勾股定理与锐角三角函数

C
B
A
试一试

(2009年泸州中考）计算：
1 1 ( ) (2009 ) 0 9 2 sin 30 2
A
已知：
tan B 3 2 sin A 3 0,
求∠A，∠B的度数。


2
提高 练习
计算:
cos300 sin 450 1. ; 0 0 sin 60 cos 45
怎样 解答
?
1 2 1 2 . 2 2 2 (2) sin2600+cos2600-tan450
2 3 1 1 2 2 2
角函数值进行 计算时,一般 不取近似值.
Sin2600表示 (sin600)2,
0.
3 1 1 4 4
小结
本节课我们主要复习了哪些知识？
1、直角三角形的有关性质 2. 锐角三角函数的定义 3. 锐角三角函数的性质 4. 特殊角的三角函数值
2.sin 2 300 2 sin 600 tan450 tan600 cos2 300 ;
3.
1 2 tan600 tan2 600 tan600.
2.在Rt△ABC中,∠C=900,∠B=600,AB=4, 求AC,BC,sinA和cosA.
2 3 2 6．(2012 中考预测题)在△ABC 中， 若|sinA－ |＋( －cosB) ＝0， 2 2 ∠A、∠B 都是锐角，则∠C 的度数是( A．70° B．90° C．105° )
∴ cos B a 5 3 。 26 c 13 3
b B a ( 图 1) C
4 4 如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD＝4，cosB＝ ， 5 则 AC＝________.
【解析】∵∠B＋∠BAD＝90° ，∠BAD＋ ∠CAD＝90° ，∴∠B AD AD ＝∠CAD.在 Rt△DAC 中，cos∠CAD＝ ，∴AC＝ ＝ AC cos∠CAD AD 4 ＝ ＝5. cosB 4 5
【答案】B
10．(2011· 苏州 )如图，在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、 AD 的中点，若 EF＝2，BC＝5，CD＝3，则 tan C 等于( 3 A. 4 4 B. 3 3 C. 5 4 D. 5 )
【解析】 如图所示， 连接 BD.由三角形中位线定理得 BD ＝2EF＝2³2＝4.又 BC＝5，CD＝3，∴CD2＋BD2＝ BC2.∴ BD 4 △BDC 是直角三角形且∠BDC＝90° .∴ tanC＝CD＝ . 3
B
2.锐角三角函数的定义 a
正弦:sin A= 余弦:cos A=
A的对边 斜边
c b A
a = c
a b
C
正切:tan A= 余切:cot A=
A的邻边 = 斜边 A的对边 = A的邻边 A的邻边 A的对边 =
b c
b a
回顾:
3.锐角三角函数的性质
(1) (2)
0＜sin A＜1，0＜cos A＜1,
D．120°
2 sin A ＝ ＝0， 2 【解析】由题意得 3－cosB＝0， 2 ∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠C＝105°.
sinA＝ 解得 cosB＝
2 ， 2 3 . 2
∴
【答案】C
3 . 2 1 计算 8－4cosα －(π －3.14)0＋tanα ＋( )－1 的值． 3 (2)如图， 在△ABC 中， ∠C＝90°， 点 D、 E 分别在 AC、 AB 上， BD 平∠ABC， 3 DE⊥AB，AE＝6，cosA＝ . 求①DE、CD 的长；②tan∠DBC 的值． 5 (1)已知 α 是锐角，且 sin(α ＋15°)＝
解法二：利用同角的三角函数的关系式。 ∵sin2B+cos2B=1
2 5 ∴ sin B 1 cos 2 B 1 ( ) 2 (sin B 0，舍负) 3 3
∴ cot B cos B sin B 2 3 2 5 。 5 5 3
2
4 若为锐角， sin cos ，求 sin cos的值。 3 分析：题目涉及到同角α的正余弦的和差，可以考虑应用关系式：
sin2α+cos2α=1解题。
解： ∵ sin cos
4 3 16 2 2 ∴两边平方，得 sin cos 2 sin ² cos 9 16 7 ∴2 sin cos 1
2 2
∵(sin cos ) sin cos 2 sin ² cos
如图，∠AOB＝30°，OP 平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥DB，如果PC＝6，
那么PD等于( )
A ．4
B ．3
C．2
D ．1
【解析】过点 P 作 PE⊥ OA 于点 E.∵OP 平分∠AOB， PD⊥ DB，∴ PE＝ PD.在 Rt△ PCE 中，∠ACP＝∠AOB＝30° ， 1 PC＝ 6，∴PD＝ PE＝ PC＝ 3. 2
A
）
A.
分析：
3 5
5 B. 2
25 C. 5
5 D. 5
3x
C
2x (图 2)
B
2 如图2，可以构造直角三角形 ABC ，∠ C 90°，利用 cos B ，可设 BC 2 x，AB 3x, 3 BC 2 x 2 5 根据勾股定理，有 AC AB2 BC2 5x，所以， cot B ，应选c. AC 5 5x
300 450 450
(5)tan450,tan600等于多少?
┌
600
┌
根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
特殊角的三角函数值表
三角函数 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 锐角α
300 450 600
特殊角的三角函数值表
三角函数 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 锐角α
特殊角三角函数值记忆口诀
三十，四五，六十度，三角函数记牢 固； 分母弦二切是三，分子要把根号添； 一二三来三二一，切值三九二十七； 递增正切和正弦，余弦函数要递减
回味无穷

由锐角的三角函数值反求锐角
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
1 2 0 0 0 3 sin A 60 45 30 ∠A= ∠ A= ∠ A= sin A sin A 2 2 2
1 7 2 9 9
92
9
注意：开平方要取正负，因为题中不能确定sinα与cosα的大小。
2 ∴ sin cos ± 3
A c
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a+c=12，b=8，求cosB。 10 解： c a 12 a a c 12 c a 12 3 列方程组 2 2 16 26 ca c a 64 (c a )(c a ) 64 c 3 10 3
解直角三角形：根据直角三角形中除直角外 的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做 解直角三角形
知识回顾
1、直角三角形的有关性质 (1) 三边之间的关系
Ａ c
Ｂ
a b Ｃ
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对 边分别为a、b、c a2＋b2＝c2 (勾股定理） (2) 锐角之间的关系 ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3) 在直角三角形中，如果一个锐角等于30º ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
锐角α 的取值范围及变化情况：
锐角α 的函数 记法 锐角α 的取值范围 三角函数的取值范围 增减性α 从 0°↗90° 锐角α 的正弦 sinα 0°<α <90° 锐角α 的余弦 cosα 锐角α 的正切 tanα 锐角α 的余切 cotα 0<sinα <1 0<cosα <1 tanα >0 cotα >0 随着角度增大而增大 随着角度增大而减小 随着角度增大而增大 随着角度增大而减小
【答案】5
小结
锐角三角函数定义:
B 斜边
sinA= 斜边
A的对边 A的邻边
A的对边 A的邻边
∠A的对边
A ┌ ∠A的邻边 C
cosA= 斜边 tanA=
直角三角形的有关性质 锐角三角函数的性质
观察一副三角板:
它们其中有几个锐角?分别是多少度? (1)sin300等于多少?
300
(2)cos300等于多少?
(3)tan300等于多少?
450
450
┌
600
┌
300角的各类三角函数值的探索
2
30°
B 1 C
1 sin30°= 2
cos30°=
3
A
3
在直角三角形 中，如果一个锐角等 于300，那么它所对 的直角边等于斜边的 一半。
2
tan30°=
3
3
如图,观察三角板:
(4)sin450,sin600等于多少? (5)cos450,cos600等于多少?
3 ＝sin60°，∴α ＋15°＝60°， 2 2 ∴α ＝45°.∴原式＝2 2－4³ －1＋1＋3＝3. 2 AE 6 3 (2)①∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.在 Rt△AED 中，cosA＝ ，即 ＝ ，∴AD AD AD 5 ＝10.根据勾股定理得 DE＝ AD2－AE2＝ 102－62＝8.又∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD 平 分∠ABC，∴DC＝DE＝8. AC 18 3 ②∵AC＝AD＋DC＝10＋8＝18，Rt△ABC 中，cosA＝ ，即 ＝ ，∴AB＝30. AB AB 5 DC 8 1 勾股定理 BC＝ AB2－AC2＝ 302－182＝24.∴Rt△BCD 中，tan∠DBC＝ ＝ ＝ . BC 24 3 【解答】(1)∵sin(α ＋15°)＝