三角函数与复数专题训练
三角函数测试题
三角，向量及复数综三角合测试题一， 选择题1，复数,1,21i z i z +==那么复数21z z ⋅在复平面上的对应点所在象限是 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2，平面向量a 与b 的夹角为 ︒60，且,1,2==b a 则b a3-= ( )A5 B 7 C 19 D 53，△ABC 的外接圆的圆心为1，若,0=++C O B A A O 且,B A A O =则=⋅B C A C ( )A23B 3C 3D 324，在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD=E ,60︒是BC 的中点，则=⋅E A C A( )A333+ B 29 C3 D495，△ABC 中，,3222bc a c b +=+则=--)sin(cos sin 2C B C B （ ）A 33B 23C 22D 216，若满足条件AB=3，C=3π,的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围 ( )A ()2,1B ()3,2 C()2,3 D ()2,27,设函数())0(sin )3sin(>++=w wx wx x f π相邻两条对称轴间的距离为2，则()1f = ( )A23 B 23- C 23 D 23- 8，若,542sin ,532cos-==αα则角θ的终边所在的直线为 ( ) A 0247=+y x B 0247=-y x C 0724=+y x D 0724=-y x9,已知函数=+=y x x y ,cos sin ,cos sin 22x x 则下列结论正确的是 ( )A 两个函数的图像均关于点()0,4π-成中心对称 B 两个函数的图像均关于直线4π-=x 成轴对称C 两个函数在区间()4,4ππ-上都是单调递增函数D 两个函数的最小正周期相同10，函数()ϕπ+=x y sin 的部分图像如图所示，设p 是图像的最高点，A,B 是图像与x 轴的交点，则tan ∠=APB （ ）A 8B 81C 78D 87二，填空题11，若复数,,sin cos ,342121R z z i z i z ∈⋅+=+=θθ则=θtan _____________12，在△ABC 中，,21,2,1===ABC S AC AB 则=BC _______________ 13，已知正方形ABCD 的边长为1，则=-D B B A2______________14，若θθ,53sin =为第二象限角，则=θ2tan _______________ 15，已知函数()x f 满足下面关系:),2()2(ππ-=+x f x f 当(]π,0∈x 时，(),cos x x f -=给出下列命题:① 函数()x f 为周期函数 ② 函数()x f 是奇函数 ③ 函数()x f 的图像关于y 轴对称 ④ 方程()x x f lg =的解的个数是3， 其中正确命题的序号是_______________三，解答题16，(本题12分) 在△ABC 中，已知c B b aconB =-sin ()1 若,6π=B 求A ()2 求B A sin sin +的取值范围17，(本题12分) 已知向量)3,1()),2cos(),2(sin(=++=b x x aθθ，函数()b a x f ⋅=为偶函数，且[]πθ,0∈，()1 求函数()x f 的解析式；()2 设()1),2,0(=∈x f x π，求x 的值18，(本题12分) 已知函数(),233cos 33cos 3sin2-+=x x x x f ()1 求()x f 的最小正周期及对称中心；()2 若()π,0,21cos ∈≥x x ，试求x 的范围及此时函数()x f 3的值域；19，（本题13分） 在△ABC 中,若,1=⋅=⋅C B A B C A B A()1 求证:B A = ()2 求边长c的值，()3 若6=+C A B A,求△ABC 的面积；20，（本题13分） 已知向量(),)(),23,(cos ),1,(sin m n m x f x n x m⋅+==-= ()1当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数()x f y =的值域 ()2 锐角三角形ABC ,若,10232,27,245=⎪⎭⎫ ⎝⎛==B f b c a 求边c a ,；21，（本题13分） 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知,6km AC AB ==现计划在BC 边上的高AO 上一点P 处建造一个变电站，记P 点到三个村庄的距离之和为y ；()1 若∠,α=PBO 把y 表示成α的函数关系式；()2变电站建于何处时，它到三个村庄的距离之和最小?2。
三角函数 平面向量 复数
（求 数 （的 区 ； ２ 函 厂）增 间 ） ｚ
ｆ（０ ６ ２ ０ ）＋ ｆ ２ ０ ）＋ ｆ ２ ０ ） ＋ ｆ ２ ０ ） ＝ （ ０ ７ （０ ８ （０９
４ ．已知 厂（ ） Ａｓ （ ｘ ｚ ＝ ｉ ｏ ＋ ）（ ｎ ａ Ａ＞ ０ ｏ ０ ，＞ ， Ｊ
（
） ．
Ｉ
丌
Ｉ ４ ． ３ 一 － ． 一 ， － ｓ ｓ － ５
）・ 的值 为
．
— —
一 ０则 （ ＋ ，
（ ）ｓ ｚ＜ 旦ｚ Ａ ｉ ｎ
（ ｃ）ｓｎ ＜ ４ｚ ２ ｉｚ
（ ） ｓ ＞ Ｂ ｉ
７＂ ｌ
三、 解答 题
， ●●●， 、●●【
＋ 商 ， 则
．
— —
必 考 基 础 题 训 练
米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米 米
４ ．若 （ｉ ｏ ｚ ２ ｓ ＋ｃ ｓ） 一 ＋２ ， ｎ ～ ０∈ （ ， ） ｏ ，
Ａ 组
则 ｔｎ 一 ａ０
．
— —
１复数（十｛）的 ． １ 值是（ ） ．
（ Ａ）一 ８ （ Ｂ）８ （ ｃ）一 ８ （ ｉ Ｄ）８ ｉ
ＡＡＢ 的边 长是 （ Ｃ
（ Ａ）２
（ ４ Ｂ）
求 ：１ （ ）函数 厂 ｚ （ ）图像 的对 称 中心 的 坐标 ；
） ．
Ａ
Ｂ ／
Ｃ
Ｚ Ｊ
（ ３ ｃ）
＼
（ ５题 ） 第
（号 Ｄ ）
二 、 空题 填
１ ．设 “一 ｌｇ ｔｎ ０ ， ｏ ＋ ａ ７ 。 ｂ— ｌｇ ｓ ２ 。 ｏ ￣ ｉ ５ ，ｃ一 ｎ
高考数学第四章三角函数平面向量与复数第26讲三角形中的三角函数考点集训文人教A版
2．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c.若 asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b，且 a>b，则 B ＝( )
π
π
2π
5π
A.6
B.3
C. 3
D. 6
【解析】∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b，∴根 据正弦定理可得 sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝12
即 sin(A－B)＝0. 因为 A，B∈(0，π)，所以 A－B∈(－π，π)，所 以 A－B＝0， 所以 a＝b，即ba＝1.
(2)因为
sin
A＝13，且
A
为锐角，所以
cos
A＝2
2 3.
所以 sin C＝sin(π－2A)＝sin 2A＝2sin Acos A＝
4 9
2，
cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝－1＋2sin 2A＝
B组
1．在△ABC 中，已知 A 是三角形的内角，且 sin A ＋cos A＝35，则△ABC 一定是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定三角形的形状
【解析】将 sin A＋cos A＝35>0 左右两边同时平方 得 1＋2sin Acos A＝295，解得 2sin Acos A＝－1265<0， 所以 sin A>0，cos A<0，因此角 A 为钝角，三角形为 钝角三角形，故选 A.
【答案】A
2．在△ABC
中，“csoins
AA＝22csoins
C＋cos C－sin
AA”是“角
A，B，C 成等差数列”的( )
三角函数与复数专题训练
专题四 三角函数与复数【考点聚焦】考点1：函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系以及根据图象写出函数的解析式考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；考点4：和、差、倍、半、、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式；考点5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理；【自我检测】1． 同角三角函数基本关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿. 2． 诱导公式是指α的三角函数与－α，180ºα±,90ºα±,270ºα±,360º－α，k 360º+α(k ∈Z)三角函数之间关系：奇变偶不变，符号看象限.3． 两角和与差的三角函数：sin(α±β)=_______________________;cos (α±β)=________________________;tan (α±β)=_________________________. 4． 二倍角公式：sin2α=__________;cos2α=_________=__________=___________ tan 2α=_____________.5． 半角公式：sin 2α=_______，cos 2α=_______,tan 2α=________=________=______.6． 万能公式sin α=_____________,cos α=_____________,tan α=_____________. 7． 三角函数的图象与性质：问题1：三角函数的图象问题关于三角函数的图象问题，要掌握函数图象的平移变化、压缩变化，重点要掌握函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系，注意先平移后伸缩与先伸缩后平移是不同的，要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式. 例1．（05天津理）要得到y x =的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度思路点拨：将)42sin(2π+=x y 化为)42cos(2π-=x y ，再进行变换.解答：变换1：先将)42c o s (2π-=x y 的图象向左平移8π个单位，得到x x y 2c o s 2]4)8(2c o s [2=-+=ππ的图象，再将x y 2cos 2=的图象的横坐标缩短到原来的2倍得到x y cos 2=.变换2：先将)42c o s (2π-=x y 的图象的横坐标缩短到原来的2倍，得到)4c o s (2π-=x y 的图象，再将)4c os(2π-=x y 的图象向左平移4π个单位，得到x y c os 2=.由上可得，应选C.演变1：函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ）A ．4,2πϕπω== B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,10坐标代入即可.问题2：三角函数的求值问题关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,合理选择公式,正确选择所求三角函数值的符号例2：已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（I ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求xx x xxx cot tan 2cos2cos2sin22sin322++-的值.思路分析：将sin x -cos x =51平方，求出sin x cos x 的值，进而求出（sin x -cos x ）2，然后由角的范围确定sin x -cos x 的符号. 解法一：（Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）x xx xx xxx x xxx sin cos cos sin 1sin 2sin2cot tan 2cos2cos2sin2sin3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x 解法二：（Ⅰ）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o s x x x x x π 或故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）xx x xxx cot tan 2cos2cos2sin2sin322++-x xx xx xsin cos cos sin 1sin 2sin 22++-=125108)53542(54)53()sin cos 2(cos sin -=+-⨯⨯-=--=x x x x点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等①②基本知识，以及推理和运算能力. 演变1：已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求.点拨与提示：用已知中的角表示所求的角.问题3：三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题有关三角函数的单调性、周期性等问题，通常需要先变形化简，然后求解. 例3：设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像.思路点拨：正弦y =sin x 的图象的对称轴为直线)(2Z k k x ∈+=ππ，其对称轴与x 轴交点的横坐标即是使函数取得最值的x 值. 解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<-（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此由题意得 .,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =点评：本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 演变3：已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令πππ.求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.问题4：“拆项”与“添项”的问题“拆项”与“添项”是指在作三角变换时，对角或三角函数可以分别进行面或添项处理.例4：（1）求8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++的值； （2）已知：41)2tan(,52)tan(=-=+πββα，求：)4tan(απ+的值.思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如（1）中的含有角7º、15º、8º，发现它们之间的关系是15º＝7º＋8º，故可将7º拆成15º－8º；同理在第（2）题中απ+4可以拆成两角差，即)4()(πββα--+.解：（1）8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++＝8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(+-+-＝15cos 8cos 15sin 8cos＝tan15º=30sin 30cos 1-=32-(2) ∵απ+4=)4()(πββα--+∴tan(απ+4)=tan[)4()(πββα--+]＝)4tan()tan(1)4tan()tan(πββαπββα-++--+＝415214152⨯+-＝223点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.演变4：求20cos 20sin 10cos 2-的值.点拨与提示：10º＝30º－20º.点拨与提示：利用复数加、减法的几何意义求解. 专题小结1．三角变换常用的方法技巧有切割化弦法，升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法等．对于三角公式要记忆准确（在理解基础上），并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．2．三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点．最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．三角函数图象各种变换的实质要熟练掌握，不能从形式上简单判断．3．解三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式．要充分发挥图形的作用，注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能 【临阵磨枪】 一、选择题1．已知f (cos x )=cos3x ，则f (sin30º)的值为（ ）A 0B 1C －1 D232．（2006年辽宁卷）A B C 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q,则角C 的大小为 (A)6π(B)3π(C)2π(D)23π3．（2006年安徽卷）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-4．把函数)3sin 3(cos 22x x y -=的图象适当变动，就可得到y =－sin3x 的图象，这种变动可以是（ ）A 沿x 轴向右平移4πB 沿x 轴向左平移4πC 沿x 轴向右平移12πD 沿x 轴向左平移12π5．已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别是A ，B ，O 为坐标原点，当 7．函数y =3sin(x +20º)+5sin(x +80º)的最大值为（ ） A211 B 213 C 7 D 88．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（ ）A ．6π B ．4πC ．3πD ．2π9．在△ABC 中，若ba b a B A +-=-2tan ，其中a,b 分别是∠A ，∠B 的对边，则△ABC是（ ）A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰或直角三角形 10．函数y =23cos32sin 212+-=x x y 的最小正周期为（ ） A 2π B π C 2πD4π二、填空题11 已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=______12 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________14．设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为f (x )在[a ，b ]上的面积，已知函数y ＝sin （nx ）在[0，nπ]上的面积为n2（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .三、解答题15 不查表求值：.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒16 （2006年安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=-（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．（2006年四川卷）已知,,A B C 是三角形A B C ∆三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅= .（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B+=--，求tan B .19 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log21++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值参考答案1．C 提示：1180cos )60(cos )30(sin -=︒=︒=︒f f2 B 提示：222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B.3．C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=.4．D 提示：)]12(3sin[)43sin(ππ--=--=x x y 5．B 提示∠AOB ＝60º，｜z 2|=2|z 1|=4，3260sin ||||2121=︒⋅=∆z z S AOB6．B 提示：)]23sin()23[cos(2sin 2πθπθθ-+--=i z ，∵02sin ,2223<-<<θπθπ，).3(21arg ,2230πθππθ-=∴<-<Z7．C 提示：y =3sin(x +20º)+5sin(x +80º)＝3sin(x +20º)+5sin[(x +20º)＋60º] ＝7)20sin(7)20cos(235)20sin(211≤+︒+=︒++︒+ϕx x x 8．D 提示：θθθθθθc os sin 2121)sin 1)(cos 1(21cos 21sin 211-=-----=∆OAB S11sin 224θ=-， 当2θπ=即2πθ=时，面积最大.9．D 提示：由正弦定理得：2cos2sin22cos 2sin 2sin sin sin sin 2tanB A B A B A B A Ba B A ba b a B A -++-=+-=+-=-＝2cot2tanB A B A +-，∴02tan =-B A 或12cot =+B A ∴02=-B A 或22π=+B A∴A ＝B 或A ＋B ＝90º 10．D 提示：)22sin(23232cos 232sin 21π-=+--=x x x y ，则π=T11．247 提示 ∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,2212()2tan 42tan 2.11tan 31()2βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 2241()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯-126556 提示 α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π3 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=+=⨯+-⨯-=+⋅-++⋅--=++--=-++-=+∴-=+∴=+∈+∴∈=-∴βαβππαβππαβππαπβππαβαβπβπππβππβπα即 13．1-32i 提示：设z =a +b i,由(3+2i)(a +b i)=3(a +b i)+3+2i,得3a -2b =3a +3,2a +3b =3b +2,∴a =1,b =32-.14．π+32,34 提示：由题意得：，，x y 34232]320[3sin =⨯=上的面积为在π 上的图象在]343[1)3sin(πππ，x y +-=为一个半周期结合图象分析其面积为π+32.15 答案 216．解：(Ⅰ)由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1tan 3α=-为所求.（Ⅱ）225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-==6-17．解：原方程化简为i i z z z-=++1)(2,设z =x +y i(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2x i=1－i ，∴ x 2+y 2=1且2x =－1,解得x =－21且y =±23, ∴原方程的解是z =-21±23i .18． 解：（Ⅰ）∵1m n ⋅=∴(()cos ,sin 1A A -⋅=cos 1A A -=12sin cos 122A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-=∴3A π=（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--=-811+=19 解 设u =sin α+cos β 则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4∴u 2≤1,－1≤u ≤1 即D =［－1,1］,设t=32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤tx =32-t2m ax 0.5m in 0.50.50.514410248242,,8log 0,5log log log 8,821.2t M x t t tt t M ty M M y t x ∴===≤=+++====>∴======-当且仅当即在时是减函数时此时【挑战自我】设a,b ,c 为△ABC 的三边，a ≤b ≤c ，R 是△ABC 的外接圆半径，令f =a+b －2R-8R 2sin2sin2sinC B A ，试用C 的大小来判定f 的符号.解：f =2R （sinA+sinB －1－42sin2sin2sin C B A ）＝2R[2sin )2cos2(cos212cos2sin 2C AB A B AB AB --++--+]＝4R 2sin 2cos 42)2sin 2(sin 2cos C C R R C A B A B -+--+-π＝4R 2sin 42)2sin2(sin 2cos 2C R R CCA B +----π＝2R )2sin2cos2cos2)(2sin2(cosC C A B C C ----由a ≤b ≤c ，得A ≤B ≤C ，所以0＜B －A ＜B ＋A ，因此2cos 2cosC A B >-，2sin 2cos2cosC A B A B =+>-，所以2sin 2cos 2cos2C C A B +>-故当f >0时，2sin 2cos C C >，则0＜C ＜2π当f ＝0时，2sin2cos C C =，则C ＝2π当f ＜0时，2sin2cosC C <，则C ＞2π【答案及点拨】演变1：由图得2,84T T =∴=,由T=2πω,得4πω=,在y =sin(4x πϕ+)中令x =1,y =1,得242k ππϕπ+=+,24k πϕπ=+,得4πϕ=,选(C)演变2：（解法一）由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027α-α=π-α=，即57cos sin =α-α ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sincos 2cos 25722α-α-=α+αα-α=α-α=α=故51sin cos -=α+α ②由①式和②式得 54cos ,53sin -=α=α.因此，43tan -=α，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan 313tan )4tan(-=+-=+-=α-+α=π+α解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得α-=α=2sin212cos 257解得53sin ,259sin2±=α=α即由57cos sin ,1027)4sin(=α-α=π-α可得由于057sin cos ,0cos 57sin <-α=α>α+=α且，故α在第二象限，于是53sin =α.从而5457sin cos -=-α=α，以下同解法一.演变3：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(πππ--++=⋅=x x x x b a x f21t a n t a n 122)222221tan 1tan 222sincos2cos1222x x x x x x x x x x +-=++⋅-+=+-x x cos sin +==)4sin(2π+x .所以2)(的最大值为x f ，最小正周期为,2π]4,0[)(π在x f 上单调增加，[,]42ππ上单调减少.演变4：∵10º＝30º－20º，∴原式＝︒︒-︒︒+︒︒=︒︒-︒-︒20cos 20sin )20sin 30sin 20cos 30(cos 220cos 20sin )2030cos(2＝2cos30º=3.演变5：原方程可化为022)5()2(2=-++-+i x i x i△＝[]i i i i i i 188241024)22)(2(4)5(2=+-+=-+-+-.而18i 的平方根为)1(3i +±，所以方程的根为)2(2)1(352,1i i i x ++±+=，∴i x x 5351,221-==.演变6：提示：∵｜z 1+z 2｜=|z 1－z 2|（y 1y 20≠），∴|1||1|2121-=+z z z z .即21z z 在复平面内对应的点到（－1,0）、（1,0）的距离相等，∴21z z 对应的点在虚轴上，即21z z 为纯虚数.演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案。
复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案
专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+√3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，求证：(z1z2)2一定是负数．3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=b i（b∈R，i是虚数单位），z+31−i是实数.(1)求b的值；(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i，其中m∈R.(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+i的值.6．（2022·高一单元测试）设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；(2)若z1z2是纯虚数，求z1的共轭复数.7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+b i（i为虚数单位，b>0，且z2为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i，求ω的模．8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−12+√32i，求证：(1)ω，ω2，1都是1的立方根；(2)1+ω+ω2=0．9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10．（2023·高一单元测试）已知f(z)=z−1，且f(z1−z2)=4+4i，若z1=2−2i．(1)求复数z1的三角形式与arg z1；(2)求|z1−z2z1+z2|．11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数i z的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=(1−i)2+3(1+i)．2−i(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b的值．13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i，其中i为虚数单位．1−i(1)求z及|z|；(2)若z2+az̅+b=2+3i，求实数a，b的值．14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z̅=8.(1)求复数z；(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及(1+i√2)n的值．16．已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4，求ω的三角形式；(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+m i（i是虚数单位，m∈R），且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i，求|z1|；(2)设复数z2=a-i2022z，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z2−i∈R，其中i是虚数单位．(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1=1+2i,z2=3−4i，i是虚数单位．(1)求z1⋅z2；(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3．20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2 i，其中i是虚数单位，为纯虚数．且z1z2(1)求复数z1；(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+a i(a∈R)，复数z2=3−4i．(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；(2)若a=2，求z1．z222．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位.(1)求p，q的值;(2)记复数z=p+q i，求复数z的模.1+i23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2；(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R)，求mn.24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−i2+i（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a，b的值.25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．(1)若z=z1z2，求z的共轭复数；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|；(2)若z1+z1=z̅z +zz̅，求a的值.27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=(2+i)2，z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|；(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=√2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．29．（2023·高一课时练习）设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ，(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ，…猜测：(cosθ+i sinθ)n （直接写出结果）； (2)若复数z =√3−i ，利用（1）的结论计算z 10．30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ，求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8，所以x 2+2x =8， 又x >0，所以x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， 所以复数i z 的虚部为6．（2）因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，所以当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ， 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，所以z 1+2i 的实部为−75．12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1)求z 的共轭复数；(2)若az +b =1−i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ，所以z 的共轭复数为1−i ；（2）az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13．（2023·高一课时练习）复数z =(1+i )2+2i1−i ，其中i 为虚数单位． (1)求z 及|z |；(2)若z 2+az̅+b =2+3i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解|z |； （2）首先将z =−1+3i 代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【解答过程】（1）∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i ， ∴|z |=√(−1)2+32=√10．（2）由（1）可知z =−1+3i ，z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ，得：(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i ， 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ，∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.，解得{a =−3,b =7.14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z 是复数，z +2i （i 为虚数单位）为实数，且z +z̅=8. (1)求复数z ；(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【解题思路】（1）设z =c +d i （c ，d ∈R ），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z =c +d i （c ，d ∈R ）， 则z +2i =c +(d +2)i 为实数，即d +2=0，解得d =−2， 所以z =c −2i ，z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8，∴2c =8，得c =4， 所以复数z =4−2i.（2）由（1）知，(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限，所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得：{−2<a <6a <2 ，即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值．【解题思路】利用进位制求出n 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020． ∴n =2020，∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020， (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1．16．已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4，求ω的三角形式； (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ，求实数a ，b 的值.【解题思路】（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求ω，最后再整理成ω的三角形式；（2）根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ，得到(a +b )+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）设复数z=a+b i，(a,b∈R)，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数z，从而求出其模；（2）计算复数(z+m i)2，由复数对应的点在第一象限，可得m的不等式组，解不等式即可得到m的范围．【解答过程】（1）解：设复数z=a+b i，(a,b∈R)，根据题意，z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i，所以b+2=0，即b=−2；又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i，所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则|z|=√42+(−2)2=2√5；（2）解：由（1）可知z=4−2i，所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。
复数的指数与三角形式练习题
复数的指数与三角形式练习题介绍：本文将为您提供一系列关于复数的指数和三角形式的练习题。
通过解答这些题目，您将能够加深对复数指数和三角形式的理解，并提升相关计算的技巧。
每道题后会给出详细的解答，以便您检查自己的答案。
让我们开始吧！题目一：计算以下复数的指数形式并将其写作 a+bi 的形式：1. 4e^(πi/3)2. -2e^(5πi/6)3. 7e^(-πi/4)解答一：1. 4e^(πi/3) = 4(cos(π/3) + isin(π/3)) = 4(cos(π/3) + i*sin(π/3)) = 4(1/2 + i√3/2) = 2 + 2i√32. -2e^(5πi/6) = -2(cos(5π/6) + isin(5π/6)) = -2(cos(5π/6) + i*sin(5π/6)) = -2(-√3/2 + i/2) = √3 - i3. 7e^(-πi/4) = 7(cos(-π/4) + isin(-π/4)) = 7(cos(-π/4) + i*sin(-π/4)) =7(√2/2 - i√2/2) = 7√2/2 - 7i√2/2 = 7/√2 - 7i/√2 = 7√2/2 - 7√2i/2题目二：将下列复数从指数形式转换为三角形式：1. 3 + 3i2. -5 - 5i3. 2√2 + 2√2i解答二：1. 3 + 3i = 3(1 + i) = 3√2(cos(π/4) + i*sin(π/4))2. -5 - 5i = 5(-1 - i) = 5√2(cos(5π/4) + i*sin(5π/4))3. 2√2 + 2√2i = 4(cos(π/4) + i*sin(π/4))题目三：计算下列复数的乘法，并将结果化简为 a+bi 的形式：1. (1 + i)(2 - 3i)2. (3 + 4i)(5 - 2i)3. (-2 + i)(-3 - 4i)解答三：1. (1 + i)(2 - 3i) = 2 - 3i + 2i - 3i^2 = 2 - i + 3 = 5 - i2. (3 + 4i)(5 - 2i) = 15 - 6i + 20i - 8i^2 = 15 + 14i + 8 = 23 + 14i3. (-2 + i)(-3 - 4i) = 6 + 8i - 3i + 4i^2 = 6 + 5i + 4 = 10 + 5i题目四：计算下列复数的除法，并将结果化简为 a+bi 的形式：1. (5 + 3i) / (2 - i)2. (6 + 8i) / (3 + 4i)3. (-4 + i) / (-1 - 3i)解答四：1. (5 + 3i) / (2 - i) = [(5 + 3i)(2 + i)] / [(2 - i)(2 + i)] = (10 + 17i) / (5) = 2 + 3.4i2. (6 + 8i) / (3 + 4i) = [(6 + 8i)(3 - 4i)] / [(3 + 4i)(3 - 4i)] = (50 + 6i) / (25) = 2 + 0.24i3. (-4 + i) / (-1 - 3i) = [(-4 + i)(-1 + 3i)] / [(-1 - 3i)(-1 + 3i)] = (-7 + 11i) / (10) = -0.7 + 1.1i题目五：计算下列复数的幂，并将结果化简为 a+bi 的形式：1. (2 + i)^22. (3 - 4i)^33. (-1 + 2i)^4解答五：1. (2 + i)^2 = (2 + i)(2 + i) = 2^2 + 2i + 2i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i2. (3 - 4i)^3 = (3 - 4i)(3 - 4i)(3 - 4i) = (3^3 - 4(3^2)i + 4(3^2)i -4^2i^2)(3 - 4i) = (27 + 48i + 48i - 64i^2)(3 - 4i) = (27 + 96i + 64)(3 - 4i) = 91 + 96i - 128i - 172i^2 = 219 - 32i3. (-1 + 2i)^4 = (-1 + 2i)(-1 + 2i)(-1 + 2i)(-1 + 2i) = (-1^4 + 4(-1^3)(2i) + 4(-1)(2i)^3 + 8i^4)(-1 + 2i) = (1 - 8i - 4(8i) - 16)(-1 + 2i) = -271 + 30i结语：通过这些练习题，您已经复习了复数的指数和三角形式，并掌握了相关的计算方法。
《复数的三角表示》考点讲解复习与同步训练
《7.3 复数的三角表示》考点讲解【思维导图】【常见考法】考法一复数的三角表示【例1-1】把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3；（2.【例1-2】．把下列复数的三角形式化成代数形式.（1）4cos isin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）553cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【一隅三反】1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）12+； （2）1i -.2．将下列各复数的三角形式转化为代数形式：（1）sin )i ππ+； （2）11116cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）44cossin 33i ππ⎫+⎪⎭； （4）338cos sin 22i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.3．（将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）2i ； （2）-2i ；（3）1；（4）.考法二 复数的辅角【例2】复数55sin cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为（ ） A ．518π B ．169π C ．29π D ．79π【一隅三反】1.复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ）A ．6π B ．3πC ．23π D ．43π2．若复数1z =--（i 为虚数单位），则arg z 为（ ） A ．120︒-B ．120°C ．240°D ．210°3．把复数z 1与z 2对应的向量OA OB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM 且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ）A ．，34πB ．3,4πC ．,4πD ．,4π考法三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】计算下列各式：（122cos sincos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭；（2）()112cos15sin1522i ︒︒⎛⎫+⨯-+⎪⎝⎭；（3）)552cos sin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+⎪⎦⎝⎭；（4）1cos sin 2233i ππ⎛⎫⎤⎫-÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭.【一隅三反】 1． cosisin3cos isin 2266ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．32 B ．32 C ．32-+ D ．32-2． ()()9cos3isin33cos2isin 2ππππ+÷+=（ ）A ．3B ．3-CD ．3．()()()1cos30sin 302cos60sin 603cos 45sin 452i i i ︒+︒⨯︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．22i + B ．22-C ．22-+ D ．22-- 4．算下列各式，并作出几何解释：（122cossin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭（2）()112cos 75sin 7522i i ︒︒⎛⎫+⨯-⎪⎝⎭（3）()334cos300sin300cossin 44i i ππ︒︒⎤⎫+÷+⎪⎥⎭⎦（4）12cos sin 233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.《7.3 复数的三角表示》考点讲解答案解析考法一 复数的三角表示【例1-1】把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3；（2.【答案】（1）11113cosisin 66ππ+⎫=⎪⎭（2）77cos isin244ππ⎛⎫= ⎝+⎪⎭【解析】（1）r ==因为与3对应的点在第四象限，所以()11arg 36π=，所以11113cos isin 66ππ+⎫=⎪⎭.（2）2r ==.对应的点在第四象限，所以)7arg 4π=，77cosisin 244ππ⎛⎫= ⎝+⎪⎭. 【例1-2】．把下列复数的三角形式化成代数形式. （1）4cosisin33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）553cosisin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）2+（2）i 22-- 【解析】（1）4cosisin4cos 4sin i 3333ππππ⎛⎫⎛⎫+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭144i 222⎛=⨯+⨯=+ ⎝⎭. （2）55553cos isin3cos 3sin i 33i 44442222ππππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+⨯-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【一隅三反】1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）12+； （2）1i -.【答案】（1）作图见解析;1cos sin 233i ππ+=+（2）作图见解析;771cos sin44i i ππ⎫-=+⎪⎭【解析】（1）复数122i +对应的向量如图所示，则11,cos 2r θ===.因为与12+对应的点在第一象限，所以1arg 23π⎛⎫+=⎪⎝⎭.于是1cos sin 233i ππ+=+.（2）复数1i -对应的向量如图所示，则2r θ====. 因为与1i -对应的点在第四象限，所以7arg(1)4i π-=.于是771cos sin 44i i ππ⎫-=+⎪⎭.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角θ不一定取主值.例如cos sin 44i ππ⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦也是1i -的三角形式.2．将下列各复数的三角形式转化为代数形式：（1）sin )i ππ+； （2）11116cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）44cossin 33i ππ⎫+⎪⎭； （4）338cos sin 22i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）-（2）3i （3）22--（4）8i -【解析】（1）sin )10)i i ππ+=-+⋅=-（2）111116cos sin 636622i i i ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）441cossin 332222i ππ⎫⎫+=--=--⎪⎪⎭⎭. （4）338cossin 8(0)822i i i ππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭. 3．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）2i ； （2）-2i ；（3）1；（4）. 【答案】（1）11114cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）332cos sin 22i ππ⎛⎫+⎪⎝⎭；（3）552cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（4sin )i ππ+【解析】（1）∵4r ==，cos 2θ=，1sin 2θ=-，又[0,2)θπ∈，∴116πθ=，∴111124cos sin 66i i ππ⎛⎫-=+⎪⎝⎭. （2）∵2r，cos 0θ=，sin 1θ=-，又[0,2)θπ∈，∴32πθ=， ∴3322cos sin 22i i ππ⎛⎫-=+⎪⎝⎭.（3）∵2r ==，1cos 2θ=，sin θ= 又[0,2)θπ∈，∴53πθ=，∴5512cos sin 33i ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭.（4）∵r =cos 1θ=-，sin 0θ=，又[0,2)θπ∈，∴θπ=.∴sin )i ππ=+.考法二 复数的辅角【例2】复数55sin cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为（ ） A ．518π B ．169π C ．29π D ．79π 【答案】D 【解析】5577sin cos cos sin 181899z i i ππππ=-+=+,故复数z 的辐角主值为79π.故选：D【一隅三反】1.复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ）A ．6π B ．3πC ．23π D ．43π 【答案】C【解析】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cossin )332Z i O OZ ππ=+=+2111()2222z z --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ= 23πθ∴=故选：C2．若复数1z =--（i 为虚数单位），则arg z 为（ ） A ．120︒- B ．120°C ．240°D ．210°【答案】C【解析】由1z =--，得复数z 对应的点在第三象限，且1cos 2θ=-，所以arg 240z ︒=.故选：C.3．把复数z 1与z 2对应的向量OA OB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ）A．，34πB．3,4π C ．22,4i π--D ．22,4i π-+【答案】B【解析】由题可知1255cossincos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()11122222z ⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， )()()1111122i z i i i ---∴====++-， 可知1z 对应的坐标为(，则它的辐角主值为34π.故选：B.考法三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】计算下列各式：（122cos sin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭；（2）()112cos15sin1522i ︒︒⎛⎫+⨯-+ ⎪⎝⎭； （3）)552cos sin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+⎪⎦⎝⎭；（4）1cos sin 2233i ππ⎛⎫⎤⎫-÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭.【答案】（1）6-；（2）22i -+；（3）1122i -+；（4）44--【解析】（122cossincos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭226cos isin 6(cos sin )63333i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. （2）()112cos15sin1522i i ︒︒⎛⎫+⨯-+ ⎪⎝⎭332cos sin cos sin 1212244i i ππππ⎛⎫⎫=+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭33cos isin 124124ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦551cos sin6622i i ππ⎛⎫⎫=+=-+ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭22=-+.（3）)552cos sin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+⎪⎦⎝⎭55332cos sincos sin 3344i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦5353cos sin3434i ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦1111cos sin1212i ππ⎫=+⎪⎭cos sin 1212i ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭44⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1122i =-+.（4）1cos sin 2233i ππ⎛⎫⎤⎫-÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭ 55cos sincos sin 3333i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦55cos isin3333ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦44cos sin 233i ππ⎫=+⎪⎝⎭1222⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭44i =--. 【一隅三反】 1． cosisin3cos isin 2266ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．32 B ．32 C ．32-+ D ．32-【答案】C 【解析】cosisin3cos isin 3cos isin 22662626ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2233cos isin3322ππ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭.故选：C 2． ()()9cos3isin33cos2isin 2ππππ+÷+=（ ）A ．3B ．3-CD ．【答案】B【解析】()()9cos3isin33cos2isin 2933ππππ+÷+=-÷=-.故选：B 3．()()()1cos30sin 302cos60sin 603cos 45sin 452i i i ︒+︒⨯︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．22i + B ．22i - C ．22-+ D ．22i -- 【答案】C 【解析】()()1cos30sin 302cos60sin 602i i ︒+︒⨯︒+︒⨯()3cos45sin 45i ︒+︒ ()()123cos 306045sin 3060452i =⨯⨯︒+︒+︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦ ()3cos135sin135i =︒+︒322i ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭22=-+. 故选：C.4．计算下列各式，并作出几何解释：（122cossin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭（2）()112cos 75sin 7522i i ︒︒⎛⎫+⨯-⎪⎝⎭（3）()334cos300sin300cossin 44i i ππ︒︒⎤⎫+÷+⎪⎥⎭⎦（4）12cos sin 233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.【答案】（1）-4，几何解释见解析 （22i +，几何解释见解析 （3）1)1)i -++-，几何解释见解析 （4）14+，几何解释见解析【解析】（1）原式(cos sin )4(10)4i ππ=+=⨯-+=-.几何解释：设1222cos sin,cos sin 3333z i z i ππππ⎫⎫=+=+⎪⎪⎭⎭，作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转3π，再将其长度伸长为原来的4,辐角为π的 向量OZ ，则OZ 即为积124z z ⋅=-所对应的向量.（2）原式()2cos 75sin 75222i ︒︒⎫=+⨯-⎪⎪⎝⎭())2cos 75sin 75cos315sin 3152︒︒︒︒=+⨯+)1cos390sin 3902i i ︒︒⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭.几何解释：设())12112cos 75sin 75,cos315sin 31522z i z i ︒︒︒︒=+=-=+， 作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短、辐角为6π 的向量OZ ，则OZ 即为积1222z z ⋅=+所对应的向量.（3）原式55334cossin cos sin 3344i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦1111cos sincos sin 12121212i i ππππ⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭1)1)i ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭. 几何解释：设()1554cos300sin 3004cos sin 33z i i ππ︒︒⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，233cos sin44z i ππ⎫=+⎪⎭作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ， 然后把向量1OZ 绕原点0按顺时针方向旋转34π，再将其长度，得到一个长度为1112π的向量OZ ，则OZ即为121)1)z i z =-+所对应的向量. （4）原式22cossin 2cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111cos sin 23322244i i ππ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.几何解释：设1122cos sin ,2cos sin 223333z i z i ππππ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭， 作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ绕原点0按顺时针方向旋转3π，再将其长度缩短为原来的12， 得到一个长度为12，辐角为3π的向量OZ ，则OZ即为1214z z =+所对应的向量.《7.3 复数的三角表示（精练）》同步练习【题组一 复数的三角表示】 1．将复数4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化成代数形式，正确的是（ ）A ．4B ．-4C ．4iD ．4i -2．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1）6； （2）1+i ； （3）1； （4）12i ；3．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）1cos sin 244i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）1cos sin 233i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； （3）155sin cos 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （4）77cossin 55i ππ+； （5）2cos sin36i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4．把下列复数表示成代数形式：（1）cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭；（2）11118cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （3）9(cos sin )i ππ+ （4）446cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.5．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）： （1）22i -； （2）20； （3）33i --.6．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）： （1）-5i ；（2）-10；（3）1-+；（4i -.7．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量： （1）4； （2）i -；（3）2i ；（4）12--.【题组二 复数的辅角】1．下列各角不是复数3i -的辐角的是（ ） A ．6π-B ．116πC ．4πD ．356π2．复数sin 45icos45︒︒-的辐角主值是（ ） A ．45︒ B ．135︒C ．225︒D ．315︒3．复数cossin44z i ππ=+的辐角主值是（ ）A ．34π B ．4π C ．34π-D ．4π-4．复数z =，则arg z =_______ .【题组三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】 1． cos sincos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．i -2． ()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．6iB ．6iC ．6i -D ．6i -3． ()4cos sin 2cos sin33i i ππππ⎛⎫+÷+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1+B ．1C ．1-+D ．1--4．()22cos60isin60÷︒+︒=（ ）A ．122+ B ．122- C ．122i + D ．122i - 5．计算： （1）3cossin3cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2cossincos sin 2244i i ππππ⎫⎫++⎪⎪⎭⎭； （3）2210cos sin 5cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（4）3312cos sin 6cos sin 2266i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6．计算： （1）8cossin2cos sin 6644i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）44552cossin 4cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3))cos240sin 240cos60sin 602i ︒︒︒︒+⨯+； （4）()()()3cos18sin182cos54sin545cos108sin108i ︒︒︒︒︒︒+⨯+⨯+.7．计算：（1）772212cossin 6cos sin 4433i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2))cos150sin150cos225sin 225i i ︒︒︒︒⎤+÷+⎦； （3）2cossin44i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭； （4）()2cos120sin120i i ︒︒⎡⎤-÷+⎣⎦.【题组四 综合运用】1．（多选）任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数2． 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式ix e cos isin x x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①i πe 10+=；②20191122⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭；③i i 2cos e e x x x -=+；④i i 2sin e e x x x -=-.其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．①②D ．①③3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数i z e i π=-，则||z =（ ）.A B ．1C D ．4．把复数1z 与2z 对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转4π和53π后，与向量OM重合且模相等，已知21z =-，求复数1z 的代数式和它的辐角主值.5．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.6．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 7.一般的，复数都可以表示为()cos sin z r i θθ=+的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，那么()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：cos sin cos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭______.（结果表示为a bi +，,a b ∈R 的形式）《7.3 复数的三角表示（精练）》同步练习答案解析【题组一 复数的三角表示】1．将复数4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化成代数形式，正确的是（ ）A ．4B ．-4C ．4iD ．4i -【答案】D 【解析】4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()401i =+-⎡⎤⎣⎦4i =-故选：D.2．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）6； （2）1+i ； （3）1； （4）12i ；【答案】（1）6(cos0sin 0)i +,画向量见解析 （2cossin44i ππ⎫+⎪⎭,画向量见解析 （3）552cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,画向量见解析 （4）55cos sin 66i ππ+,画向量见解析 【解析】（1）6对应的向量如答图中1OZ ，6,cos 1,sin 0r θθ===，又[0,2)θπ∈，0,66(cos0sin 0)i θ∴=∴=+.（2）1i +对应的向量如答图中2OZ ，2,cos r θθ===又[0,2),4πθπθ∈∴=1cos sin 44i i ππ⎫∴+=+⎪⎭.（3）1-对应的向量如答图中3OZ112,cos ,sin 2r θθ=+===，又5[0,2),3πθπθ∈∴=，5512cos sin 33i ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.（4）12i +对应的向量如答图中4OZ ，11,cos 2r θθ===，又5[0,2),6πθπθ∈∴=，155cos sin2266i i ππ∴-+=+.3．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）1cos sin 244i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）1cos sin 233i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（3）155sin cos 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （4）77cossin 55i ππ+； （5）2cossin36i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【答案】（4）是三角形式；（1）（2）（3）（5）不是三角形式. （1）177cossin 244i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）144cos sin 233i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）1cos sin 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（5cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭. 【解析】（1）中间是“-“号，不是三角形式.1cos sin 244i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=177cos sin 244i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）括号前面是负数，不是三角形式，1cos sin 233i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=144cos sin 233i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）括号内前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，155sin cos 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1cos sin 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （4）是三角形式．（5）括号内前后两个角不相等，不是三角形式，2cossin36i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭4．把下列复数表示成代数形式：（1）cossin44i ππ⎫+⎪⎭； （2）11118cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）9(cos sin )i ππ+ （4）446cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）33i +；（2）4i ；（3）9-；（4）3--.【解析】（1）原式33i ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭；（2）原式18422i i ⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭；（3）原式9(10)9i =⨯-+=-；（4）原式16322⎛⎫=⨯--=-- ⎪ ⎪⎝⎭.5．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）： （1）22i -； （2）20； （3）33i --.【答案】（1）77cossin 44i ππ⎫+⎪⎭；（2）20(cos0sin 0)i +；（3）55cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭【解析】解：（1）∵r ==cos θ=，sin θ=， 又[0,2)θπ∈，∴74πθ=，∴7722cos sin 44i i ππ⎫-=+⎪⎭；（2）∵20r ==，cos 1θ=，sin 0θ=， 又[0,2)θπ∈，∴0θ=， ∴2020(cos0sin0)i =+；（3）∵r ==cos θ=，sin θ=， 又[0,2)θπ∈，∴54πθ=，∴5533cossin 44i i ππ⎫--=+⎪⎭． 6．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）： （1）-5i ； （2）-10；（3）1-+；（4i -.【答案】（1）335cos sin 22i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）10(cos sin )ππ+；（3）222cos sin 33i ππ⎛⎫+⎪⎝⎭；（4）11112cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵5r ==，cos 0,sin 1θθ==-，又[)0,2θ∈π，∴32πθ=，∴3355cos sin 22i i ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭；（2）∵10r ==，cos 1θ=-，sin 0θ=， 又[)0,2θ∈π，∴θπ=，∴1010(cos sin )i ππ-=+；（3）∵2r ==，1cos 2θ=-，sin θ=又[)0,2θ∈π，∴23πθ=，∴2212cos sin 33i ππ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭；（4）∵2r ==，cos 2θ=，1sin 2θ=-，又[)0,2θ∈π，∴116πθ=11112cos sin 66i i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．7．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：（1）4； （2）i -；（3）2i ；（4）12--. 【答案】（1）44(cos0sin0)i =+；作图见解析（2）33cossin 22i i ππ-=+；作图见解析（3）24cos sin66i i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；作图见解析（4）144cos sin 2233i ππ--=+;作图见解析【解析】（1）44(cos0sin0)i =+；（2）33cossin 22i i ππ-=+；（3）24cos sin 66i i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（4）144cos sin233i ππ--=+.14,2,2i i --分别对应向量1234,,,OZ OZ OZ OZ ，如图所示.【题组二 复数的辅角】1．下列各角不是复数3i -的辐角的是（ ） A ．6π-B ．116πC ．4πD ．356π【答案】C【解析】∵6r ==，cos θ=，1sin 2θ=-，∴辐角主值116πθ=，故可以作为复数3i 的辐角的是1126k ππ+，k ∈Z . ∴当1k =-时，11(2)66πππ+-=-； 当0k =时，1111066ππ+=； 当2k =时，1135466πππ+=； 故选：C ．2．复数sin 45icos45︒︒-的辐角主值是（ ） A ．45︒ B ．135︒C ．225︒D ．315︒【答案】D【解析】∵1r ==，cos θ=，sin 2θ=-， ∴辐角主值315θ︒=， 故选：D ． 3．复数cossin44z i ππ=+的辐角主值是（ ）A ．34π B ．4π C ．34π-D ．4π-【答案】B【解析】由辐角主值的定义，知复数cossin44z i ππ=+的辐角主值是4π.故选：B.4．复数z =arg z =_______ .【答案】2π【解析】z == 2= 413i =+ i = 复数z 在复平面内，对应点的坐标为()0,1，点()0,1在y 轴上，所以arg 2z π=，故答案为：2π.【题组三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】 1． cos sincos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1 B ．-1C ．iD ．i -【答案】C【解析】cos sin cos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 6363i ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cossin22i ππ=+i =故选：C.2． ()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．6iB ．6iC ．6i -D ．6i --【答案】D【解析】()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒()()12cos 60150sin 60150i =︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦()12cos210sin 210i =︒+︒1122i ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭6i =-故选：D.3． ()4cos sin 2cos sin33i i ππππ⎛⎫+÷+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13i + B ．13i -C ．13i -+D ．13i --【答案】C【解析】4(cos sin )2cos sin 33i i ππππ⎛⎫+÷+ ⎪⎝⎭2cos sin 33i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222cos sin 33i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1=-+故选：C.4． ()22cos60isin60÷︒+︒=（ ）A ．12+ B ．122- C ．122i + D 12i 【答案】B【解析】()()22cos60sin602cos0sin0i i ÷︒+︒=︒+︒÷()2cos60sin60i ︒+︒()()cos 060sin 060i =︒-︒+︒-︒()()1sin 60cos 6022i i =-=︒-+-︒. 故选：B. 5．计算： （1）3cossin3cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2cossincos sin 2244i i ππππ⎫⎫++⎪⎪⎭⎭；（3）2210cossin 5cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（4）3312cossin 6cos sin 2266i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【答案】（1）9i ； （2）； （3）1+； （4）1--.【解析】（1）原式33cos sin 9cos sin 9363622i i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）原式cos sin 2424i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦33cos sin4422i i ππ⎫⎫=+=-+⎪⎪⎪⎭⎭=；（3）原式1022cos sin 2cos sin 5333333i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1212⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；（4）原式1233cos sin 62626i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦4412cos sin213322i ππ⎛⎫⎛⎫=+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6．计算： （1）8cossin2cos sin 6644i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）44552cossin 4cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3))cos240sin 240cos60sin 60i ︒︒︒︒++； （4）()()()3cos18sin182cos54sin545cos108sin108i ︒︒︒︒︒︒+⨯+⨯+.【答案】（1）i +（2）4i （3（4）30- 【解析】（1）8cossin2cos sin 6644i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5582cos sin 16cos sin 64641212i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦16i ⎫==+⎪⎪⎝⎭； （2）44552cossin 4cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4545131324cos sin 8cos sin 363666i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18422i i ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（3))cos240sin 240cos60sin 602i i ︒︒︒︒+⨯+()())cos 24060sin 24060cos300sin 30022i i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=+++=+⎣⎦12⎫=-=⎪⎝⎭； （4）()()()3cos18sin182cos54sin545cos108sin108i i i ︒︒︒︒︒︒+⨯+⨯+()()()32cos 1854sin 18545cos108sin108i i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=⨯+++⨯+⎣⎦()()6cos72sin725cos108sin108i i ︒︒︒︒=+⨯+()()()65cos 72108 sin 7210830cos180 sin 180i i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=⨯+++=+⎣⎦30(10)30i =-+⋅=-.另解（4）题还可以这样解：原式()()325cos 1854108sin 1854108i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=⨯⨯+++++⎣⎦()30cos180sin180i ︒︒=+30(10)i =-+⋅30=-.7．计算： （1）772212cossin 6cos sin 4433i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2))cos150sin150cos225sin 225i i ︒︒︒︒⎤+÷+⎦； （3）2cos sin 44i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭；（4）()2cos120sin120i i ︒︒⎡⎤-÷+⎣⎦.【答案】（1）22--（2）3344-+-34）144i -+【解析】（1）772212cossin 6cos sin 4433i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦72722cos sin 4343i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦13132cos sin2cos sin 12121212i i ππππ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24422i ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭；（2))cos150sin150cos 225sin 225i i ︒︒︒︒⎤+÷+⎦()()cos 150225sin 150225i ︒︒︒︒⎤=-+-⎦)cos75sin 75i ︒︒⎫=-=-=⎪⎭；（3）2cossin44i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭2(cos 0sin 0)cos sin 44i i ππ⎛⎫=+÷+ ⎪⎝⎭2cos 0sin 044i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2cos sin 24422i ππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()2cos120sin120i i ︒︒⎡⎤-÷+⎣⎦3322cos sin2cos sin 2233i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦13232155cos sin cos sin 22323266i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111224i i ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 另解第（3）题还可以这样解：原式222⎛⎫=÷+⎪⎝⎭222⎛⎫- ⎪=⎝⎭⎝⎭=.第（4）题还可以这样解：原式12222i ⎡⎤⎛⎫=-÷⨯-+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=14i =+. 【题组四 综合运用】1．（多选）任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数【答案】AC【解析】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z ri θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cossin332z i ππ=+=，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cossin 44nnn n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC.2． 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式ix e cos isin x x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①i πe 10+=；②20191122⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭；③i i 2cos e e x x x -=+；④i i 2sin e e x x x -=-.其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．①②D ．①③【答案】A【解析】因为i πcos in 1e s i ππ=+=-，故i πe 10+=，故①正确.()()i -i cos sin ,cos sin e e cos sin x x x i x x i x x i x =+=-+-=-，所以i i e e 2cos x x x -+=，i i e e 2sin x x i x --=，故③正确，④错误.而201920191cos isin 2233ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2019i 673i 3e e cos 673isin 6731ππππ⎛⎫===+=- ⎪⎝⎭.故②正确， 故选：A ．3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数i z e i π=-，则||z =（ ）.A B ．1C D ．【答案】C【解析】由题意得，cos sin 1i z e i i i i πππ=-=+-=--，所以||z ==故选：C4．把复数1z 与2z 对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转4π和53π后，与向量OM重合且模相等，已知21z =-，求复数1z 的代数式和它的辐角主值.【答案】+,34π【解析】由复数乘法的几何意义得1255cos sin cos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又24412cos sin 33z i ππ⎛⎫=--=+⎪⎝⎭144552cos sin cos sin 3333cos sin44i i z i ππππππ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+2cos 3sin 344i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1z 的辐角主值为34π 5．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.【解析】由题意得，P 点对应的复数为1i +， 由复数乘法的几何意义得：11(1)cos sin 3322z i i ππ-+⎛⎫=+⋅+=+ ⎪⎝⎭，.+. 6．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________.【答案】13+【解析】设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 23344z ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，∴1144z z -=+，解得13z i =+.故答案为：1. 7.一般的，复数都可以表示为()cos sin z r i θθ=+的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，那么()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：cos sin cos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭______.（结果表示为a bi +，,a b ∈R 的形式）【答案】+cossincos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭33cos sin cos sin 242444i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎫+++=+ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦22i ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：+．。
高三数学习题集：复数与三角函数的应用
高三数学习题集：复数与三角函数的应用
在高三数学学习中，复数与三角函数是相当重要的一部分，它们在现实生活和不同学科的应用中起着重要的作用。
下面我们将提供一些关于复数与三角函数应用方面的习题，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
1. 复数的应用
题目1：设z1 = 3 + 4i，z2 = 2 - 5i，求z1与z2的和与积。
题目2：已知复数z满足条件 |z - 2 - 3i| = 5，求复数z。
题目3：复数z满足条件 2z - 1 = (3 - 2iz)^2，求复数z。
2. 三角函数的应用
题目1：已知sinθ = -1/2，且θ落在第四象限，求cosθ的值。
题目2：已知tanα = 3/4，且0°< α < 90°，求sinα和cosα的值。
题目3：已知sinθ = -3/5，且θ落在第三象限，求cosθ的值。
此外，复数与三角函数的应用也经常出现在几何题和物理题中，例如旋转变换、交流电流的计算等。
希望同学们通过这些习题，能够熟练掌握复数与三角函数的运算规则，以及灵活应用于不同的数学题目中。
复数与三角函数的应用是高三数学学习的重要内容，也是后续数学学习和考试中的基础知识。
同学们可以多做练习，深入理解相关概念和运算规则。
希望大家在高三数学学习中能够取得好成绩，加油！。
高考数学专题：复数的三角表示(一)
【题型三】：把下列直角坐标转化为极坐标。
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① 2 sin x 2 cos x ；
② 3 sin 2x 3cos 2x ；
③ 3 cos x sin x ； 22
④ 5 cos 3x 5 sin 3x 。
注意：复数的三角表示计算中关于辅角的计算方法：在《极坐标与参数方程》一章中直角坐标转化为极坐标中极角
的计算方法，两种方法相同。
。辅角的基准为 。不要写在正式的答题过程中。来自a6336
第三步：计算复数 z 6 2i 的辅角。
z 6 2i 在复平面坐标系内对应点 ( 6, 2) ，第四象限，不要写在正式的答题过程中
辅角 2 11 。 66
第四步：写出复数 z 6 2i 的三角表示。
z r(cos i sin ) 2 2(cos 11 i sin 11 ) 。
辅角 基准
2 减去基准 减去基准 加上基准
提示：辅角的三角表示计算过程中，关于辅角的计算属于本人原创思路，这一点与中国传统高中数学教授的方法不 同，计算过程中黄色背景部分写在草稿纸上即可。
本题解答：① z 1 3i 。 第一步：计算复数 z 1 3i 的模长。 | z | 12 ( 3)2 1 3 4 2 r | z | 2 。
15 cos x 2
5 sin x 2 2 5(
15 cos x
5 sin x ) 2 5( 3 cos x 1 sin x )
2
2
25
25 2 25 2
2 22 2
2 5(cos cos x sin sin x ) 2 5 cos( x ) 。
6 2 62
26
【跟踪训练二】：利用辅助角公式化简下列三角函数。
练习(3)《平面向量,复数,三角函数》测试题
练习(3)《平面向量,复数,三角函数》测
试题
三角函数是数学中的重要内容，在很多领域有着广泛的应用。
三角函数具有许多特殊的性质，可以用来解决各种复杂的数学问题，比如解决几何问题，计算面积，测量角度和距离等等。
三角函数的最基本概念是三角形，可以用来描述任意一个角的大小以及角的关系。
三角函数可以用来计算某一角的正弦，余弦和正切值，这些值可以用来解决很多数学问题。
三角函数还可以用来计算复数。
复数是数学中一种特殊的数，它由实部和虚部组成。
复数可以用三角函数的参数值求解，可以用来解决很多复杂的数学问题。
平面向量是数学中的一种重要的概念，它可以描述不同的二维空间内的点的距离，方向和大小。
它是一种矢量，可以用来描述一个点到另一个点的距离和方向。
可以将平面向量与三角函数结合起来，用来计算空间中两个点之间的距离，方向和大小。
总的来说，三角函数，复数，平面向量都是数学中的重要概念，它们可以用来解决复杂的数学问题，如几何，计算面积，测量角度，计算复数和距离等等。
有了三角函数，复数和平面向量的认识和应用，我们就可以完成许多复杂的数学任务。
人教版高中数学必修第二册7.3 复数的三角形式 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册7.3复数的三角形式同步精练【考点梳理】考点一、复数的三角形式的概念1.复数的辐角(1)定义：以x 轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi 的辐角。
(2)辐角主值[0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi 的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2。
非零复数与它的模和辐角主值一一对应。
(3)常用的有关辐角主值的结论当a R +时arg a=0，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。
2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
3.复数的三角形式复数z=a+bi 可以用复数的模r 和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中22b a r +=，r a =θcos ，r b=θsin 。
r(cosθ+isinθ)叫作复数z 的三角形式，而a+bi 叫作复数z 的代数形式。
考点二、复数的三角形式的乘除法1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式(cosθ2+isin。
则。
这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n 个复数相乘：=。
因此，如果就有[。
这就是说，复数的次幂的模等于这个复数的模的n 次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n 倍。
2.复数的除法设则z ₁除以z ₂的商：)]。
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
【题型归纳】题型一：复数的三角表示1．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（）.A ．2cos isi 66πn π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2cos isi 66πn π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．2sin i co 66πs π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2cos i sin 66ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2．（2021·全国·高一课时练习）复数[)()1cos i sin 0,2πθθθ--∈的三角形式是（）A ．ππ2sincos i sin 222θθθ++⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．ππ2sincos isin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．ππ2sin cos i sin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．ππ2cos cos i sin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．（2021·上海市延安中学高一期末）13i --的三角形式是（）A ．ππ2cos i sin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7π7π2cos i sin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭题型二：复数的辅角4．（2021·全国·高二课时练习）复数sin 40i cos 40︒-︒的辐角主值是（）A ．－40°B ．310°C ．50°D ．130°5．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知复数1z ､2z 满足123,1==z z ，若1z 和2z 的幅角之差为π3，则1212-=+z z z z ___________.6．（2021·全国·高二单元测试）当实数k 取什么值时，复数()()2223232i k k k k --++-的辐角主值是54π？题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义7．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）复数都可以表示(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，其中z 为z 的模，θ称为z 的辐角．已知复数z 满足2(1)1i i z -=+，则z 的辐角为（）A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．7π48．（2022·全国·高三专题练习）设1z ，2z ，3z 复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，()313i 2z =+．若11z =，21z z z =，32z z z =，则四边形OABC 的面积为______．9．（2021·全国·高一课时练习）计算：(1)ππππ3cos isin 2cos i sin 6666⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦(3)13ππi cos isin 2266⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()ππ1i cos isin 66⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭【双基达标】一、单选题10．（2022·吉林吉林·高三期末（理））若复数()cos s i in z r θθ=+（0r >，R θ∈），则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数31i 22z =+的三角形式正确的是（）A ．cos 66isin ππ+B ．sin cos 66i ππ+C ．cos33isinππ+D ．sin33icosππ+11．（2021·全国·高一课时练习）已知()i ,a b a b +∈R 的三角形式为()cos isin r θθ+，则i a b -+的三角形式是（）.A ．()cos isin r θθ+B ．()()()cos isin r πθπθ-+-C ．()()()cos isin r πθπθ+++D ．()()()cos 2isin 2r ππθ-∞+-12．（2021·全国·高三阶段练习）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式——把复数、指数函数与三角函数联系起来（i cos isin e θθθ=+，自然对数的底数 2.71828e ≈，虚数单位i ）．若复数z 满足i 202142i z e π=-，则z 的虚部为（）A ．()21i-B ．21-C ．()21i--D ．12-13．（2021·福建安溪·高三期中）任意复数i z a b =+（a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以写成()cos s i in z r θθ=+的形式，其中()2202r a b θπ=+≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数31i 22z =+，则z 的辐角主值为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【高分突破】一：单选题14．（2021·广东惠州·高一期中）已知()ππ13i cos i sin 66z ⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭，则arg z =（）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π615．（2021·吉林·长春十一高高一阶段练习）任何一个复数i z a b =+(其中,i ∈a b R,为虚数单位)都可以表示成：(cos si )i n z r θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()[(cos isin )](cos isin )n n n z r r n n n Nθθθθ+=+=+∈，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（）（1）22||z z =（2）当1,3r πθ==时，31z =（3）当1,3r πθ==时，13i22z =-（4）当1,4r πθ==时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数A ．1B ．2C ．3D ．416．（2022·全国·高三专题练习（文））设sin15i sin 75z =+(其中i 为虚数单位)，则2z 的共轭复数是（）A ．13i22-B ．13i22+C ．31i 22--D ．31i 22-+17．（2021·广东惠州·高一期末）棣莫弗公式()()()cos i sin cos i sin nx x nx nx +⋅=+⋅（其中i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数4ππcos i sin 33⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．（2021·全国·高一课时练习）已知复数i z a b =+可以写成()cos isin z z θθ=+，这种形式称为复数的三角式，其中θ叫复数z 的辐角，[)0,2θπ∈．若复数13=+z i ，其共扼复数为z ，则下列说法①复数z 的虚部为3i ；②222z z z ==；③z 与z 在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z 的辐角为3π；其中正确的命题个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．（2020·河北正中实验中学高三阶段练习）棣莫弗定理：若两个复数111cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，则()()121212cos i sin z z θθθθ⋅=+++，已知31i 22a =+，2021b a =，则a b +的值为（）A ．i -B ．iC ．3-D ．320．（2021·全国·高三专题练习（理））大数学家欧拉发现了一个公式：e cos sin ix x i x =+，i 是虚数单位，e 为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，2022ππcos sin 44i ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A ．1B ．1-C ．iD ．i-21．（2021·全国·高一课时练习）复数sin 30cos30i --的三角形式为（）A ．sin 30sin 30i +B ．cos 240sin 240i +C ．cos30sin 30i +D ．sin 240cos 240i +22．（2020·江苏省郑梁梅高级中学高三期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：i e cos isin θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π=（）A ．1B ．0C ．1-D ．1i+23．（2021·上海·高一课时练习）复数3cos sin 55z i ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的三角形式为（）A ．3cos sin 55i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦B ．3cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．443cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．663cos sin 55i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭24．（2021·上海·高一课时练习）如果非零复数有一个辐角为74π-，那么该复数的（）A ．辐角唯一B ．辐角主值唯一C ．辐角主值为74π-D ．辐角主值为74π25．（2020·河北冀州中学高三阶段练习）任意复数z a bi =+（,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以()cos sin z r i θθ=+的形式，其中()220r a b θπ=+≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数213iz i=-，则z 的辐角主值为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π26．（2022·山西·临县第一中学高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z z C ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z 27．（2021·全国·高一课时练习）i cos i sin x x x e =+是著名的欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若1(,1)z θ=，2(,sin )z m α=，()121,4z z ⋅∈-恒成立且()224222cos 21sin 1sin sin 12sin 2cos sin 222cos cos 1cos 2m αααααααααα+=-+++++-++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则i 3e πθ表示的复数不可能位于复平面中的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限28．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式i cos isin e θθθ=+（其中i 是虚数单位，R θ∈）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数3ie 对应的点位于第一象限B ．复数i 1i x e +的模长等于22C ．i e π为纯虚数D ．42i i 3310e e ππ++=29．（2021·湖南·高二期末）著名的欧拉公式为：iπe 10+=，其中2i 1=-，e 为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是()i e cos isin 02πθθθθ=+≤<，该复数在复平面内对应的向量坐标为()cos ,sin θθ，则下列说法正确的是（）A ．13πln i i 223⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．若复数z 满足13i 22z =+，则2021z z =C ．若复数i e α与复数i e β在复平面内表示的向量相互垂直，则π2αβ-=D ．复数i e α与复数i ie α在复平面内表示的向量相互垂直30．（2021·全国·高一课时练习）欧拉公式cos sin xi e x i x =+(其中i 为虚数单位，x ∈R )，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项能确的是（）A ．复数2i e 对应的点位于第三象限B ．2ie π为纯虚数C ．3i e π的共轭复数为1322i -；D ．复数3xi e i+的模长等于1231．（2021·全国·高一课时练习）复数13i 22+的三角形式是______．32．（2021·全国·高一单元测试）设12cos isin 33z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22sin icos 266z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12z z ⋅的三角形式为___________.33．（2021·全国·高二课时练习）若复数1z +的辐角为π6，1z -的辐角为2π3，则z =______．34．（2021·湖南·高一阶段练习）欧拉公式i cos i sin x x x e =+（其中i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当π3x =时，πi 3πcos isin 3π3e ⋅=+，根据欧拉公式，若将2021πi e ⋅所表示的复数记为z ，则将复数1i z +表示成三角形式为________．四、解答题35．（2021·全国·高一课时练习）已知11cos isin z αα=++，21cos sin z i ββ=-+，其中02απβπ<<<<，且1213arg arg 6z z π+=，1231z z =-，求()tan αβ+的值．36．（2021·全国·高一课时练习）（1）计算：101032i213i 1i 22132i ⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭；（2）若复数z 满足112z z -=，1arg 3z z π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求复数3(2||)32z z z --+的三角形式.（3）利用复数证明余弦定理.37．（2021·全国·高一课时练习）计算：(1)ππππ3cos i sin 2cos i sin 3366⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5π5πππ6cos isin 3cos isin 4444⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)2π2πππ10cos isin 2cos isin 3333⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦(4)7π7πππ10cos isin 2cos isin 101055⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦38．（2021·全国·高一课时练习）已知()cos sin 2i cos sin z θθθθ=-+++（1）当θ为何值时，z 取得最大值，并求此最大值；（2）若(),2θ∈ππ，求arg z （用θ表示）.注：arg z 是辐角主值.【答案详解】1．B 【解析】【分析】复数的三角表示为()cos isin z r αα=+，对比选项得到答案.【详解】复数的三角表示为：()cos isin z r αα=+，其中0r ≥，B 选项满足.故选：B.2．C 【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.【详解】21cos i sin 2sin 2i sincos222θθθθθ--=-2sin sin i cos 222θθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2sin cos i sin 222θθθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2sin cosisin 222θθθ⎡--⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ2sincos i sin 222θθθ--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C.3．B 【解析】【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【详解】解：132213i 2i 2cos isin 2233ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭．故选：B ．4．B 【解析】【分析】将复数写成cos isin θθ+（0360θ≤<）即可求出所求复数的辐角.【详解】复数sin 40i cos 40cos310i sin 310︒-︒=+，所以该复数的辐角主值是310.故选：B 5．9113【解析】【分析】分别设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，可得()()1121223cos isin z z θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦，由题意可得12π3θθ-=或12π3θθ-=-，即可得12z z ，再代入1121221121221111z z z z z z z z z z z z ---==+++计算即可求解.【详解】因为123,1==z z ，设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，所以()()()()()111122122222223cos isin 3cos isin cos isin cos isin cos isin cos isin z z θθθθθθθθθθθθ++-==++-()1212121222223cos cos sin sin i sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθθθ++-⎡⎤⎣⎦=+()()12123cos isin θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦1122112211z z z z z z z z --=++由题意可知12π3θθ-=或12π3θθ-=-，当12π3θθ-=时，12ππ3333cos isin i 3322z z ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，11221122133i 22533i 2212717914413132527144z z z z z z z z -+-=====+++++，当12π3θθ-=-时，12ππ3333cos isin i 3322z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11221122133i 22533i 2212717914413132527144z z z z z z z z -+-=====+-+-+，综上所述：12129113z z z z -=+，故答案为：9113.6．0k =【解析】【分析】根据复数的三角形式和辐角主值的概念即可求解.【详解】因为()()2223232i k k k k --++-的辐角主值是54π，所以22222320*********k k k k k k k k ⎧⎪--<⎪⎪+-<⎨⎪+-⎪=⎪--⎩，所以12221304k k k k ⎧-<<⎪⎪⎪-<<⎨⎪==-⎪⎪⎩或.所以当0k =时，所给复数的辐角主值是54π.7．C 【解析】【分析】根据题意，先求出复数z ，再结合(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，即可求出θ.【详解】由2(1i)1i z -=+，得()212111i i z i i i--===--++，故22551i 2i 2cos πisin π2244z ⎛⎫⎛⎫=--=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π4θ=.故选C ．8．1532【解析】【分析】根据题意，将复数z 改写成三角形式，结合已知条件分别算出OB 、AOB ∠、OC 、和BOC ∠，即可求解.【详解】由11z =，得1OA =，由()313i 2z =+，得3cos isin 33z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因21z z z =，所以213cos isin 33z z ππ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，即3OB =，且3AOB π∠=，又因32z z z =，所以323cos isin 33z z ππ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，即9OC =，且3BOC π∠=,因此11153sin sin 23232OABC AOB BOCS S SOA OB OB OC ππ=+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=.故答案为：1532.9．(1)6(2)2i (3)i (4)3131i 22-+-【解析】【分析】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.(1)ππππππππ3cos isin 2cos isin 6cos isin cos +isin 66666666⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ6cos isin 66666⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin 3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππππππ2cos isincos isin 2cos isin 2i 336262⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(3)13ππ2π2πππi cos isin cos isin cos +isin 22663366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππcosi sin i 22=+=(4)()ππππππ1i cosisin 2cos sin cos isin 664466⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷+=-+-÷+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ2cos sin 4646⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2321232131312i i 2222222222⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⨯-⨯-⨯+⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.10．A 【解析】【分析】根据复数的三角形式的定义直接判断.【详解】复数31i 22z =+的模为1，辐角为6π，所以复数31i 22z =+的三角形式为cos 66isin ππ+.故选：A 11．B 【解析】【分析】根据三角形式的表达式知，i a b -+的三角形式是()cos isin r θθ-+，根据诱导公式判断选项符合的即可.【详解】由题知，i a b -+的三角形式是()cos isin r θθ-+，结合诱导公式知，()()cos cos ,sin sin πθθπθθ-=--=，故选：B 12．D 【解析】【分析】根据欧拉公式求得i 4e π，再根据复数的乘方求得2021i ，即可得复数z ，再根据共轭复数的定义和复数虚部的定义即可得出答案.【详解】解：∵i cos isin e θθθ=+，∴i 422cosisin i 4422eπππ=+=+．又∵2021i i =，∴复数()221i z =+-，∴()221i z =--，则z 的虚部为12-.故选：D ．13．A 【解析】【分析】将复数写成三角形式，可得结果.【详解】复数31i cos i sin 2266z ππ=+=+，因此，复数31i 22z =+的辐角主值为6π.故选：A.14．B 【解析】【分析】先对()ππ13i cos i sin 66z ⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭，然后再化为复数的三角形式可得答案【详解】()()2ππ13i cos isin 663113i i 223133i 3i i 22222i=2cos isin 22z ππ⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭=-++⨯-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以arg z =π2，故选：B 15．B 【解析】【分析】直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐个分析判断即可【详解】解：对于（1），因为(cos si )i n z r θθ=+，所以22(cos 2isin 2)z r θθ=+，所以2222,z r z r ==，所以22||z z =，所以（1）正确，对于（2），当1,3r πθ==时，cos sin 33z i ππ=+，则3cos i sin 1z ππ=+=-，所以（2）错误，对于（3），当1,3r πθ==时，13cos isin i 3322z ππ=+=+，则13i 22z =-，所以（3）正确，对于（4），当1,4r πθ==时，cosi sin44z ππ=+，则当4n =时，4cos i sin 1z ππ=+=-，所以（4）错误，所以正确的有2个，故选：B 16．C 【解析】【分析】首先利用诱导公式将复数z 化简，再根据复数代数形式的乘法运算，以及二倍角公式化简复数2z ，即可求出其共轭复数；【详解】解：因为sin15i sin 75sin15i cos15z =+=+所以()22222sin15i cos15sin 15i cos 152sin15cos15iz =+=++22sin 15cos 152sin15cos15i =-+cos30sin 30i =-+31i 22=-+所以2z 的共轭复数是31i 22--，故选：C 17．C 【解析】【分析】由棣莫弗公式对复数化简可得答案【详解】由己知得4ππ4π4π13cos i sin cos i sin i 333322⎛⎫+⋅=+⋅=-- ⎪⎝⎭，∴复数4ππcos i sin 33⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第三象限．故选：C ．18．B 【解析】【分析】对于①，13=+z i 的实部为1，虚部为3；对于②，直接计算判断即可；对于③，由点的对称关系判断即可；对于④，由辐角的定义求解即可【详解】解：对于①，复数13=+z i 的虚部为3，所以①错误；对于②，因为13=+z i ，所以13i z =-，所以222z z ==，222(13i)123i (3i)223i z =+=++=-+，所以222z z z =≠，所以②错误；对于③，13=+z i 和13i z =-在复平面对应的点分别为(1,3),(1,3)-，两点关于实轴对称，所以③正确；对于④，13=+z i 132(i)22=+2(cos i sin )33ππ=+，所以复数z 的辐角为3π，所以④正确，故选：B 19．B 【解析】【分析】推导出()111cos isin nz n n n Nθθ*=+∈，求出b 的值，即可得出a b +的值.【详解】由已知条件可得2111cos 2isin 2z θθ=+，()()32111111111cos 2i sin 2cos 3i sin 3z z z θθθθθθ==+++=+，L ，以此类推可知，对任意的n *∈N ，111cos isin nz n n θθ=+，31i cos isin 2266a ππ=+=+Q ，所以，202120212021cosisin cos 337isin 3376666b a ππππππ⎛⎫⎛⎫==+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cosisin i 6622ππ=-+=-+，因此，i a b +=.故选：B.20．D 【解析】【分析】先根据公式将原式变为20224i e π⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据注释将原式变为10111011cossin 22i ππ+，结合三角函数的诱导公式即可计算出结果.【详解】因为20222022101142ππ10111011cos sin cossin 4422i i i e ei ππππ⎛⎫⎛⎫+===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以20223333cos 504sin 504cos sin 2ππcos sin 42224i i i i ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，故选：D.21．B 【解析】【分析】利用诱导公式可得结果.【详解】由诱导公式可知()()sin 30sin 9060cos 60cos 18060cos 240-=--=-=+=，()()cos 30cos 9060sin 60sin 18060sin 240-=--=-=+=，因此，sin 30cos30cos 240sin 240i i --=+.故选：B.22．C 【解析】【分析】根据欧拉公式直接求出i e π.【详解】根据i e cos isin θθθ=+，可知i e cos =1isin πππ=+-.故选：C 23．C 【解析】【分析】结合复数的三角形式的概念可以直接求解.【详解】因为3z =，辐角主值为45π，所以443cos sin 3cos sin 5555z i i ππππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.24．B 【解析】【分析】由给出的非0复数有一个辐角为74π-，结合辐角主值的概念得答案．【详解】解：辐角主值的范围是[0，2)π，任何一个复数都有唯一的辐角主值，∴非0复数有一个辐角为74π-，则该复数有唯一的一个辐角主值4π．故选：B ．25．D 【解析】【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值．【详解】22(13)2323155cos sin 4226613(13)(13)i i i i z i i ii i ππ+-+====-+=+--+，所以辐角主值为56π．故选：D ．26．ABC 【解析】【分析】若i z a b =+，则i z a b =-，22z z a b ==+，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D.【详解】对于A ：若120z z +=，则12z z =-，故122z z z =-=，所以A 正确；对于B ：若21z z =，则12=z z ，所以B 正确；对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++，故312z z z =，所以C 正确；对于D ：如下图所示，若11OA z =+，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠，所以D 错误.故选：ABC 27．BCD 【解析】【分析】利用平方关系及二倍角的余弦公式可求得2m =，再根据复数的乘法运算及()121,4z z ⋅∈-，可求得θ的范围，再根据欧拉公式及复数的几何意义即可得出答案.【详解】解：()224222cos 21sin 1sin sin 12sin 2cos sin 222cos cos 1cos 2m αααααααααα+=-+++++-++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()224222cos 21sin 1sin sin 2sin 2cos 2sin cos cos 1cos cos 1ααααααααααα+-+++++-++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()2222222sin 12cos 2cos sin sin 2sin 2cos sin cos ααααααααα-++⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦()222sin 12cos 2cos sin sin 2ααααα-++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()()2sin 12cos sin 1ααα-++=+2=，由1(,1)z θ=，2(,sin )z m α=，则1i z θ=+，2i sin 2i sin z m αα=+=+，所以()122sin 2sin i z z θαθα⋅=-++，又因为()121,4z z ⋅∈-恒成立，所以()2sin 02sin 1,4θαθα+=⎧⎪⎨-∈-⎪⎩，所以30,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据i cos i sin x x x e =+，则i3cosisin33e πθπθπθ=+，因为30,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0,32πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0,sin 033πθπθ>>，所以i 3e πθ表示的复数位于复平面中的第一象限.故选：BCD.28．BD 【解析】【分析】根据欧拉公式的定义，有3i cos3isin 3e =+、i cos isin 1i 2(cos isin )44x e x xππ+=++、i cos isin e πππ=+、42i i 3344221cosisin cos isin 13333eeππππππ++=++++，结合对应三角函数值及复数三角形式的除法运算即可知各选项的正误.【详解】A ：3i cos3isin 3e =+，而32ππ<<，则cos 30<、sin 30>，故3i e 位于第二象限，错误；B ：i cos isin 2[cos()isin()]1i 2442(cos isin )44x e x x x x ππππ+==-+-++，则其模长为22，正确；C ：i cos isin 1e πππ=+=-，则i e π为实数，错误；D ：42i i 334422111cosisin cos isin 110333322eeππππππ++=++++=--+=，正确；故选：BD 29．ABD 【解析】【分析】对于A ：根据已知得πi 313i e 22+=，再由对数运算可判断；对于B ：由已知计算得2021πi 2021313ei 22zz ==-=，由此可判断；对于C ：由已知得i e α对应的向量坐标为()cos ,sin αα，i e β对应的向量坐标为()cos ,sin ββ，根据垂直的坐标表示可判断；对于D:根据向量垂直的坐标表示可判断．【详解】∵πi 313ππi cos isin e 2233+=+=，∴πi 313πln i ln e i 223⎛⎫+==⎪⎝⎭，故A 正确；∵πi 313ππi cos isin e 2233+=+=，∴2021πi 202132021π2021π13e cosisin i 3322z z ==+=-=．故B 正确；∵i e α对应的向量坐标为()cos ,sin αα，i e β对应的向量坐标为()cos ,sin ββ，∴cos cos sin sin 0αββα+=，即()cos 0αβ-=，又0α≤，2πβ<，∴π2αβ-=，或3π2．故C 不正确；∵i e cos isin ααα=+，复数i ie sin i i cos ααα=-+，两者对应向量坐标为()cos ,sin αα、()sin ,cos αα-，∴两向量垂直．故D 正确，故选：ABD.30．BCD 【解析】【分析】对于A ，2cos 2sin 2i e i =+，根据2(2π∈，)π，即可判断出；对于BCD ，根据欧拉公式cos sin xi e x i x =+逐项计算，然后判断正误即可．【详解】解：对于A ，由于2cos 2sin 2i e i =+，2(2π∈，)π，cos 2(1,0)∴∈-，sin 2(0,1)∈，2i e ∴表示的复数在复平面中位于第二象限，故A 错误；对于B ，2cossin 22i ei i πππ=+=，可得2i e π为纯虚数，故B 正确；对于C ，313cossin 3322πππ=+=+i e i i ，3i e π∴的共轭复数为1322i -，故C 正确．对于D ，cos sin (cos sin )(3)3cos sin 3sin cos 4433(3)(3)xi e x i x x i x i x x x xi i i i i ++-+-===++++-，可得其模的长为223cos sin 3sin cos ()()44x x x x +-+22223cos 23sin cos sin 3sin 23sin cos cos 116162x x x x x x x x ++-+=+=，故D 正确；故选：BCD ．31．cosi 33πsin π+【解析】【分析】直接利用辅助角公式计算得到答案.【详解】13i cos i sin 2233ππ+=+.故答案为：cosi 33πsin π+.32．222cos isin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先将12,z z 化简，然后计算12z z ⋅，再转化为三角形式即可【详解】因为12cos isin 13i 33z ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，2221326sin i cos i i 26622244z ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1226(13i)i 44z z ⎛⎫⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭226632i i i 4444=+++26i 22=-+132i 22⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭222cos isin 33ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故答案为：222cos isin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭33．13i22+【解析】【分析】设i z a b =+，可得()11i z a b +=++，()11i z a b -=-+，由已知条件可得π3tan 613b a ==+，2πtan331b a ==--，解得a 和b 的值即可求解.【详解】设i z a b =+，(),R a b ∈，则()11i z a b +=++，()11i z a b -=-+，因为复数1z +的辐角为π6，所以π3tan 613b a ==+，①因为复数1z -的辐角为2π3，所以2πtan331ba ==--，②由①②可得：12a =，32b =，所以13i 22z =+，故答案为：13i 22+.34．23π3πcos sin 244i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据欧拉公式i cos i sin x x x e =+，先求出2021πi e ⋅，再进行复数的除法运算，最后再表示为三角形式.【详解】因为2021πi e cos 2021πsin 2021π1i =+=-，所以123π3πcos sin 1+1244z i i i -⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭.故答案为：23π3πcos sin 244i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭35．3【解析】【分析】结合复数的三角形式以及辐角与模的概念，结合三角恒等变换即可求出结果.【详解】因为211cos isin 2cos2isincos2coscos isin 222222z αααααααα⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，221cos isin 2sin 2isincos 2sincos isin 22222222z ββββπβπβββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又02απβπ<<<<，则022απ<<，22πβπ<<，得0222ππβ-<-<，所以1arg 2z α=，25arg 22z πβ=-．由1213arg arg 6z z π+=，1231z z =-，得223βαπ-=，31cos sin 224αβ-=．又1cossinsin sin 22222αβαβαβ+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1sin 22αβ+=-．又由02απβπ<<<<，得2232αβππ+<<，所以726αβπ+=．所以()7tana 33t n αβπ+==36．（1）13i 22+；（2）336cos i sin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2(1i)cos i sin 244ππ+=+，13i cos isin 2266ππ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合复数的三角形式的乘方运算即可求值；（2）由题意得11(cos i sin )233z z ππ-=+，进而得到z 、z 代入目标式化简后转化为三角形式即可.（3）在复平面内建立直角坐标系，利用坐标法证明.【详解】解：（1）因为2(1i)cos i sin 244ππ+=+，13i cos isin 2266ππ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1010101032i213213i i (1i)i 1i 22222132i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+=-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()10101010213i 1i i i cos isin cos isin 2224466ππππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+=-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭555513i cos i sin cos i sin i 223322ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+-=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）由题意知：11(cos i sin )233z z ππ-=+，所以31i 3z =+，31i 3z =-，∴()333233i 36cos i sin 244z z z ππ⎛⎫--+=-=+ ⎪⎝⎭（3）如图，已知ABC 是复平面内的任意三角形，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c .证明：2222cos a b c bc A =+-.证明：如图，以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立复平面内的直角坐标系，则点,,A B C 对应的复数分别为120,,z z ，则复数1z 的模1z c =，复数2z 的模2z b =，幅角为A ，因为21z z BC a -==，()12,cos isin z c z b A A ==+，所以()21cos isin cos i sin z z b A A c b A c b A -=+-=-+，所以()()2222222221cos sin cos 2cos sin z z b A c b A b A c bc A b A -=-+=+-+()2222cos sin 2cos b A A c bc A =++-2222cos b c bc A a =+-=，所以2222cos a b c bc A =+-，证毕.37．(1)6i (2)32i -(3)553+i 22(4)5i 【解析】【分析】利用复数三角形式的乘除法法则运算即可.(1)原式32cos isin 9cos isin 6i363622ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2)原式553363cos()i sin()32(cosi sin )32i 444422ππππππ⎡⎤=⨯⨯+++=+=-⎢⎥⎣⎦(3)原式102213553cos i sin 5cos i sin 5+i +i 23333332222ππππππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-=⨯+=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭(4)原式1077cos isin -5cos isin 5i105105222ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦38．（1）()24k k Z πθπ=-∈时，z 取最大值22；（2）当7,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，9arg 28z θπ=+；当7,24πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，7arg 28z θπ=-.【解析】【分析】（1）求出21cos 4z πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即得解；（2）设arg z α=，tan tan 28θπα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再对θ分7,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和7,24πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭两种情况讨论得解.【详解】（1）()()()22cos sin 2cos sin 422cos sin 21cos 4z πθθθθθθθ⎛⎫=-+++=+-=++ ⎪⎝⎭所以，当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即()24k k Z πθπ=-∈时，z 取最大值22.（2）要求arg z ，可以把z 写成三角形式，但较为困难，故可先求出arg z 的正切值.设arg z α=，则由于()z cos sin 2i cos sin 21sinisin 44ππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++=+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以2sin sin 44tan tan 281cos 21sin 44ππθθθπαππθθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为(),2θ∈ππ，所以z 的实部21sin 04πθ⎡⎤⎛⎫=+-+> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，z 的虚部2sin 4πθ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当7,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin 04πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，z 所对应的点位于第四象限.由于5828πθππ<+<，所以9arg 2828z θπθπαπ⎛⎫==++=+ ⎪⎝⎭.当7,24πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，2sin 04πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，z 所对应的点位于第一象限（或x 轴正半轴）.由于9288θπππ<+<，所以7arg 2828z θπθπαπ⎛⎫==+-=- ⎪⎝⎭.。
12.4 复数的三角形式(同步训练)(含答案)高中数学苏教版(2019)必修二
12.4 复数的三角形式（同步训练）-高中数学苏教版（2019）必修二一、选择题1．已知2i z =-，则()i z z +=( )A.62i -B.42i -C.62i +D.42i +2．欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中，cos sin ix e x i x =+( 2.71828e = 为自然对数的底数，i 为虚数单位)被称为“数学中的天桥”，将复数､指数函数､三角函数联系起来了.当πx =时，可得恒等式( )A.10i e π-=B.0i e π=C.10i e π+=D.0i e i π+=3．欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则i e π=( )A.1-B.1C.i -D.i4．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，2()f z z =就是一个多项式复变函数.给定多项式复变函数()f z 之后，对任意一个复数0z ，通过计算公式()1n n z f z +=，n ∈N ，可以得到一列值0z ，1z ，2z ，…，n z ，….若2()f z z =，01i z =-，当3n ≥时，n z =( )A.122n -B.22nC.122n +D.14n -二、多项选择题7．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数,也叫泰勒展开式,下面给出两个泰勒展开式234e 12!3!4!!n xx x x x x n =+++++++L L()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n -+=-+-++-+-L L 由此可以判断下列各式正确的是( ).A.i e cos isin x x x =+(i 是虚数单位)B.i e x i =-(i 是虚数单位)C.()()2ln 221ln 202x x x x ++≥… D.()()24cos 10,1224x x x x -+∈…8．设复数在复平面内对应的点为z ，原点为O ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是( )，则1z =±或iz =±B.若点z 的坐标为()3,2-，且是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，则19pq +=C.若2i z =，则的虚部为2i-D.若12i z ≤-≤三、填空题9．设，11i z =+，，则1211f z z ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______。
复数的三角形式单元检测题(高三数学).doc
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓复数的三角形式单元检测题班级： 姓名：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将唯一正确结论的代号填入题后的括号内．1．复数(sin100+icos100)3的三角形式为 （ ）A ．sin300+icos300B ．cos2400+isin2400C ．cos300+isin300D ．sin2400+icos24002．复数z 1=1，z 2绕原点O 逆时针方向旋转6π而得到，则arg(2z z 12-)的值为 （ ）A ．12πB ．3πC ．125πD ．127π3．设z 1、z 2是复数，argz 1=α，argz 2=β，则arg(z 1·z 2)有可能是下列情况中的哪些？( ) ①α+β ②α+β-2π ③2π-（α+β） ④π+α+βA ．①B ．①②C ．①②③D ．①②④4．复数z=sin6π-icos 6π，若z n=z (n ∈N)，则n 的最小值是 （ ）A ．1B ．3C ．5D ．75．设复数z=cos θ+isin θ，θ∈[0，π]，ω=1+i ，则|z-ω|的最大值是 （ ）A ．2+1B ．5C ．2D ．2-16．设z 为复数，且z 的辐角主值为6π，z-2的辐角主值为32π，则复数z 为 （ ）A ．3-2+iB ．2-3+iC ．-1+3iD ．1+3i7．设复数z 1=2sin θ+icos θ(4π<θ<2π)在复平面上对应向量OZ 1，将OZ 1按顺时针方向旋转43π后得到向量OZ 2，OZ 2对应复数z 2=r(cos φ+isin φ)，则tg φ= ( )A ．1tg 21tg 2-θ+θB ．1tg 21tg 2+θ-θ C ．1tg 21+θ D ．1tg 21-θ8、适合π65arg 11==+z z 且的复数z 的个数是 A 、0 B 、1 C 、2 D 、无穷多9、在复平面内有五个点与方程i x +-=15的五个根相对应，则这五个点中有两个点在A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓10、设复数2-i 和3-i 的辐角主值分别为βα、，则βα+等于A 、1350B 、3150C 、6750D 、585011、若关于30521212=-=++z z z z m x x x 满足、的两根的方程，则实数m 的值是A 、17B 、217C 、8D 、4 12．复数tan ()2z i πθθπ=+<<的三角形式是（ ）。
三角函数与复数练习题
三角函数与复数练习题一、三角函数题目练习1. 求下列三角函数的值：(1) sin45°(2) cos60°(3) tan30°(4) sec75°(5) csc120°(6) cot150°2. 根据三角函数的定义，填空：(1) sinθ = ?(2) cosθ = ?(3) tanθ = ?(4) secθ = ?(5) cscθ = ?(6) cotθ = ?3. 已知三角形ABC中，∠B = 30°，且边AC=6 cm，边BC=8 cm。
求下列比值：(1) sin∠B(2) cos∠B(3) tan∠B(4) sec∠B(5) csc∠B(6) cot∠B4. 求下列方程的解：(1) sinx = 0(2) cos2x = 1/2(3) tanx = 1(4) secx = -1(5) csc(2x) = -2(6) cotx = 05. 根据三角函数的性质，化简下列式子：(1) sin(60° - x)(2) cos^2x - sin^2x(3) tan(x + π/2)二、复数题目练习1. 将下列复数表示为复数标准形式：(1) 3 + 4i(2) -2 - i(3) 5i(4) 1/(1 - i)(5) (√2 + i) / (√2 - i)2. 将下列复数求模并表示为复数模的形式：(1) |-3 + 4i|(2) |2 - 3i|(3) |4 + 3i|(4) |2i|(5) |1 - i|3. 计算下列复数的共轭复数：(1) (2 + 3i)^*(2) (5 - i)^*(3) (-4i)^*(4) (1 - 2i)^*(5) (3 + 4i - 2)/(3 - 4i + 2)4. 将下列复数相加并写成标准形式：(1) (3 + 2i) + (4 - 5i)(2) (-1 + 3i) + (2i - 6)(3) (2 + i) + (1 - i)(4) (4 - 2i) + (-2 + 4i)(5) (5 - 3i) + (3 + 5i)5. 将下列复数相乘并写成标准形式：(1) (2 + i)(3 - 2i)(2) (4 - 3i)(2 + 5i)(3) (-2i)(3 + i)(4) (1 + 2i)(1 - 2i)(5) (2 - i)(3 - 3i)以上为三角函数与复数练习题，希望可以帮助你巩固相关知识。
复数三角形式解答题
复数三角形式解答题1、若复数z 满足z z-=11，当复数z 的辐角为300时，求复数z 的模。
2、已知复数i z 31+=, 求复数zz z -+-242的辐角的主值.3、设z 满足z zz z-=-=11213,arg π，求z.4、已知向量OP 的模|OP |＝r ，幅角为α，求：(1)点P 的坐标；(2)如果直线OP分别交直线x ＝r 与y ＝r 于T 、S 两点，点T 、S 的坐标分别是多少？5、已知复数i z 32+=,z 是z 的共轭复数,求复数z i z u -=的辐角主值.6、设0<θ<π，复数z=1-cos θ＋isin θ，u=a 2＋ai ，且z ，u 是纯虚数(a ∈R)，求复数u 的辐角主值argu.7、设|z|=1，z 5＋z=1，求复数z 的值。
8、复数z 的模是1且z 2＋2z ＋1z是负实数，求z.9、已知复数z 满足z z －2iz=3－2ai(a ∈R),且ππ<<z arg 2，求a 的取值范围。
10、已知：0ε,,,21εε…,1-n ε是非零复数z =r (cos θ+isin θ)的n 个不同的n 次方根(n ≥3),(1)求证： 0ε,,,21εε…,1-n ε组成等比数列; (2)求和n s =0ε+++21εε…+1-n ε; (3)求积：T =0ε•••21εε…•1-n ε.11、设复数,),,0(,0),sin (cos ,321321z z z r i r z i z •=∈〉+=+=πθθθ其中若θ和求r r z z ,131+=-的取值范围.12、若ii221-+=ω是z 的五次方根，求z 其余的五次方根13、设z +z4=2,求21z的三角形式。
14、设f(z)=z 100＋z 50＋1，求)2222(i f --.15、将)6cos(2cos sin 3πααα+-+•=i z 化为三角形式。
16、将下列复数代数式化为三角式：（1）i 31--； （2）ai )(R a ∈.17、将下列复数代数式化为三角式：（1）5sin5cos ππi +-； （2）θθcos sin i +.18、将下列复数代数式化为三角式：（1）75cos 75sin ππi -； （2）ααsin cos 1i ++ )2,0[πα∈.19、已知复数z 1=i 2321-,z 2=cos30o －isin30o ,2z 是z 2的共轭复数，且z1=z 1·2z ，求复数z 的代数形式。
高中数学复数7.3.1复数的三角表示式训练含解析
7.3.1 复数的三角表示式课后·训练提升1.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是3π2,则实数a 的值是( ) B .-1 C .-√2 D .-√3z=(a+i)2=(a 2-1)+2a i,arg z=3π2, ∴{-1=0,0,∴a=-1.2.复数-12+√32i 的三角形式是( ) A .cos 60°+isin 60°B .-cos 60°+isin 60° °+isin 60°D .cos 120°+isin 120°1,cos θ=-12.因为与-12+√32i 对应的点在第二象限,所以可取θ=120°.所以-12+i =cos120°+isin120°.-sin 50°+icos 50°的辐角的主值是( )B .320°C .40°D .140°1,cos θ=-sin50°.因为与-sin50°+icos50°对应的点在第二象限,所以°+icos50°)=140°.4.复数z=-3(cos π5-isin π5)(i 是虚数单位)的三角形式是( ) A .3[cos (-π5)+isin (-π5)]B .3(cos π5+isin π5)C .3(cos4π5+isin 4π5) D .3(cos 6π5+isin 6π5)3,cos θ=-cos π5.因为与z 对应的点在第二象限,所以可取θ=4π5,所以z=3(cos 4π5+isin 4π5).故选C .5.已知复数z=√2+√6i,则arg 1z 是( )A .πB .5π3C .π6D .11π6z=√2+√6i, ∴z =√2+√6i =√2-√6i 8=√24(12-√32i). ∴arg 1=5π3.故选B .+4i)=θ,则arg(8-6i)为( ) A .2π-θ B .π2+θ C .3π2-θD .3π2+θarg(3+4i)=θ,∴cos θ=35,sin θ=45,0<θ<π2.设arg(8-6i)=α,则cos α=45,sin α=-35,3π2<α<2π.∴α=3π2+θ.7.设z=1+i,则复数z 2-3z+6z+1的三角形式是 .z=1+i, ∴z+1=(1+i )2-3(1+i )+61+i+1=3-i 2+i =1-i .∴r=√2,cos θ=√22.又与1-i 对应的点在第四象限, ∴arg(1-i)=7π4.∴1-i =√2(cos7π4+isin 7π4). √2(cos7π4+isin 7π4) . (1)3(cos π4+isin π4);(2)√3(cos 4π3+isin 4π3);(3)2√2(cos 7π6-isin 7π6).(cos π4+isin π4)=3√22+3√22i . (2)√3(cos 4π3+isin 4π3)=-√32−32i . (3)2√2(cos 7π6-isin 7π6)=-√6+√2i .9.下列复数是不是三角形式,若不是,把它们表示成三角形式. (1)-sin θ-icos θ;(2)cos 60°+isin 30°.解(1)不是.-sin θ-icos θ=cos (3π2-θ)+isin3π2-θ.(2)不是.cos60°+isin30°=12+12i=√22(√22+√22i)=√22(cos π4+isin π4).z=1+cos θ+isin θ(π<θ<2π)的模与辐角的主值.1+cos θ+isin θ=2cos 2θ2+2i·sin θ2cos θ2=2cos θ2(cos θ2+isin θ2), θ<2π,∴π2<θ2<π,∴cos θ2<0.∴z=-2cos θ2(-cos θ2-isin θ2)=-2cos θ2[cos (π+θ2)+isin (π+θ2)]. ∴|z|=-2cos θ2.又π2<θ2<π,∴3π2<π+θ2<2π, ∴arg z=π+θ2.。
复数三角形式计算题集及答案
复数三角形式计算题1、已知复数z=2+3i,z 是z 的共轭复数，求复数u=z －i z 的辐角主值。
2、求满足| z + 3－i 3 | = 3的辐角主值最小的复数z .3、已知z ≠0 , arg z =θ, 求arg 2z .4、求－7－24i 的四次方根.5、复数z 1 与2 + 4i , 的积为2－16i , 复数z 2 满足1)167(21-=--ii z z如果argz 1 = α, argz 2 = β, 求α+β的值.6、复数z 1, z 2 , z 3 满足条件：,87arg ,6arg ,3arg ,3211221πππ====z z z z z z z 求321arg z z z +的值.7、满足52+Z Z R ∈,且arg(Z ＋3)=43π的复数Z 是否存在?若存在,求出Z;若不存在,请说明理由.8、已知复数z=－3+(x+1)i ，x ∈R,且w=4z ·z +3z －36－9i ，若23a rg 45ππ<<w ,求x 的取值范围。
9、已知复数z=αsin 21i +,且|z|≤1, 求角α和辐角主值的取值范围.10、设复数)2,(,sin cos ππθθθi z +=。
求复数z z +2的模和辐角。
11、复数πππ87arg ,6arg ,3arg ,3211221====--z z z z z z z，求复数321z z z +的辐角主值。
12、若复数z=ik i k -+-6)21(的辐角主值为45π，求实数k.13、求满足| z －25i | ≤15, 且辐角主值最小的复数.14、求复数1997111⎪⎭⎫⎝⎛-++-=i i z 的辐角主值.15、设复数z 满足(1)|z|=1,(2)2arg 4ππ<<z ,(3)|1)(1|44zz +-=33.求argz.16、已知,ai z w +=其中,R a ∈,2||.4342)1)(41(≤++++-=w ii i i z 且求w 的辐角主值θ的取值范围.17、 已知,310)(,|1|)(i i z f z z z f +=--+=--求23-+z z 的模及辐角主值.18、若,)3arg(,)2arg(βα=--=--i i 求.βα+19、计算：).3arg()2arg(+++i i20、设复数z = cos θ+ isin θ ( 0＜θ＜π) , 441)(1zz +-=ω , 并且2a r g ,33πωω〈= , 求θ.21、已知.52sin52cos ππi z +=求(1+z 8)(1+z 4)(1+z 2)(1+z).22、已知复数,11),20(,sin cos 3zz w i z --=<<+=πθθθ求w 的辐角（用θ表示）.23、已知z 是虚数,zz 2是实数,设0=-z z ω,求复数ω的模及辐角主值.24、设z 1，z 2，z 3是复数，已知|z 1|=|z 2|，|z 3|=1，且argz 1=3π,argz 2=6π,argz 3=87π,求321arg z z z +.25、复数N n i z ∈+=,31，求证：2n -1≤|1-z n |≤2n +1.复数三角形式计算题 〈答案〉1、43π2、i 23323+-.3、当z ∈R + 时, arg 2z = 0 ; 当0＜θ≤π时, arg 2z = 2π－θ; 当π＜θ＜2π时 , arg 2z = 4π－2θ.4、2－i , －2 + i , 1 + 2i , －1－2i.5、π411.6、811π.7、解析：假设满足条件的复数Z 存在,则Z ≠0,否则arg(Z ＋3)≠43π 设52+Z Z =a R ∈(a ≠0),∴Z=aZ 2＋5a 又设Z=x ＋yi(x 、y ∈R),则x ＋yi=a(x 2－y 2＋2xyi)+5a由复数相等条件可得：⎩⎨⎧=+-=)2(2)1(522 axy y a ay ax x若y=0,则Z ＋3∈R, arg(Z ＋3)≠43π.∴y ≠0,由(2)得a=x 21代入(1)x=x y x x x 25212122+- ∴x 2＋y 2=5 ∵arg(z ＋3)=43π,∴13-=+x y.解方程组⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧+-==+1221)3(522y x y x x y y x 得 ∴Z=－1－2i 或Z=－2－i ，Z ＋3=2－2i 或Z ＋3=1－i ，可知arg(Z ＋3)≠43π,故满足条件的复数Z 不存在.8、－25＜x ＜－1或－2141<<x9、∵|z|2=,1sin 412≤+α∴23sin 23≤≤-α，∴k -)(33Z k k ∈+≤≤ππαπ. 又设z 的辐角主值为θ,则θtg =2sin α∴33≤≤-θtg 又z 的实部为正,∴θ的取值范围是)2,35[]3,0[πππ10、解：θθθθsin cos )sin (cos 22i i z z +++=+＝θθθθsin cos 2sin 2cos i i +++＝)2cos 23sin 2(2cos 23cos2θθθπi +＝)23sin 23(cos 2cos 2θθθi + ＝)]23sin()23[cos(2cos 2θπθπθ+-++--i .∵),2,(ππθ∈∴),,2(2ππθ∈∴02cos 2>-θ所以复数z 2+z 的模为2cos 2θ-；辐角为)(23)12(Z k k ∈+-ππ.11、π811arg 321=+z z z .12、k=－313、12 + 16i ,14、解 ∵i i i =-+11 ∴i i i i i ===⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⨯144991997199711∴z=－1+i ∴复数z 的辐角主值为π4315、令argz=θ,则|z|=1,得z=cos θ+i sin θ,z =cos(-θ)+i sin(-θ).θθθθ4sin 4cos 14sin 4cos 11)(144i i zz +++-=+-=tg2θ(sin4θ+i cos4θ).∴|tg2θ|=33,又πθπ<<22,∴tg2θ=-33,θ=125π,即π125arg =z .16、).2,47[]4,0[πππ或17、模为,22辐角主值为.47π18、.49π19、.4π20、12712ππθ或= .21、122、可算得)sin )(cos 1cos 2(θθθi w ++=当πθππθ234320<<<<或时，,,2N k k Argz ∈+=θπ当πθπ3432<<时，,,)12(N k k Argw ∈++=θπ 当πθπθ3432==或时，Arg w 取任意实数.23、解：设z=r(cos θ+isin θ),sin θ≠0∵R i r z z z z ∈+==)3sin 3(cos ||232θθ∴sin3θ=0且sin θ≠0,即3θ=k π,θ≠k π(k ∈Z)∴232sin ±=θ,cos2θ=-21∴i i zz 23212sin 2cos ±-=+==θθω故复数ω的模为1,辐角主值为3432ππ或24、解：设z 1=)2321()3sin 3(cos i r i r +=+ππ，z 2=),2123()6sin 6(cos i r i r +=+ππ（r ＞0）.又87sin 87cos3ππi z +=， 87sin87cos )2123()2321(321ππi i r i r z z z ++++=+=)]85sin()85)[cos(31(2287sin87cos )4sin 4)(cos 31(2287sin 87cos )1)(31(21ππππππππ-+-+=+++=+++i r i i r i i r =)]811sin()811)[cos(31(22ππi r ++，∴811arg 321π=+z z z .25、∵)3sin 3(cos231ππi i z +=+=，z n =)3sin 3(cos 2ππn i n n +. |1-z n |2=(1-z n ))1(n z -=(1-z n )(1-n z )=1-(z n +n z )+z n n z ⋅=1-n n n 2123cos 2++. 又11123cos22+++≤-≤-n n n n，∴1-2n+1+22n ≤|1-z n |2≤1+2n+1+2n , 即(2n -1)2≤|1-z n |2≤(2n +1)2,∴(2n -1)≤|1-z n |≤2n +1.。
新教材高中数学第十章复数10.3复数的三角形式及其运算练习
10.3复数的三角形式及其运算课后篇巩固提升基础巩固1.12(cos 30°+isin 30°)×2(cos 60°+isin 60°)×3(cos 45°+isin 45°)=()A.3√22+3√22i B.3√22−3√22iC.-3√22+3√22i D.-3√22−3√22i+isin30°)×2(cos60°+isin60°)×3(cos45°+isin45°)=12×2×3[cos(30°+60°+45°)+isin(30°+60°+45°)]=3(cos135°+isin135°)=3(-√22+√22i)=-3√22+3√22i.故选C.2.(cosπ2+isinπ2)×3(cosπ6+isinπ6)=()A.32+3√32i B.32−3√32iC.-32+3√32i D.-32−3√32icosπ2+isinπ2)×3(cosπ6+isinπ6)=3[cos(π2+π6)+isin(π2+π6)]=3(cos2π3+isin2π3)=-32+3√32i.故选C.3.4(cos π+isin π)÷[2(cosπ3+isinπ3)]=()A.1+√3iB.1-√3iC.-1+√3iD.-1-√3iπ+isinπ)÷[2(cosπ3+isinπ3)]=2[cos(π-π3)+isin(π-π3)]=2(cos2π3+isin2π3)=-1+√3i.故选C.4.2÷[2(cos 60°+isin 60°)]=()A.12+√32i B.12−√32iC.√32+12i D.√32−12i÷2[(cos60°+isin60°)]=2(cos0°+isin0°)÷[2(cos60°+isin60°)] =cos(0°-60°)+isin(0°-60°)=cos(-60°)+isin(-60°)=1 2−√32i.故选B.5.9(cos 3π+isin 3π)÷[3(cos 2π+isin 2π)]=()A.3B.-3C.√3iD.-√3iπ+isin3π)÷[3(cos2π+isin2π)] =3[cos(3π-2π)+isin(3π-2π)]=3(cosπ+isinπ)=-3.故选B.6.复数z=(sin 25°+icos 25°)3的三角形式是()A.cos 195°+isin 195°B.sin 75°+icos 75°C.cos 15°+isin 15°D.cos 75°+isin 75°(sin25°+icos25°)3=(cos65°+isin65°)3=cos195°+isin195°.故选A.7.复数z=(cos 40°+isin 40°)6的结果是()A.12+√32i B.12−√32iC.-12+√32i D.-12−√32i(cos40°+isin40°)6 =cos240°+isin240°=-12−√32i.故选D.8.2(cos 15°+isin 15°)×5(√32+12i)=.+isin15°)×5(√32+12i)=2(cos15°+isin15°)×5(cos30°+isin30°) =10[cos(15°+30°)+isin(15°+30°)]=10(cos45°+isin45°)=10(√22+√22i)=5√2+5√2i.√2+5√2i9.12(cos 60°-isin 240°)×6(cos 30°-isin 210°)=.-isin240°)×6(cos30°-isin210°)=12(cos60°+isin60°)×6(cos30°+isin30°)=3[cos(60°+30°)+isin(60°+30°)]=3(cos90°+isin90°)=3i.10.2(cos 210°+isin 210°)×5(-sin 30°+isin 60°)=.+isin210°)×5(-sin30°+isin60°)=10(cos210°+isin210°)×(cos120°+isin120°)=10[cos(210°+120°)+isin(210°+120°)]=10(cos330°+isin330°)=10(√32-12i)=5√3-5i.√3-5i11.在复平面内,把与复数-2+2i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数.(-2+2i)×(cos75°+isin75°)=2√2(cos135°+isin135°)×(cos75°+isin75°) =2√2[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)] =2√2(cos210°+isin210°) =2√2(-√32-12i ) =-√6−√2i .能力提升1.复数2+i 和-3-i 的辐角主值分别是α,β,则tan(α+β)等于( ) A.√3 B.-√33C.-1D.12+i 和-3-i 的辐角主值分别是α,β,所以tan α=12,tan β=13,所以tan(α+β)=tan α+tan α1-tan αtan α=1.故选D .2.复数-i 的一个立方根是i,它的另外两个立方根是 ( )A.√32±12i B.-√32±12iC.±√32+12iD.±√32−12ii =cos 3π2+isin3π2∴-i 的立方根为cos3π2+2απ3+isin3π2+2απ3(其中,k=0,1,2).当k=0时,得cos π2+isin π2=i .当k=1时,得cos 7π6+isin7π6=-√32−12i .当k=2时,得cos 11π6+isin11π6=√32−12i .故选D .3.把复数z 1与z 2对应的向量αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别按逆时针方向旋转π4和5π3后,重合于向量αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且模相等,已知z 2=-1-√3i,则复数z 1的代数式和它的辐角主值分别是( ) A.-√2+√2i,3π4B.-√2−√2i,3π4C.-√2+√2i,π4 D.-√2−√2i,π4,z 1(cosπ4+isin π4)=z 2(cos5π3+isin5π3). 又z 2=-1-√3i =2(cos4π3+isin4π3),∴z 1=2(cos4π3+isin 4π3)(cos 5π3+isin 5π3)cos π4+isinπ4=2[cos (3π-π4)+isin (3π-π4)] =-√2+√2i, z 1的辐角主值为3π4.故选A .4.在复平面内,复数z=a+b i(a ∈R ,b ∈R )对应向量αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),设|αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ,以射线Ox 为始边,OZ 为终边旋转的角为θ,则z=r (cos θ+isin θ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z 1=r 1(cos θ1+isin θ1),z 2=r 2(cos θ2+isin θ2),则z 1z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:z n =[r (cos θ+isin θ)]n =r n(cos n θ+isin n θ),则(-1+√3i)10=( ) A.1 024-104√3i B.-1 024+1 024√3i C.512-512√3iD.-512+512√3i:z n =[r (cos θ+isin θ)]n =r n (cos n θ+isin n θ),得(-1+√3i)10=210[cos (10×2π3)+isin (10×2π3)]=1024(cos20π3+isin20π3)=1024(-12+√32i ) =-512+512√3i .故选D .5.设复数z=cos 23π+isin 23π,则11-α+11-α2=( )A.0B.√33i C.12D.32+11-α2=11-α+αααα-α2 =11-α+αα-α =11-cos 23π-isin 23π+cos 23π-isin 23π-2isin 23π=12sin 2π3-i·2sin π3cosπ3-cos (-23π)+isin (-23π)√3[cos (-π2)+isin (-π2)]=cos0+isin02sin π3[cos (-π6)+isin (-π6)]-1√3cos (-16π)+isin (-16π)]=√3cos π6+isinπ6-√32+12i )=√33i .故选B .6.设(√32+α2i )2008=f (x )+i g (x )[f (x ),g (x )均为实系数多项式],则f (x )的系数之和是( )A.-√32B.√32C.-12D.12x=1,则(√32+α2i )2008=f (x )+i g (x )⇒(cos π6+isin π6)2008=f (1)+i g (1)⇒(cos π6+isin π6)4=f (1)+i g (1)⇒cos2π3+isin2π3=f (1)+i g (1)=-12+√32i .故选C .7.6÷[3(cos 135°+isin 135°)]= .÷3[(cos135°+isin135°)]=6(cos0°+isin0°)÷[3(cos135°+isin135°)] =2[cos(0°-135°)+isin(0°-135°)] =4[cos(-135°)+isin(-135°)]=-2√2-2√2i .2√2-2√2i 8.已知复数z=cos2π3+isin2π3,则z 3+α2α2+α+2= .,有z 3+α2α2+α+2=1+z 2=-z=12−√32i .−√32i 9.复数z=16(cos 40°+isin 40°)的四次方根分别是 .16(cos40°+isin40°)的四次方根分别是√164(ααα40°+k·360°4+αααα40°+k·360°4)(k=0,1,2,3),当k=0时,2(cos10°+isin10°); 当k=1时,2(cos100°+isin100°); 当k=2时,2(cos190°+isin190°); 当k=3时,2(cos280°+isin280°).10°+isin 10°),2(cos 100°+isin 100°),2(cos 190°+isin 190°),2(cos 280°+isin 280°)10.设复数z 1=√3+i,复数z 2满足|z 2|=2,已知z 1·α22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z 2∈(0,π),求z 2的代数形式.z 1=2(cosπ6+isin π6),设z 2=2(cos α+isin α),α∈(0,π),所以z 1α22=8[cos (2α+π6)+isin (2α+π6)]. 由题设知2α+π6=2k π+3π2(k ∈Z ),所以α=k π+2π3(k ∈Z ).又α∈(0,π),所以α=2π3.所以z 2=2(cos 2π3+isin2π3)=-1+√3i .11.已知复数z=√32−12i,ω=√22+√22i,复数αα,z 2ω3在复平面上所对应的点分别为P ,Q.求证:△OPQ是等腰直角三角形(其中O 为原点). z=√32−12i =cos (-π6)+isin (-π6) ω=√22+√22i =cos π4+isin π4, ∴z ω=cos (-π6+π4)+isin (-π6+π4)=cos π12+isin π12,∴αα=cos (-π12)+isin (-π12).又z 2ω3=[cos (-π3)+isin (-π3)](cos3π4+isin 3π4) =cos 5π12+isin 5π12,因此OP ,OQ 的夹角为5π12−(-π12)=π2. ∵OP ⊥OQ ,又∵|OP|=|z|=1,|OQ|=|z 2|=1,∴|OP|=|OQ|,∴△OPQ 为等腰直角三角形.11。
北师大版高一下学期数学(必修二)《5.3复数的三角表示》同步测试题及答案
北师大版高一下学期数学(必修二)《5.3复数的三角表示》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________1.复数z=sin 15°+icos 15°的三角形式是().A.cos 195°+isin 195°B.sin 75°+icos 75°C.cos 15°+isin 15°D.cos 75°+isin 75°2.复数sin 50°-isin 140°的辐角的主值是().A.150°B.40°C.-40°D.320°3.若复数z=(a+i)2的辐角是3π2,则实数a的值是().A.1B.-1C.-√2D.-√34.若复数cos θ+isin θ和sin θ+icos θ相等,则θ的值为().A.π4B.π4或5π4C.2kπ+π4(k∈Z) D.kπ+π4(k∈Z)5.如果θ∈(π2,π),那么复数(1+i)(cos θ-isin θ)的三角形式是().A.√2[cos(9π4-θ)+isin(9π4-θ)]B.√2[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)]C.√2[cos(π4+θ)+isin(π4+θ)]D.√2[cos(3π4+θ)+isin(3π4+θ)]6.已知z=cos 2π3+isin2π3,则arg z2=.7.把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转π2,所得到的向量对应的复数是.8.设复数z1=1+√3i,z2=√3+i,则z1z2的辐角的主值是.9.已知z1=12(cosπ3+isinπ3),z2=6(cos π6+isin π6),计算z1z2,并说明其几何意义.B组1.设π<θ<5π4,则复数cos2θ+isin2θcosθ-isinθ的辐角的主值为().A.2π-3θB.3θ-2πC.3θD.3θ-π2.复数z=tan θ+i(π2<θ<π)的三角形式是().A.1cosθ(sin θ+icos θ)B.1cosθ(cos θ+isin θ)C.-1cosθ[cos(3π2-θ)+isin(3π2-θ)]D.-1cosθ[cos(3π2+θ)+isin(3π2+θ)]3.(多选题)已知z1,z2是复数,则下列说法正确的是().A.若z12+z22>0,则z12>-z22B.若z12>-z22,则z12+z22>0C.若z12+z22=0,则z1=z2=0D.若z12+z22<0,则z1,z2至少有一个是虚数4.已知复数z满足z2+2z+4=0,且arg z∈(π2,π),则z的三角形式为.5.将复数1+√3i所表示的向量绕原点O按逆时针方向旋转θ角(0<θ<2π)所得的向量对应的复数为-2,则θ=.6.设O为复平面的原点,A,B为单位圆上两点,A,B所对应的复数分别为z1,z2,z1,z2的辐角的主值分别为α,β.若△AOB的重心G对应的复数为13+115i,求tan(α+β)的值.7.设复数z1=√3+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1z22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z2∈(0,π),求z2的代数形式.参考答案A组1.D z=sin 15°+icos 15°=cos 75°+isin 75°,故选D.2.D sin 50°-isin 140°=cos(270°+50°)+isin(180°+140°)=cos 320°+isin 320°.3.B∵z=(a+i)2=(a2-1)+2a i,arg z=3π2∴{a2-1=0,a<0,∴a=-1,故选B.4.D因为cos θ+isin θ=sin θ+icos θ,所以cos θ=sin θ,即tan θ=1,所以θ=π4+kπ(k∈Z).5.A 因为1+i =√2(cos π4+isin π4)cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)所以(1+i)(cos θ-isin θ)=√2[cos (π4+2π-θ)+isin (π4+2π-θ)]=√2[cos (9π4-θ)+isin (9π4-θ)].6.4π3 因为arg z=2π3,所以arg z 2=2arg z=2×2π3=4π3.7.1-i (1+i)[cos (-π2)+isin (-π2)] =√2(cos π4+isin π4)[cos (-π2)+isin (-π2)]=√2[cos(π4−π2)+isin(π4−π2)]=√2[cos(-π4)+isin (-π4)]=1-i .8.π6 由题知,z 1=2(cos π3+isin π3),z 2=2(cos π6+isin π6),所以z 1z 2的辐角的主值为π3−π6=π6. 9.解 z 1z 2=12×6×[cos (π3+π6)+isin(π3+π6)]=3(cos π2+isin π2)=3i .首先作复数z 1对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,然后将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转π6,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z 1z 2所对应的向量.B 组1.B cos2θ+isin2θcosθ-isinθ=cos2θ+isin2θcos (-θ)+isin (-θ)=cos 3θ+isin 3θ. 因为π<θ<5π4,所以3π<3θ<15π4,所以π<3θ-2π<7π4,因而所求辐角的主值为3θ-2π.故选B . 2.C z=tan θ+i =sinθcosθ+i =1cosθ(sin θ+icos θ)∵π2<θ<π,∴1cosθ<0,∴z=-1cosθ(-sin θ-icos θ)=-1cosθ[cos(3π2-θ)+isin(3π2-θ)].3.BD 若z 12=i,z 22=1-i,显然满足z 12+z 22>0,但是不满足z 12>-z 22,故A 不正确.当z 12>-z 22成立时,显然有z 12∈R ,-z 22∈R ,故B 正确.当z 1=1,z 2=i 时,显然满足z 12+z 22=0,但是z 1=z 2=0不成立,故C 不正确.当z12+z22<0成立时,假设z1,z2都不是虚数,则它们是实数,显然z12+z22<0不成立,假设不成立,则z1,z2至少有一个是虚数,故D正确.故选BD.4.z=2(cos2π3+isin2π3)由z2+2z+4=0,得z=12(-2±2√3i)=-1±√3i.因为arg z∈(π2,π),所以z=-1-√3i应舍去所以z=-1+√3i=2(cos2π3+isin2π3).5.2π3由题意知,(1+√3i)(cos θ+isin θ)=-2即2(cosπ3+isinπ3)(cos θ+isin θ)=2[cos(π3+θ)+isin(π3+θ)]=-2所以cos(π3+θ)=-1,sin(π3+θ)=0又0<θ<2π,所以π3<π3+θ<7π3则π3+θ=π,于是θ=2π3.6.解由题意可设z1=cos α+isin α,z2=cos β+isin β.因为△AOB的重心G对应的复数为13+115i所以z1+z23=13+115i,即z1+z2=1+15i于是有{cosα+cosβ=1,sinα+sinβ=15,即{2cosα+β2cosα-β2=12sinα+β2cosα-β2=15所以tan α+β2=15,故tan(α+β)=2tanα+β21-tan2α+β2=512.7.解因为z1=2(cosπ6+isinπ6),设z2=2(cos α+isin α),α∈(0,π)所以z1z22=8[cos(2α+π6)+isin(2α+π6)].由题设知2α+π6=2kπ+3π2(k∈Z),所以α=kπ+2π3(k∈Z).又α∈(0,π),所以α=2π3,所以z2=2(cos2π3+isin2π3)=-1+√3i.。
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专题四 三角函数与复数【考点聚焦】考点1：函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系以及根据图象写出函数的解析式考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；考点4：和、差、倍、半、、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式；考点5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理；【自我检测】1． 同角三角函数基本关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿. 2． 诱导公式是指α的三角函数与－α，180ºα±,90ºα±,270ºα±,360º－α，k 360º+α(k ∈Z)三角函数之间关系：奇变偶不变，符号看象限.3． 两角和与差的三角函数：sin(α±β)=_______________________;cos (α±β)=________________________;tan (α±β)=_________________________. 4． 二倍角公式：sin2α=__________;cos2α=_________=__________=___________ tan 2α=_____________.5． 半角公式：sin 2α=_______，cos 2α=_______,tan 2α=________=________=______.6． 万能公式sin α=_____________,cos α=_____________,tan α=_____________. 7． 三角函数的图象与性质：问题1：三角函数的图象问题关于三角函数的图象问题，要掌握函数图象的平移变化、压缩变化，重点要掌握函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系，注意先平移后伸缩与先伸缩后平移是不同的，要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式. 例1．（05天津理）要得到y x =的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度思路点拨：将)42sin(2π+=x y 化为)42cos(2π-=x y ，再进行变换.解答：变换1：先将)42c o s (2π-=x y 的图象向左平移8π个单位，得到x x y 2c o s 2]4)8(2c o s [2=-+=ππ的图象，再将x y 2cos 2=的图象的横坐标缩短到原来的2倍得到x y cos 2=.变换2：先将)42c o s (2π-=x y 的图象的横坐标缩短到原来的2倍，得到)4c o s (2π-=x y 的图象，再将)4c os(2π-=x y 的图象向左平移4π个单位，得到x y c os 2=.由上可得，应选C.演变1：函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ）A ．4,2πϕπω== B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,10坐标代入即可.问题2：三角函数的求值问题关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,合理选择公式,正确选择所求三角函数值的符号例2：已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（I ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求xx x xxx cot tan 2cos2cos2sin22sin322++-的值.思路分析：将sin x -cos x =51平方，求出sin x cos x 的值，进而求出（sin x -cos x ）2，然后由角的范围确定sin x -cos x 的符号. 解法一：（Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）x xx xx xxx x xxx sin cos cos sin 1sin 2sin2cot tan 2cos2cos2sin2sin3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x 解法二：（Ⅰ）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o s x x x x x π 或故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）xx x xxx cot tan 2cos2cos2sin2sin322++-x xx xx xsin cos cos sin 1sin 2sin 22++-=125108)53542(54)53()sin cos 2(cos sin -=+-⨯⨯-=--=x x x x点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等①②基本知识，以及推理和运算能力. 演变1：已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求.点拨与提示：用已知中的角表示所求的角.问题3：三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题有关三角函数的单调性、周期性等问题，通常需要先变形化简，然后求解. 例3：设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像.思路点拨：正弦y =sin x 的图象的对称轴为直线)(2Z k k x ∈+=ππ，其对称轴与x 轴交点的横坐标即是使函数取得最值的x 值. 解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<-（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此由题意得 .,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =点评：本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 演变3：已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令πππ.求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.问题4：“拆项”与“添项”的问题“拆项”与“添项”是指在作三角变换时，对角或三角函数可以分别进行面或添项处理.例4：（1）求8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++的值； （2）已知：41)2tan(,52)tan(=-=+πββα，求：)4tan(απ+的值.思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如（1）中的含有角7º、15º、8º，发现它们之间的关系是15º＝7º＋8º，故可将7º拆成15º－8º；同理在第（2）题中απ+4可以拆成两角差，即)4()(πββα--+.解：（1）8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++＝8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(+-+-＝15cos 8cos 15sin 8cos＝tan15º=30sin 30cos 1-=32-(2) ∵απ+4=)4()(πββα--+∴tan(απ+4)=tan[)4()(πββα--+]＝)4tan()tan(1)4tan()tan(πββαπββα-++--+＝415214152⨯+-＝223点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.演变4：求20cos 20sin 10cos 2-的值.点拨与提示：10º＝30º－20º.点拨与提示：利用复数加、减法的几何意义求解. 专题小结1．三角变换常用的方法技巧有切割化弦法，升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法等．对于三角公式要记忆准确（在理解基础上），并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．2．三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点．最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．三角函数图象各种变换的实质要熟练掌握，不能从形式上简单判断．3．解三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式．要充分发挥图形的作用，注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能 【临阵磨枪】 一、选择题1．已知f (cos x )=cos3x ，则f (sin30º)的值为（ ）A 0B 1C －1 D232．（2006年辽宁卷）A B C 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q,则角C 的大小为 (A)6π(B)3π(C)2π(D)23π3．（2006年安徽卷）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-4．把函数)3sin 3(cos 22x x y -=的图象适当变动，就可得到y =－sin3x 的图象，这种变动可以是（ ）A 沿x 轴向右平移4πB 沿x 轴向左平移4πC 沿x 轴向右平移12πD 沿x 轴向左平移12π5．已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别是A ，B ，O 为坐标原点，当 7．函数y =3sin(x +20º)+5sin(x +80º)的最大值为（ ） A211 B 213 C 7 D 88．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（ ）A ．6π B ．4πC ．3πD ．2π9．在△ABC 中，若ba b a B A +-=-2tan ，其中a,b 分别是∠A ，∠B 的对边，则△ABC是（ ）A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰或直角三角形 10．函数y =23cos32sin 212+-=x x y 的最小正周期为（ ） A 2π B π C 2πD4π二、填空题11 已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=______12 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________14．设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为f (x )在[a ，b ]上的面积，已知函数y ＝sin （nx ）在[0，nπ]上的面积为n2（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .三、解答题15 不查表求值：.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒16 （2006年安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=-（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．（2006年四川卷）已知,,A B C 是三角形A B C ∆三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅= .（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B+=--，求tan B .19 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log21++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值参考答案1．C 提示：1180cos )60(cos )30(sin -=︒=︒=︒f f2 B 提示：222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B.3．C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=.4．D 提示：)]12(3sin[)43sin(ππ--=--=x x y 5．B 提示∠AOB ＝60º，｜z 2|=2|z 1|=4，3260sin ||||2121=︒⋅=∆z z S AOB6．B 提示：)]23sin()23[cos(2sin 2πθπθθ-+--=i z ，∵02sin ,2223<-<<θπθπ，).3(21arg ,2230πθππθ-=∴<-<Z7．C 提示：y =3sin(x +20º)+5sin(x +80º)＝3sin(x +20º)+5sin[(x +20º)＋60º] ＝7)20sin(7)20cos(235)20sin(211≤+︒+=︒++︒+ϕx x x 8．D 提示：θθθθθθc os sin 2121)sin 1)(cos 1(21cos 21sin 211-=-----=∆OAB S11sin 224θ=-， 当2θπ=即2πθ=时，面积最大.9．D 提示：由正弦定理得：2cos2sin22cos 2sin 2sin sin sin sin 2tanB A B A B A B A Ba B A ba b a B A -++-=+-=+-=-＝2cot2tanB A B A +-，∴02tan =-B A 或12cot =+B A ∴02=-B A 或22π=+B A∴A ＝B 或A ＋B ＝90º 10．D 提示：)22sin(23232cos 232sin 21π-=+--=x x x y ，则π=T11．247 提示 ∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,2212()2tan 42tan 2.11tan 31()2βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 2241()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯-126556 提示 α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π3 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=+=⨯+-⨯-=+⋅-++⋅--=++--=-++-=+∴-=+∴=+∈+∴∈=-∴βαβππαβππαβππαπβππαβαβπβπππβππβπα即 13．1-32i 提示：设z =a +b i,由(3+2i)(a +b i)=3(a +b i)+3+2i,得3a -2b =3a +3,2a +3b =3b +2,∴a =1,b =32-.14．π+32,34 提示：由题意得：，，x y 34232]320[3sin =⨯=上的面积为在π 上的图象在]343[1)3sin(πππ，x y +-=为一个半周期结合图象分析其面积为π+32.15 答案 216．解：(Ⅰ)由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1tan 3α=-为所求.（Ⅱ）225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-==6-17．解：原方程化简为i i z z z-=++1)(2,设z =x +y i(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2x i=1－i ，∴ x 2+y 2=1且2x =－1,解得x =－21且y =±23, ∴原方程的解是z =-21±23i .18． 解：（Ⅰ）∵1m n ⋅=∴(()cos ,sin 1A A -⋅=cos 1A A -=12sin cos 122A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-=∴3A π=（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--=-811+=19 解 设u =sin α+cos β 则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4∴u 2≤1,－1≤u ≤1 即D =［－1,1］,设t=32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤tx =32-t2m ax 0.5m in 0.50.50.514410248242,,8log 0,5log log log 8,821.2t M x t t tt t M ty M M y t x ∴===≤=+++====>∴======-当且仅当即在时是减函数时此时【挑战自我】设a,b ,c 为△ABC 的三边，a ≤b ≤c ，R 是△ABC 的外接圆半径，令f =a+b －2R-8R 2sin2sin2sinC B A ，试用C 的大小来判定f 的符号.解：f =2R （sinA+sinB －1－42sin2sin2sin C B A ）＝2R[2sin )2cos2(cos212cos2sin 2C AB A B AB AB --++--+]＝4R 2sin 2cos 42)2sin 2(sin 2cos C C R R C A B A B -+--+-π＝4R 2sin 42)2sin2(sin 2cos 2C R R CCA B +----π＝2R )2sin2cos2cos2)(2sin2(cosC C A B C C ----由a ≤b ≤c ，得A ≤B ≤C ，所以0＜B －A ＜B ＋A ，因此2cos 2cosC A B >-，2sin 2cos2cosC A B A B =+>-，所以2sin 2cos 2cos2C C A B +>-故当f >0时，2sin 2cos C C >，则0＜C ＜2π当f ＝0时，2sin2cos C C =，则C ＝2π当f ＜0时，2sin2cosC C <，则C ＞2π【答案及点拨】演变1：由图得2,84T T =∴=,由T=2πω,得4πω=,在y =sin(4x πϕ+)中令x =1,y =1,得242k ππϕπ+=+,24k πϕπ=+,得4πϕ=,选(C)演变2：（解法一）由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027α-α=π-α=，即57cos sin =α-α ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sincos 2cos 25722α-α-=α+αα-α=α-α=α=故51sin cos -=α+α ②由①式和②式得 54cos ,53sin -=α=α.因此，43tan -=α，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan 313tan )4tan(-=+-=+-=α-+α=π+α解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得α-=α=2sin212cos 257解得53sin ,259sin2±=α=α即由57cos sin ,1027)4sin(=α-α=π-α可得由于057sin cos ,0cos 57sin <-α=α>α+=α且，故α在第二象限，于是53sin =α.从而5457sin cos -=-α=α，以下同解法一.演变3：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(πππ--++=⋅=x x x x b a x f21t a n t a n 122)222221tan 1tan 222sincos2cos1222x x x x x x x x x x +-=++⋅-+=+-x x cos sin +==)4sin(2π+x .所以2)(的最大值为x f ，最小正周期为,2π]4,0[)(π在x f 上单调增加，[,]42ππ上单调减少.演变4：∵10º＝30º－20º，∴原式＝︒︒-︒︒+︒︒=︒︒-︒-︒20cos 20sin )20sin 30sin 20cos 30(cos 220cos 20sin )2030cos(2＝2cos30º=3.演变5：原方程可化为022)5()2(2=-++-+i x i x i△＝[]i i i i i i 188241024)22)(2(4)5(2=+-+=-+-+-.而18i 的平方根为)1(3i +±，所以方程的根为)2(2)1(352,1i i i x ++±+=，∴i x x 5351,221-==.演变6：提示：∵｜z 1+z 2｜=|z 1－z 2|（y 1y 20≠），∴|1||1|2121-=+z z z z .即21z z 在复平面内对应的点到（－1,0）、（1,0）的距离相等，∴21z z 对应的点在虚轴上，即21z z 为纯虚数.演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案。