随机过程的熵率-中国科学技术大学

第四章随机过程的熵率

随机过程{X i}：带下标的随机变量序列

平稳的随机过程：

《信息论基础》

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马尔可夫过程

马尔可夫过程（马尔可夫链）：

时间不变的马尔可夫过程：

如无特别声明，总假定马尔可夫链是时间不变的。

《信息论基础》

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马尔可夫链的表征

若{X i}为马尔可夫链，则称X n为n时刻的状态。

一个时间不变的马尔可夫链完全由其初始状态和概率转移矩阵P=[P ij]所表征，

P[P所表征

n+1时刻的随机变量概率密度函数：

《信息论基础》

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平稳分布

若马尔可夫链可以从任意状态经过有限步转移到另一任意状态，且转移概率为正，则称此马尔可夫链是不可约的。如果从一个状态转移到它自身的不同路径长度的最大公因子为1，则称该马尔可夫链是非周期的。

若在n+1时刻状态空间的分布与n时刻的分布相同，则称此分布为平稳分布。

若马尔可夫链的初始状态服从平稳分布，则该马尔可夫链若马尔夫链的初始状态从平稳分布则该马尔夫链为平稳过程。

若有限状态马尔可夫链是不可约的和非周期的，则它的平若有限状态马尔可夫链是不可约的和非周期的则它的平稳分布惟一，从任意的初始分布出发，当n趋向于无穷时，X n的分布必趋向于此平稳分布。

《信息论基础》

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马尔可夫链的例子

例

《信息论基础》

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熵率

当如下极限存在时，随即过程{X i}的熵率定义为：

打字机输出

打字机：输出m个等可能的字母

i.i.d.随机变量序列

独立但非同分布的随机变量序列

《信息论基础》

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熵率的一个相关量

当如下极限存在时，定义：

对于平稳随机过程

定理

对于平稳随机过程，均存在且相等：

对于平稳随机过程，随n 递减且存在极限。

定理若且，则定理中国科学技术大学刘斌7

《信息论基础》

马尔可夫链的熵率

对于平稳的马尔可夫链：设{X i }为平稳马尔科夫链，其平稳分布

转移矩阵为则熵率为

定理为u ，转移矩阵为P ，则熵率为：例

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《信息论基础》

热力学第二定律

热力学第二定律：孤立系统的熵总是不减的。

统计热力学中熵常定义为物系统的微观状态数的对统计热力学中，熵通常定义为物理系统的微观状态数的对数值。若所有状态都是等概率发生，则和信息论的熵的概念一致。

把孤立系统看作一个马尔可夫链

相对熵D(u n||u’n)随n递减；

在n时刻状态空间上的分布u n与平稳分布u之间的相对熵D(u n||u)

D(||)随n递减；

若平稳分布是均匀分布，则熵增加；

若平稳分布是均匀分布则熵增加；

对于平稳的马尔科夫过程，条件熵H(X n|X1)随n增加；

洗牌使熵增加：H(TX)≥H(X)

《信息论基础》

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随机过程的熵率-中国科学技术大学

第四章随机过程的熵率随机过程{X i}：带下标的随机变量序列平稳的随机过程：《信息论基础》中国科学技术大学刘斌1

马尔可夫过程马尔可夫过程（马尔可夫链）：时间不变的马尔可夫过程：如无特别声明，总假定马尔可夫链是时间不变的。《信息论基础》中国科学技术大学刘斌2

马尔可夫链的表征若{X i}为马尔可夫链，则称X n为n时刻的状态。一个时间不变的马尔可夫链完全由其初始状态和概率转移矩阵P=[P ij]所表征， P[P所表征 n+1时刻的随机变量概率密度函数：《信息论基础》中国科学技术大学刘斌3

平稳分布若马尔可夫链可以从任意状态经过有限步转移到另一任意状态，且转移概率为正，则称此马尔可夫链是不可约的。如果从一个状态转移到它自身的不同路径长度的最大公因子为1，则称该马尔可夫链是非周期的。若在n+1时刻状态空间的分布与n时刻的分布相同，则称此分布为平稳分布。若马尔可夫链的初始状态服从平稳分布，则该马尔可夫链若马尔夫链的初始状态从平稳分布则该马尔夫链为平稳过程。若有限状态马尔可夫链是不可约的和非周期的，则它的平若有限状态马尔可夫链是不可约的和非周期的则它的平稳分布惟一，从任意的初始分布出发，当n趋向于无穷时，X n的分布必趋向于此平稳分布。《信息论基础》中国科学技术大学刘斌4

马尔可夫链的例子例《信息论基础》中国科学技术大学刘斌5

熵率当如下极限存在时，随即过程{X i}的熵率定义为：打字机输出打字机：输出m个等可能的字母 i.i.d.随机变量序列独立但非同分布的随机变量序列《信息论基础》中国科学技术大学刘斌6

TH2012-L13(第五章、第六章)(20120523)_621101385

第五章最大熵原理最小鉴别信息原理 1.非适定性问题 2.最大熵与最小鉴别信息原理 §2.1 最大熵原理 §2.2 最小鉴别信息原理 §2.3 两原理之间的关系 §2.4 合理性 2012-5-221

2012-5-22 2 传感器网络自定位问题条件：给出了一个网络中若干节点之间的测距信息, 能否唯一的恢复网络中每个节点的空间座标？在传感器自定位问题中，上述条件是不够的。

1.非适定性问题科学研究 (1) 一般步骤 ?系统的参数化：定性——定量 ?建立模型：前向建模，反向建模 ——正问题（前向建模）：发现物理规律，根据系统的输入参数，预测系统的输出。 ——逆问题（反向建模）：根据可得到的观察值（输出值）推断系统参数及输入。 (2) 面临的问题 ?过定：所给出的条件过多 ?欠定：条件不够，数据不足、不确定或不准确2012-5-223

(3) 非适定性问题（病态问题）由欠定导致解不存在、不唯一或不稳定（不连续）其中之一的问题。涉及存在性、唯一性、稳定性 (4) 非适定性问题的求解 ?思路综合理论知识，先验知识和实验数据三方面，给出一种可能解集的概率分布。 ?解的存在性与唯一性： ——存在性：解集非空 ——唯一性：有关解的可能集被唯一确定 2012-5-224

线性系统正问题、反问题的形式化表述 A：系统传递函数 X :系统输入 Y :系统输出正问题：已知X、A，求Y 反问题：已知Y，求X、A；已知Y、A，求X 2012-5-225

2012-5-226 过定问题求解 [][]) (Y X ?A Y X ?A min J min X ?)(A ,m Y X A ,Y AX H X ? X ?声的数据分析等应用实验的数据拟合、有噪，使即求可用最小二乘法求解，。列满秩设对于过定问题，有维列向量。为维列向量，为矩阵，为已知??==>×=n rank n m n n m

《概率论与随机过程》第1章习题

《概率论与随机过程》第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。（4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（5）一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。（6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。（7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。（8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（9）有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。（10）测量一汽车通过给定点的速度。（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1） A 发生，B 与C 不发生。（2） A 与B 都发生，而C 不发生。（3） A ，B ，C 都发生。（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。（5） A ，B ，C 都不发生。（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。（7） A ，B ，C 中至多于二个发生。（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式（1）B A 。（2）B A ?。（3）B A 。（4） BC A 。（5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，? ?????<≤=234 1x x B ，具体写出下列各式。（1）B A ?。（2）B A ?。（3）B A 。（4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ， B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？

概率统计与随机过程复习提纲

概率统计与随机过程课程编号：H0600071S学分： 4 开课学院：理学院课内学时：64 课程类别：学科基础课课程性质：必修一、课程的性质和目的课程性质：本课程是我校有关专业的学科基础课目的：通过本课程的学习，使学生系统地掌握概率论、数理统计和随机过程的基本理论和基本方法，为后续各专业基础课和专业课的学习提供必要的数学理论基础。另外，通过本课程的系统教学，特别是讲授如何提出新问题、思考分析问题，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力，从而逐步培养学生的创新思维能力和创新精神。二、课程教学内容及基本要求（一）课程教学内容及知识模块顺序第一章概率论的基本概念 8学时（1）随机试验（2）样本空间、随机事件（3）频率与概率（4）等可能概型（古典概型）（5）条件概率（6）独立性教学基本要求：了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系与运算。了解事件频率的概念，理解概率的统计定义。了解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。了解概率的公理化定义，熟练掌握概率的基本性质，会运用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念、概率的乘法定理与全概率公式，会应用贝叶斯(Bayes)公式解决比较简单的问题。理解事件的独立性概念。理解伯努利(Bernoulli)概型和二项概率的计算方法。第二章随机变量及其分布 6 学时（1）随机变量（2）离散型随机变量及其分布律（3）随机变量的分布函数（4）连续型随机变量及其概率密度（5）随机变量的函数的分布教学基本要求：理解随机变量的概念，了解分布函数的概念和性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。理解离散型随机变量及其分布律的概念，熟练掌握0-1分布、二项分布和泊松(Poisson)分布。理解连续型随机变量及其概率密度的概念，熟练掌握正态分布、均匀分布和指数分布。会根据自变量的概率分布求简单随机变量函数的概率分布。

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++；（D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ；

《概率论与随机过程》课程自学内容小结

大学2015～2016学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号：07275061 报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生：学号：任课教师：成绩：评阅日期：

随机序列在通信加密的应用 2015年10月10日摘要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。但对于他们的适用围以及在实际生活中的应用涉及较少。本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。 1. 引言在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。 2. 自学容小结与分析 2.1 随机变量的特征函数在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为：定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C ==? +∞ ∞ - (1) 性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。性质2 求矩公式：0)(|) ()(][=-=u n u x n n n du C d j X E (2) 性质3 级数展开式：!)(][!|)()()(0 00n ju X E n u du u C d u C n n n n n n n n X ∑∑∞ ==∞ === (3) 2.2 大数定律与中心极限定理定义2 大数定律：设随机变量相互独立，且具有相同的μ=)(k X E 和,...2,1,)(2 ==k X D k σ, 则0∈>?,有

《概率论与随机过程》第1章习题

3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式（1）B A 。（2）B A ?。（3）B A 。（4） BC A 。（5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，?????? ≤<=121x x A ，? ?????<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。（1）B A ?。（2）B A ?。（3）B A 。（4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求第4只次品管子在下列情况发现的概率。（1）在第5次测试发现。（2）在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品。（2）二只都是次品。（3）一只是正品，一只是次品。（4）第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率

傅献彩五版物理化学思考题

第二章热力学第二定律 1. 什么是自发过程？实际过程一定是自发过程？答：体系不需要外界对其作非体积功就可能发生的过程叫自发性过程，或者体系在理论上或实际上能向外界做非体积功的过程叫自发过程。实际过程不一定是自发性过程，如电解水就是不具有自发性的过程。 2. 为什么热力学第二定律也可表达为：“一切实际过程都是热力学不可逆的”？答：热力学第二定律的经典表述法，实际上涉及的是热与功转化的实际过程的不可逆性。导使过程的不可逆性都相互关联，如果功与热的转化过程是可逆的，那么所有的实际过程发生后都不会留下痕迹，那也成为可逆的了，这样便推翻了热力学第二定律，也否定了热功转化的不可逆性，则“实际过程都是不可逆的”也不成立。因而可用“ 一切实际过程都是不可逆的”来表述热力学第二定律。 3. 可逆过程的热温商与熵变是否相等，为什么? 不可过程的热温商与熵变是否相等？答：可逆过程的热温商即等于熵变。即ΔS ＝Q R /T (或ΔS ＝∫δQ R /T )。不可逆过程热温商与熵变不等，其原因在于可逆过程的 Q R 大于 Q Ir ，问题实质是不可逆过程熵变由两部分来源，一个是热温商，另一个是内摩擦等不可逆因素造成的。因此，不可逆过程熵变大于热温商。由于熵是状态函数，熵变不论过程可逆与否，一旦始终态确定, 则ΔS 值是一定的。 4. 为什么说(2-11)式是过程方向的共同判据? 为什么说它也是过程不可逆程度的判据? 答：(2-11)式为：ΔS A →B －∑A δQ /T ≥0，由于实际过程是不可逆的，该式指出了实际过程只能沿 ΔS A →B －∑A δQ /T 大于零的方向进行；而 ΔS A →B －∑A B δQ /T 小于零的过程是不可能发生的。因而(2-11)式可作为过程方向的共同判据。但不是自发过程方向的判据．(ΔS-∑δQ /T ) 的差值越大则实际过程的不可逆程度越大，因此又是不可逆程度的判据。 5. 以下这些说法的错误在哪里？为什么会产生这样的错误？写出正确的说法。 B (1)因为ΔS ＝｜ δQ R /T ，所以只有可逆过程才有熵变；而ΔS ＞∑δQ Ir /T ，所以不可 A 逆过程只有热温商，但是没有熵变。 (2) 因为ΔS ＞∑δQ Ir /T ，所以体系由初态 A 经不同的不可逆过程到达终态 B ，其熵的变值各不相同。 B (3) 因为ΔS ＝｜δQ R /T ，所以只要初、终态一定，过程的热温商的值就是一定的， A 因而 ΔS 是一定的。答：(1) 熵是状态函数，ΔS ＝S B －S A 即体系由 A 态到 B 态其变化值 ΔS 是一定的，与过程的可逆与否无关；而热温商是过程量，由A 态到B 态过程的不可逆程度不同，则其热温商值也不相同。产生上述错误的原因在于对熵的状态函数性质不理解，把熵变与 B 热温商这两个本质不同的概念混为一谈。ΔS ＝｜ δQ R /T ，只说明两个物理量值上相 A 等，并不是概念上等同。 (2) 因为熵是状态函数不论过程可逆与否，其ΔS ＝S B －S A ，只要始终态一定，其值一定，其改变值与过程无关。错误原因在于没掌握好状态函数的概念。 (3) 错误在于将过程量热温商与状态函数改变量混为一谈，始终态一定，热温商可以是许多数值。正确的说法是：只要始、终态一定，其ΔS 改变值就一定，热温商的却随过程的不可逆程度不同而不同，而其中可逆过程的热温商数量等于熵变ΔS 。 6.“对于绝热过程有ΔS ≥0，那末由A 态出发经过可逆与不可逆过程都到达B 态，这样同一状态B 就有两个不同的熵值，熵就不是状态函数了”。显然，这一结论是错误的，错在何处？请用理想气体绝热膨胀过程阐述之。答：绝热可逆过程中ΔＳ值一定等于零，因此该过程中Q R ＝0，体系与环境无热交换；而绝热不可逆过程中，Q Ir ＝0，而ΔＳ一定大于零．另外，从同一始态出发经绝热可逆过程与绝热不可逆过程达到的终态是不同。现以理想气体从同一始态出发，分别经过绝热可逆膨胀和绝热不可逆膨胀达到相同的压力，绝热可逆膨胀过程向外做的功的绝对值比绝热不可逆过程膨胀向外做的功的绝对值要大些，内能降低得也多些，故绝热可逆过程终态温度低于绝热不可逆过程终态温度，相同的终态压力时，终态体积

05-06概率论与随机过程试题(A卷)

05-06概率论与随机过程试题（A ）一、选择题 1．设0

2．设随机变量X 的密度函数为, 0 1, ()0, .ax x f x <

一种基于熵率超像素分割的多聚焦图像融合

第41卷第9期光电工程V ol.41, No.9 2014年9月Opto-Electronic Engineering Sept, 2014 文章编号：1003-501X(2014)09-0056-07 一种基于熵率超像素分割的多聚焦图像融合王亚杰，叶永生，石祥滨 ( 沈阳航空航天大学工程训练中心，沈阳 110136 ) 摘要：针对多聚焦图像融合问题，提出一种基于熵率超像素分割的多聚焦图像融合方法。首先，将多聚焦源图像进行预融合；然后，用熵率超像素分割方法将融合图像分割成不同的区域，得到一幅融合图像的分割图像，对得到的分割图像进行膨胀操作得到新的分割图像，每个区域计算源图像相应区域的区域空间频率，从源图像中选择区域空间频率大的区域赋予融合图像。最后，当融合图像的相邻区域来自不同的源图像时，对他们的边界进行边缘处理，从而得到最终的融合图像。实验结果表明，所提出的方法能够得到较好融合效果，同时还具有运行效率高等优点。关键词：熵率；超像素分割；多聚焦图像融合；空间频率中图分类号：TP391 文献标志码：A doi：10.3969/j.issn.1003-501X.2014.09.010 Multi-focus Image Fusion Based on Entropy Rate Superpixel Segmentation WANG Yajie，YE Yongsheng，SHI Xiangbin ( Engineering Training Center, Shenyang Aerospace University, Shenyang 110136, China ) Abstract: Focusing on mulit-focus image fusion, an image fusion algorithm based on the entropy rate superpixel segmentation is presented. First of all, the multi-focus images are fused in advance. Secondly, the fused image is divided by using entropy rate superpixel segmentation, thus a split image of the fused image is got, and then a new split image is obtained by dilating the split image. The region spatial frequency of each source image’s corresponding area is calculated, and the larger region spatial frequency area from the source images is chosen to construct the new fusion image. Finally, when the neighbor areas of fusion image come from different source images, their borders should be processed, thereby the final fusion image is got. The experimental results show that the proposed method can obtain a better fusion effect, and also operate efficiently. Key words: entropy rate; superpixel segmentation;multi-focus image fusion;space frequency 0 引言由于光学系统的聚焦范围有限，很难将场景中的所有景物都成像清晰。当某个物体位于焦平面上时，在像平面上将会形成一个清晰的图像，而此时位于其他位置上的物体在像平面上所形成的图像将呈现出不同程度的模糊。这一问题可以通过多聚焦图像融合技术解决[1]。早期的多聚焦图像融合方法有加权平均法、主成分分析法、塔式分解等，但是这些方法对图像的细节信息提取能力有限。离散小波变换(Discrete Wavelet Transform, DWT)具有多分辨率、方向性及各尺度上的独立性的分析特性，使得小波变换成为人们研究的热点。但是由于DWT分解后的方向子带数有限，小波收稿日期：2014-01-20；收到修改稿日期：2014-04-10 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61170185)；辽宁省教育厅科研项目(L2012052) 作者简介：王亚杰(1968-)，女(汉族)，辽宁铁岭人。教授，博士，主要研究图像融合、模式识别、机器博弈；通信作者：叶永生(1989-)，男(汉族)，四川内江人。硕士研究生，主要研究图像融合。E-mail：544326271@https://www.360docs.net/doc/0b2985993.html,。 https://www.360docs.net/doc/0b2985993.html,

熵焓自由能

熵焓自由能 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

熵、焓、自由能熵 . 熵：热量与温度之商乘坐熵，记作S。 S = Q / T . 熵变; 熵的变化量称为熵变，记作ΔS ΔS = ΔQ / T . Q 为系统吸收的热量，T为系统的温度。熵变等于系统从热源吸收的热量与系统的热力学温度之比，可用于度量热量转变为功的程度。熵表示热量转化为功的程度，也表示系统中的无序程度， 1、熵越大，其做功能力下降，无序程度增加。 2、熵是表示物质系统状态的一个物理量，它表示该状态可能出现的程度。、 3、孤立体系（即绝热体系）中实际发生的过程必然要使它的熵增加。 4、对于纯物质的晶体，在热力学零度时，熵为零. ：有两种表述形式。表述1：不可能用有限个手段和程序使一个物体冷却到绝对温度零度。表述 2：一切纯物质的晶体，在热力学零度时，熵为零。标准熵：1 mol物质在下所计算出的熵值，称标准摩尔熵，简称标准熵。用ST q表示，单位：J·mol-1 ·K－1 熵的规律：

(1) 同一物质，气态熵大于液态熵，液态熵大于固态熵； ST q(g) > ST q(l) > ST q(s) S q H2O (g) > H2O (l) > H2O (s) (2) 相同组成的分子中，分子中原子数目越多，熵值越大； S q O2 (g) < S q O3 (g) S q NO (g) < S q NO2 (g) < S q N2O4 (g) S q CH2=CH2 (g) < S q CH3-CH3 (g) (3) 相同元素的原子组成的分子中，分子量越大,熵值越大； S q CH3Cl(g) < S q CH2Cl2 (g) < S q CHCl3(g) (4) 同一类物质，越大，结构越复杂，熵值越大； S qCuSO4(s) < S qCuSO4·H2O(s) < SqCuSO4·3H2O(s) < SqCuSO4·5H2O (s) S qF2(g) < S qCl2(g) < S qBr2(g) < SqI2 (g) (5) 固体或液体溶于水时，熵值增大，气体溶于水时，熵值减少。反应熵变的计算公式一般地，对于标准状态下的反应：m A + n B =x C + y D 熵变 =(x × C 的标准熵 + y × D的标准熵)-(m × A的标准熵 + n × B的标准熵) = [x Sq,C + y Sq,D] – [m Sq,A + n Sq,B] 热力学第二定律：孤立体系（即绝热体系）的自发过程是体系熵增加的过程，即：

随机过程的熵速率

Lecture 1：随机过程的熵速率序列中随机编码相关时候、平稳时的熵速率如何？本节显示以速率),,,(21n X X X H ")(χH 随着n 线性增加。)(χH 称为过程的熵速率entropy rate. 1. Markov 链定义1：随机过程的平稳性 },,Pr{},,Pr{1111n l n l n n x X x X x X x X =====++""，对所有的l 和所有的χ∈n x x x ,,,21" 定义2：markov 链或markov 过程 }|Pr{},,|Pr{11111n n n n n n n n x X x X x X x X x X ======+++"，对所有的χ∈+121,,,,n n x x x x " 这种情况下，随机变量的联合概率密度函数可写为 )|()|()()(112121?=n n n x x p x x p x p x x x p "" 定义3：时不变markov 链 }|Pr{}|Pr{121a X b X a X b X n n =====+，对所有的χ∈b a , }{i X 是Markov 链，称为时刻n 的状态，对于时不变Markov 链可由初态和概率转移矩阵n X }|Pr{},,,2,1{,],[1i X j X P m j i P P n n ij ij ===∈=+"来描述其特性。如果能从Markov 的任何一个状态以正概率通过有限步转移到Markov 过程的任何一个其他的状态，称Markov 链是不可约的(irreducible) ∑+=+n n n x x x n n P x p x p 1)()(1 如果n+1时刻的状态分布与n 时刻的相同，称为平稳分布。如果有限状态Markov 链是不可约的且是非周期的，则平稳分布是唯一的，且从任意开始分布，随，状态分布趋于平稳分布。 ∞→n n X 2．熵速率对一有n 个随机变量的序列，问题：随着n 增加序列的熵是怎样增加的？熵速率就是熵增加的速率。定义4：随机过程的熵速率 }{i X ),,(1 lim )(1n n X X H n H "∞→=χ,当极限存在时（每符号的熵）例1：打字机：每个符号有m 种等该概可能，长为n 的序列熵为 1(,,)log ,()log n n H X X m H χ=="m

热力学基础测试题

热力学基础测试题（一）的标准摩尔生成焓的反应是……… (1) 表示CO 2 (2)下列情况中属于封闭体系的是……………………… (A) 用水壶烧开水(B)氯气在盛有氯气的密闭绝热容器中燃烧 (C) 氢氧化钠与盐酸在烧杯里反 (D)反应在密闭容器中进行应 (3)下列叙述中正确的是……………………… (A) 恒压下ΔH＝Q p及ΔH＝H2－H1。因为H2和H1均为状态函数，故Qp也为状态函数。 (B) 反应放出的热量不一定是该反应的焓变 (C) 某一物质的燃烧焓愈大，其生成焓就愈小 (D) 在任何情况下，化学反应的热效应只与化学反应的始态和终态有关，而与反应的途径无关 (4) 按通常规定，标准生成焓为零的物质有………………… (A) C（石墨）(B) Br2(g) (C) N2(g)(D) 红磷（p） (5)下列叙述中正确的是……………… (A) 由于反应焓变的常用单位是KJ/mol，故下列两个反应的焓变相等： (B) 由于CaCO3的分解是吸热的，故它的生成焓为负值

(C) 反应的热效应就是该反应的焓变 (D) 石墨的焓不为零（g）的生成焓等于………………… (6)CO 2 (A) CO2（g）燃烧焓的负值(B) CO(g)的燃烧焓 (C) 金刚石的燃烧焓(D) 石墨的燃烧焓 (7)由下列数据确定键N－F的键能为 ………………………… (A) 833.4KJ/mol(B) 277.8 KJ/mol (C) 103.2 KJ/mol(D) 261.9 KJ/mol (8)由下列数据确定水分子中键O－H的键能应为 ……………………… (A) 121KJ/mol(B) 231.3 KJ/mol (C) 464 KJ/mol (D) 589 KJ/mol （g）的为 (9)由下列数据确定 CH 4 ………… (A) 211 KJ /mol(B) -74.8KJ/mol (C) 890.3KJ/mol(D) 缺条件，无法算。

浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案张帼奋主编第七章数理统计习题__奇数

注意：这是第一稿（存在一些错误）第七章数理统计习题__奇数.doc 1、解由θ θθμθ 2 ),()(0 1===? d x xf X E ，204103)(2 221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^ =θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，n n X D D 5204)2()(2 2 ^ θθθ= ? ==。 3、解由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为： 3 2 62121^ =-=- =X θ。建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L 令014 8))1ln(4ln 8()(ln =--=?-+?=??θ θθθθθθL ，得到θ的极大似然估计值：32^=θ 5、解由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为 ^ 32p = = 建立关于p 的似然函数：32 10)1()2 )1(3()()2)1(( )(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =??p p L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 222 10^++= 7、解（1）记}4{<=X P p ，由题意有}4{}4{}4{-≤-<=<=X P X P X P p 根据极大似然估计的不变性可得概率}4{<=X P p 的极大似然估计为： 4484.05.0)6 4 ()64( 5.0)25 /2444( )25 /2444( 22^ =-Φ=-Φ-=--Φ--Φ=s s p （2）由题意得：)6 24 ( )25 /244( }{}{105.012-Φ=-Φ=≤=>-=-A s A A X P A X P ，于是经查表可求得A 的极大似然估计为0588.12^ =A

(完整word版)熵变的计算.docx

1 2.3 熵变的计算计算过程的熵变时，应注意熵是状态函数，确定体系的始末态，在始末态之间设计一个可逆过程来求体系的熵变。 2.3.1 理想气体简单状态变化的体系熵变的计算（ 1）单纯的状态变化 B S S B S A A Q （1） T r 恒压过程： B S A dH B C p dT （2） T A T 恒容过程： B S A dU B C V dT T （3） A T 恒温过程： Q r U W r （4） S T T 一般过程： S nRln V B C V ln T B （8） V A T A S C p ln T B nR ln p B （9） T A p A S C p ln V B C V ln p B （10） V A p A 环境和隔离体系熵变的计算环境熵变按定义 B Q S 环 A T 环计算。 Q 为体系实际进行的过程中体系所吸收的热，不是虚拟的过程中体系所吸收的

2热。上例中体系实际进行的过程中体系所吸收的热和虚拟的过程中体系所吸收的热是相等的，因为两个过程都是恒压的。体系的热效应可能是不可逆的，但由于环境很大，对环境可看作是可逆热效应，所以，任何可逆变化时环境的熵变 dS(环 )Q R (体系 ) / T (环) 2.3.2 相变过程的熵变（ a）可逆相变相变分可逆相变和不可逆相变。在相平衡条件下发生的相变为可逆相变。如一大气压下， 100℃的水蒸发为 100℃的水蒸气就是可逆相变； 0℃的冰融化为 0℃的水也是可逆相变。对于恒温恒压非体积功为零的条件下发生的可逆相变， S Q r H （24）T T （ b）等温等压不可逆相变不在相平衡条件下发生的相变为不可逆相变。如一大气压下，（ - 10）℃的冰融化为（- 10）℃的水就是不可逆相变。过冷蒸气的液化、过冷液体的凝固及过热液体的气化等过程, 均属于不可逆相变过程 .对这一类不可逆过程, 利用状态函数法，可以设计一个可逆相变过程来求解。以过冷液体的等压不可逆凝固相变过程为例: 设指定物质 A的可逆相变温度为T R , 相变潜热为S H m .其实际相变温度为T I , 实际热效应为 Q .因在 T I时是不可逆相变过程, 体系的熵不能用Q 来求解 , 需设计可逆过程 , 故可有: A ( , T I )S m(,) l A s T I ↓Δ S m, 1↑S m, 3 A(l ,T R )S S m, 2A( s,T R ) 熵是状态函数 , 只与始末态有关 , 故S m S m,1S S m,2S m,3 过程 1 和过程3 都是等压可逆变温过程, 而过程 2是等温等压可逆相变过程, 故有 : S m,1T R C p, m (l )dT , V S m,2S H m , S m,3T I C p ,m (s)dT T I T T R T T R 所以 :S m S H m / T R T I(C p ,m (s) C p,m (l )) / TdT T R 若 C p, m( l) 和 C p, m( s) 均为与温度无关的常数, 则上式积分如下 :

《概率论与随机过程》第1章习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。解： ? ??????=n n n n S 100 , ,1,0 ，其中n 为小班人数。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。解：{}18,,4,3 =S 。（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。解： {}10,,4,3 =S 。（4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。解： { } ,11,10=S 。（5）一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。（6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。（7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。（8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。（9）有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放在盒子A 中，余者类推。（10）测量一汽车通过给定点的速度。解：{}0>=v v S （11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的长度。# 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1） A 发生，B 与C 不发生。解：C A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。解： ABC （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。解： C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。解： C B A （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。解： A C C A ?? （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。解： C B A ?? （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。解： CA BC AB ??. # 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式（1）B A 。解： {}5=B A ；（2）B A ?。解： { }10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ；（3）B A 。解：{}5,4,3,2=B A ；