、【详解】、、、1）如图，点P为所作，P点坐标为（3、1、、、2）如图，、A2B2C2为所作，C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【点睛】本题考查了位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE、BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且、AFE=、B（1）求证：、ADF、、DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似、ADF、、DEC.（2）利用、ADF、、DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt、ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：、四边形ABCD是平行四边形，、AB、CD，AD、BC、、C+、B=180°，、ADF=、DEC、、AFD+、AFE=180°，、AFE=、B，、、AFD=、C在、ADF与、DEC中，、、AFD=、C，、ADF=、DEC，、、ADF、、DEC（2）、四边形ABCD是平行四边形，、CD=AB=8．由（1）知、ADF、、DEC，、AD AF DE CD=，、AD CDDE12AF⋅===在Rt、ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在菱形ABCD中，60C︒∠=，4AB=,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若DAG FEG∠=∠,、求证：、AGE∽、DGF；、求DF的长.【答案】（1）DE=（2）、详见解析；、1.【解析】【分析】（1）只要证明DE 是等边、DBC 的高即可解决问题；（2）、由、AGD、、EGF ，可得AG DG EG FG=，即可推出AG EG DG FG =又、AGE=、DGF ，即可推出、AGE、、DGF ； 、根据相似求出EF,再根据勾股定理求出FH 的长，再求出CF 即可解决问题.【详解】解：（1）连结BD4604122∵四边形是菱形，∵△是等边三角形∵点是边的中点ABCD CB CD AB C CDB DB DC BC E BC BE EC BC DE BCDE ︒∴===∠=∴∴===∴===∴⊥∴==（2）、DAG FEG AGD EGFAGD EGFAG DG EG FG AG EG DG FGAGE DGFAGE DGF∠=∠∠=∠∴∴=∴=∠=∠∴∵，△∽△又∵△∽△ 、,9030,901222131∵△∽△∵又∵过点作于点在△中，AGE DGF DE BCEAG GDF C AGD EGF AGE DGFGFE ADG DE EF AE E EH DC HRt ECH FH CF FH CH DF CD CF ︒︒︒⊥∴∠=∠=-∠=∠=∠∠=∠∴∠=∠==∴===⊥==∴=+=+=∴=-=【点睛】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．。
2024-2025北师大九年级数学(上)第四章图形的相似单元测试卷(含答案)
第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 4.3 相似多边形 同步测试题(无答案)
4.3 多边形相似同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 下列各组图形中一定相似的图形是（）A.底角对应相等的两个等腰梯形B.有一个角为的两个菱形C.两邻边之比相等的两个平行四边形D.两个矩形2. 如果两个相似多边形的面积比为，那么这两个相似多边形的相似比为（）A. B. C. D.3. 下列各组图形中相似的图形是（）A.对应边成比例的多边形B.四个角都对应相等的两个梯形C.有一个角相等的两个菱形D.各边对应成比例的两个平行四边形4. 下列两个图形一定相似的是（）A.两个菱形B.两个矩形C.两个正方形D.两个等腰梯形5. 已知两个相似五边形的一组对应边分别是和，如果它们的面积之差是，则较大的五边形的面积是（）A. B. C. D.6. 下列说法正确的是（）A.对应边都成正比例的多边形相似B.对应角都相等的多边形相似C.等边三角形都相似D.矩形都相似7. 如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（）D.A. B. C.8. 下列说法中，错误的是（）A.所有的等边三角形都相似B.和同一图形相似的两图形相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的矩形都相似9. 下列各组图形不一定相似的是（）A.两个等边三角形B.各有一个角是的两个等腰三角形C.两个正方形D.各有一个角是的两个等腰三角形10. 如图，矩形中，，，若矩形与矩形相似，则矩形的面积是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 如图，在矩形中，、分别是、的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则________．12. 已知一个矩形的长和宽分别为和，另一个矩形的一组邻边的长为和，若这两个矩形是相似的，则的值为________．13. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的变成了，这次复印的放缩比例是________．14. 如图所示，，分别为平行四边形的边，中点，且，则等于________．15. 下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是________．16. 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于________．17. 若两个相似多边形的对应边的比是，则这两个多边形的周长比是________．18. 如图，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形与截去的矩形相似，则所截取的线段的长度可以是________．三、解答题（本题共计8 小题，共计66分，）19. 如图，在矩形中，点、分别是、上一点，若矩形与矩形相似，且，，求的长．20. 小林在一块长为米，宽为米，一边靠墙的矩形小花园周围栽种了一种花做装饰，这种花所占的边框宽为厘米，请问边框内外缘所围成的两个矩形相似吗？21. 已知四边形与四边形相似，如图所示，求、的长和的大小．22. 将一张矩形纸片，以它的一条宽为边长剪去一个正方形，将剩下的矩形再以一条宽为边长剪去一个正方形，若第二次剪裁后所留下的矩形与原来的矩形相似，则矩形的宽与长的比值是多少？23. 如图，矩形的花坛宽米，长米．现计划在该花坛四周修筑小路，使小路四周所围成的矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽相等，试问小路的宽与的比值是多少，说出你的理由．24. （1）观察下面两组图形，图中的两个图形相似吗？为什么？图中的两个图形呢？与同伴交流．24.（2）如果两个多边形不相似，那么它们的对应角可能都相等吗？对应边可能都成比例吗？25. 如图是一个由个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．26. 学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．。
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似单元综合练习含答案
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似单元综合练习含答案1. 以下条件中，不能判定△ABC 与△A′B′C′相似的是( )A ．∠A＝45°，∠C＝26°，∠A′＝45°，∠B′＝109°B ．AB ＝2，AC ＝32，BC ＝2，A′B′＝6，A′C′＝9，B′C′＝12 C ．AB ＝1.5，AC ＝1514，∠A＝36°，A′B′＝2.1，A′C′＝1.5，∠A′＝36° D ．AB ＝2，BC ＝1，∠C＝90°，A′B′＝ 2，B′C′＝ 22，∠C′＝90° 2. a b ＝52，那么以上等式中，不一定正确的选项是( ) A ．2a ＝5b B.a 5＝b 2 C ．a ＋b ＝7 D.a ＋b b ＝723. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，假定线段DE ＝5，那么线段BC 的长为( )A ．7.5B ．10C ．15D ．204. 如图，▱ABCD 中，G 是BC 延伸线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，那么图中相似三角形共有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对5. 如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，那么CF 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46. 如图，在△ABC 中，假设DE 与BC 不平行，那么以下条件中，不能判别△ADE ∽△ABC 的是( )A ．∠ADE ＝∠CB ．∠AED ＝∠B C.AD AB ＝DE BC D.AD AC ＝AE AB7. 小刚在打网球时，为使球恰恰能过网(网高为0.9 m)，且落在对方区域离网5 m 的位置上，他击球的高度是2.25 m ，那么他应站在离网的( )A ．15 m 处B ．10 m 处C ．8 m 处D ．7.5 m 处8. 如图，D ，E 区分是△ABC 的边AB ，AC 上的一点，DE ∥BC ，AF ⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，且AD ∶AB ＝5∶12，那么AG AF的值为( ) A.125 B.512 C.712 D.759. 两个相似三角形的相似比是1∶2，其中较小三角形的周长为6 cm ，那么较大的三角形的周长为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm10. 图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )A ．点MB ．点NC ．点OD ．点P11. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩展到原来的2倍，失掉△A′B′O.假定点A 的坐标是(1，2)，那么点A′的坐标是( )A ．(2，4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)12. 在比例尺为1∶2 000的地图上测得A ，B 两地间的图上距离为5 cm ，那么A ，B 两地间的实践距离为________m.13. 如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC ＝13AC ，DE ＝4，那么EF 的值是________． 14. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 上的黄金联系点，且BE ＞CE ，AE 与BD 相交于点F ，那么BF ∶FD 的值为________．15. 如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，那么旗杆AB 的高为________m.16. △ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，且△ABC 的边AC 上的高为8，那么△DEF 的边DF 上的高为________．17. 如图，在△ABC 中，点D ，E 区分是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，且AD ＝AB ，△ADE 的周长为6 cm ，那么△ABC 的周长为________cm.18. 小华自制了一个简易的幻灯机，其任务状况如下图，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm ，那么屏幕上小树的高度是________cm.19. 如图，△OAB 与△OA ′B ′是相似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心，假定△OAB 内一点P (x ，y )与△OA ′B ′内一点P ′是一对对应点，那么点P ′的坐标是____________．20. x ∶y ∶z ＝2∶3∶4，求x ＋2y －z x －y ＋3z的值． 21. 如图，是小明设计用手电来测量古城墙高度的表示图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 动身经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，PD ＝12 m ，求古城墙的高度CD.22. 如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30 m 的中央，把手臂向前伸直，刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰恰遮住电线杆，手臂长约60 cm ，小明能求出电线杆的高度吗？假定能，请你替小明写出求解进程．参考答案：1---11 BCCDB CDBDD C12. 10013. 214. 5－1215. 916. 1617. 1818. 6019. (－2x ，－2y)20. 解：设x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，∴原式＝2k ＋6k －4k 2k －3k ＋12k ＝4k 11k ＝411. 21. 解：由题意可得△PAB∽△PCD，∴PB PD ＝AB CD ，即1.812＝1.2CD，解得CD ＝8，故古城墙的高度为8 m. 22. 解：可以求出电线杆的高度．过点A 作AN⊥EF 于N ，交BC 于M.∵BC∥EF，∴AM ⊥BC 于M ，∴△ABC ∽△AEF ，∴BC EF ＝AM AN，∵AM ＝0.6，AN ＝30，BC ＝0.18，∴EF ＝BC×AN AM ＝0.18×300.6＝9 (m )．故电线杆的高度为9米．。
第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册
第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册考生注意：本试卷共三道大题，23道小题，满分120分，时量120分钟注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
笞卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）1.在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm，该路段实际长度约为（）A．3200m B．3000m C．2400m D．2000m2.如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（）A．相似B．平移C．轴对称D．旋转3．已知＝，则下列式子中正确的是（）A．a：b＝c2：d2B．a：d＝c：bC．a：b＝（a+c）：（b+d）D．a：b＝（a﹣d）：（b﹣d）4．下列说法中，不正确的是（）A．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正八边形都相似5．以下四组线段中，成比例的是（）A．3，4，6，8B．2，3，4，5C．1，2，3，4D．5，6，7，8 6．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的周长比是（）A．2：1B．1：4C．1：D．1：27．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．D．（10，6）9．如图，在▱ABCD中，E是AB边的中点，则S△AEG：S平行四边形ABCD的值为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（）A．2﹣3B．2﹣2C．5D．3二．填空题（6小题，每题3分，共18分）11．若，则＝．12．如图，已知AC∥EF∥BD，如果AE：EB＝2：3，CD＝6，那么DF的长等于.13．如图，在▱ABCD中，AD＝16，∠ABC的平分线交AD于点F，交CD的延长线于点E，若S△EDF：S四边形FBCD＝9：55，则AB＝．14．若，则k＝．15．如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝．16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则AP＝．第II卷第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________一、选择题12345678910题号答案二、填空题11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17．已知，求的值．18．如图，AB∥CD∥EF，BF＝20．（1）若AC＝3，CE＝5，求DF的长；（2）若AC：CE＝2：3，求DF的长．19.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．20.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）若CD＝3，CE＝2，求AE的长．21.如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线，若∠ABE＝∠C，＝．（1）求证：△AEB∽△ADC．（2）求△BDE与△ABC的面积比．22.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，过点D作DK⊥BE于K，且DK＝．（1）若AE＝ED，求正方形ABCD的周长；（2）若∠EDK＝22.5°，求正方形ABCD的面积．23.如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．（1）若AE＝3，求ED的长．（2）求EF的长．24.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝8，AB＝12．求的值．25．问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．（1）当AD＝3时，＝；（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示．问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似专题练习及解析
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似专题练习注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题AB ＝1，BC ＝3，EF ＝5，则△ABC 与△DEF 的面积比是( )A. 1∶9B. 1∶25C. 9∶25D. 3∶52.如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA′=2：3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）A. 4：9B. 2：5C. 2：： 3.如果32a b = (0ab ≠），那么下列比例式中正确的是（ ）A. 32a b =B. 23b a =C. 23a b =D. 32a b = 4.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若AD =5，BD =10，AE =3，则CE 的长为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 125.在下面的图形中，相似的一组是( )A. B. C. D. 6.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是( )A. B. C. D.7.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ．如图所示，若测得BE=90m ，EC=45m ，CD=60m ，则这条河的宽AB 等于（ ）A. 120mB. 67.5mC. 40mD. 30m第II卷（非选择题）二、解答题（题型注释）在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，-2）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB 的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标．（3）判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．10.如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(点E不与点B重合)，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G.(1)求证：△ABF∽△BGC；(2)若AB＝2，G是CD的中点，求AF的长．11.如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA 的延长线于F，H，求证：(1)DG2＝BG·CG；(2)BG·CG＝GF·GH.12.如图，一圆柱形油桶，高1.5 m，用一根2 m长的木棒从桶盖小口斜插桶内，至另一端的B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2 m，求桶内油面高度．13.如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在点B和点D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，且BD=30米，测得视线AC与地面HG的交点为F，视线AE与地面HG的交点为G，且H 、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF=3米，DG=5米，求旗杆AH的高度.14.如图1，把两块全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合．把三角板ABC固定不动，让三角板DEF 绕点D旋转，两边分别与线段AB，BC相交于点P，Q，易说明△APD∽△CDQ.根据以上内容，回答下列问题：(1)如图2，将含30°角的三角板DEF(其中∠EDF＝30°)的锐角顶点D与等腰△ABC(其中∠ABC ＝120°)的底边中点O 重合，两边DF ，DE 分别与边AB ，BC 相交于点P ，Q .写出图中的相似三角形__ _ (直接填在横线上)；(2)其他条件不变，将三角板DEF 旋转至两边DF ，DE 分别与边AB 的延长线、边BC 相交于点P ，Q .上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接PQ ，△APD 与△DPQ 是否相似？请说明理由；(4)根据(1)(2)的解答过程，你能否将两三角板改为更一般的三角形，使得(1)中的结论仍然成立？若能，请说明两个三角形应满足的条件；若不能，请简要说明理由．三、填空题15.如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥B C ．如果ADDB =32，AC ＝10，那么EC ＝________．16.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝2米，BP ＝3米，PD ＝15米，那么该古城墙的高度CD 是_________米．17.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OD ，OB=3OC ），然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若 3.2CD cm ，则AB 的长为________cm ．18.在平面直角坐标系xOy 中，以原点为位似中心，线段AB 与线段A′B′是位似图形，若A（﹣1，2），B（﹣1，0），A′（﹣2，4），则B′的坐标为__．参考答案1.C【解析】1.根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可得.∵△ABC ∽△DEF ，BC ＝3，EF ＝5，∴相似比为BC EF =35，∴△ABC 与△DEF 的面积比为32：52，即△ABC 与△DEF 的面积比为9：25，故选C ．2.A【解析】2.∵四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，∴四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′， ∴2ABCD''''S OA =S 'A B C D OA ⎛⎫ ⎪⎝⎭四边形四边形 ， ∵OA ：OA′=2：3，∴ABCD ''''S 4=S 9A B C D 四边形四边形， 故选A.3.C【解析】3.∵3a=2b ， ∴23a b =或32b a =或23a b =， 所以只有选项C 是正确的，故选C.4.B【解析】4.∵DE ∥BC ，∴AD BD =AE EC ，即510=3EC， 解得：EC=6.故选：B.5.D【解析】5.根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，即可得答案．A 、两图形不是相似图形，故本选项错误；B 、六边形与五边形不可能是相似图形，故本选项错误；C 、直角梯形与等腰梯形不是相似图形，故本选项错误；D 、∵90°-40°=50°，∴两直角三角形相似，故本选项正确，故选D ．6.B【解析】6.首先求得△ABC 三边的长，然后分别求得A ，B ，C ，D 各三角形的三边的长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．已知给出的三角形的各边AB 、CB 、AC 分别为√10、√2、2，A 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为3、√5、√2，与△ABC 的三边不对应成比例，故不符合题意；B 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为√5、1、√2，与△ABC 的三边对应成比例，故符合题意；C 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为√13、2、√5，与△ABC 的三边不对应成比例，故不符合题意；D 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为2√2、1、√5，与△ABC 的三边不对应成比例，故不符合题意，故选B.7.A【解析】7.∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,∴△ABE ∽△DCE,∴AB CD =BE CE . ∵BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，∴AB =90×6045=120(m )故选A.8.（1）A 1（4，2），B 1（2，-4）； （2）A 2（0，2），B 2（-1，-1）；（3）△OA 1B 1与△O 2A 2B 2是关于点M （-4，2）为位似中心的位似图形．【解析】8.试题分析：（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案；（2）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案；（3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案．试题解析：（1）如图所示，A 1（4，2），B 1（2，-4） ．（2）如图所示，A 2（0，2），B 2（-1，-1）．（3）△OA 1B 1与△O 2A 2B 2是关于点M （-4，2），为位似中心的位似图形．9.（1）详见解析；（2）BE=32．【解析】9.（1）首先得出∠A ＝∠B ＝90°，再根据已知得到∠ADE=∠CEB ，利用两角对应相等的两个三角形相似即可得证；（2）利用相似三角形的性质得出BE 的长，进而得出答案即可．(1)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∠A ＝∠B ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝90°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠ADE ＝∠BEC ，∴△ADE ∽△BEC ；(2)∵△ADE ∽△BEC ，∴BE AD =BC AE ，∵AD ＝1，BC ＝3，AE ＝2，∴BE 1=32， ∴BE ＝32， ∴AB ＝AE ＋BE ＝72.10.（1）见解析；（2）4√55.【解析】10.（1）根据正方形的性质得出∠ABE=∠BCG=90°，进而得出∠BAE=∠CBG ，再利用相似三角形的判定证明即可；（2）根据（1）中的相似三角形，利用其性质解答即可．（1）∵在正方形ABCD 中，∴∠ABE=∠BCG=90°，∵∠BAE+∠ABF=90°，∠CBG+∠ABF=90°，∴∠BAE=∠CBG ，∴△ABF ∽△CBG ；（2）∵△ABF ∽△CBG ，∴AB AF =BG BC ，∵AB=2，G 是CD 的中点，正方形ABCD ，∴BC=2，CG=1，∴BG=√BC 2+CG 2=√5 ， ∴2AF =√52 ，解得：AF=√5=4√55 ． 11.【小题1】 证明：∵BD ⊥AC ，DG ⊥BC ，∴∠BDC =∠DGC =90∘，∠DBC +∠DCG =∠GDC +∠DCG ，∴∠GDC =∠DBC ，∴△BDG ∽△DCG ，∴BG :DG =DG :CG ，即DG 2=BG ⋅CG.【小题2】 同(1)中的方法,同理可证：△BGH ∽△FGC ，∴BG :GF =GH :CG ，∴BG ⋅CG =GF ⋅GH .【解析】11.（1）根据题意结合图形，证明△BDG∽△DCG ，列出比例式，化为等积式即可解决问题． （2）方法同（1）中的解法，证明△BGH ∽△FGC ，列出比例式，化为等积式即可解决问题． 证明：(1)∵BD ⊥AC ，DG ⊥BC ，∴∠BDC =∠DGC =90∘，∠DBC +∠DCG =∠GDC +∠DCG ，∴∠GDC =∠DBC ，∴△BDG ∽△DCG ，∴BG :DG =DG :CG ，即DG 2=BG ⋅CG.(2)同(1)中的方法,同理可证：△BGH ∽△FGC ，∴BG :GF =GH :CG ，∴BG ⋅CG =GF ⋅GH .12.油面高0.6 m.【解析】12.由于DE ∥BC ，可知△ADE ∽△ABC ，再再根据相似三角形的对应边成比例即可解答． ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC=AD AB ， 即AE 1.5=1.22，解得AE ＝0.9 m ，∴EC ＝1.5－0.9＝0.6(m)，即油面高0.6 m. 13.24m【解析】13.试题分析：首先设AH=x ，BH=y ，根据△AHF ∽△CBF ，△AHG ∽△EDG ，得出BF GB HF HG =， DG DE HG AH =，然后将各数字代入求出x 的值. 试题解析：由题意知，设AH=x ，BH=y ，△AHF ∽△CBF ，△AHG ∽△EDG ， ∴BF GB HF HG =， DG DE HG AH=， ∴3x=1.5×（y+3），5x=1.5×（y+30+5） 解得x=24m ． 答：旗杆AH 的高度为24m ．14.(1)△APD ∽△CDQ ； (2)成立，图见解析，理由见解析；(3)△APD ∽△DPQ ，理由见解析；(4)△DEF 满足∠EDF ＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可，理由见解析.【解析】14.（1）通过角的转化得出∠APD=∠CDQ ，进而可得出△APD ∽△CQD ；（2）由已知可得∠BAC ＝∠BCA ，再根据已知可推导得出∠APD ＝∠CDQ ，继而可得出△APD ∽△CQD ；（3）△APD ∽△DPQ ，理由如下：由△APD ∽△CDQ ，可得AP CD =DP DQ ，再根据点D 为AC 的中点，继而可得出AP DP =AD DQ ，再根据∠PAD ＝∠PDQ ＝30°，即可证明△APD ∽△DPQ ；（4）△DEF 满足∠EDF ＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可.(1)∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，∴∠APD=∠CDQ ，∴△APD ∽△CDQ ，故答案为：△APD ∽△CDQ ；(2)成立，如图，理由如下：∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∴∠ADP ＋∠APD ＝180°－30°＝150°，∵∠EDF ＝30°，∴∠ADP ＋∠CDQ ＝150°，∴∠APD ＝∠CDQ ，∴△APD ∽△CDQ ；(3)△APD ∽△DPQ ，理由如下：如图，∵△APD ∽△CDQ ，∴AP CD =DP DQ ，∵点D 为AC 的中点，∴CD ＝AD ，∴AP AD =DP DQ ，即AP DP =AD DQ ，又∵∠PAD ＝∠PDQ ＝30°， ∴△APD ∽△DPQ ；(4)△DEF 满足∠EDF ＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可，理由：∵∠ABC ＝180°－2α， ∴∠A ＝∠C ＝α，∵∠ADP ＋∠APD ＝180°－α，∠ADP ＋∠QDC ＝180°－α， ∴∠APD ＝∠CDQ ，又∵∠A ＝∠C ，∴△APD ∽△CDQ.15.4【解析】15.由DE ∥BC ，推出AD DB =AE EC =32 , 可得EC=25AC , 由此即可解决问题．解：∵DE ∥BC ，∴AD DB =AE EC =32， ∵AC=10，∴EC=25AC =25×10=4，故答案为4．16.10【解析】16.首先证明△ABP ∽△CDP ，可得AB BP =CD PD ，再代入相应数据可得答案． 如图，由题意可得：∠APE=∠CPE ，∴∠APB=∠CPD ，∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB BP =CD PD， ∵AB=2米，BP=3米，PD=15米，∴23=CD 15，解得：CD=10米.故答案为：10.17.9.6【解析】17.试题分析：∵OA ＝3OD ，OB ＝3CO ，∴OA ：OD ＝BO ：CO ＝3：1，∠AOB ＝∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ， ∴13AO AB OD CD ==， ∴AB ＝3CD ，∵CD ＝3.2cm ，∴AB ＝9.6cm ，故答案为9.6．18.(-2,0)【解析】18.设B ′的坐标为()x y ，，∵线段AB 与线段A′B′是位似图形，且A （﹣1，2），A′（﹣2，4）， ∴位似比k=221-=-， ∵点B 的坐标是（-1，0），∴点B′的坐标为（-2，0）.。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 期末复习元测试题(无答案)
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 期末复习基础过关单元测试题 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知a b 13＝，那么aa b＋的值为( )A.13 B.23 C.14 D.342.如图，已知直线a∥b∥c，直线m 、n 与直线ab 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3,则BF ＝( ) A.7 B.7.5 C.8 D.8.53.如图，下列条件不能判定△ADB△ABC 的是( )A.∠ABD＝∠ACBB.∠ADB＝∠ABCC.AB 2=AD ・AC D.C AD AB AB B ＝4.在如图所示的各组图形中，相似的是( )A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④5.如图，点F 是口ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( )A.B ED EA EBE ＝ B.FED DA DF C ＝C.F ED EF BC C ＝D.E DF AB EFB ＝6.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF 并延长，交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为( )A.2B.3C.4D.57.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(2，2)、B(3，1)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为( )A.(4,4)B.(3,3)C.(3,1)D.(4,1)8.如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )A.4B.42C.6D.439.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3，BC＝4.点P 为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是( )A.1B.2C.3D.410.如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l 1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D.已知l1与12的距离为1，l2与l3的距离为3，则ABBD的值为( )二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)11.如图所示的是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到达古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是____________米.12.若P为AB的黄金分割点，且AP＞PB，AB＝12cm，则AP＝__________cm.13.如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D请写出图中的两对相似三角形:__________(用相似符号连接)14.如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC和△A`B`C`是以坐标原点0为位似中心的位似图形，点B、B`的坐标分别为(3，1)，(6，2)，若点A的坐标为(52，3)，则A`的坐标为__________.15.如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线13，l6相交于点B，E，C，F.若BC＝2，则EF的长是__________.16.如图所示的是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射到桌面后在地面上形成图形的示意图，已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米，若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为__________平方米.17.在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=2m，MN＝0.8m，则木杆PQ的长度为__________.18.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝12，D为AB的中点，点E在CD上，若四边形ACEF为正方形(其中点F，G分别在AC，AB上)，则△BEC的面积为__________.三、解答题(本题共5小题，共46分)19.(8分)在图中的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)、A(-2，-1)、B(-1，-3)，△O1A1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形.(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B1的坐标.(2)以原点O为位似中心，画出与△OAB位似的△OA2B2，使它与△OAB都在位似中心的同侧且它与△OAB的位似比为2:1，并写出点B的对应点B2的坐标;(3)△OAB内部一点M的坐标为(a，b)，写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标(4)判断△OA2B2能否看作是由△O1A1B1经过某种变换得到的图形若能，请指出是怎样变换得到的(直接写出答案).20.(8分)如图，△ABC中，D为AB上一点.已知△ADC与△DBC的面积比为1:3，且AD＝3，AC＝6，请求出BD的长度，并完整地说明∠ACD＝∠B的理由。
北师大版九上数学第四章图形的相似单元检测卷(解析版).docx
第四章《图形的相似》单元测试一•选择题：（每小题3分，共36分）如果4a = 5b （“#））,那么下列比例式变形正确的是（如图,在厶ABC 中，D 、E 分别是43、AC 上的点，且DE 〃BC ，如果AD=2cr?h DB=\cm.AE=\.Scm,则 EC=()①所有等腰直角三角形都相似；②所有等边三角形都相似; ③所冇正方形都相似；④所冇菱形都相似. 其中真命题有（）6.如图在4x4的方格纸（每小方格的血积为1）上有一个格点三角形ABC （图甲），请在图 乙、图丙、图丁中画出与三角形ABC 相似（不全等）的格点三角形.班级:姓名: 得分:1. 2. 3. A- 0.9cmB. 在下列四个命题屮:\cmD. 0.2cm4. 5. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D.如图，已知AB//CD//EF,那么下列结论屮，正确的是A.如=竺B.竺=竺C.竺=匹 DF CE CE ADEF BE如图，无法保证厶ADE 与△ABC 相似的条件是（）A. Z1=ZCB. ZA=ZCC. Z2=ZBD.D.CE AD ~EF~~AFAD^AEAC^AB（第2题）（第4题）似比畤把△伽缩小，则点A 的对应点的坐标是（10・下面四组线段屮不能成比例线段的是（11.如图，在口ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O 过点O 与AD 1.的一点E 作直线OE,交84的延长线于点F.若AD=4, DC=3, AF=2,D-i 12.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，作3E 的中垂线GH,垂足为M,则GMx MH的值为（）8.9. 若厶ABCs 'DEF, 'ABC 与△DEF 旳相似比为2： A. 2：B. 4： 9C ・ V2： V3在△ABC 屮，两条屮线BE 、CD 相交于点O,3,则 S MBC ： S^DEF 为D. 3： 2则 S 辺OE : ^ACOB在平面直角坐标系中，已知点A （・4, 2）, B （-2),以原点O 为位似中心，相A. ( - 2, 1)B. (-8, 4)C.(・ 8, 4)或(8, -4)D. (-2, 1)或(2, - 1)A- 3、6、2、4 B. 4、 6、 5、 10 C. 1、忑、V6> V3D. 2晶、V15> 2忑、4则AE 的长是（）A ，I7. 如图, 3D. 1： 2（第11题）（第12题）C. 1： 3A. 4： 1B- 3： 1 C. 3： 2D- 5： 2二•填空题：（每小题3分，共12分）13•如果线段AB=\O,点C 是AB 上靠近点3的黄金分割点，则AC 的值约是 如图，在△ABC 中，DE//BC, AD ： DB=1： 2, DE=2,则 BC 的长是△ADC 相似.如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y = -x 的图象上，从左向右第3个正方形屮的一个顶点A 的坐标为（27, 9）, 阴影三角形部分的面积从左向右依次记为Si 、S2、S3 .......... S 〃，则第4个正方形的边长三•解答题：（共52分）17. （6 分）如图，£> 是 AC 上一点，DE//AB. ZB 二ZDAE.求证：/\ABC^/\DAE.14.15.如图，已知：ZACB=ZADC=90Q, AD=2, CD=2,当 AB 的长为 时，ZXACB 与16. （第15题） 是 ___ ! S3的值为20. （7分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F.已BE 2知 --- =—，S BEl ； = 3 ,求△CDF 的血积・AB 3 曲18- “分）已呻2x + 2y + z 3y-z19. (8 分) 如图，在RAABC 中, ZACB=90Q, CD 是边43上的高.（1）求证:AABC^ACBD ； (2)如果 AC = 4，BC=3, 求BD 的长.C21.（8分）如图所示，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AF丄DE于点F.(1)求证：DF・CD二AF・CE.(2)若AF=4DF, CD=12,求CE 的长.22.（8 分）如图，在△ABC 中，ZABC=90°, BC=6, D 为AC 延长线上一点，AO3CD,过点D作DH//AB,交BC的延长线于点H.（1）求的长；（2）若AB=\2，试判断ZCBD与ZA的数量关系，请说明理由.23. （9 分）如图，在Rt/XABC中，ZACB二90。
第一学期北师大版九年级上册数学第四章《图形的相似》单元测试卷
第一学期北师大版九年级上册数学第四章《图形的相似》单元测试卷一、填空题〔共10 小题，每题 3 分，共30 分〕1.△ABC∽△DEF，S△ABC:S△DEF=l:16，△ABC的周长为l5cm，那么△DEF的周长为________cm．2.在△ABC和△A′B′C′中，假设∠A=34∘，AC=5cm，AB=4cm，∠A′=34∘，A′C′=2cm，A′B′=1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是________，理由是________．3.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小失掉△DEF，假定AD=OA，那么△ABC与△DEF 的面积之比为a:b，那么4a+32b+6=________．4.如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90∘，CD为斜边AB上的高，D为垂足，△ABC∽△ACD∽△CBD，那么以上等式：①AC2=AD⋅AB；②CD2=AD⋅BD；③BC2=BD⋅AB；④AC⋅CB=BA⋅CD，其中正确的有________．〔填序号〕5.如图，△ABC中，DE // FG // BC，且S△ADE=S梯形DFGE=S梯形FBCG，DE:FG:BC=________．6.某数学兴味小组为测量学校旗杆的高度，测得1.5米的标杆影子长为1米，同一时辰旗杆的影长是6米，那么旗杆的高度为________米．7.如图，AC // EF // DB，假定AC=8，BD=12，那么EF=________．8.如图，A′，B′，C′区分是OA，OB，OC的中点，那么△ABC与△A′B′C′________相似，△ABC 与△A′B′C′________位似〔填〝一定〞或〝不一定〞〕．9.如图，请在方格图中画出一个与△ABC相似且相似比不为1的三角形〔它的顶点必需在方格图的交叉点〕________．10.将一个四边形各边都扩展2倍，这个四边形的外形________．〔填〝改动了〞或〝没有改动〞〕二、选择题〔共10 小题，每题 3 分，共30 分〕11.假定x+yx =53，那么x−y2x=()A.6B.35C.16D.不确定12.假设两个相似多边形面积的比为1:5，那么它们的相似比为〔〕A.1:25B.1:5C.1:2.5D.1:√513.假定某精细零件的图上尺寸为6cm，实践尺寸为0.5cm，那么这张图纸的比例尺为〔〕A.1:12B.12:1C.1:6D.6:114.如图，在△ABC中，D、E两点区分在AB、AC边上，DE // BC．假定DE:BC=2:3，那么S△ADE:S△ABC为〔〕A.4:9B.9:4C.2:3D.3:215.如图，l1 // l2 // l3，BC=1，DFEF=3，那么AB长为〔〕A.4B.2C.32D.2316.过△ABC的顶点B的两条直线分三角形BC边上的中线所成的比AE:EF:FD=4:3:1，那么这两条直线分AC边所成的比AG:GH:HC为〔〕A.4:5:3B.3:4:2C.2:3:1D.1:1:117.如图，矩形ABCD中，AE=BF，EF与BD相交于点G，那么图中相似三角形共有〔〕A.2对B.4对C.6对D.8对18.如图，△ABC中，DE // BC，DE=1，AD=2，DB=3，那么BC的长是〔〕A.1 2B.32C.52D.7219.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，假设矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是〔〕A.(−2, 3)B.(2, −3)C.(3, −2)或(−2, 3)D.(−2, 3)或(2, −3)20.如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE，他量得AD=2m，BD=3m，CE=9m，那么河宽DE为〔〕A.5mB.4mC.6mD.8m三、解答题〔共6 小题，每题10 分，共60 分〕21.在13×13的网格图中，△ABC和点M(1, 2)．(1)以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC缩小后的位似图形△A′B′C′；(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标；(3)假定点P(a, b)在△ABC内，那么点P的对应点P′的坐标为________．22.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′区分是它们的中线，求证：AD:A′D′=AB:A′B′．23.△ABC∽△A′B′C，顶点A、B、C区分与A′、B′、C′对应，它们的周长区分为60cm和72cm，且AB=15cm，B′C′=24cm，求BC、AC、A′B′、A′C′的长度．24.：如图，点E、F、G区分在AB、AC、AD上，且EG // BD．FG // CD．AEBE =23．四边形BCFE的面积比三角形AEF的面积大17．(1)求证：EF // BC；(2)求△ABC的面积．25.如下图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．(1)过点O作0E⊥BC于点E，衔接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G点，那么△ABC与△FGC是位似图形吗？假定是，请说出位似中心，并求出位似比；假定不是，请说明理由．(2)衔接DG交AC于点H，作HI⊥BC于I，试确定CIBC的值．26.取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A违拗时针方向旋转一个大小为α的角(0∘<α≤45∘)失掉△ABC′，如下图．试问：(1)当α为多少度时，能使得图②中AB // DC；(2)当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；(3)衔接BD，事先0∘<α≤45∘，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化状况，并给出你的证明．答案1.602.△ABC∽△A′B′C′两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似3.124.①②③④5.1:√2:√36.97.2458.一定一定9.如答图10.没有改动11-20：CDBAB BCCDB21.(2a−1, 2b−2)．22.证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∵∠B=∠B′，AD、A′D′区分是它们的中线，∵AB A′B′=BDB′D′，∵△ABD∽△A′B′D′，∵AD:A′D′=AB:A′B′．23.BC、AC、A′B′、A′C′的长度区分为：20cm，25cm，18cm，30cm．24.(1)证明：∵EG // BD，∵AE EB =AGGD，∵FG // CD，∵AF FC =AGGD，∵AE EB =AFFC，∵EF // BC；(2)解：∵EF // BC，∵△AEF∽△ABC，∵S△AEF:S△ABC=(AEAB)2，由题意设S△AEF=S，那么S四边形BCFE=S+17，且AEBE =23，∵SS+17+S =(25)2，∵S=4，∵△ABC的面积=S+17+S=25．25.解：(1)∵FG⊥BC，AB⊥BC，∵FG // AB，∵△ABC∽△FGC，△ABC与△FGC对应顶点的连线相交于一点，对应边相互平行或重合，∵△ABC与△FGC是位似图形，位似中心是点C，∵BO=OD，OE // CD，∵DC OE =BDOB=2∵CF FO =DCOE=2，∵CG CE =23，∵CG CB =13，那么△ABC与△FGC的位似比为3；(2)由(1)得，EGEC =13，FG // CD，∵FG CD =EGEC=13，∵CI CG =CHCF=34，又CGCE=23，∵CI CE =12，∵CI BC =14．26.解：(1)如图②，由题意∠CAC′=α，要使AB // DC，须∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=30∘．∵α=∠CAC′=∠BAC′−∠BAC=45∘−30∘=15∘．即α=15∘时，能使得AB // DC．(2)易得α=45∘时，可得图③，此时，假定记DC与AC′，BC′区分交于点E，F，那么共有两对相似三角形：△BFC∽△ADC，△C′FE∽△ADE．下求△BFC与△ADC的相似比：在图③中，设AB=a，那么易得AC=√2a．那么BC=(√2−1)a，BC:AC=(√2−1)a:√2a=1：(2+√2)或(2−√2)：2．注：△C′FE与△ADE的相似比为：C′F:AD=(√3−√2+1)：√2或(√6+√2−2)：2．(3)解法一：事先0∘<α≤45∘，总有△EFC′存在．∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α，∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180∘∵∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180∘又∵∠C′=45∘，∠C=30∘∵∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105∘解法二：在图②中，BD区分交AC，AC′于点M，N，由于在△AMN中，∠CAC′=α，∠AMN+∠CAC′+∠ANM=180∘，∵∠BDC+∠C+α+∠DBC′+∠C′=180∘∵∠BDC+30∘+α+∠DBC′+45∘=180∘∵∠BDC+α+∠DBC′=105∘在图③中，α=∠CAC′=45∘易得∠DBC′+∠BDC=60∘也有∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105∘综上，事先0∘<a≤45∘，总有∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105∘．。
上册第四章第13课图形的相似单元复习-北师大版九年级数学全一册课件
解：由题意可得，△DEF∽△DCA，
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5米， DC＝20米，
解得AC＝10. ∴AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米）. 答：旗杆的高度为11.5米．
15. 如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯 光下，小明在点D处的影长DE=3米，沿BD方向 走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米， 如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高 度.
cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的 （2，2） D.
如图，在△ABC中，DE∥BC，
DE=4，则BC的长是（ ）
第13课 图形的相似单元复习
端点时，就停止运动. 设运动时间为t s. 如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在点D处的影长DE=3米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长
10. 在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，
-2），以原点O为位似中心，相似比为
，把
△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ D ）
A. （-2，1）
B. （-8，4）
C. （-8，4）或（8，-4）
D. （-2，1）或（2，-1）
11. 在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD=4，CD=9， 则AD= 6 .
CB向点B方向运动，如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.
向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向 第13课 图形的相似单元复习
已知△ABC∽△A′B′C′，且
则S△ABC：S△A′B′C′为（ ）
如图，在△ABC中，DE∥BC，
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似练习题
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似练习题选择题已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题解析：A、两边都除以2y，得，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选A．选择题如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A. 2：3B.C. 4：9D. 8：27【答案】C【解析】试题分析：两个相似三角形面积的比是=4：9．故选C．选择题下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．解：根据勾股定理,AB=,BC=，所以,夹直角的两边的比为，计算各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似。
故选：B.选择题如图，在△ABC中，DE∥BC，，BC=12，则DE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B．【解析】试题分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵BC=12，∴DE=BC=4．故选B．选择题如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是16：25，则OB′：OB为（）A. 2：3B. 3：2C. 4：5D. 4：9【答案】A【解析】根据位似变换的概念得到△A′B′C′∽△ABC，根据相似三角形的性质计算．∵△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，∴△A′B′C′∽△ABC，∵△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是16：25，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为4：5，即OB′：OB=4：5，故选C．选择题如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）A．P1 B．P2 C．P3 D．P4【答案】C．【解析】试题∵∠BAC=∠PED=90°，，∴当=时，△ABC ∽△EPD时．∵DE=4，∴EP=6．∴点P落在P3处．故选C．填空题已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若，AD=10，则AO=_____．【答案】4【解析】∵AB∥CD，解得，AO=4，故答案是：4．填空题如图，在中，，分别为边、AC上的点，，,点为边上一点，添加一个条件:___________，可以使得与相似.（只需写出一个）【答案】∠A=∠BDF答案不唯一【解析】因为，, ，所以,欲使与相似，只需要与相似即可，则可以添加的条件有：∠A=∠BDF，或者∠C=∠BDF,等等，答案不唯一.填空题如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是______米．【答案】18．【解析】试题解析：∵BE⊥AC，CD⊥AC，∴△ABE∽△ACD，解得：故答案为：18.填空题如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，，则=_____．【答案】【解析】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴，∴．故答案为：．解答题如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.求证：△ABC∽△AED.【答案】见解析【解析】根据：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似.可证明三角形相似.证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40，∴＝＝1.2，＝＝1.2，∴＝.又∵∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.解答题如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）画出△ABC关于x对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，28．【解析】试题分析：（1）画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题；（2）连接OB延长OB到B2，使得OB=BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形；试题解析：解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形；（2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形．如图，分别过点A2、C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E、F，∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，∴A2（﹣2，4），B2（4，2），C2（8，10），∴=8×10﹣×6×2﹣×4×8﹣×6×10=28．解答题如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F 为BE上一点，且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5，AB＝8，AE∶AD＝4∶5，求AF的长．【答案】（1）见解析；（2）2.【解析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；（2）由勾股定理求出BE，由AE∶AD＝4∶5，求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC.(2)∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE＝90°.∵AD＝5，AE∶AD＝4∶5，∴AE＝AD×＝5×＝4，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE＝＝＝4.在▱ABCD中，BC＝AD＝5.由(1)得△ABF∽△BEC，∴＝，即＝，∴AF＝2.。
2021-2022学年北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似 》单元复习卷 (附答案)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元复习卷姓名考号一．选择题1．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD•AB；⑤其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．3．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE＝1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：5．如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A．只有一个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形MBON和四边形MODN 都是菱形C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D．MO∥BC且BM＝CO 7．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm8．小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O，准星A，目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA＝0.2米，OB＝40米，AA′＝0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（）A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米9．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，BD＝2，则△ADE与四边形DBCE的面积比是（）A．3：2 B．3：5 C．9：16 D．9：410．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AB，那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．11．如图，小东用长3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．12m B．10m C．8m D．7m12．如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张二．填空题13．已知：＝＝（b+d≠0），则＝．14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD＝8，DB＝6，CE＝9，那么AE＝．15．如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠C；②DE＝CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF其中正确的结论是．16．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．三．解答题17．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，请用尺规作图法，在边AC上求作一点E，使△ABD∽△ADE．（保留作图痕迹，不写作法）18．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E为AC三分之一处，即AE＝AC，DE的延长线交AB于F，求证：AF＝FB．19．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长；（3）在（1）（2）的条件下，若AD＝3，求BF的长．20．已知：如图，AE2＝AD•AB，且∠ABE＝∠ACB．试说明：（1）△ADE∽△AEB；（2）DE∥BC；（3）△BCE∽△EBD．21．如图，在△ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在AB、AC上，AH 是BC边上的高，AH与GF相交于K，已知S△AGF：S△ABC＝9：64，EF＝10，求AH的长．22．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC，AC且BD＝CE，AD、BE相交于点M．求证：（1）△AME∽△BAE；（2）BD2＝AD•DM．23．已知：如图，△ABC中，D为AC上一点，CD＝2DA，∠BAC＝45°，∠BDC＝60°，CE ⊥BD，垂足为E，连接AE．（1）求证：DE＝DA；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对，并证明；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△AEB的面积之比．24．数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度EF．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树影子末端重合于点H，测得DH＝1米．随后，组员在直线DF 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线FD后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2米．如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度EF．25．真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ，于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在C处放置一平面镜，她从点C沿QC后退，当退行1.8米到B处时，恰好在镜子中看到塔顶P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB 为1.5米；然后，晓静在F处竖立了一根高1.6米的标杆EF，发现地面上的点M、标杆顶点E和塔顶P在一条直线上，此时测得FM为2.4米，CF为11.7米，已知PQ⊥QM，AB ⊥QM，EF⊥QM，点Q、C、B、F、M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度PQ．26．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD ⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD．27．如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．（1）求证：△ADE≌△BFA；（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．28．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边BC、AC、AB的中点，G点在边AB上，△BDG 与四边形ACDG的周长相等，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．（1）求线段BG的长．（2）求证：DG平分∠EDF．（3）连接CG，如图，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．29．如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1）、C（2，1）．（1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB'C'，放大后点B、C两点的对应点分别为B'、C'，画出△OB'C'，并写出点B'、C'的坐标；（2）在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M'的坐标．30．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？参考答案一．选择题1．【解答】解：有三个．①∠B＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；⑤中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确；故选：B．2．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，故A错误，B正确；∴，故C错误；∴，故D错误；故选：B．3．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，∴DE＝1，DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB＝1：2，∴△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．故选：D．4．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．故选B．5．【解答】解：∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或．∴x的值可以有2个．故选：B．6．【解答】解：∵∠BAD不一定等于120°，∴△AOM和△AON不一定都是等边三角形，A错误；∵BM不一定等于BO，∴四边形MBON和四边形MODN不一定都是菱形，B错误；∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝OC，又AM＝MB，∴OM∥BC，OM＝BC，同理，ON∥CD，ON＝CD，∴四边形AMON与四边形ABCD是以A为位似中心的位似图形，C正确；MO∥BC，但BM不一定等于CO，D错误；故选：C．7．【解答】解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20＝20：x，解得x＝12.36cm．方法2：书的宽为20×0.618＝12.36cm．故选：A．8．【解答】解：∵AA′∥BB′∴OA：OB＝AA′：BB′∴解得：BB′＝0.3米．故选：B．9．【解答】解：∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD+BD＝5，∵D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴△ADE与四边形DBCE的面积之比是：，故选：C．10．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵DF∥AB，∴＝，∴＝，所以A选项正确，B选项错误；∵DE∥BC，∴＝，所以C选项错误；∵DF∥AB，∴＝，∴+＝1，所以D选项错误．故选：A．11．【解答】解：因为BE∥CD，所以△AEB∽△ADC，于是＝，即＝，解得：CD＝12．旗杆的高为12m．故选：A．12．【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，则，解得x＝3，所以另一段长为18﹣3＝15，因为15÷3＝5，所以是第5张．故选：B．二．填空题13．【解答】解：设a为2m，c＝2n，则b＝5m，d＝5n．∴＝＝＝，故答案为．14．【解答】解：∵DE∥BC∴∵AD＝8，DB＝6，CE＝9∴AE＝＝＝12．15．【解答】解：在△ABC与△AEF中∵AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E∴△AEF≌△ABC，∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠C；由∠B＝∠E，∠ADE＝∠FDB，可知：△ADE∽△FDB；∵∠EAF＝∠BAC，∴∠EAD＝∠CAF，由△ADE∽△FDB可得∠EAD＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAF．综上可知：①③④正确．16．【解答】解：过M作BC平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M作AB平行线交AC、BC于I、G，∵△1、△2的面积比为4：9，△1、△3的面积比为4：49，∴它们边长比为2：3：7，又∵四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，∴DM＝BG，EM＝CH，设DM为2x，∴BC＝（BG+GH+CH）＝12x，∴BC：DM＝6：1，S△ABC：S△FDM＝36：1，∴S△ABC＝4×36＝144．故答案为：144．三．解答题17．【解答】解：如图，点E即为所求．18．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△AEF∽△CED，∴＝，∵AE＝AC，∴CE＝2AE，∴＝，∵AF+BF＝AB，∴AF＝FB．19．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠C+∠ADE＝180°，∵∠BFE＝∠C，∴∠BFE+∠ADE＝180°，∵∠BFE+∠AFB＝180°，∴∠AFB＝∠ADE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∴△ABF∽△EAD；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵BE⊥DC，∴BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，∵AB＝4，∠BAE＝30°，∴cos∠BAE＝cos30°＝，∴AE＝＝＝；（3）∵△ABF∽△EAD，∴，∴，∴BF＝．20．【解答】证明：（1）∵AE2＝AD•AB，∴AD：AE＝AE：AB，∵∠A是公共角，∴△ADE∽△AEB；（2）∵△ADE∽△AEB，∴∠AED＝∠ABE，∵∠ABE＝∠ACB，∴∠AEB＝∠ACB，∴DE∥BC；（3）∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∵∠ABE＝∠ACB，∴△BCE∽△EBD．21．【解答】解：设AH＝x，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝x﹣10，∵四边形DEFG为矩形，∴GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴＝（）2＝，解得＝（舍去负值），即＝，解得x＝16．故AH＝16．22．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠EAM＝∠CAB﹣∠BAD＝60°﹣∠BAD，∠EBA＝∠ABC﹣∠CBE＝60°﹣∠CBE，∴∠EAM ＝∠EBA，∵∠AEM＝∠BEA，∴△AME∽△BAE；（2）∵∠BAD＝∠CBE，即∠BAD＝∠MBD，∠BDA＝∠MDB，∴△BDA∽△MDB，∴，∴BD2＝DA•DM．23．【解答】（1）证明：∵∠BDC＝60°，CE⊥BD，∴∠DCE＝30°，∴CD＝2DE（1分）∵CD＝2DA，∴DE＝DA．（2分）（2）有，△ACE∽△AED（或△ABC∽△BDC）证明：∵DE＝DA，∠BDC＝60°，∴∠DEA＝∠DAE＝30°，∠ADE＝120°∵∠CEA＝∠CED+∠AED＝120°∴∠DCE＝∠DEA＝30°，∠CEA＝∠ADE＝120°∴△ACE∽△AED．（4分）注：△ABC∽△BDC的证明正确同样给（2分）．此问不设（1分）点．（3）解：过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F．∴∠AFD＝∠CED＝90°，又∵∠CDE＝∠ADF，∴△CED∽△AFD，∴＝＝＝2，（5分）∴＝＝＝2：1．（6分）24．【解答】解：设广告牌的高度EF为xm，依题意知：DB＝11m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.6m．∴GD＝DB﹣BG＝9m，∵CD⊥BF，EF⊥BF，∴CD∥EF．∴△EFH∽△CDH．∴＝，即＝．∴＝．∴DF＝x﹣1．由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB．∵AB⊥BF，∴∠ABG＝90°＝∠EFG．∴△EFG∽△ABG．∴＝，即＝．∴＝．∴x＝12.8．故树的高度EF为12.8m．25．【解答】解：∵∠PQC＝∠ABC＝90°，∠PCQ＝∠ACB，∴△PCQ∽△ACB，∴，∴，∴QC＝1.2PQ，∵∠PQF＝∠EFM＝90°，∠PMQ＝∠EMF，∴△PMQ∽△EMF，∴，∴，即，∴PQ＝47，答：真身宝塔的高度PQ为47米．26．【解答】解：∵光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，∴∠APB ＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴，∴，∴CD＝8，∴该古城墙的高度CD为8米．27．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∴∠DAE+∠FAB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠FAB＝90°，∴∠DAE＝∠FBA，在△ADE和△BFA中，∴△ADE≌△BFA（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，∴∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠EBA＝x°，当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，∴x+x+x＝180，解得：x＝60，即∠DEA＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，∵AE＝AB，∴＝＝＝；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，即，解得：x＝90°，即∠CEB＝90°，此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；所以＝．28．【解答】（1）解：∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，∴BD+BG+DG＝AC+CD+DG+AG，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴BG＝AC+AG，∵BG+（AC+AG）＝AB+AC，∴BG＝（AB+AC）＝（b+c）；（2）证明：∵点D、F分别是BC、AB的中点，∴DF＝AC＝b，BF＝AB＝c，又∵FG＝BG﹣BF＝（b+c）﹣c＝b，∴DF＝FG，∴∠FDG＝∠FGD，∵点D、E分别是BC、AC的中点，∴DE∥AB，∴∠EDG＝∠FGD，∴∠FDG＝∠EDG，即DG平分∠EDF；（3）证明：∵△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD＝∠DGF（公共角），∴∠B＝∠FDG，由（2）得：∠FGD＝∠FDG，∴∠FGD＝∠B，∴DG＝BD，∵BD＝CD，∴DG＝BD＝CD，∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，∴∠BGC＝90°，即BG⊥CG．29．【解答】解：（1）如图，△OB′C′即为所求．B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）．（2）M′（﹣2x，﹣2y）．30．【解答】解：（1）当∠AEF＝∠BFC时，要使△AEF∽△BFC，需＝，即＝，解得AF＝1或3；当∠AEF＝∠BCF时，要使△AEF∽△BCF，需＝，即＝，解得AF＝1；综上所述AF＝1或3．（2）延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连接CE′，交AB于点F1；连接CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．（3）当1＜m＜4且m≠3时，有3个；当m＝3时，有2个；当m＝4时，有2个；当m＞4时，有1个．。
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北师大版九年级上第四章相似图形单元复习题一、选择题1．如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD ＝1∶3，则BE ∶EC ＝( ) A ．12B ．13C ．23D ．142．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.8米的小明同学沿着旗杆在地面的影子AB 由A 向B 走去，当她走到点C 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC ＝2m ， BC ＝8m ，则旗杆的高度是( )A ．6.4mB ．7mC ．8mD ．9m3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，E 、F 、G 、H 分别为矩形边上的点，HF 过矩形的中心O ，且HF ＝A D ．E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，则四边形EFGH 的周长为（ ） A．B．C．D．4．若a b ＝23，则下列变形错误的是（ ） A ．a 2＝b 3B ．3b ＝2aC ．3a ＝2bD ．2a ＝3b5．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE ⊥AB ，AF ＝2AE ，FC 交BD 于O ，交AB 于M ，下列说法①AF ＝BD ；②∠DOC ＝60°；③34EFM M S S △△BC ；④AF 2＝OD •FM ．正确的有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．46．已知矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AD 的中点．将ABE 沿AE 折叠至△A ′BE ，延长BA 与CD 交于P ，下列结论成立的是（ ） A ．∠BEP ＞90° B ．BP ＝6.5C ．DP ＝CPD ．CP ＝747．将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）A ．2∶1B ∶1C ．3∶1D ∶18．如图，点P 是△ABC 边AB 上一点（AB ＞AC ），下列条件不一定能使△ACP ∽△ABC 的是（ ）A ．AC AB ＝AP AC B ．PC BC ＝ACAB C ．∠ACP ＝∠B D ．∠APC ＝∠ACB9．如图有一块直角边AB ＝4cm ，BC ＝3cm 的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）A ．67B ．3037C ．127D ．6037二、填空题10．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边AD 上的点，EF ⊥BE ，交边CD 于点F ，联结CE 、BF ，如果tan∠ABE ＝34，那么CE ∶BF ＝_____．11．已知a ＋2b 2a －b ＝95，则ab ＝______.12．如图，在□ABCD 中，M 为BC 中点，AN ＝3NN ，BN 的延长线交AC 于点E ，交CD 于点F ，若△ABE 的周长为6，则△CFE 的周长为________．13．如图，点P 是△ABC 中AB 边上的一点，请你添加一个条件使△ACP ∽△ABC ：__________. 14．如果两个相似三角形的面积比是49，那么它们的周长比是______．15．如图， P 是矩形ABCD 的边BC 上一点，AB ＝1，BC ＝m ，BP PC ＝32．连结AP ，将点B 作直线AP 的对称点G ，使点G 落在矩形ABCD 的边上，则m 的值为___．16．如图，在平面直角坐标系中A(3，0)，B(0，4)，AB＝5，P 是线段AB 上的一个动点，则OP 的最小值是______．17．如图，AD是中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若AFAD＝12，则AEAC值是______．18．如图，在矩形ABCD中，AC是矩形ABCD的对角线，并且AC平分∠DAE，AC＝12cm，AD＝9cm，动点P从点E出发，沿EA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜6），则当t＝_____时，△PQA为等腰三角形．19．如图，△ABC中，D在AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝4，AB＝6，则AC＝_______．20．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝90°，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，AF与CE相交于点G，BG与AC相交于点H．下列结论：①△ACF≌△CDE；②CG2＝GH·BG；③若DF＝2CF，则CE＝7FG；④S四边形ABCG＝34BG2．其中正确的结论有_______．（只填序号即可）三、解答题21．已知矩形ABCD和矩形CEFG中，AB＝6，BC＝8，CE＝4，EF＝3．（1）当点E在CD上时，如图1，求AFBE的值；（2）当矩形CEFG绕点C旋转至图2时，求AFBE的值；（3）当矩形CEFG绕点C旋转至A，E，F三点共线时，直接写出BE的长．22．如图（1），在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，过点B 作直线DE 的垂线段BM 垂足为M ．点F 是直线ED 上一动点，作Rt △BFG 使∠BFG ＝90°，∠FGB ＝30°，连接G D ． （1）观察猜想：如图（2），当点F 与点D 重合时，则GDFM 的值为 ．（2）问题探究：如图（1），当点F 与点D 不重合时，请求出GD FM 的值及两直线GD 、ED 夹角锐角的度数，并说明理由（3）问题解决：如图（3），当点F 、G 、A 在同一直线上时，请直接写出BG F A 的值．23．如图，在ABC 中AB ＝AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点）， 连结AE ，作∠AED ＝∠B ，交线段AB 于点D ． （1）求证：BDE CEA △∽△（2）设BE ＝x ，AD ＝y ，请写y 与x 之间的函数关系式，并求y 的最小值（3）E 点在运动的过程中，ADE 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由24．如图，在□ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．25．如图，已知：某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢房子，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9米，留在墙上的影长CD为2米，求旗杆的高度．26．矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝6cm设运动时间为t (单位：s) ．（1）如图，若动点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，中间的图是点P运动时，△AC的面积S (cm2)随时间t (秒)变化的函数图像．①点P的运动速度是cm/s，m＋n＝②若PC＝2PB，求t的值；（2）如图，若点P、Q、R分别从点A、B、C三点同时出发，一沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点Q到达点C (即点Q与点C重合)时，三个点随之停止运动；若点P运动速度与（1）中相同，且点P、Q、R的运动速度的比为2∶4∶3，是否存在t，使△PBQ与△QCR相似，若存在，求出所有的t的值；若不存在，请说明理由，27．如图1，在□ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ∶AD ＝7∶8，E 为CD 边上一点，CE ＝4，连接AE ，BE ，且AE ＝A B ．（1）求证：EB 平分∠AEC ；（2）当CE ∶ED ＝2∶5时，在AD 上找一点P ，使PB ＋PE 的和最小，并求出最小值； （3）如图2，过点E 作EF ⊥BE 交AD 于点F ，求DFDE 的值．28．（1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ，求证：DP BQ ＝EPCQ ；（2）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．①如图2，若AB ＝AC ＝1，直接写出MN 的长； ②如图3，求证MN 2＝DM ·EN ．29．如下图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求EFEG的值．30．如图，正方形ABCD P是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．（1）求证：△BEP∽△CPF；（2）当∠P AB＝30°时，求△PEF的面积．31．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C 、F 、G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ． （1）求证：△MFC ∽△MCA ；（2）求CFBE 的值，（3）若DM ＝1，CM ＝2，求正方形AEFG 的边长．32．在△ABC 中，AE ⊥CD 且AE ＝CD ，∠CAE ＋2∠BAE ＝90°．（1）如图1，若△ACE 为等边三角形，CD ＝23，求AB 的长； （2）如图2，作EG ⊥AB ，求证：AD ＝2BE ；（3）如图3，作EG ⊥AB ，当点D 与点G 重合时，连接BF ，请直接写出BF 与EC 之间的数量关系．。