2018-2019学年新疆石河子二中高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

2018-2019学年新疆石河子二中高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 如果角α的终边过点(2sin60°,−2cos60°)，则sinα的值等于( )
A. 1
2
B. −1
2
C. −√32
D. −√33
2. 已知扇形的圆心角为2π
3，半径为6，则扇形的面积为( )
A. 24π
B. 2π
C. 12π
D. 4π
3. 函数y =sin 2x 是( )
A. 最小正周期为2π的偶函数
B. 最小正周期为2π的奇函数
C. 最小正周期为π的偶函数
D. 最小正周期为π的奇函数
4. 已知sin(π+α)−3cos(2π−α)=0，则cos2α的值为( )
A. 4
5
B. −4
5
C. 3
5
D. −3
5
5. 若sin2α=1
4且α∈(π4,π
2)，则cosα−sinα的值是( )
A. √32
B. 3
4
C. −√32
D. −3
4
6. 将函数y =sin2x 的图象向右平移π
6个单位长度，所得图象对应的函数( )
A. 在区间[−π12,5π
12]上单调递增 B. 在区间[5π12,
11π
12
]上单调递增
C. 在区间[−π6,π
3]上单调递增
D. 在区间[π3,5π
6]上单调递增
7. 下列函数中最小正周期是π且图象关于直线x =π
3对称的是( )
A. y =2sin(2x +π
3) B. y =2sin(2x −π
6) C. y =2sin(x
2+π
3)
D. y =2sin(2x −π
3)
8. 把函数y =sin(2x +π
6)的图象沿x 轴向右平移π
4个单位，再把所得图象上各点的纵坐
标不变，横坐标变为原来的1
2，可得函数y =g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
A. g(x)=sin(4x −π
12) B. g(x)=sin(4x −π
6) C. g(x)=sin(4x −π
3)
D. g(x)=sin(4x −2π
3)
9. 已知tan(α+π
5)=2，tan(β−
4π5
)=−3，则tan(α−β)=( )
A. 1
B. −5
7
C. 5
7
D. −1
10. 在△ABC 中，点D 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2
3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2
3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2
3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2
3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −1
3
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 11. 若
sinA a
=
cosB b
=
cosC c
，则△ABC 是( )
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 直角或等腰三角形
D. 等腰直角三角形
12. 函数f(x)=(1
3)x −|sin2x|在[0,
5π4
]上的零点个数为( )
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知角α的终边经过点(3,−4)，则sinα+cosα的值为______ ． 14. 已知向量a ⃗ =(2,m)，b ⃗ =(5,1)，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则m =______．
15. 已知向量b ⃗ 为单位向量，向量a ⃗ =(1,1)，且|a ⃗ −√2b ⃗ |=√6，则向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为
______．
16. 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面
积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从陽，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是S =√1
4[a 2c 2−(
a 2+c 2−
b 22
)2
]，其中a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边为.若sinC =
2sinAcosB ，且b 2+c 2=2，则△ABC 面积S 的最大值为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2a −c)cosB =bcosC ，
(1)求角B 的大小；
(2)若b =√7，a +c =4，求△ABC 的面积．
18.已知平面向量a⃗,b⃗ 满足：|a⃗|=4,|b⃗ |=3,(2a⃗−3b⃗ )⋅(2a⃗+b⃗ )=61．
(1)求a⃗与b⃗ 的夹角θ；
(2)求向量a⃗在向量3a⃗+2b⃗ 上的投影．
19.已知向量a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(√3cosx,cosx)，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．
(1)求函数f(x)=a⃗⋅b⃗ 的最小正周期；
(2)在△ABC中，BC=√7，sinB=3sinC，若f(A)=1，求△ABC的周长．
20.已知直线l：y=x+2，一个圆的圆心C在x轴上且该圆与y轴相切，该圆经过点
A(−1,2)．
(1)求圆C的方程；
(2)求直线l被圆截得的弦长．
21.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都
为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的
中点．
求证：(1)平面AB1F1//平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
22.已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)+2sin2ωx+φ
2
−1(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且
相邻两对称轴间的距离为π
2
．
(1)当x∈(−π
2,π
4
)时，求f(x)的单调递减区间；
(2)将函数y=f(x)的图象沿x轴方向向右平移π
6
个单位长度，再把横坐标缩短到原
来的1
2(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象．当x∈[−π
12
,π
6
]时，求函数g(x)的
值域．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：角α的终边过点(2sin60°,−2cos60°)， 即(√3,−1)，
由任意角的三角函数的定义可知：sinα=√(√
3)2+(−1)2
=−1
2．
故选：B ．
求出点的坐标，利用三角函数的定义求解即可．
本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．
2.【答案】C
【解析】解：∵一扇形的圆心角为2π
3，半径为6， ∴l =
2π3×6=4π，
∴S =1
2×4π×6=12π． 故选：C ．
利用扇形的弧长、面积公式，即可得出结论．
本题考查扇形的弧长、面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．
3.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=sin 2x 则f(−x)=sin 2(−x)=f(x) ∴函数y =sin 2x 为偶函数 函数y =sin 2x =
1−cos2x
2=12−1
2cos2x ，
∴最小正周期为T =2π2
=π，
故选：C ．
首先由f(−x)=f(x)判断函数为偶函数；利用二倍角的余弦化简原式=12−1
2cos2x ，根据求最小周期公式得出结论．
本题考查二倍角公式、三角函数周期性的求法，求最小周期公式T =
2πω
是解题关键，属
于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：sin(π+α)−3cos(2π−α)=0，即：sinα+3cosα=0，①
又∵sin2α+cos2α=1，②
由①②联立解得：cos2α=1
10
．
∴cos2α=2cos2α−1=−4
5
．
故选：B．
利用三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系即可求出答案．
本题考查了三角函数的诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系的运用，是基础题．5.【答案】C
【解析】解：∵α∈(π
4,π
2
)，∴sinα>cosα>0，
∴cosα−sinα<0，∵sin2α=1
4
，
∴(cosα−sinα)2=1−sin2α=1−1
4=3
4
，
∴cosα−sinα=−√3
2
，
故选：C．
通过已知条件，利用二倍角公式，角的范围，确定sinα+cosα的符号，把要求的结论平方，代入求解即可．
本题考查的是正弦与余弦的和与两者的积的关系，必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式，培养他们的观察能力和分析能力，提高他们的解题方法．6.【答案】A
【解析】解：将函数y=sin2x的图象向右平移π
6个单位长度，得到函数y=sin(2x−π
3
)的
图象，
在区间[−π
12,5π
12
]上，2x−π
3
∈[−π
2
,π
2
]，函数y=sin(2x−π
3
)单调递增，故A正确；
在区间[5π
12,11π
12
]上，2x−π
3
∈[π
2
,3π
2
]，函数y=sin(2x−π
3
)单调递减，故B不正确；
在区间[−π
6,π
3
]上，2x−π
3
∈[−2π
3
,π
3
]，函数y=sin(2x−π
3
)没有单调性，故C不正确；
在区间[π
3,5π
6
]上，2x−π
3
∈[π
3
,4π
3
]，函数y=sin(2x−π
3
)没有单调性，故D不正确，
故选：A．
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．7.【答案】B
【解析】解：C的周期T=2π
1
2
=4π，不满足条件．
当x=π
3时，A，y=2sin(2×π
3
+π
3
=2sinπ=0≠±2,
B.y=2sin(2×π
3−π
6
)=2sinπ
2
=2，
D.y=2sin(2×π
3−π
3
=2sinπ
3
≠±2,
故满足条件的是B，
故选：B．
根据函数的周期性和对称性分别进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性和周期性的定义和公式是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图象平移法则即可写出平移后的函数解析式．
本题考查了三角函数图象与性质的应用问题，也考查了图象平移的问题，属于基础题．【解答】
解：把函数y=sin(2x+π
6)的图象沿x轴向右平移π
4
个单位，得到y=sin[2(x−π
4
)+π
6
]=
sin(2x−π
3
)的图象，
再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1
2，可得函数y =g(x)=sin(4x −
π3
)的图象．
故选：C ．
9.【答案】D
【解析】 【分析】
本题主要考查两角和差的正切公式，诱导公式的应用，属于基础题．
由条件利用诱导公式求得tan(β+π
5)=−3，再根据tan(α−β)=tan[(α+π
5)−(β+π
5)]，利用两角差的正切公式计算求得结果． 【解答】
解：∵已知tan(α+π
5)=2，tan(β−
4π5
)=−3，∴tan(β+π
5)=−3， ∴tan(α−β)=tan[(α+π5
)−(β+π
5
)]=
tan(α+π5
)−tan(β+π
5
)
1+tan(α+π5)tan(β+π
5
)
=
2−(−3)1+2×(−3)
=−1，
故选D ．
10.【答案】C
【解析】解：△ABC 中，点D 满足BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：C
根据向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义计算即可．
本题考查了向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】
【分析】：由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanB =1，tanC =1，结合范围B ，C ∈(0,π)，可求B =C =π
4，利用三角形内角和定理可得A =π
2，即可得解△ABC 为等腰直角三角形．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理在解三角形中
的应用，属于基础题．
解：∵sinA
a =cosB
b
=cosC
c
，
又由正弦定理可得：a
sinA =b
sinB
=c
sinC
，
∴解得：sinB=cosB，sinC=cosC，可得：tanB=1，tanC=1，又∵B，C∈(0,π)，
∴B=C=π
4，可得：A=π−B−C=π
2
，
∴△ABC为等腰直角三角形．
故选：D．
12.【答案】C
【解析】解：在同一直角坐标系中分别画出函数y1=(1
3
)x与y2=|sin2x|的图象，
结合图象可知两个函数的图象在[0,5π
4
]上有5个交点，
故选：C．
转化为y1=(1
3
)x与y2=|sin2x|的图象交点个数，即可判断函数f(x)的零点个数．本题考查函数的零点个数的判断，考查数形结合以及分析问题解决问题的能力．
13.【答案】−1
5
【解析】解：∵已知角α的终边经过点(3,−4)，则x=3，y=−4，r=5，
∴sinα=y
r =−4
5
，cosα=x
r
=3
5
，
sinα+cosα=−1
5
，
故答案为：−1
5
．
由题意可得x=3，y=−4，r=5，可得sinα=y
r 和cosα=x
r
的值，从而求得sinα+cosα
的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题．
14.【答案】−2或3
【解析】解：∵向量a⃗=(2,m)，b⃗ =(5,1)，
∴a⃗−b⃗ =(−3,m−1)，
∵a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，
∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=−6+m2−m=0，
解得m=−2或m=3．
故答案为：−2或3．
推导出a⃗−b⃗ =(−3,m−1)，由a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，列出方程能求出m的值．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】2π
3
【解析】解：∵向量b⃗ 为单位向量，向量a⃗=(1,1)，
∴|a⃗|=√2，|b⃗ |=1，
∵|a⃗−√2b⃗ |=√6，∴a⃗2−2√2a⃗⋅b⃗ +2b⃗ 2=6，
．
即2−2√2a⃗⋅b⃗ +2=6，解得a⃗⋅b⃗ =−√2
2
∴√2×1×cos<a⃗,b⃗ >=−√2
．
2
∴cos<a⃗,b⃗ >=−1
．
2
∴向量a⃗，b⃗ 的夹角为2π
．
3
故答案为：2π
．
3
对|a⃗−√2b⃗ |=√6两边平方解出a⃗⋅b⃗ ，代入数量积的定义式解出夹角．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
16.【答案】√5
5
【解析】解：
因为sinC=2sinAcosB，
所以c=2acosB，
因此c=2a×a2+c2−b2
2ac
,a=b，因为b2+c2=2，
因此S=√1
4[a2c2−(a2+c2−b2
2
)2]=√1
4
[(2−c2)c2−(c2
2
)2]=√5
16
[−(4
5
−c2)2+16
25
]≤
√5 16×16
25
=√5
5
，
即△ABC面积S的最大值为√5
5
．
故答案为：√5
5。

先根据正弦定理得c=2acosB，再根据余弦定理化简得到结果。

本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题．17.【答案】解：(1)在△ABC中，∵(2a−c)cosB=bcosC，
结合正弦定理得(2sinA−sinC)cosB=sinBcosC，
2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sinA，
∴cosB=1
2
，∴B=60°．
(2)若b=√7，a+c=4，由余弦定理b2=a2+c2−2accosB得，ac=3，
∴S=1
2acsinB=3√3
4
．
【解析】(1)利用正弦定理、两角和差的三角公式，求得cos B的值，可得B的值．(2)由题意利用余弦定理求得bc的值，可得△ABC的面积．
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差的三角公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵|a⃗|=4,|b⃗ |=3，(2a⃗−3b⃗ )⋅(2a⃗+b⃗ )=61；
∴4a⃗2−4a⃗⋅b⃗ −3b⃗ 2=64−4a⃗⋅b⃗ −27=61；
∴a⃗⋅b⃗ =−6；
∴cosθ=a⃗ ⋅b⃗
|a⃗ ||b⃗|=−6
12
=−1
2
；
又θ∈[0,π]；∴θ=2π
3
；
(2)∵(3a⃗+2b⃗ )2=9a⃗2+12a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=144−72+36=108；∴|3a⃗+2b⃗ |=6√3；
∴向量a⃗在向量3a⃗+2b⃗ 上的投影为|a⃗|⋅a⃗ ⋅(3a⃗ +2b⃗)
|a⃗ ||3a⃗ +2b⃗|=3a⃗
2+2a⃗ ⋅b⃗
|3a⃗ +2b⃗|
=
6√3
=2√3．
【解析】(1)根据条件可以求出a⃗⋅b⃗ =−6，根据向量夹角的余弦公式即可求出cosθ=−1
2
，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角；
(2)可求出(3a⃗+2b⃗ )2=108，从而得出|3a⃗+2b⃗ |=6√3，并求出a⃗⋅(3a⃗+2b⃗ )=36，这样根据投影的计算公式即可求出投影．
考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，向量投影的计算公式．19.【答案】解：(1)因为a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(√3cosx,cosx)，
f(x)=a⃗⋅b⃗ =√3sinxcosx+cos2x=√3
2sin2x+1
2
cos2x+1
2
=sin(2x+π
6
)+1
2
，
所以函数f(x)=a⃗⋅b⃗ 的最小正周期T=2π
2
=π．
(2)由题意可得：sin(2A+π
6)=1
2
，
又0<A<π，
所以π
6<2A+π
6
<13π
6
，
所以2A+π
6=5π
6
，解得A=π
3
，
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2=b2+c2−2bccosA，
所以a=BC=√7，
又sinB=3sinC，可得b=3c，
故7=9c2+c2−3c2，解得c=1，
所以b=3，可得△ABC的周长为4+√7．
【解析】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f(x)=
sin(2x+π
6)+1
2
，利用周期公式即可计算得解．
(2)由题意可得sin(2A+π
6)=1
2
，结合范围0<A<π，可求A的值，设角A，B，C的对
边分别为a，b，c，由正弦定理利用sinB=3sinC，可得b=3c，根据余弦定理可求c
的值，进而可求b 的值，从而可求三角形的周长．
20.【答案】解(1)∵圆心C 在x 轴上且该圆与y 轴相切，
∴设圆心C(a,0)，半径r =|a|，a ≠0， 设圆的方程为(x −a)2+y 2=a 2， 将点A(−1,2)代入得(−1−a)2+22=a 2， ∴a =−5
2，
∴所求圆C 的方程为(x +5
2)2+y 2=
254
．
(2)∵圆心C(−5
2,0)到直线l ：y =x +2的距离d =|−52
−0+2|
√2
=
√2
4
， ∴直线l 被圆截得的弦长为2√r 2−d 2=2√
254
−
216
=
7√2
2
．
【解析】(1))因为圆心C 在x 轴上且该圆与y 轴相切，所以可设圆心C(a,0)，半径r =|a|，a ≠0，设圆的方程为(x −a)2+y 2=a 2，将点A(−1,2)代入得a 的值； (2)算出圆心到直线的距离，继而由弦心距公式可得弦长．
本题考查了直线与圆，涉及了点到直线的距离公式、弦心距公式等，比较容易．
21.【答案】(1)在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，
∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1//BF ，AF 1//C 1F .
又∵B 1F 1∩AF 1=F 1，C 1F ∩BF =F ， ∴平面AB 1F 1//平面C 1BF ．
(2)在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1． 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1=A 1，
∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1．
【解析】(1)利用面面平行的判定定理即可证明； (2)利用线面、面面垂直的判定定理即可证明．
熟练掌握面面平行的判定定理、线面与面面垂直的判定定理和性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)f(x)=√3sin(ωx+φ)+2sin2ωx+φ
2
−1=√3sin(ωx+φ)−
cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π
6
)
∵函数是奇函数，0<φ<π
∴φ=π
6
，
∴f(x)=2sinωx，
∵相邻两对称轴间的距离为π
2
，
∴2π
ω
=π，
∴ω=2，
∴f(x)=2sin2x，
∵x∈(−π
2,π
4 )，
∴2x∈(−π,π
2
)，
∴f(x)的单调递减区间为(−π
2,−π
4
)；
(2)将函数y=f(x)的图象沿x轴方向向右平移π
6
个单位长度，可得函数y=2sin2(x−
π6)=2sin(2x−π
3
)的图象；
再把横坐标缩短到原来的1
2(纵坐标不变)，得到函数g(x)=2sin(4x−π
3
)的图象．
当x∈[−π
12,π
6
]时，4x−π
3
∈[−2
3
π,π
3
]，
−1≤sin(4x−
π
3
)≤
√3
2
∴函数g(x)的值域为[−2,√3].
【解析】(1)f(x)=2sin(ωx+φ−π
6
)，利用函数是奇函数，0<φ<π，且相邻两对称
轴间的距离为π
2，即可求出当x∈(−π
2
,π
4
)时，f(x)的单调递减区间；
(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得y=g(x)，即可求出当x∈[−π
12,π6 ]
时，求函数g(x)的值域．
本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．。