绝对值的性质及化简(1).讲义学生版
人教版七年级数学上册 讲义 第5节 绝对值化简 (PDF版 无答案)
模块四 零点分段法
知识精讲
零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．
典型例题
【例 12】阅读下列材料并解决相关问题：
xx 0
我们知道
x
0
x
0
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如
x x 0
化简代数式 x 1 x 2 时，可令 x 1 0 和 x 2 0 ，分别求得 x 1，x 2 （称 1，2 分
A.10 B.-10 C.10 或-10 D.-3 或-7 （3）若 x 1 x 1 0 ，则 x 的取值范围是
能力提升
【例3】 （1）如果有理数 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求 a b b 1 a c 1 c 的值．
a b 0c 1
（2）如果 0 m 10 并且 m x 10 ，化简 x m x 10 x m 10 ．
巅峰冲刺
【例 8】有理数 a ， b ， c ， d 满足 abcd 1，求 a b c d 的值．
abcd
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
abcd
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模块三 绝对值非负性
知识精讲
非负性：若有几个非负数的和为 0 ，那么这几个非负数均为 0 绝对值的非负性：若 a b c 0 ，则必有 a 0 ， b 0 ， c 0
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【巩固】（1）若 xyz<0，则 x y z xyz 的值为（ ） x y z xyz
A.0
B.-4
C.4
（2）若 ab>0,则 a b ab 的值是（ ） a b ab
人教版七年级上册数学《绝对值》专题讲义(含答案)
绝对值1． 掌握绝对值的概念与化简 2． 绝对值的几何意义3． 分类讨论思想在绝对值中的应用模块一 绝对值的意义及其化简1. 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作a2. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3. 绝对值的性质：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩4. 绝对值其他的重要性质：①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥且a a ≥- ②若a b =，则a b =或a b =- ③a b a b ⋅=⋅，a ab b=（0b ≠） ④222a a a ==☞绝对值的意义【例1】 在数轴上表示数a 的点到原点的距离是13，那么a = 【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】13a =±【巩固】绝对值等于2的数有 个，是 【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】2个，2±例题精讲重难点【巩固】绝对值不大于7且大于4的整数有 个，是 【难度】2星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】6个，5±、6±、7±☞绝对值化简【例2】 计算：3π-= ，若23x -=，则x = 【难度】1星 【解析】绝对值化简 【答案】3π-，5x =或1-【巩固】若220x x -+-=，则x 的取值范围是 【难度】2星 【解析】绝对值化简 【答案】2x ≤【巩固】已知：①52a b ==，，且a b <；分别求a b ，的值 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵5a =，2b =∴5a =±，2b =±∵a b < ∴5a =-，2b =±【例3】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：如图所示，得0a b <<，01c <<∴0a b +<，10b -<，0a c -<，10c ->∴原式=()(1)()(1)a b b a c c -++-+---=11a b b a c c --+-+--+=2-【巩固】已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵ 0x z <<，0xy > ∴0y <∵y z x >> ∴y z x ->>- ∴0x z +>，0y z +<，0x y -> ∴原式=()()()0x z y z x y x z y z x y +-+--=+---+=【巩固】数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，化简a b b a b a a ++-+--【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：如图，得0a <，0b >，0a b +<，0b a ->∴原式=()()2a b b a b a a a b b a b a b -++-+-+=--+-++=【例4】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+- 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解： ∵0a a +=、0c c -= ∴a a =-，c c =∵a 、b 、c 为非零实数，∴0a <，0c > ∵ab ab = ∴0ab > ∴0b < ∴0a b +<，0c b ->，0a c -<∴原式=()()()()b a b c b a c -++----=b a b c b a c b -++-+-+=【巩固】已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++-- 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵a a =- ∴0a ≤ ∵0b < ∴20a b +<，230a -<∴原式=22(2)42(2)24323a b a b a b b a -++-++++-=242222a b a b a b -+++++=42a b+模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例5】 若42a b -=-+，则_______a b +=【难度】2星【解析】绝对值的非负性【答案】解：∵42a b -=-+ ∴420a b -++=∵40a -≥，20b +≥ ∴40a -=，20b += 则4a =，2b =-【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【难度】2星【解析】绝对值的非负性 【答案】解：∵30m +≥，702n -≥，210p -≥ ∴30m +=，702n -=，210p -= 则3m =-，72n =，12p = ∴3232p n m ++=-【例6】 设a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = 【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2(2)0a b -≥，10b +≥，且2(2)|1|1a b b b -++=+∴10b +≥ ∴2(2)11a b b b -++=+ 则2(2)0a b -= ∴2a b =∵30a b +-= ∴230b b +-= 则1b =，2a = ∴2ab =【巩固】已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2()0a b +≥，50b +≥，且2()55a b b b +++=+∴50b +≥ ∴2()55a b b b +++=+ 则2()0a b += ∴a b =-∵210a b --= ∴210b b ---= ∴13b =-，13a = 则19ab =-模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例7】 阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【难度】3星 【解析】零点分段法【答案】解：⑴令20x +=，40x -=，则2x =-，4x =⑵零点为2x =-，4x =，则可分三段进行讨论：2x <-，24x -≤<，4x ≥ ①当2x <-时，则20x +<，40x -<∴2(2)2x x x +=-+=--，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x ---+=22x -+②当24x -≤<时，则20x +≥，40x -< ∴22x x +=+，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x +-+=6③当4x ≥时，则20x +>，40x -≥ ∴22x x +=+，44x x -=- ∴原式=24x x ++-=22x -综上所述，当2x <-时，24x x ++-=22x -+当24x -≤<时，24x x ++-=6 当4x ≥时，24x x ++-=22x -【巩固】化简12m m m +-+-的值 【难度】3星 【解析】零点分段法【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点为0m =，1m =，2m =则可分四段进行讨论：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥ ①当0m <时，10m -<，20m -<∴m m =-，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m --+-+=33m -+ ②当01m ≤<时，10m -<，20m -< ∴m m =，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m -+-+=3m -+ ③当12m ≤<时，10m -≥，20m -< ∴m m =，11m m -=-，22m m -=-+ ∴原式=12m m m +--+=1m + ④当2m ≥时，10m -≥，20m -≥ ∴m m =，11m m -=-，22m m -=- ∴原式=12m m m +-+-=33m -综上所述：当0m <时，12m m m +-+-=33m -+当01m ≤<时，12m m m +-+-=3m -+ 当12m ≤<时，12m m m +-+-=1m + 当2m ≥时，12m m m +-+-=33m -【巩固】化简：121x x --++.【难度】4星 【解析】零点分段法【答案】解：令10x -=，120x --=，10x +=，∴120x --=，则3x =或1x =-∴零点有1x =-，1x =，3x =∴分四段进行讨论1x <-，11x -≤<，13x ≤<，3x ≥ ①当1x <-时，则10x -<，10x +<，10x --> ∴11x x -=-+，11x x +=--，11x x --=--∴原式=121x x -+---=11x x ----=11x x ----=22x -- ②当11x -≤<时，则10x -<，10x +≥，10x --≤ ∴11x x -=-+，11x x +=+，11x x --=+∴原式=121x x -+-++=11x x --++=11x x +++=22x + ③当13x ≤<时，10x -≥，10x +>，30x -< ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-+ ∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -+++=4 ④当3x ≥时，10x ->，10x +>，30x -≥ ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -++=22x -综上所述，当1x <-时，121x x --++=22x --当11x -≤<时，121x x --++=22x + 当13x ≤<时，121x x --++=4 当3x ≥时，121x x --++=22x -模块四 绝对值的几何意义的拓展1. a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．2. a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例8】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）；⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=， 则x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++=【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：⑴x 、原点、=；⑵1；⑶x 、3、4或2；⑷x 、2-、4-或0；⑸设2-、2、x 在数轴代表的点为A 、B 、P ，如图P B A 112则2x PA +=，2x PB -=,∴224x x PA PB AB ++-=+==【例9】 已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值 【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点有0m =，1m =，2m =设0、1、2、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、P 表示,如图PC B A①当点P 在点A 左侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PA AB BC ++=33PA + ∴当0PA =时，即点P 与点A 重合时，原式取得最小值为3 ∵点P 在点A 左侧 ∴原式3>PC B A②当点P 在线段AB 上时（不包含点B ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+ ∴当0PB =时，原式取得最小值 ∵此时不包含点B ，∴原式2>P CB A③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+ ∴当0PB =时，即当点P 与点B 重合时，原式取得最小值，最小值为2PC B A④当点P 在点C 及点C 右侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PC BC AB ++=33PC + ∴当0PC =时，即点P 与点C 重合时，原式取得最小值，最小值为3 综上所述，当点P 与点B 重合时，即1m =时，原式取得最小值为2【巩固】已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值 【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令20m -=，40m -=，60m -=，80m -=则零点有2m =，4m =，6m =，8m =设2、4、6、8、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、D 、P ∴2468m m m m PA PB PC PD -+-+-+-=+++①当点P 在点A 左侧时，43241212PA PB PC PD PA AB BC CD PA +++=+++=+> ②当点P 在线段AB 上时，（不包含点B ），2288PA PB PC PD PB BC AD PB +++=++=+> ③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），8PA PB PC PD BC AD +++=+=④当点P 在线段CD 上时（不包含点D ），2288PA PB PC PD PC BC AD PC +++=++=+≥ 当点P 与点C 重合时，取等号⑤当点P 在点D 及点D 右侧时，43241212PA PB PC PD PD CD BC AB PD +++=+++=+≥ 综上所述，当点P 在线段BC 上时，即46m ≤≤时，原式取得最小值为8【例10】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？城市【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：活动中心应该建在村庄C ，使各村到活动中心的路程之和最短【巩固】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？F EDCBPA7A6A5A4A3A2A1【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：长途汽车站应该设在点D，如果在点P 又建了一个工厂，那么此时长途汽车站应该设在DE 之间1．4x-的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若42x-=，则x=．【难度】2星【解析】绝对值的几何意义【答案】x、4、2或62．化简：212x x x-++-【难度】4星【解析】零点分段法【答案】解：令10x-=，20x+=，0x=，∴零点为1x=、2x=-、0x=∴可分四段讨论：2x<-、20x-≤<、01x≤<、1x≥①当2x<-时，则10x-<，20x+<∴11x x-=-+，22x x+=--，x x=-∴原式=2(1)2()222x x x x x x-+----=-+--+=2x-②当20x-≤<时，则10x-<，20x+≥∴11x x-=-+，22x x+=+，x x=-∴原式=2(1)2()222x x x x x x-+++--=-++++=4课堂检测③当01x ≤<时，则10x -<，20x +> ∴11x x -=-+，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)2222x x x x x x -+++-=-+++-24x =-+④当1x ≥时，10x -≥，20x +> ∴11x x -=-，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)22222x x x x x x x -++-=-++-=综上所述，当2x <-时，212x x x -++-=2x -当20x -≤<时，212x x x -++-=4当01x ≤<时，212x x x -++-=24x =-+当1x ≥时，212x x x -++-=2x3． 化简124x x --+-【难度】4星【解析】零点分段法 【答案】解：令10x -=，40x -=，12x -=， ∴零点有1x =，4x =，3x =，1x =-则可以分五段来分类讨论：1x <-，11x -≤<，13x ≤<，34x ≤<，4x ≥ ①当1x <-时，10x -<，40x -<，10x --> ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=--∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x ---+=23x -+②当11x -≤<时，10x -<，40x -<，10x --≤ ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=+∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x +-+=5③当13x ≤<时，10x -≥，40x -<，30x -< ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-+∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x -+-+=27x -+④当34x ≤<时，10x ->，40x -<，30x -≥ ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x --+=1⑤当4x ≥时，10x ->，40x -≥，30x -> ∴11x x -=-，44x x -=-，33x x -=-∴原式=124x x --+-=34x x -+-=34x x -+-=27x -综上所述，当1x <-时，124x x --+-=23x -+ 当11x -≤<时，124x x --+-=5 当13x ≤<时，124x x --+-=27x -+当34x ≤<时，124x x --+-=1当4x ≥时，124x x --+-=27x -1．通过本堂课你学会了 ．2．掌握的不太好的部分 ．3．老师点评：① ．② ． ③ ．1． 化简：2121x x x -++--【难度】3星【解析】零点分段法 【答案】解：令210x -=，20x +=，10x -=， ∴零点有12x =，2x =-，1x = 则可分四段进行讨论：2x <-，122x -≤<，112x ≤<，1x ≥ ①当2x <-时，210x -<，20x +<，10x -<∴2121x x -=-+，22x x +=--，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+----+=2121x x x -+--+-=22x --②当122x -≤<时，210x -<，20x +≥，10x -< ∴2121x x -=-+，22x x +=+，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+++--+=2121x x x -++++-=2课后作业总结复习③当112x ≤<时，210x -≥，20x +>，10x -< ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=-+ ∴原式=212(1)x x x -++--+=2121x x x -+++-=4x ④当1x ≥时，210x ->，20x +>，10x -≥ ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=- ∴原式=212(1)x x x -++--=2121x x x -++-+=22x +综上所述，当2x <-时，2121x x x -++--=22x -- 当122x -≤<时，2121x x x -++--=2 当112x ≤<时，2121x x x -++--=4x 当1x ≥时，2121x x x -++--=22x +。
1 绝对值与根式(学生版)
新高一暑假数学讲义 “绝对值与根式” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲内容：去绝对值的方法，根式与分式的化简 掌握目标：复习初中的绝对值与根式的化简，补充和完善脱节的知识点，更加适应高中数学的一种节奏。
考试分析：绝对值不等式以及带绝对值函数一直是高考的重点和难点， 更加涉及到分类讨论，数形结合等重要思想方法，考试题型一般为小题。
知识梳理知识梳理1. 与绝对值有关的问题的处理方法（一） 去绝对值去绝对值得的几种方法1）从定义入手，判断绝对值内的式子是否大于0；2）在不使原式变得更为复杂的情况下，通过平方来除去绝对值3）通过不等式的性质进行讨论，例如：c x >则有c x >或c x <（二）利用绝对值的几何意义求解绝对值的几何意义绝对值往往和数轴上，点与点之间的距离密切相关（三）绝对值不等式绝对值不等式：||||||||||||b a b a b a +≤±≤-重要应用-绝对值内插值：b x x a b x x a b a -+-≤-+-=-知识梳理2. 根式与分式✧ 值得注意的方根 当n 为奇数时，a a n n =当n 为偶数时，a a n n =✧ 根式的分子（母）有理化及根式的裂项技巧。
分子（母）有理化：通过在含根式的分子（母）上乘上一个合适的含根式的式子，使分子（母）不含根号的过程。
一般地，分子（母）为a 型时，只需乘上a ±；分子（母）为b a ±型时，只需乘上b a . 有理化可将分母或分子中的根号除去，将式子变得更加简单，例如：132312321211-=-+-=+++掌握分式的化简及其裂项技巧。
例如：4341313121211431321211=-+-+-=⨯+⨯+⨯裂项公式：1）)())1((1)2()(1)(1nd a d n a d a d a d a a +⨯⋅-++++⨯+++⨯ )11(1nd a a d +-= 2）))2)(1(1)1(1(21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 3）k d k d k k -+=++14）ba ab b a 11+=+ ； a b b a ab b a +=+22例题精讲【试题来源】【题目】设d c b a <<<，求d x c x b x a x -+-+-+-的最小值【试题来源】【题目】求3321-+++-x x x 的最小值【试题来源】 【题目】求15131-+-+-x x x 的最小值 【试题来源】【题目】设T=|x -p|+|x -15|+|x -p -15|，其中0＜p ＜15.对于满足p≤x≤15的x 的来说，T 的最小值是多少【试题来源】【题目】化简：18211+【试题来源】【题目】已知实数b a ,满足153=+b a ，求ba s 32-=的取值范围【试题来源】【题目】若28181221-+=a ，求a 2+14++a a 的值【试题来源】【题目】已知a,b 为实数，且满足11122=-+-a b b a ，求a 2+b 2的值【试题来源】【题目】化简：352725213+++【试题来源】【题目】实数x 满足x x x =-+-20152014，求22014-x 的值习题演练【试题来源】2014•上海【题目】计算：﹣﹣+||．【试题来源】2010•上海【题目】方程=x 的根是 。
第3讲 绝对值的化简(学生版)
知识导航1在数轴上表示2有理数3有理数1若2当有理数3已知1如果2已知3设知识导航1已知2若1已知2先化简再求值．3若C. D.练习9A. B. C. D.或若非零有理数，，满足：，则的值为（）．四、课后故事高斯奖高斯奖由德国数学家联合会和国际数学联盟共同设立，以纪念“数学王子”高斯（Carl Friedrich Gauss,1777-1855），主要用于奖励在数学之外的应用领域，如经济、技术乃至日常生活中有深刻影响的数学家。
高斯奖设立于2002 年，并于2006 年在马德里召开的第25 届国际数学家大会上首次颁发。
高斯奖包含一笔奖金和一枚奖章；奖金目前为一万欧元，资金来源于1998 年在柏林召开的ICM 的结余。
高斯奖章正反图案均以数学中的基本元素点、线、曲线来构图。
正面勾勒出高斯的头像，并刻文“For Applications of Mathematics”（“为应用数学”）；反面为一曲线、一点和一方框组成的图以表示高斯的伟大成就之一：以最小二乘法来确定行星的轨迹。
这是应用数学的典范。
1801 年元旦，意大利天文学家皮亚齐（Giuseppe Piazzi ）发现了后来被命名为谷神星的小行星。
皮亚齐跟踪观测了40 天后由于谷神星运行至太阳背后而丢失。
科学家们开始了利用皮亚齐的观测数据来预测谷神星出现位置。
时年只有24 岁的高斯运用早在1794 年就创立的最小二乘法理论，准确地预测了谷神星的轨迹。
同年底，天文学家Zack 在很接近高斯预测的位置上重新发现了谷神星。
高斯绘谷神星的轨迹图1809 年高斯在题为《围绕太阳沿圆锥曲线轨道公转的天体的运动理论》一文中，正式发表了最小二乘法理论。
此前法国的勒让德（Adrien-Marie Legendre）也独立发现了最小二乘法原理。
不过高斯对最小二乘法的贡献确实很大。
他在1822 年证明了回归分析中最小二乘法在一定意义上是最优的。
他还利用最小二乘理论，得出了拉普拉斯等人苦思不得的误差分布——现在常称的高斯分布。
绝对值的性质绝对值的化简方法口诀绝对值符号的去掉法则
绝对值化简步骤：（1）先根据数轴“从左到右数增大”的原则比较绝对值里面字母的大小关系；（2）再根据绝对值里面字母的大小关系计算“和”或“差”为正还是为负；（3）然后根据“一个整数的绝对值等于它本身”把绝对值里面的代数式直接去掉绝对值符号移出来，根据“一个负数的绝对值等于它的相反数”把绝对值里面的代数式去掉绝对值符号再变成它的相反数移出来；（4）最后，绝对值符号全都去掉了之后，再进行加减运算（有的可能需要先去括号再运算），得到最简结果。
绝对值的有关性质：①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；②绝对值等于0的数只有一个，就是0；③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；④互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值的化简：绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。
①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│=a （a为负值，即a≤0 时）②整数就找到这两个数的相同因数；③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。
绝对值定义：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
绝对值用“||”来表示。
在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做ab 的绝对值，记作|ab|。
◎绝对值的知识扩展1、定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
2、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
3、绝对值的有关性质：（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0；（3）绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值竞赛讲义
绝对值竞赛讲义绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b ±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p ≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．。
(完整版)绝对值的性质及化简
绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a a b b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+，对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．例题精讲绝对值的性质及化简a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．一、绝对值的概念【例1】 ⑴m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； ⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ． ⑷2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．二、绝对值的性质【例2】 填空：若a b a b +=+，则a ，b 满足的关系 ．【巩固】 填空：若a b a b -=-，则a ，b 满足的关系 ．【例3】 填空：已知a 、b 是有理数，1a ≤，2b ≤，且3a b -=，则a b += ．【巩固】 若ab ab <，则下列结论正确的是 ( )A. 00a b <<，B. 00a b ><，C. 00a b <>，D. 0ab <【例4】 下列各组判断中，正确的是 ( ) A ．若a b =，则一定有a b = B ．若a b >，则一定有a b >C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-【例5】如果2a＞2b，则( )A．a b< D a＜b>B．a＞b C．a b【例6】（4级）若a b<，则下列说法正确的是（）>且a bA．a一定是正数B．a一定是负数C．b一定是正数D．b一定是负数【巩固】下列式子中正确的是( )A．a a≥-≤-D．a a>-B．a a<-C．a a【例7】对于1m-，下列结论正确的是( )A．1||≥D．1||1m m≤-----≥B．1||m mm mm m-≤C．1||1【例8】已知2332-=-，求x的取值范围x x【例9】下列说法中正确的个数是( )①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；④只有负数的绝对值等于它的相反数．A．0 B．1 C．2 D．3【例10】绝对值等于5的整数有个，绝对值小于5的整数有个【例11】绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有【例13】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-=【例14】 如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”）【例15】 如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．【例16】 已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．【例17】 已知a 、b 、c 、d 是有理数，9a b -≤，16c d -≤， 且25a b c d --+=，则b a d c ---= ．【巩固】 有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且 （1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大；（2）d a a c d c -+-=-；（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是【例18】 I f 3x ≤,1y ≤,4z ≤,and 29x y z -+=,then 246x y z = ．【例19】 如果1,11,a a a x a =+-=-那么____x a x a +--=。
专题05 绝对值与绝对值不等式 讲义-2022年暑假数学初升高衔接
2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料05 绝对值与绝对值不等式◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 绝对值的定义在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．知识链接02 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知识链接03 绝对值的几何意义一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 离原点的距离越远，绝对值越大； 离原点的距离越近，绝对值越小．知识链接04 绝对值的性质（1）除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．知识链接05 两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示：在数轴上，数a 和数b 之间的距离．知识链接06 绝对值不等式的解法（1）绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解． （2）绝对值不等式的常见类型及其解法：①||x a <（0a >）的解集为：a x a -<<； （绝对值定义法）||x a >（0a >）的解集为：x a <-或x a >；②||||x a <⇔22x a <⇔； （平方法或零点讨论法）③||||ax b cx d e +++< （零点讨论法）◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）若42a b -=-+，则_______a b +=．（2）若()2120a b ++-=，则a =________；b =__________． （3）若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋．典例剖析02 （1）已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y = ．（2）已知：abc ≠0，且M =a b ca b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M = ．（3）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，则a b c abca b c abc+++= ．典例剖析03 （1）解不等式：（ⅰ）3x <； （ⅱ）3x >； （ⅲ）2x ≤．（2）解不等式：（ⅰ）103x -<；（ⅱ）252x ->；（ⅲ）325x -≤．（3）（ⅰ）解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩；（ⅱ）解不等式1215x ≤-<．典例剖析04 （1）解不等式：4321x x ->+．（2）解不等式：215x x ++-<．典例剖析05 画出下列函数的图像：（1）1y x =-； （2）122y x x =-+-；（3）223y x x =-++； （4）232y x x =-+．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=_______．（2）如图，化简22a b b c a c +------=_____________．（3）若0a a +=，那么a 一定是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数 （4）若x x >，那么x 是____ ____数． （5）已知6a <-，化简26a ( )A. 6a -B. 6a --C. 6a +D. 6a -小试牛刀02 （1）不等式23x +<的解是________ ______；（2）不等式1211<-x 的解是______________；（3）不等式830x -≤的解是______________．小试牛刀03 解下列不等式：（1）1235x ≤-<；（2）3412x x ->+；（3）122x x x -+-<+．小试牛刀04 化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象．小试牛刀05 （1）画出23y x =+的图像； （2）画出223y x x =-++的图像．小试牛刀06 若对于某一范围内的x 的任意值，|1﹣2x |+|1﹣3x |+…+|1﹣10x |的值为定值，则这个定值为 ．小试牛刀06 已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c ＝﹣2，abc ＝﹣4．（1）求a ，b ，c 中的最小者的最大值； （2）求|a |+|b |+|c |的最小值．2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料05 绝对值与绝对值不等式◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 绝对值的定义在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．知识链接02 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知识链接03 绝对值的几何意义一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 离原点的距离越远，绝对值越大； 离原点的距离越近，绝对值越小．知识链接04 绝对值的性质（1）除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．知识链接05 两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示：在数轴上，数a 和数b 之间的距离．知识链接06 绝对值不等式的解法（1）绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解． （2）绝对值不等式的常见类型及其解法：①||x a <（0a >）的解集为：a x a -<<； （绝对值定义法）||x a >（0a >）的解集为：x a <-或x a >；②||||x a <⇔22x a <⇔； （平方法或零点讨论法）③||||ax b cx d e +++< （零点讨论法）◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）若42a b -=-+，则_______a b +=．（2）若()2120a b ++-=，则a =________；b =__________． （3）若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋．【解析】（1）424204,2a b a b a b -=-+⇒-++=⇒==-，所以2a b +=．（2）1,2a b =-=．（3）由题意，713,,22m n p =-==，所以13237922p n m m +==+-=-＋．典例剖析02 （1）已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y = ．（2）已知：abc ≠0，且M =a b ca b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M = ． （3）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，则a b c abca b c abc+++= ．【解析】（1）3或－3．（2）当a 、b 、c 都是正数时，M = 3；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M =1； 当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = -1； 当a 、b 、c 都是负数时，M = -3． 综上：M =1±或3±．（3）由于0a b c ++=，且a b c ，，是非零整数，则a b c ，，一正二负或一负二正，当a b c ，，一正二负时，不妨设000a b c ><<，，，原式11110=--+=； 当a b c ，，一负二正时，不妨设000a b c <>>，，，原式11110=-++-=． 综上：a b c abca b c abc+++0=．典例剖析03 （1）解不等式：（ⅰ）3x <； （ⅱ）3x >； （ⅲ）2x ≤．（2）解不等式：（ⅰ）103x -<；（ⅱ）252x ->；（ⅲ）325x -≤．（3）（ⅰ）解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩；（ⅱ）解不等式1215x ≤-<．【解析】（1）（ⅰ）33x -<<； （ⅱ）33x x <->或； （ⅲ）22x -≤≤．（2）（ⅰ）由题意，3103x -<-<，解得713x <<．（ⅱ）由题意，252x ->或252x -<-，解得72x >或32x <． （ⅲ）由题意，5325x -<-≤，解得14x -≤<．（3）（ⅰ）由240x --≤，得424x -≤-≤，解得26x -≤≤①，由5132x -+>，得133x +<，即3133x -<+<，解得4233x -<<②， 由①②得原不等式的解集为：4233x -<<． （ⅱ）方法一：由215x -<，解得23x -<<①，由121x ≤-得，0x ≤或1x ≥②，由①②得原不等式的解集为：2013x x -<<≤<或．方法二：12151215x x ≤-<⇔≤-<或5211x -<-≤-，解得2013x x -<<≤<或．典例剖析04 （1）解不等式：4321x x ->+．（2）解不等式：215x x ++-<．【解析】（1）法一：（零点讨论法）（ⅰ）当34x ≤时，原不等式变为：(43)21x x -->+，解得13x <，所以13x <； （ⅱ）当34x >时，原不等式变为：4321x x ->+，解得2x >，所以2x >；综上所述，原不等式的解集为123x x <>或．法二：43214321x x x x ->+⇔->+或43(21)x x -<-+，解得13x <或2x >．（2）（ⅰ）当2x <-时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，解得：23-<<-x ；（ⅱ）当12≤≤-x 时，得21(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩，解得：12≤≤-x ；（ⅲ）当1x >时，得1(1)(2)5x x x >⎧⎨-++<⎩，解得：21<<x ．综上，原不等式的解集为32x -<<．典例剖析05 画出下列函数的图像：（1）1y x =-； （2）122y x x =-+-； （3）223y x x =-++； （4）232y x x =-+．【解析】（1）①关键点是1x =，此点又称为界点；②接着是要去绝对值：当1x ≤时，1y x =-；当1x >时，1y x =-． ③图象如右图所示． （2）①关键点是1x =和2x =；②接着是要去绝对值： 当1x ≤时，53y x =-； 当12x <<时，3y x =-； 当2x ≥时，35y x =-． ③图象如右图所示． （3）①关键点是0x =；②接着是要去绝对值：当0x ≥时，223y x x =-++； 当0x <时，223y x x =--+． ③图象如右图所示． （4）①关键点是1x =和2x =；②接着是要去绝对值：当1x ≤或2x ≥时，232y x x =-+； 当12x <<时，232y x x =-+- ③图象如右图所示．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=___3____．（2）如图，化简22a b b c a c +------=______-4_______．（3）若0a a +=，那么a 一定是（ C ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数（4）若x x >，那么x 是____负____数． （5）已知6a <-，化简26a -得( B )A. 6a -B. 6a --C. 6a +D. 6a -小试牛刀02 （1）不等式23x +<的解是________ ______； 51x -<<（2）不等式1211<-x 的解是______________； 04x << （3）不等式830x -≤的解是______________．38小试牛刀03 解下列不等式：（1）1235x ≤-<； 1124x x -<≤≤<或（2）3412x x ->+； 355x x <>或（3）122x x x -+-<+．153x <<小试牛刀04 化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象． 【解析】23,21,2123,1x x y x x x --≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪+≥-⎩，图象如右．小试牛刀05 （1）画出23y x =+的图像； （2）画出223y x x =-++的图像．【解析】 （1）如图所示： （2）如图所示：小试牛刀06 若对于某一范围内的x 的任意值，|1﹣2x |+|1﹣3x |+…+|1﹣10x |的值为定值，则这个定值为 ．【解析】∵P 为定值，∴P 的表达式化简后x 的系数和为0；由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10；∴x 的取值范围是：1﹣7x ≥0且1﹣8x ≤0，即1187x ≤≤， 所以P ＝（1﹣2x ）+（1﹣3x ）+…+（1﹣7x ）﹣（1﹣8x ）﹣（1﹣9x ）﹣（1﹣10x ）＝6﹣3＝3．小试牛刀06 已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c ＝﹣2，abc ＝﹣4．（1）求a ，b ，c 中的最小者的最大值；（2）求|a |+|b |+|c |的最小值．【解析】（1）不妨设a 是a ，b ，c 中的最小者，即a ≤b ，a ≤c ，由题设知a ＜0，且b +c ＝﹣2﹣a ，4bc a=-， 于是b ，c 是一元二次方程24(2)0x a x a----=的两实根， 即24(2)40a a∆=++⋅≥，a 3+4a 2+4a +16≤0，（a 2+4）（a +4）≤0， 所以a ≤﹣4；又当a ＝﹣4，b ＝c ＝1时，满足题意．故a ，b ，c 中最小者的最大值﹣4．（2）因为abc ＜0，所以a ，b ，c 为全小于0或二正一负．①当a ，b ，c 为全小于0，则由（1）知，a ，b ，c 中的最小者不大于﹣4，这与a +b +c ＝﹣2矛盾．②若a ，b ，c 为二正一负，设a ＜0，b ＞0，c ＞0，则|a |+|b |+|c |＝﹣a +b +c ＝﹣2a ﹣2≥8﹣2＝6，当a ＝﹣4，b ＝c ＝1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a |+|b |+|c |的最小值为6．。
数与式热点问题(三)绝对值问题(学生版)
数与式热点问题（三）---绝对值问题一、知识要点：（一）绝对值的代数意义及性质：1.绝对值的代数意义：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的性质：①非负性：0a ≥②双解性：(0)ab b =≥⇒a b=±③a a =⇔0a ≥，a a =-⇔0a ≤④ab a b=⑤(0)a a b b b=≠⑥222a a a ==⑦ab a b a b -≤+≤+，左边等号当且仅当0ab ≤时取到，右边等号当且仅当0ab ≥时取到。
⑧a b a b a b -≤-≤+，左边等号当且仅当0ab ≥时取到，右边等号当且仅当0ab ≤时取到。
（二）绝对值的几何意义及基本结论：1.绝对值的几何意义①x 的几何意义：数轴上表示数x 的点与原点的距离；②x a -的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 的点之间的距离；③||||x a x b -+-的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 、b 两点的距离之和．2.基本结论：令123n a a a a ≤≤≤≤…，123||||||+||n x a x a x a x a -+-+-+-… ①当n 为奇数时，当12nx a +=时取最小值；②当n 为偶数时，当122n n a x a +≤≤时取最小值．方法：直接套用几何意义画数轴．（三）零点及零点分段法：1.零点：使绝对值为0的未知数值即为零点．2.零点分段法：①寻找所有零点，并在数轴上表示；②依据零点将数轴进行分段；③分别根据每段未知数的范围去绝对值．二、题型：（一）利用绝对值的性质进行化简1.已知223x y -=，化简21x y x y-----2.已知实数,,a b c 在数轴上对应点的位置如图所示，化简2b c c a a b -++--．3.已知一次函数(3)2y m x n =-+-（,m n 为常数）的图象如图所示，则化简21n m n m -----的结果为（）A、23n -+B、23m -+C、3m -D、1-4.化简：（1）|5||23|x x ++-（2）||1|3|x +-（二）根据绝对值的性质求值1.已知：13a -=，||5b =，且||a b b a -=-，求ab 的值．2.已知1a =，2b =，3c =，且a b c >>，则a b c -+=3.若,,a b c 为整数，且202320231a b c a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.4.如果,,a b c 是非零实数，且0a b c ++=,那么abcabca b c abc +++的所有可能值为()A.0B.1或1-C.2或2-D.0或2-5.阅读下列材料：(0)0(0)(0)x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，即当0x <时，1||x x x x ==--．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a 、b 是实数，当0ab >时，求||||a b a b +的值；（2）已知a 、b 、c 是实数，当0abc >时，求||||||a b c a b c ++的值；（3）已知a 、b 、c 是实数，0a b c ++=，0abc <，求||||||b c a c a b a b c +++++的值．6.对于一个数x ，我们用(]x 表示小于x 的最大整数，例如：(]2.62=，(]34-=-．（1）填空：(]10=．(]2022-=，17⎛⎤= ⎥⎝⎦；（2）若,a b 都是整数，且(]a 和(]b 互为相反数，求代数式()3a a b b -+⨯+的值；（3）若(](]26x x +-=，求x 的取值范围．（三）解含绝对值的方程1.解下列方程（1）213x -=（2）211x -=2.方程236x x -++=的解是（四）解绝对值不等式1.解下列不等式(1)232x -≤(2)134x x -+->．2.阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离.绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：例1：解方程4x =.容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的4x =±；例2：解方程125x x ++-=.由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的x 的值.在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的x 对应的点在2的右边或在-1的左边.若x 对应的点在2的右边，如图1可以看出3x =；同理，若x 对应点在-1的左边，可得2x =-.所以原方程的解是3x =或2x =-.图1例3：解不等式13x ->.在数轴上找出13x ->的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图2，在-2的左边或在4的右边的值就满足13x ->，所以13x ->的解为2x <-或4x >.图2参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程35x +=的解为________；（2）方程201712020x x -++=的解为________；（3）若4311x x ++-≥，求x 的取值范围.（五）求最值1.式子36m -+的值随着m 的变化而变化，当m =时，36m -+有最小值，最小值是．2.已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于()(A)1(B)5(C)8(D)33.同学们都知道，5(2)--表示5与2-之差的绝对值，实际上也可理解为5与2-两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求5(2)--=；（2）同样道理10081005x x +=-表示数轴上有理数x 所对点到1008-和1005所对的两点距离相等，则x =（3）类似的52x x ++-表示数轴上有理数x 所对点到5-和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x ，使得527x x ++-=，这样的整数是．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x ，36x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．4.阅读下面材料：如图，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可以表示为a b -．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：（1）数轴上表示4与3-的两点之间的距离是；（2）数轴上有理数x 与有理数6所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为；（3）代数式5x +可以表示数轴上有理数x 与有理数所对应的两点之间的距离：若53x +=，则x =；（4）求代数式10085041007x x x ++++-的最小值．并直接写出这时x 的值为．5.在式子1234x x x x +++++++中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是()A.1 B.2 C.3 D.46.求|1||23||34|x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．7.求111|1||2||3|234x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．8.在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化.材料一：我们知道a 的几何意义是：数轴上表示数a 的点到原点的距离；a b -的几何意义是：数轴上表示数a ，b 的两点之间的距离；a b +的几何意义是：数轴上表示数a ，b -的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解.（1）34x -=解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x 表示的点到3的距离等于4，∴7x =或1x =-（2）25x +=解：∵2(2)x x +=--，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x 表示的点到2-的距离等于5.∴3x =或7x =-材料二：如何求12x x -++的最小值.由12x x -++的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数1和2-两点的距离的和，要使和最小，则表示数x 的这点必在2-和1之间（包括这两个端点）取值.∴12x x -++的最小值是3；由此可求解方程124x x -++=，把数轴上表示x 的点记为点P ，由绝对值的几何意义知：当21x -≤≤时，12x x -++恒有最小值3，所以要使124x x -++=成立，则点P 必在2-的左边或1的右边，且到表示数2-或1的点的距离均为0.5个单位.故方程124x x -++=的解为： 2.5x =-或 1.5x =.阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：32x x -++的最小值为________；（2）已知有理数x 满足：31015x x ++-=，有理数y 使得325y y y -+++-的值最小，求x y -的值.（3）试找到符合条件的x ，使12x x x n -+-+⋅⋅⋅+-的值最小，并求出此时的最小值及x 的取值范围.9.若(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=，则23x y z ++的最大值是，最小值是.10.求|1||5|y x x =--+的最大值和最小值．11.已知759x -≤≤，求x 取何值时|1||3|x x --+取最大值与最小值．12.阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离,即x x =-，也就是说，表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为1x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程2=．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的2x =±；例2：解不等式1->．如图，在数轴上找出12-=的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1，3，则12->的解为1x <-或3x >；例3：解方程125x -++=．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或2-的左边．若x 对应点在1的右边，如图可以看出2x =；同理，若x 对应点在2-的左边，可得3x =-．故原方程的解是2x =或3x =-．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程34+=的解为______；（2）解不等式349x -++≥；（3）若34x a --+≤对任意的都成立，求a 的取值范围．。
绝对值的性质及化简(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解绝对值的基本概念。绝对值是一个数在数轴上与原点的距离，它是非负的。绝对值在数学运算中非常重要，它可以帮助我们简化问题，避免考虑正负号。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何运用绝对值的性质来化简表达式，以及它如何帮助我们解决实际问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“绝对值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.丰富教学手段，除了数轴演示，还可以利用多媒体、实物等教学资源，增强学生对绝对值的感知。
3.注重培养学生的逻辑思维能力，通过问题驱动，引导学生自主发现和总结绝对值的性质。
4.在课堂练习环节，增加一些综合性的题目，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
五、教学反思
在本次《绝对值的性质及化简》的教学过程中，我发现学生们对绝对值的概念和性质的理解程度参差不齐。有些同学能够迅速抓住绝对值的本质，但也有一些同学在理解上存在困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，因材施教。
在导入新课环节，通过提问日常生活中的实例，我发现大多数同学能够积极参与，这表明实例导入法对于激发学生的学习兴趣和好奇心是有效的。但在新课讲授环节，我发现在解释绝对值性质时，部分同学显得有些迷茫。为此，我及时调整了教学方法，通过数轴的直观演示，帮助他们更好地理解绝对值的性质。
在总结回顾环节，我发现大部分同学能够掌握绝对值的基本概念和化简方法，但仍有部分同学在应用上存在困难。这说明我在教学中需要更多地关注学生的实际运用能力，通过设置更多具有挑战性的问题，促使他们学以致用。
重难点02 绝对值的化简与绝对值方程 专项讲练(解析版)-2024小升初数学暑假衔接讲义
重难点02.绝对值的化简与绝对值方程专项讲练1.掌握绝对值的几何意义和代数意义，化简绝对值的一般步骤；2.能利用绝对值的性质解方程；3.回归数学思想，在课堂中充分渗透整体思想、分类讨论、数形结合等数学思想解决问题。
题型探究题型1、根据字母取值范围化简求值........................................................................................................2题型2、已知点在数轴上的位置化简求值.................................................................................................3题型3、绝对值化简（||x x 型）：.. (4)题型4、采用零点分段讨论化简求值........................................................................................................6题型5、含绝对值的方程（几何法与代数法）........................................................................................10题型6、含绝对值的不定方程（绝对值的几何意义求解）. (13)培优精练A 组（能力提升）.................................................................................................................................15B 组（培优拓展） (22)1.绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即a a =；②0的绝对值是0，即00=；③负数的绝对值是它的相反数，即a a -=；④绝对值具有非负性，即0≥a 。
绝对值的概念及求解讲义
课题绝对值的概念及求解授课时间2小时教学背景试用教材：人教版试用对象：新升入初一的学生，数学成绩中等水平，讲解绝对值的相关概念时通过举例发现的方式引导学生自己发现和总结规律；对于绝对值的求解则重点注意求解过程中的易错点，比如变号等。
整堂课的知识点讲解和习题以基础为主，侧重于培养学生对数学的兴趣和信心，掌握学习方法和思维。
教学目的1、理解绝对值的意义，会求某个数的绝对值；2、会根据要求把给出的负责的绝对值进行化简，了解“分类讨论”在初中数学中的应用。
教学内容观察问题1：两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A、B两处。
问：1、他们行驶的路线相同吗？2、他们行驶的路程（线段OA、OB的长度）相等吗？问题2：在数轴上找到-5、5、-、、0问：1、-5在数轴上对应的点到原点的距离为（）；5在数轴上对应的点到原点的距离为（）2、-在数轴上对应的点到原点的距离为（）；在数轴上对应的点到原点的距离为（）3、0到原点的距离是（ ）由上述两问题我们得到什么启发？在实际生活中，有时存在这样的情况，无需考虑数的正负性质，比如在计算车所跑的路程中，与车跑的方向无关，这时所走的路程只需用正数，这样就引进了一个新的概念——绝对值。
一、绝对值◆数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|，读作“a 的绝对值”。
例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3。
【注意】：1、一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离，由于距离总是正数和零，所以一个数的绝对值是正数或零，即是一个非负数，这就是绝对值的一个重要性质——非负性。
● 绝对值的意义1、几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
离原点的距离越远，绝对值越大；反之离原点距离越近，绝对值越小。
2、代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
初一数学绝对值的化简
变式训练1、已知x ＜﹣1，（1）化简22x －－；（2）化简222x －－－2、已知﹣2≤x ＜3，化简1312x x －－＋题型二、利用数形结合的方法化简绝对值根据数轴，我们可以确定未知数的取值范围和大小关系，进而可以判断相关代数式的正负性，从而根据绝对值的意义去掉绝对值的符号。
例题：（1）已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a ﹣﹣（2）已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a b a b a ﹣﹣＋＋﹣＋要点提示：1．零点的左边都是负数，右边都是正数；2．右边点表示的数总大于左边点表示的数；3．离原点远的点表示的数的绝对值较大；4．在一个数的前面添加一个负号就可以得到这个数的相反数。
变式训练：1．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a ＋＋a b ﹣2．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：b c b a ﹣﹣＋题型三、零点分段讨论法例题：化简224x x －－＋分析：本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于x －2、x ＋4的正负不能确定，由于x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论。
解：令x －2＝0得零点：x ＝2 ；令x ＋4＝0得零点：x ＝﹣4 ，把数轴上的数分为三个部分（如图）①当x ≥2时，②当﹣4≤x ＜2时，③当x ＜﹣4时，综上所述，归纳总结：虽然x －2、x ＋4的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，运用此方法的一般步骤是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）；2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定；3．在各区段内分别考察问题；4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案。
【常考压轴题】专题02 绝对值化简的三种考法(解析版)七年级数学上册压轴题攻略
专题02绝对值化简的三种考法【知识点精讲】1.绝对值的意义绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作a 2.绝对值的性质绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性a≥0，即：,00,0,0a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩互为相反数的两个数绝对值相等3.绝对值与数的大小1）正数大于0，0大于负数。
2）理解：绝对值是指距离原点的距离所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。
类型一、利用数轴化简绝对值【答案】（1）6或8．(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b -a 0；c -(2)化简：2b a c b a c----+当-2≤x ≤5时，|x +2|+|x -5|=x +2+5-x =7，当x ＜-2时，|x +2|+|x -5|=-x -2+5-x =-2x +3＞7，∴使得|x +2|+|x -5|=7的所有整数为：-2，-1，0，1，2，3，4，5，∵-2+（-1）+0+1+2+3+4+5=12，故答案为：12；【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解答．【变式训练2】综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A B 、在数轴上分别表示有理数a b AB 、，、两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A B 、两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是__________；数轴上表示3和2-的两点之间的距离是__________；独立思考：（2）数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为__________；（3）试用数轴探究：当|2|3m -=时m 的值为__________．实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：（4）利用数轴求出|1||4|x x -+-的最小值，并写出此时x 可取哪些整数值？（5）当|1||9||16|m m m ++-+-的值最小时，m 的值为__________（直接写出答案即可）．【答案】（1）65,；（2）|3|x +；（3）5或1-；（4）31234；、、、；（5）9【分析】（1）用大数减小数便可求得两点的距离；（2）根据定义用代数式表示；（3）分两种情况：m 点在2的左边；m 点在2的右边；分别列式计算便可；（4）确定x 与1的距离加上x 与4的距离之和最小时，x 的取舍范围，再在该范围内求整数；（5）|1||9||16|m m m ++-+-表示数轴上某点到表示1-、9、16三点的距离之和，依此即可求解．【详解】解：（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是：71=6-；数轴上表示3和2-的两点之间的距离是3(2)=3+2=5--，故答案为：6；5；（2）数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为|3|x +，故答案为：|3|x +；（3）|2|3m -=表示数m 的点与表示数2的点距离为3，当表示数m 的点在2的左边时，=23=1m --，当表示数m 的点在2的右边时，=2+3=5m ，所以1m =-或5，故答案为：1-或5；（4）|1|x - 表示数轴上x 和1两点之间的距离，|4|x -表示数轴上x 和4两点之间的距离，当且仅当14x 时，两距离之和最小，x \可取的整数有：1，2，3，4．（5）|+1|m 表示数轴上m 和1-两点之间的距离，|9|m -表示数轴上m 和9两点之间的距离，|16|m -表示数轴上m 和16两点之间的距离，∴当且仅当=9m 时，距离之和最小，∴当|1||9||16|m m m ++-+-的值最小时，m 的值为9．故答案为：9．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．课后训练AC=-=，则819587232显然，当点P位于A点左侧或者C点右侧时，+=当点P位于A、C之间时，PA PC(1)abc0，c＋a0，c－b0(请用“＜”，(2)化简：|a－b|－2|b＋c|＋|c－a|。
【例题讲解】利用绝对值的性质化简求值例完整版课件
再见
①寻找所有零点，并在数轴上表示；
1
2
②当x＜1时，原式＝﹣(x-1)－(x-2)=－2x＋3；
②依据零点将数轴进行分段；
x
1
2
③分别根据每段未知数的范围去绝对值符号．当1≤x＜2时， 原式＝（x－1）－（x－2）＝1；
易错点：分类不明确，不会去绝对值．
1
x
2
当x≥2时，原式＝(x-1)+(x-2)=2x－3．
1
2
x
例 a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|－|b|＋|c|－|b－a|＋|c－a|－|b－c|．
分析
b＜a＜0＜c
b a0
c
b－a＜0，c－a＞0，b－c＜0
化简求值
解答 根据数轴可得：b＜a＜0＜c，则b－a＜0，c－a＞0，b－c＜0， 所以|a|－|b|＋|c|－|b－a|＋|c－a|－|b－c| ＝－a＋b＋c＋（b－a）＋（c－a）＋（b－c） ＝－a＋b＋c＋b－a＋c－a＋b－c ＝－3a＋3b＋c 本题主要考查根据数轴提供的信息，运用绝对值的代数意义对含绝对值的式子进行化简求 值．关键点就是要确定绝对值符号内的式子的正负性．
利用绝对值的性质化简求值
绝对值的性质（有范围限定的绝对值题型）
（1）非负性：|a|≥0
（2）双解性：|a|＝b（b≥0），则a＝±b．
a （3）绝对值的代数意义：| a | 0
a
(a 0) (a 0) (a 0)
变式结论：①若|a|＝a，则a≥0； ②若|a|＝－a，则a≤0．
对应题型：绝对值的化简．
步骤： ①判断“| |”里面整体的正负性． ②根据绝对值的性质去掉“| |” ③合并整理求值
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绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.
②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.
求字母a 的绝对值：
①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；
（2）若a b =，则a b =或a b =-；
（3）ab a b =⋅；a a b b
=(0)b ≠； 例题精讲 中考要求
绝对值的性质及化简
（4）222||||a a a ==；
（5）a b a b a b -≤+≤+， 对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．
绝对值几何意义
当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．
零点分段讨论的一般步骤：
找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．
a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．
一、绝对值的概念
【例1】 ⑴m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．
x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）；
⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ；
⑶3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ．
⑷2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则
x = ．
二、绝对值的性质 【例2】 填空：若a b a b +=+，则a ，b 满足的关系 ． 【巩固】 填空：若a b a b -=-，则a ，b 满足的关系 ．
【例3】 填空：已知a 、b 是有理数，1a ≤，2b ≤，且3a b -=，则a b += ．
【巩固】 若ab ab <，则下列结论正确的是 ( )
A. 00a b <<，
B. 00a b ><，
C. 00a b <>，
D. 0ab <
【例4】 下列各组判断中，正确的是 ( )
A ．若a b =，则一定有a b =
B ．若a b >，则一定有a b >
C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()2
2a b =-
【例5】 如果2a ＞2b ，则 ( )
A ．a b >
B ．a ＞b
C ．a b <
D a ＜b
【例6】 （4级）若a b >且a b <，则下列说法正确的是（ ）
A ．a 一定是正数
B ．a 一定是负数
C ．b 一定是正数
D ．b 一定是负数
【巩固】 下列式子中正确的是 ( )
A ．a a >-
B ．a a <-
C ．a a ≤-
D ．a a ≥-
【例7】 对于1m -，下列结论正确的是 ( )
A ．1||m m -≥
B ．1||m m -≤
C ．1||1m m --≥
D ．1||1m m --≤
【例8】 已知2332x x -=-，求x 的取值范围
【例9】 下列说法中正确的个数是( )
①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；
②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；
③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；
④只有负数的绝对值等于它的相反数．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【例10】 绝对值等于5的整数有 个，绝对值小于5的整数有 个
【例11】 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？
【例12】 已知：52a b ==，，且a b <；则____________a b ==，.
【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，
共有 【例13】 已知123a b c ===，
，，且a b c >>，那么a b c +-=
【例14】 如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 点．（填“A ”“B ”“C ”
或“D ”）
【例15】 如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．
【例16】 已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．
【例17】 已知a 、b 、c 、d 是有理数，9a b -≤，16c d -≤， 且
25a b c d --+=，则b a d c ---= ．
【巩固】 有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且
（1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大；
（2）d a a c d c -+-=-；
（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是
【例18】 I f 3x ≤,1y ≤,4z ≤,and 29x y z -+=,then 246x y z = ．
【例19】 如果1,11,a a a x a =+-=-那么____x a x a +--=。
【例20】 若m 是方程|2000|2000||x x -=+的解，则|2001|m -等于（ ）．
A ． 2001m -
B ． 2001m --
C ． 2001m +
D ． 2001m -+
【例21】 已知0ab <，求22()a b b a ab a b -+-的值.
【例22】 已知a 、b 是有理数，有以下三个不等式：
① ||||a b a b +<-；② 22||||10a b a b ++++<；③ 222||2||10a b a b +--+<． 其中一定不成立的是______（填写序号）．
1. 若220x x -+-=，求x 的取值范围．
课后练习
2.有理数a与b满足a b
>，则下面哪个答案正确( )
A．a b
<D．无法确定
=C．a b
>B．a b
3.若a b c d
---+-=-．请按，，，为互不相等的有理数，且c最小，a最大，且a c b c b d a d
，，，从小到大的顺序排列．
a b c d
4.如果有理数a，b，c满足26
--=，求2
a b b d
-+-的值．
a b d
-≤，13
a b
-≤，7
b d。