山东省日照市一中2014届高三数学上学期第一次月考试题 理 新人教B版

山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考
数 学 试 题(理科)
注意事项：
1. 本试题共分22大题，全卷共150分。

考试时间为120分钟。

2．第I 卷必须使用2B 铅笔填涂答题纸相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。

3. 第II 卷必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效。

作图时，可用2B 铅笔，要求字体工整、笔迹清晰。

第I 卷（共60分）
一、 选择题 (本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有
一项符合题目要求.) 1．已知集合{}{}
1,1,124x A B x =-=≤<,则A B ⋂等于（ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}1
C ．{}1,1-
D ．{}0,1
2．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4) C ．(－2，－1)∪(1,2) D ．(－4，－2)∪(2,4) 3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A ．所有不能被2整除的整数都是偶数
B ．所有能被2整除的整数都不是偶数
C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数
4．设函数⎩
⎨⎧>-≤=-1,log 11
,2)(21x x x x f x
，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是( )
A ．1[-，2]
B ．[0，2]
C ．[1，+∞)
D ．[0，+∞)
5．若函数2
()()a
f x x a x
=+
∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数 C ．a ∃∈R ，()f x 是偶函数 D ．a ∃∈R ，()f x 是奇函数
6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，
[,,(0,1)]a b c ∈，已知他投篮一次得分的期望是2，则
b
a 312+的最小值为（ ） A ．
3
32 B ．
3
28 C ．
3
14 D ．
3
16 7．已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+,且(1)f x +为偶函数,则实数a 的值可以是（ ）
A ．
23
B ．2
C ．4
D ．6
8．已知函数9
()4(1)1
f x x x x =-+
>-+,当x=a 时,()f x 取得最小值,则在直角坐标系中,函数1
1()()x g x a
+=的大致图象为
9．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{y |y ＝3x
， x ∈R}，B ＝{y |y ＝－(x －1)2
＋2，x ∈R}，则A ⊕B 等于( )
A ．[0,2)
B ．(0,2]
C ．(－∞，0]∪(2，＋∞) D．(－∞，0)∪[2，＋∞)
10．已知函数2
()23f x x x =-+在区间[0,]t 上有最大值3，最小值2，则t 的取值范围是( )
A ．[1,)+∞
B ．[0,2]
C ．(,2]-∞
D ．[1,2]
11．对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※
n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn ．则在此定义下,集合
{(,)M a b a
=※12,,}b a b **
=∈∈N N 中的元素个数是( )
A ．10个
B ．15个
C ．16个
D ．18个
12．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2
，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．1个
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分,请将答案填在答题纸上)
13．已知集合A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ≤y ，
2x －y ≤1
}，集合B ＝{(x ，y )|3x ＋2y －m ＝0}，若A ∩B ≠∅，则实
数m 的最小值等于__________． 14．若(a ＋1)
1
2
-＜(3－2a)
12
-，则a 的取值范围是__________．
15．用二分法求方程x 2
＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是__________次． 16．下列结论中是真命题的是__________(填序号)．
①f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是增函数的一个充分条件是－b
2a ＜0；
②已知甲：x ＋y ≠3，乙：x ≠1或y ≠2，则甲是乙的充分不必要条件； ③数列{a n }(n ∈N *
)是等差数列的充要条件是P n ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
n ，S n n
是共线的．
三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋1≥1}，集合B ＝{x ∈R |y ＝－x 2＋x －m ＋m 2
}，若A ∪B ＝A ，求实数m 的取
值范围．
18．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝x 2
＋4ax ＋2a ＋6.
(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；
(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求f (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 19．（本小题满分12分）
已知函数)()14(log )(4R k kx x f x ∈++=为偶函数. (Ⅰ) 求k 的值;
(Ⅱ) 若方程)2(log )(4a a x f x -⋅=有且只有一个根, 求实数a 的取值范围.
20．（本小题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；
(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )
＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
21．（本小题满分12分）
已知p ：∀x ∈R,2x ＞m (x 2＋1)，q ：∃x 0∈R ，x 2
0＋2x 0－m －1＝0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．
22．（本小题满分14分） 设函数f (θ)＝3sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π.
(1)若点P 的坐标为(12，3
2
)，求f(θ)的值；
(2)若点P(x ，y)为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y≥1x≤1
y≤1，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求
函数f(θ)的最小值和最大值．
和最大值．
高三第一次月考数学参考答案一、选择题
1. B {}
124{02}x B x x x =≤<=≤<,所以{1}A B ⋂=,选B ．
2. B 由
202x
x
+>-，得f(x)的定义域为{x|－2＜x ＜2}. 故－2＜2
x ＜2，－2＜2
x ＜2.解得x ∈(－4，－1)∪(1, 4)．
3 .D 否定原题结论的同时要把量词做相应改变，故选D.
4.D
5.C 对于0a =时有()2
f x x =是一个偶函数.
6.D
7.B 因为函数(1)f x +为偶函数,所以(1)(1)f x f x -+=+,即函数()f x 关于1x =对称,
所以区间(32,1)a a -+关于1x =对称,所以
321
12
a a -++=,即2a =,所以选B ．
8 B 9941+511y x x x x =-+=+-++,因为1x >-,所以9
10,01x x +>>+,所以由均值不等式
得91+5511y x x =+-≥-=+,当且仅当911
x x +=+, 即2
(1)9x +=,所以13,2x x +==时取等号,所以2a =,所以1111()()()2
x x g x a ++==,又
1
111(),1
1()()2
22,1
x x x x g x x +++⎧≥-⎪==⎨⎪<-⎩
,所以选B. 9. C 由题可知，集合A ＝{y|y ＞0}，B ＝{y|y≤2}，所以A －B ＝{y|y ＞2}，B －A ＝{y|y≤0}，
所以A ⊕B ＝(－∞，0]∪ (2，＋∞)，故选C.
10.D11.B 12 .A 画出两个函数图象可看出交点有10个． 二、填空题
13. 5 A ∩B ≠∅说明直线与平面区域有公共点，因此问题转化为：求当x ，y 满足约束条件x≥1，
x≤y，2x －y≤1时，目标函数m ＝3x ＋2y 的最小值．在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域．可以求得在点(1,1)处，目标函数m ＝3x ＋2y 取得最小值5.
14.23
(,)32
∵函数12y x -=在定义域(0，＋∞)上递减，∴a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，
即23＜a ＜32
. 15. 7 设至少需要计算n 次，则n 满足
0.1
0.0012
n <，即2100n >，由于72128=，故要达到精确度要求至少需要计算7次．
16. ②③ ①f(x)＝ax 2
＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是增函数，则必有a ＞0，
02b
a
-≤，故①不正确．②x ＝1且y ＝2，则x ＋y ＝3. 从而逆否命题是充分不必要条件，故②正确． ③若{a n }是等差数列，则S n ＝An 2
＋Bn ，即n
S n ＝An ＋B ，故③正确． 三、解答题
17解：由题意得：A ＝{x∈R|
x-2
0x+1
≤}＝(－1,2]， B ＝{x∈R|x 2
－x ＋m －m 2
≤0}＝{x∈R|(x－m)(x －1＋m)≤ 0} 由A∪B＝A 知B ⊆A ，得－1＜m ≤2，－1＜1－m ≤2， 解得：－1＜m ＜2.
18解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝16a 2
－4(2a ＋6)＝0, ∴2a 2
－a －3＝0, ∴a ＝－1或a ＝
3
2
. (2)∵对一切x∈R 函数值均为非负，∴Δ＝8 (2a 2
－a －3)≤0, ∴－1≤a ≤3
2
，∴a ＋3＞0， ∴f(a)＝2－a|a ＋3|＝－a 2
－3a ＋2＝－2317
3(a+
)(a [-1,])224
+∈.
∵二次函数f(a)在3[-1,
]2
上单调递减，
∴3f ()2≤f(a)≤f(－1)，即－194≤f(a)≤4，∴f(a)的值域为[－194，4].
19解：（1）因为)(x f 为偶函数，所以)()(x f x f =-
即=-+-kx x
)14(log 44log (41)x
kx ++，∴kx x
x
x 2)14(log 4
14log 44=+-+ ∴0)12(=+x k ，∴1
2
k =-
(2）依题意知： ()f x =x x 2
1)14(log 4-+1244log (41)log 4x x
=+-44log (41)log 2x x =+-
∴由4()log (2)x f x a a =⋅-得4log (41)x +)2(log 4a a x -=4log 2x
+
∴⎩⎨⎧>-⋅⋅-⋅=+⇒0)2(2)2(14a a a a x
x x x ﹡
令x t 2= ，则*变为01)1(2
=++-at t a 只需其有一正根. (1）1,1-==t a 不合题意
(2）*式有一正一负根，⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>--=∆011
0)1(4212a t t a a 经验证满足02>-⋅a a x
1>∴a
(3）两相等正根，2220-±=⇒=∆a 经验证02>-⋅a a x 222--=∴a 20解：(1)由题意：当0≤x ≤20时，v(x)＝60；当20≤x ≤200时，设v(x)＝ax ＋b ，
再由已知得200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得a ＝－13，b ＝2003
. 故函数v(x)的表达式为60, 0x<20v(x)=1(200x), 20x 2003
≤⎧⎪
⎨-≤≤⎪⎩
(2)依题意并由(1)可得
60x, 0x<20f(x)=1
x(200x), 20x 2003
≤⎧⎪
⎨-≤≤⎪⎩. 当0≤x ≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200； 当20≤x ≤200时，1
f(x)=x(200x)3-≤21x+200x 10000
f(x)=()323
-=，
当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．
所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值
10000
3. 综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10000
3
≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时 ，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 21解：2x ＞m(x 2
＋1) 可化为mx 2
－2x ＋m ＜0.
若p ：∀x∈R, 2x＞m(x 2
＋1)为真， 则mx 2
－2x ＋m ＜0对任意的x∈R 恒成立．
当m ＝0时，不等式可化为－2x ＜0，显然不恒成立； 当m≠0时，有m ＜0，Δ= 4－4m 2
＜0，∴m＜－1.
若q ：∃x 0∈R，2
0x ＋2x 0－m －1＝0为真，
则方程x 2
＋2x －m －1＝0有实根， ∴Δ=4＋4(m ＋1)≥0，∴m ≥－2. 又p∧q 为真，故p 、q 均为真命题． ∴m ＜－1且m ≥－2，∴－2≤m ＜－1.
22解：(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得
，cosθ＝12.
于是
1
2
+＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC)如图所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)． 于是0≤θ≤
2
π. 又
6π)，且6π≤θ＋6π≤3
2π， 故当θ＋6π＝2π，即θ＝3π
时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2 ； 当θ＋6π＝6
π
，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.。