【初三数学复习精品课件】待定系数法求二次函数的解析式

待定系数法求二次函数的解析式
知识集结
知识元
利用一般式求二次函数的解析式
知识讲解
已知三个点求二次函数的解析式，一般选择一般式，基本的作法是：（1）设出二次函数的一般式；
（2）将三个点的值分别代入到解析式中，得到一个三元一次方程组；（3）解方程组得出三个字母的值，即可得到为此函数的解析式.
例题精讲
利用一般式求二次函数的解析式
例1.
二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：
求此二次函数的解析式．
【答案】
解：（1）把（﹣2，0），（﹣1，﹣5），（0，﹣8），代入y=ax2+bx+c得，
解得，∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣8．
【解析】
题干解析:把（﹣2，0），（﹣1，﹣5），（0，﹣8）代入y=ax2+bx+c中，根据待定系数法即可求得．
例2.
y=ax2+b与y=x+2交于A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，求二次函数解析式．
【答案】
解：把x=﹣1代入y=x+2得：y=﹣1+2=1，把x=2代入y=x+2得：y=2+2=4，即A（﹣
1，1），B（2，4），把A与B坐标代入y=ax2+b，得：，解得：a=1，b=0，则二次函数解析式为y=x2．
【解析】
题干解析:把A与B的横坐标代入y=x+2中求出相应的纵坐标，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出a与b的值，即可确定出二次函数解析式．
例3.
已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点坐标．
【答案】
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得
，所以抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．
【解析】
题干解析:（1）设一般式y=ax2+bx+c，再把A、B、C三点坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可；（2）把（1）中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．
利用顶点式求二次函数的解析式
知识讲解
当已知条件中出现二次函数的顶点或者顶点的横、纵坐标之一等顶点相关的内容时，会考虑用顶点式来求解二次函数的解析式.
例题精讲
利用顶点式求二次函数的解析式
例1.
一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）
【解析】
题干解析:
解：抛物线解析式为y=﹣2（x+1）2+3．故选B．
例2.
二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）
【解析】
题干解析:
解：y=x2﹣2x+4配方，得y=（x﹣1）2+3，故选：B．
例3.
将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．
【答案】
﹣90
【解析】
题干解析:解：∵y=2x2﹣12x﹣12=2（x2﹣6x+9）﹣18﹣12=2（x﹣3）2﹣30，∴m=3，n=﹣30，
∴m•n=﹣90．
例4.
已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．
【答案】
解：（1）∵抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），∴﹣=﹣1，
=1或9，解得m=﹣2，n=0或8，∴y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣
2x+8；（2）①当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（﹣
2.0），∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣
2，0），把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，解得，∴y2=5x+10．②当y1=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0得x=﹣4或2，∵y2随着x的增大而增大，且过点A （﹣1，5），∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），把（﹣1，5），（﹣4，0）代
入得，解得；∴y2=x+．
【解析】
题干解析:（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；（2）分两种情况讨论：当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴的交点是抛物线的顶点（﹣1，0），不合题意；当y1=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣
2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．
利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式
知识讲解
当已知的点中出现与x轴的交点时，常会考虑设成两点式求二次函数的解析式，此类问题已知点的坐标的形式比较多，除了可以直接已知与x轴的两个交点坐标外，还可以已知其中一个与x轴的交点的坐标及对称轴等其他形式.
例题精讲
利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式
例1.
若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）
【解析】
题干解析:
解：设抛物线解析式为，
把（0，1）代入得，解的，
所以抛物线解析式为，即．故选C．
例2.
抛物线与轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线
相同，则的函数关系式为（）
C
【解析】
题干解析:
解：根据题意，所以设，
求出解析式，即是．故选D．
例3.
过（﹣1，0），（3，0），（1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（）
）
，
【解析】
题干解析:
解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，
把（﹣1，0），（3，0），（1，2）代入，得，解之得，
所以该函数的解析式为：y=﹣x2+x+，顶点坐标是（1，2）．
例4.
已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣5，0）、（﹣1，0）、（1，12），求这个抛物线的表达式及其顶点坐标．
【答案】
解：解法一：由题意得，解得，所以这个抛物线的表达式为
y=x2+6x+5；配方得y=（x+3）2﹣4，所以顶点坐标为（﹣3，﹣4），解法二：设y=a （x+5）（x+1），把x=1，y=12代入上式，得12a=12，a=1，所以，
y=x2+6x+5．配方得y=（x+3）2﹣4，所以顶点坐标为（﹣3，﹣4）．
【解析】
题干解析:将点（﹣5，0）、（﹣1，0）、（1，12）代入已知抛物线方程，然后列出三元一次方程组，解得a、b、c的值；然后将该抛物线方程通过配方，转化为顶点式解析式，最后找出其顶点坐标．
顶点在原点的二次函数解析式的求法
知识讲解
顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax 2
（a≠0）的形式，其中一次项系数和
常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.
例题精讲
顶点在原点的二次函数解析式的求法
例1.
若二次函数函数的图象是顶点在原点，则的值为（）
【解析】
题干解析:
解：∵二次函数的图象是顶点在原点，
∴，∴．故选A．
例2.
抛物线的顶点在原点，且经过点（﹣2，8），求该抛物线的解析式．
【答案】
解：设二次函数的解析式为y=ax2（a≠0），∵点（﹣2，8）在此函数的图象上，
∴4a=8，解得a=2，∴抛物线的解析式为：为y=2x2.
【解析】
题干解析:设二次函数的解析式为y=ax2（a≠0），再把点（﹣2，8）代入求出a的值即可．
例3.
一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），
（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；
（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．
【答案】
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2，把M（﹣2，4）代入得4a=4，解得a=1，所以抛物线的解析式为y=x2；（2）∵点N与点M关于y轴对称，∴N点坐标为（2，
4），∴△MON的面积=×4×（2+2）=8．
【解析】
题干解析:（1）由于抛物线以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，则可设顶点式y=ax2，然后把M点坐标代入求出a即可；（2）先根据关于y轴对称的点的坐标特征得到N点坐标为（2，4），然后根据三角形面积公式计算．
顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法
知识讲解
顶点在y轴上的抛物线的解析式的形式是b=0，即一次项系数为0.
例题精讲
顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法
例1.
与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.
【解析】
题干解析:
解：与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛
物线只有二次项系数不同．即．故选B．
例2.
已知一抛物线的顶点在y轴上，且过二点（1，2）、（2，5），则此抛物线的解析式
为．
【答案】
y=x2+1
【解析】
题干解析:解：由抛物线顶点在y轴上，设y=ax2+k，将（1，2）与（2，5）代入得：，解得：a=1，k=1；则抛物线解析式为y=x2+1，故答案为：y=x2+1．
例3.
对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．
【答案】
y=﹣3x2+6
【解析】
题干解析:解：设该抛物线方程为：y=ax2+bx+c（a≠0）；∵该抛物线的对称轴是y
轴，∴x=﹣=0，∴b=0；①又∵抛物线过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6），
∴3=a+b+c，②﹣6=4a﹣2b+c，③由①②③，解得a=﹣3；b=0，c=6，∴该抛物线的解析式是：y=﹣3x2+6．故答案为y=﹣3x2+6．
顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法
知识讲解
顶点在x轴上的二次函数可以有多种表述方法：
（1）与x轴只有唯一的交点；
（2）判别式等于0；
（3）图象不在x轴上方（或下方）；
（4）对应的一元二次方程有两个相等的实根等.
例题精讲
顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法
例1.
已知抛物线的顶点在轴上，则等于（）
【解析】
题干解析:
解：根据题意，得，解得．故选D．
例2.
若函数的图象顶点在轴上，则的值为（）
或
【解析】
题干解析:
解：由顶点在轴上，可知，解得．故选D．
例3.
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点在x轴上，且OA=1，与一次函数y=﹣x﹣1的图象交于y轴上一点B和另一交点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段BC上一点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，交抛物线于点F，请求出线段DF的最大值．
【答案】
解：（1）∵OA=1，∴抛物线的顶点A的坐标为（1，0），设抛物线解析式为y=a （x﹣1）2，在直线y=﹣x﹣1中，当x=0时，y=﹣1，则点B（0，﹣1），代入得：a=﹣1，∴
抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2=﹣x2+2x﹣1．（2）由，解得或
，即点B（0，﹣1）、点C（3，﹣4），∴0＜x＜3，令DF=W，则W=﹣（﹣x﹣1）﹣
[﹣（﹣x2+2x﹣1）]=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，W最大值=，即线段DF的最大值
．
【解析】
题干解析:（1）根据直线解析式求得点B坐标，由顶点A坐标设抛物线的顶点式，将点B坐标代入求解可得；（2）令DF=W，根据DF=DE﹣EF可得W关于x的解析式，配方后根据x的范围可得最值情况．
过原点的二次函数的解析式的求法
知识讲解
顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax 2
（a≠0）的形式，其中一次项系数和
常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.
例题精讲
过原点的二次函数的解析式的求法
例1.
如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）
【解析】
题干解析:
解：根据图示知，二次函数的图象经过原点（0，0），
∴，解得，；
又∵该函数图象的开口方向向下，
∴，∴．故选B．
例2.
二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．求此二次函数的解析
式．
【答案】
解：将A（﹣2，0）、O（0，0），代入解析式y=﹣x2+bx+c，得c=0，﹣4﹣2b+c=0，解得c=0，b=﹣2，所以二次函数解析式：y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1．
【解析】
题干解析:把A（﹣2，0）、O（0，0）代入解析式y=﹣x2+bx+c，即可得出二次函数解析式．
例3.
已知抛物线经过原点，点（1，﹣4）和（﹣1，2），求抛物线解析式．
【答案】
解：∵抛物线经过原点，∴设抛物线解析式为：y=ax2+bx，由题意知：，解
得：∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x．
【解析】
题干解析:将三点代入二次函数的一般式，然后解方程组即可．
例4.
如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为B，求△OAB的面积S．
【答案】
解：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过坐标原点和点A （2，0），∴，∴解
得
，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2x ；（2）∵y=﹣x 2+2x ，∴y=﹣（x ﹣1）2+1．∴B
（1，1）．∴S △AOB=×2×1=1．答：△OAB 的面积为1． 【解析】
题干解析:（1）运用待定系数法把（0，0）和（2，0）代入解析式求出b 、c 的值就可以求出结论；（2）将解析式化为顶点式，求出顶点坐标，就就可以求出结论．
与长度相关的解析式的求法
知识讲解
在利用线段的长度或者线段之间的等量关系求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.
例题精讲
与长度相关的解析式的求法
例1.
已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A （1，﹣6），对称轴是直线x=3，与x 轴交于A 、B 两点，且AB=8．求函数解析式．
【答案】
解：∵抛物线对称轴是直线x=3，与x 轴交于A 、B 两点，且AB=8，∴A （﹣1，0），B （7，0），设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣7），把（1，﹣6）代入得a•2•
（﹣6）=﹣6，解得a=．∴抛物线解析式为y=（x+1）（x ﹣7），即y=x 2﹣3x ﹣． 【解析】
题干解析:先利用抛物线的对称性得到A（﹣1，0），B（7，0），则可设交点式y=a （x+1）（x﹣7），然后把A（1，﹣6）代入求出a的值即可．
例2.
如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．
【答案】
解：∵∠AOC=∠ACB=90°，∴∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠ABC=90°，
∴∠ACO=∠ABC，又∵∠AOC=∠COB=90°，∴△ACO∽△CBO，∴=，即
OC2=OB•OA，∵OA=1，OC=2，∴OB=4，则B（4，0），∵A（﹣1，0），C（0，2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将C（0，2）代入得：2=﹣4a，即a=﹣
，则过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，
【解析】
题干解析:由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形AOB与三角形AOC相似，由相似得比例，求出OC的长，即可确定出C坐标；由B与C坐标设出抛物线的二根式，将A坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式即可．
例3.
在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C （如图），点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO．
（1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；
（2）若顶点为D，求四边形ABDC的面积．
【答案】
解：（1）∵点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO，∴点B的坐标为（3，0），把
（0，﹣3），（3，0）代入y=x2+bx+c，得，解得，∴y=x2﹣2x﹣3；
（2）设抛物线的对称轴交x轴于E点，如图，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则D
（1，﹣4），S四边形ABDC=S△OAC+S梯形OCDE+S△EBD=×3×1+（3+4）
×1+×2×4=1.5+3.5+4=9．
【解析】
题干解析:（1）由C的坐标得出CO的长，根据BO=CO得出BO的长，进而确定出B的坐标，将B和C的坐标代入二次函数解析式中求出b、c的值，即可确定出二次函数解析式；（2）设抛物线的对称轴交x轴于E点，利用抛物线与x轴的交点问题求出A（﹣1，0），把解析式配成顶点式得到D（1，﹣4），然后根据三角形面积公式，利用S四边形ABDC=S△OAC+S梯形OCDE+S△EBD进行计算即可．
与面积相关的解析式的求法
知识讲解
在利用几何图形的面积求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.
例题精讲
与面积相关的解析式的求法
例1.
已知二次函数y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12，求此二次函数的解析式．
【答案】
解：设A（x1，0），B（x2，0），根据题意，x1+x2=﹣=﹣2，x1x2==﹣，C的坐标为（0，﹣4），∵△ABC的面积为12，∴|x1﹣x2|×4=12，∴（x1﹣x2）2=36，∴
（x1+x2）2﹣4x1x2=36，即（﹣2）2﹣4×（﹣）=36，解得a=．∴此二次函数的解析式为
y=x2+x﹣4．
【解析】
题干解析:设A（x1，0），B（x2，0），根据题意，得出x1+x2=﹣=﹣2，x1x2==﹣
，C的坐标为（0，﹣4），然后根据三角形的面积得出|x1﹣x2|×4=12，进而得出
（x1+x2）2﹣4x1x2=36，把x1+x2=﹣=﹣2，x1x2==﹣代入得到（﹣2）2﹣4×（﹣）
=36，解得a=，从而求得解析式．
例2.
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+kx+4与y轴交于A，与x轴的负半轴交于B，且△ABO的面积是8．
（1）求点B的坐标和此二次函数的解析式；
（2）当y≤4时，直接写出x的取值范围．
【答案】
解：（1）设点B（x，0），∵△ABO的面积是8，∴﹣4x=16，解得x=﹣4，∴点B的坐标为（﹣4，0），把点B坐标代入y=﹣x2+kx+4得k=﹣3，∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣3x+4；（2）当x=4时，得﹣x2﹣3x+4=4，解得x=0或﹣3，故当y≤4时，直接写出x的
取值范围为x≤﹣3或x≥0．
【解析】
题干解析:（1）设点B（x，0），根据△ABO的面积是8，可得出点B坐标，再把点B坐标代入y=﹣x2+kx+4即可得出k的值；（2）先求得y=4时x的值，再根据图象，得出x的取值范围即可．
例3.
已知抛物线y=ax2﹣2x+c的对称轴为直线x=﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B，且△ABO的面积为1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在x轴上，且PA=PB，求点P的坐标．
【答案】
解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴a=﹣1，∵△ABO的面积为1，
∴c×1=1，∴c=2，∴抛物线的表达式为y=﹣x2﹣2x+2；（2）∵y=﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）
2+3，∴A（﹣1，3），设P点的坐标为（x，0）．∵PA=PB，B（0，2），∴（x+1）2+32=x2+22，解得x=﹣3．故P点的坐标为（﹣3，0）．
【解析】
题干解析:（1）根据对称轴求得a，然后根据三角形面积求得c，即可求得解析式；（2）设P点的坐标为（x，0），根据PA=PB得出关于x的方程，解方程求得x的值，进而求得点P的坐标．
利用几何综合性质求函数解析式
知识讲解
利用几何性质求函数解析式是求解析式中的较难问题，其难点在于对几何性质的探究，并通过几何性质找到所需的点或列出所需的等式.
例题精讲
利用几何综合性质求函数解析式
例1.
如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．
【答案】
解：（1）∵OM=ON=4，∴M点坐标为（4，0），N点坐标为（0，4），设抛物线
解析式为y=a（x﹣4）2，把N（0，4）代入得16a=4，解得a=，所以抛物线的解
析式为y=（x﹣4）2=x2﹣2x+4；（2）∵点A的横坐标为t，∴DM=t﹣4，
∴CD=2DM=2（t﹣4）=2t﹣8，把x=t代入y=x2﹣2x+4得y=t2﹣2t+4，∴AD=t2﹣2t+4，
∴l=2（AD+CD）=2（t2﹣2t+4+2t﹣8）=t2﹣8（t＞4）．
【解析】
题干解析:（1）先确定M与N的坐标，由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣4）2，然后把N点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；（2）根据抛物线的对称性得到CD=2DM=2t﹣8，再表示A点的纵坐标得到AD，然后利用矩形的周长定理求解．
例2.
如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求菱形ABCD的面积；
（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．
【答案】
解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，又∵点O为坐标原点，∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称，∵点A的坐标为（﹣2，2），B点坐标为（﹣1，﹣），∴C点坐标为（2，﹣2），D点坐标为
（1，）；（2）∵点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），
∴OA==4，OB==2，∴AC=2OA=8，BD=2OB=4，∴菱形
ABCD的面积=A C•BD=×8×4=16；（3）设经过A、B、D三点的抛物线解析式
为y=ax2+bc+c，把A、B、D三点的坐标代入得：，解得：
，∴过A、B、D三点的抛物线解析式为y=x2+x﹣；∵y=x2+x
﹣=（x+）2﹣，∴对称轴为x=﹣，顶点坐标为（﹣，﹣）．【解析】
题干解析:（1）由菱形的性质可知点A和点C关于原点对称，B、D关于原点对称，结合条件可求得D点的坐标；（2）由勾股定理求出OA和OB的长，得出AC和BD的长，即可求出菱形的面积；（3）由待定系数法求出抛物线解析式，再化成顶点式，即可得出对称轴和顶点坐标．
例3.
已知抛物线y=a（x﹣h）2﹣2（a，h，是常数，a≠0），x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M 为抛物线顶点．
（Ⅰ）若点A（﹣1，0），B（5，0），求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若点A（﹣1，0），且△ABM是直角三角形，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若抛物线与直线y
=x﹣6相交于M、D两点
1
①用含a的式子表示点D的坐标；
②当CD∥x轴时，求抛物线的解析式．
【答案】
解：（Ⅰ）∵抛物线过点A（﹣1，0），B（5，0）∴抛物线的对称轴为直线x=2，把A（﹣1，0）代入y=a（x﹣2）2﹣2得a（﹣1﹣2）2﹣2=0，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣2；（Ⅱ）∵点A与点B为对称点，∴△ABM是等腰直角三角形，而M （h，﹣2），∴AB=2×|﹣2|=4，∴B点坐标为（﹣5，0）或（3，0），把A（﹣1，0），B
（﹣5，0）代入y=a（x﹣h）2﹣2得，解得h=﹣3，a=，此时抛物线解
析式为y=（x+3）2﹣2；把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=a（x﹣h）2﹣2得
，解得h=1，a=，此时抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣2；（Ⅲ）①把M（h，﹣2）代入y=x﹣6得h﹣6=﹣2，解得h=4，解方程组得
或，∴D点坐标为（，）；②当x=0时，y=a（0﹣4）2﹣
2=16a﹣2，则C（0，16a﹣2），∵CD∥x轴，∴=16a﹣2，解得a=±，当a=﹣时，
C、D两点重合，舍去，∴a=∴抛物线解析式为y=（x﹣4）2﹣2．
【解析】
题干解析:（Ⅰ）利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后把A点坐标代入y=a（x﹣2）2﹣2中求出a即可得到抛物线解析式；（Ⅱ）易得△ABM是等腰直角三角形，M（h，﹣2），根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半得AB=4，于是得到B点坐标为（﹣5，0）或（3，0），把A（﹣1，0），B（﹣5，0）代入y=a
（x﹣h）2﹣2得，或把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=a（x﹣h）2﹣2得
，然后分别解方程组求出对应的a和h的值即可；（Ⅲ）①利用
一次函数解析式求出M（4，﹣2），再通过解方程组得D点坐标；
②先表示出C（0，16a﹣2），利用CD∥x轴得到C点和D点的纵坐标相等得到关于a的方程，然后解方程求出a即可得到抛物线解析式．
当堂练习
单选题
练习1.
顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（）
（
﹣﹣
【解析】
题干解析:
解：∵一个二次函数的图象开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同，故设该二次函数
的解析为y=﹣（x﹣h）2+k，
∴该函数的顶点坐标为：（h，k），
又∵该二次函数的顶点为（6，0），
∴h=6，k=0，
∴该二次函数的解析为y=﹣（x﹣6）2．故选D．
练习2.
若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）
【解析】
题干解析:
解：设抛物线解析式为，
把（0，1）代入得，解的，
所以抛物线解析式为，即．故选C．
练习3.
与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.
【解析】
题干解析:
解：与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛
物线只有二次项系数不同．即．故选B．
练习4.
如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）
【解析】
题干解析:
解：根据图示知，二次函数的图象经过原点（0，0），
∴，解得，；
又∵该函数图象的开口方向向下，
∴，∴．故选B．
练习5.
二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）
【解析】
题干解析:
解：y=x2﹣2x+4配方，得y=（x﹣1）2+3，故选：B．
填空题
练习1.
已知一抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（3，﹣3），则该抛物线的函数解析式为．
【答案】
y=﹣x2
【解析】
题干解析:解：∵抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，∴设此抛物线的表达式是
y=ax2，把（3，﹣3）代入y=ax2中得：﹣3=9a，解得：a=﹣，则此抛物线的表达式是
y=﹣x2．故答案为：y=﹣x2．
练习2.
对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．
【答案】
y=﹣3x2+6
【解析】
题干解析:解：设该抛物线方程为：y=ax2+bx+c（a≠0）；∵该抛物线的对称轴是y
轴，∴x=﹣=0，∴b=0；①又∵抛物线过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6），
∴3=a+b+c，②﹣6=4a﹣2b+c，③由①②③，解得a=﹣3；b=0，c=6，∴该抛物线的解析式是：y=﹣3x2+6．故答案为y=﹣3x2+6．
练习3.
若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．
【答案】
±6
【解析】
题干解析:解：∵抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，∴顶点的纵坐标为零，即
y===0，解得b=±6．
练习4.
将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．
【答案】
﹣90
【解析】
题干解析:解：∵y=2x2﹣12x﹣12=2（x2﹣6x+9）﹣18﹣12=2（x﹣3）2﹣30，∴m=3，n=﹣30，
∴m•n=﹣90．
解答题
练习1.
如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=1，求点B的坐标．
【答案】
解：（1）抛物线解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x；（2）因为y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为直线x=1；（3）设B（t，t2﹣
2t），因为S△OAB=1，所以×2×|t2﹣2t|=1，所以t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，解方程t2﹣2t=1得
t1=1+，t2=1﹣，则B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；解方程t2﹣2t=﹣1得
t1=t2=1，则B点坐标为（1，﹣1），所以B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1，﹣1）．
【解析】
题干解析:（1）利用交点式求抛物线解析式；（2）把（1）中解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标及对称轴；（3）设B（t，t2﹣2t），根据三角形面积公式得
到×2×|t2﹣2t|=1，则t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，然后分别解两个方程求出t，从而可得到B 点坐标．
练习2.
一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），
（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；
（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．
【答案】
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2，把M（﹣2，4）代入得4a=4，解得a=1，所以抛物线的解析式为y=x2；（2）∵点N与点M关于y轴对称，∴N点坐标为（2，
4），∴△MON的面积=×4×（2+2）=8．
【解析】
题干解析:（1）由于抛物线以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，则可设顶点式y=ax2，然后把M点坐标代入求出a即可；（2）先根据关于y轴对称的点的坐标特征得到N点坐标为（2，4），然后根据三角形面积公式计算．
练习3.
如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为B ，求△OAB 的面积S ．
【答案】
解：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过坐标原点和点A （2，0），∴，∴解
得
，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2x ；（2）∵y=﹣x 2+2x ，∴y=﹣（x ﹣1）2+1．∴B
（1，1）．∴S △AOB=×2×1=1．答：△OAB 的面积为1． 【解析】
题干解析:（1）运用待定系数法把（0，0）和（2，0）代入解析式求出b 、c 的值就可以求出结论；（2）将解析式化为顶点式，求出顶点坐标，就就可以求出结论． 练习4.
如图，二次函数y=﹣x 2+mx+3的图象与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，且△AOB 的面积为6．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）如果点P 在x 轴上，且△ABP 是等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．
【答案】
解：（1）由解析式可知，点A 的坐标为（0，3）．∵S △OAB =×BO×3=6，∴BO=4．∴B （﹣4，0），把点B 的坐标（﹣4，0）代入y=﹣x 2+mx+3，得﹣（﹣4）2+m×
（﹣4）+3=0．解得m=﹣
．∴所求二次函数的解析式为y=﹣x 2﹣x+3；（2）当
△ABP是等腰三角形时，需分类讨论：
①如图1，当
AB=AP时，点P的坐标为（4，0）；②如图2，当AB=BP时，点P的坐标为（1，0）或（﹣9，0）；③如图3，当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0），根据
题意得=|x+4|，解得x=﹣．∴点P的坐标为（﹣，0），综上所述，点P的
坐标为（4，0），（1，0），（﹣9，0），（﹣，0）．
【解析】
题干解析:（1）令x=0，即可求得点A的坐标，由△AOB的面积公式可求得OB的长，进而得到点B的坐标；把点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得k的值，确定出抛物线解析式；（2）若△ABP是等腰三角形，且点P在x轴上，故点P的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可．
练习5.
已知，抛物线的顶点为P（3，﹣2），且在x轴上截得的线段AB=4．求抛物线的解析式．
【答案】
解：∵抛物线的顶点为P（3，﹣2），∴抛物线的对称轴为直线x=3，而抛物线在x轴上截得的线段AB=4，∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（5，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），把P（3，﹣2）代入得a•（3﹣1）（3﹣5）=﹣2，解得
a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣3x+．
【解析】
题干解析:先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（5，0），则可设交点式y=a（x﹣1）（x﹣5），然后把P点坐标代入求出a即可．
练习6.
如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．求这个二次函数的解析式．
【答案】
解：∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AO=1，OB=3，即
AB=AO+OB=1+3=4．∴OC=4，即点C的坐标为（0，4）．设图象经过A、C、B 三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、C、B三点的坐标分别代入上式，
得，解得a=﹣，b=x，c=4，∴所求的二次函数解析式为y=﹣
x2+x+4．
【解析】
题干解析:先求得AB，得出OC，求得点C的坐标，再利用待定系数法求的函数解析式即可．
练习7.
直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点
P，若S△AOP=，求二次函数关系式．
【答案】
解：设直线解析式为y=kx+b，∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，
∴4k+b=0，b=4，∴y=﹣x+4，∵S△AOP=，∴×4×y p=，∴y p=，∴=﹣x+4，解得
x=，所以P点的坐标为（，），把点P的坐标（，）代入y=ax2，解得
a=，∴所求的二次函数的解析式为y=．
【解析】
题干解析:由题意直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，根据待定系数法求出直
线AB的解析式，再根据S△AOP=，求出点P的纵坐标，然后将它代入直线AB的解析式，求出点P的横坐标，最后把点P的坐标代入y=ax2，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式．
练习8.
如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．求该二次函数的表达式．
【答案】
解：由解析式可知，点A的坐标为（0，3）．∵S△OAB=×BO×3=6，∴BO=4，∴B（﹣4，0），把点B的坐标（﹣4，0）代入y=﹣x2+mx+3，得﹣（﹣4）2+m×（﹣4）+3=0，解
得m=﹣．∴所求二次函数的解析式为y=﹣x2﹣x+3．
【解析】
题干解析:令x=0，即可求得点A的坐标，由△AOB的面积公式可求得OB的长，进而得到点B的坐标；把点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得k的值，确定出抛物线解析式．
练习9.
如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求菱形ABCD的面积；
（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．
【答案】
解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，又∵点O为坐标原点，∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称，∵点A的坐标为（﹣2，2），B点坐标为（﹣1，﹣），∴C点坐标为（2，﹣2），D点坐标为
（1，）；（2）∵点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），
∴OA==4，OB==2，∴AC=2OA=8，BD=2OB=4，∴菱形
ABCD的面积=AC•BD=×8×4=16；（3）设经过A、B、D三点的抛物线解析式
为y=ax2+bc+c，把A、B、D三点的坐标代入得：，解得：
，∴过A、B、D三点的抛物线解析式为y=x2+x﹣；∵y=x2+x
﹣=（x+）2﹣，∴对称轴为x=﹣，顶点坐标为（﹣，﹣）．【解析】。