立体几何大题求体积习题汇总
体积计算速算题目
体积计算速算题目题目一：正方体的体积计算已知一个正方体的边长为a，请计算该正方体的体积。
解答：正方体的体积可以通过边长a的立方来计算。
即体积V等于a的立方，表示为V = a³。
题目二：长方体的体积计算已知一个长方体的长为L，宽为W，高为H，请计算该长方体的体积。
解答：长方体的体积可以通过长、宽和高的乘积来计算。
即体积V等于长L乘以宽W乘以高H，表示为V = LWH。
题目三：球体的体积计算已知一个球体的半径为r，请计算该球体的体积。
解答：球体的体积可以通过半径r的立方乘以π再除以3来计算。
即体积V等于4/3乘以π乘以半径r的立方，表示为V = (4/3)πr³。
题目四：圆柱体的体积计算已知一个圆柱体的底面半径为r，高为h，请计算该圆柱体的体积。
解答：圆柱体的体积可以通过底面积乘以高来计算。
底面积等于π乘以半径的平方，即底面积A = πr²。
体积V等于底面积A乘以高h，表示为V = Ah，即V = πr²h。
题目五：圆锥体的体积计算已知一个圆锥体的底面半径为r，高为h，请计算该圆锥体的体积。
解答：圆锥体的体积可以通过底面积乘以高再除以3来计算。
底面积等于π乘以半径的平方，即底面积A = πr²。
体积V等于底面积A乘以高h 再除以3，表示为V = (1/3)Ah，即V = (1/3)πr²h。
题目六：棱柱的体积计算已知一个棱柱的底面积为B，高为h，请计算该棱柱的体积。
解答：棱柱的体积可以通过底面积乘以高来计算。
即体积V等于底面积B 乘以高h，表示为V = Bh。
题目七：棱锥的体积计算已知一个棱锥的底面积为B，高为h，请计算该棱锥的体积。
解答：棱锥的体积可以通过底面积乘以高再除以3来计算。
即体积V等于底面积B乘以高h再除以3，表示为V = (1/3)Bh。
题目八：棱台的体积计算已知一个棱台的上底面积为A，下底面积为B，高为h，请计算该棱台的体积。
立体形的体积计算练习题
立体形的体积计算练习题为了更好地帮您回答题目“立体形的体积计算练习题”，我将按照数学练习题的格式来撰写文章。
如下：立体形的体积计算练习题1. 计算长方体的体积已知长方体的长为L，宽为W，高为H，请计算其体积V。
解答：长方体的体积计算公式为V = L × W × H。
根据题目中给出的长、宽、高的数值，代入公式计算即可得到体积V的结果。
示例：已知长方体的长L为5m，宽W为3m，高H为2m，代入公式V =5 × 3 × 2，计算得到体积V为30立方米。
2. 计算正方体的体积已知正方体的边长为a，请计算其体积V。
解答：正方体的体积计算公式为V = a³。
根据题目中给出的边长a的数值，代入公式计算即可得到体积V的结果。
示例：已知正方体的边长a为4cm，代入公式V = 4³，计算得到体积V为64立方厘米。
3. 计算圆柱体的体积已知圆柱体的底面半径为r，高为h，请计算其体积V。
解答：圆柱体的体积计算公式为V = πr²h，其中π约等于3.14。
根据题目中给出的底面半径r和高h的数值，代入公式计算即可得到体积V的结果。
示例：已知圆柱体的底面半径r为5cm，高h为8cm，代入公式V = 3.14 ×5² × 8，计算得到体积V为628.8立方厘米。
4. 计算球体的体积已知球体的半径为r，请计算其体积V。
解答：球体的体积计算公式为V = (4/3)πr³，其中π约等于3.14。
根据题目中给出的半径r的数值，代入公式计算即可得到体积V的结果。
示例：已知球体的半径r为10cm，代入公式V = (4/3) × 3.14 × 10³，计算得到体积V为4186.7立方厘米。
总结：通过以上练习题的计算，我们可以学会如何计算不同立体形的体积。
无论是长方体、正方体、圆柱体还是球体，只需根据给定的尺寸数据，代入对应的体积计算公式，即可轻松求解。
专题10：立体几何中的体积问题(解析版)
专题10：立体几何中的体积问题（解析版）⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面h S V ⋅=柱体h S V ⋅=31锥体()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上 球的表面积和体积 32344R V R S ππ==球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，点D 是AB 的中点.（1）求证：1AC BC ⊥；（2）若1CC BC =，求三棱锥1B BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）4【分析】（1）利用勾股定理，可得AC BC ⊥，结合1AC CC ⊥，根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可得结果.（2）计算∆BCD S ，1BB ，然后根据三棱锥的体积公式，可得结果.【详解】（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ，∵AC ⊂平面ABC ，∴1CC AC ⊥，∵在ABC ∆中，3AC =，4BC =，5AB =，∴222AC BC AB +=，∴90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，∵1CC ⊂平面11CC B B ，CB ⊂平面11CC B B ，1CC CB C =，∴AC ⊥平面11CC B B ，∵1BC ⊂平面11CC B B ，∴1AC BC ⊥.（2）∵D 是AB 中点， ∴111343222BCD ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=， ∵1BB ⊥平面ABC ，114BB AA ==，∴111134433B BCD BCD V S BB -∆=⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理，还考查了锥体的体积公式，难点在于根据线段长度关系利用勾股定理得出垂直，重点在于对定理的应用，属基础题.2．如图所示：在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥且2AC BC ==，,O M 分别为,AB VA 的中点.（1）求证：平面MOC ⊥平面VAB ；（2）求三棱锥V ABC -的体积.【答案】（1）详见解答；（23. 【分析】（1）由已知可得OC AB ⊥，再由面面垂直定理可得OC ⊥平面VAB ，即可证明结论； （2）OC ⊥平面VAB ，用等体积法求三棱锥V ABC -的体积.【详解】（1）,AC BC O =为AB 中点，OC AB ∴⊥，平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB 平面ABC AB =，OC ⊂平面ABC ，OC ∴⊥平面,VAB OC ∴⊂平面MOC ，平面MOC ⊥平面VAB ；（2）AC BC ⊥且2AC BC ==，O 分别为AB 的中点，11,2,2332VAB OC AB S ∆∴===⨯⨯=， OC ⊥平面VAB ，133V ABC C VAB VAB V V OC S --∆==⨯⨯=， 3V ABC V -∴=. 【点睛】本题考查面面垂直证明，注意空间垂直间的相互转化，考查椎体体积，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.3．如图所示，四棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是四棱锥的高.若4VM cm =，4cm AB =，5VC cm =，求四棱锥的体积.【答案】35(cm )3. 【分析】在Rt VMC ∆中求出3(cm),MC =在Rt ABC ∆中求出25(cm)BC =，再根据棱锥的体积公式可得结果.【详解】 VM 是棱锥的高，VM MC ∴⊥.在Rt VMC ∆中，2222543(cm),MC VC VM =-=-=.26cm AC MC ∴==，在Rt ABC ∆中，22226425(cm)BC AC AB =-=-=.242585(cm )S AB BC ∴=⨯=⨯=底，3 11325854(cm )333V S VM ∴=⋅=⨯⨯=四棱锥底. 【点睛】本题考查了求三棱锥的体积，属于基础题.4．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（243 【分析】 （1）通过AC ⊥BD 与PD ⊥AC 可得AC ⊥平面PBD ；（2）由题先得出∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBD =45°，则可先求出菱形ABCD 的面积，进而可得四棱锥P - ABCD 的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，又PD BD D ⋂=，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，于是∠PBD =45°，因此BD =PD =2.又AB = AD =2，所以菱形ABCD 的面积为sin 6023S AB AD ︒=⋅⋅=，故四棱锥P - ABCD 的体积1433V S PD =⋅=. 【点睛】本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题.5．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，现将ADC 沿AC 边折到APC △的位置．（1）求证：PB AC ⊥；（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）1【分析】（1）取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，由线面垂直的判定定理即可证出.（2）由体积相等转化为P ABC ΔPOB 1V AC S 3-=⋅即可求出. 【详解】（1）如图所示，取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，易得AC PO AC OB ⊥⊥，，PO OB O = AC POB ∴⊥平面,又PB ⊆ 面POB AC PB ∴⊥（2）由（1）知AC POB 260? AC 2PO OB ABCD ADC ⊥∠=︒===平面，且在边长为的菱形中，，所以，3 ，P ABC A POB C POB V V V ---=+体积转化为 ΔPOB 1AC S 3=⋅ =11233sin sin 32POB POB ⨯⨯⨯⨯∠=∠ ,当POB 90∠=︒时，P ABC V -的最大值为1. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想，属于基础题.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，1PA PD ==，E 为AD 的中点.（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）根据等腰三角形证明PE AD ⊥，得到答案. （2）计算得到2AD =，22PE =，再利用体积公式计算得到答案. 【详解】（1）1PA PD ==，E 为AD 的中点，故PE AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD 平面ABCD AD =，故PE ⊥平面ABCD .（2）PA PD ⊥，1PA PD ==，故2AD =，22PE =. 故122223P ABCD V -=⨯⨯⨯=. 【点睛】 本题考查了线面垂直，四棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 7．如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，求棱锥D A CD ''-的体积与长方体的体积之比.【答案】1:6【解析】【分析】棱锥D A CD ''-可以看成棱锥C A DD ''-，然后结合棱锥与棱柱的体积公式求解即可.【详解】解：已知的长方体可以看成直四棱柱ADD A BCC B '''-，设它的底面ADD A ''面积为S ，高为h ，则长方体的体积为ADD A BCC B V Sh '''-=.因为棱锥D A CD ''-可以看成棱锥C A DD ''-，且A DD ''的面积为12S ，棱锥C A DD ''-的高是h ，所以111326D A CD C A DD V V Sh Sh ''''--==⨯=. 因此所求体积之比为1:6.【点睛】本题考查了棱锥及棱柱的体积公式，重点考查了转换顶点求棱锥的体积，属基础题 8．如图，过圆柱的两条母线1AA 和1BB 的截面11A ABB 的面积为S ，母线1AA 的长为l ，11190AO B ︒∠=，求此圆柱的体积.【答案】22S l π. 【分析】 根据已知易得AOB 是等腰直角三角形，根据截面11A ABB 的面积为S 求出AB 长，进而求得底面圆面积再求体积即可。
数学题目立体几何的表面积与体积练习题
数学题目立体几何的表面积与体积练习题数学题目：立体几何的表面积与体积练习题1. 题目一：计算一个半径为3厘米的球体的表面积和体积。
解答：首先计算球的表面积。
球的表面积公式为S=4πR²，其中R 为球的半径。
代入半径为3厘米，得到表面积S=4π×3²=36π cm²。
接下来计算球的体积。
球的体积公式为V=4/3πR³，代入半径为3厘米，得到体积V=4/3π×3³=36π cm³。
2. 题目二：一个长方体的长、宽和高分别为5厘米、4厘米和6厘米。
求该长方体的表面积和体积。
解答：长方体的表面积公式为S=2(长×宽+长×高+宽×高)，代入长为5厘米、宽为4厘米和高为6厘米，得到表面积S=2(5×4+5×6+4×6)=2(20+30+24)=148 cm²。
长方体的体积公式为V=长×宽×高，代入长为5厘米、宽为4厘米和高为6厘米，得到体积V=5×4×6=120 cm³。
3. 题目三：一个圆锥的底面圆半径为2.5厘米，高为7厘米。
求该圆锥的表面积和体积（保留π）。
解答：首先计算圆锥的母线，母线公式为l=√(r²+h²)，其中r为底面圆半径，h为圆锥的高。
代入半径为2.5厘米和高为7厘米，得到母线l=√(2.5²+7²)≈7.416 cm。
圆锥的表面积公式为S=πr(r+l)，代入底面圆半径为2.5厘米和母线长为7.416厘米，得到表面积S=π×2.5(2.5+7.416)≈82.512 cm²。
圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，代入底面圆半径为2.5厘米和高为7厘米，得到体积V=1/3π×2.5²×7≈36.750 cm³。
(完整版)立体几何体积问题-
立体几何体积问题未命名一、解答题1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．2．如图，多面体中，为正方形，，,且.（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积.3．在如图所示的几何体中，平面，四边形为等腰梯形，，，，，，.（1）证明：；（2）若多面体的体积为，求线段的长.4．如图，在四棱锥中，，，，点在线段上，且，，平面.（1）证明：平面平面；（2）当时，求四棱锥的表面积.5．如图,在四棱锥中,是等边三角形,,,.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)若平面平面,,求三棱锥的体积6．如图，三棱柱中，平面平面,平面平面，,点、分别为棱、的中点，过点、的平面交棱于点,使得∥平面.（1）求证：平面;（2）若四棱锥的体积为，求的正弦值.7．如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，，是的中点，且，.（1）证明：；（2）若，求几何体的体积.8．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，..（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，，试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由?（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.9．已知直三棱柱，底面是边长为2的等边三角形，，为棱的中点，在棱上，且．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．10．如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，将折叠至，使得且交平面于F.（1）求证：平面⊥平面PAC.（2）求三棱锥的体积.11．在矩形所在平面的同一侧取两点、，使且，若，，.（1）求证：（2）取的中点，求证（3）求多面体的体积.12．如图，在菱形中，，平面，，是线段的中点，.（1）证明：平面；（2）求多面体的表面积.13．如图，在三棱柱中，，，为的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求到平面的距离．14．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是棱上的点，平面平面（Ⅰ）确定点的位置，并说明理由；（Ⅱ）求三棱锥的体积.15．如图,三棱柱中,侧面侧面,,,,为棱的中点,为的中点.(1) 求证:平面；(2) 若,求三棱柱的体积.参考答案1．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．【解析】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.2．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）证明面面垂直可通过证明线面垂直得到，证A平面即可，（2）由已知，连接交于，作于，由等体积法：，进而可得出结论.（1）证明：∵，由勾股定理得：又正方形中，且∴平面，又∵面，∴平面平面（2）由已知，连接交于作于，则又由（1）知平面平面，平面平面，面，得面由，知四边形为平行四边形，即，而，进而又由，所以，三棱锥的体积.点睛：考查面面垂直、几何体体积，能正确分析线条关系，利用等体积法转化求体积是解题关键.3．(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）通过证明AB平面ACFE得到；（2）作于点G，设，分别计算出四棱锥的体积，再根据已知条件，求出的值，在直角三角形CFG 中求出CF的值。
六年级立体几何组合图形求体积应用题
六年级立体几何组合图形求体积应用题
1、一个圆柱的高是4.2厘米，底面直径是4厘米，它的体积是多少？
2、一个圆柱形水池底面直径8米，池深2米，如果在水池的底面和四周涂上水泥，涂水泥的面积有多少平方米？水池最多能盛水多少立方米？
3、用铁皮制10节同样大小的通风管，每节长5分米，底面直径1.2分米，至少需要多少平方分米铁皮？体积是多少？
4、一种压路机的滚筒是圆柱形的筒宽1.5米，直径是0.8米。
这种压路机每分钟向前滚动5周。
这种压路机1分钟压路多少平方米？
5、一个圆柱形蓄水池，从里面量底面直径是20米，深为5米，
(1)要在这个蓄水池的四周和底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？
(2)这个蓄水池最多可以蓄水多少吨？（每立方米水重1吨）。
高中数学立体几何体积复习 题集附答案
高中数学立体几何体积复习题集附答案高中数学立体几何体积复习题集附答案一、填空题1. 已知四棱锥的底面是一个边长为6cm的正方形，且侧棱长为8cm，求四棱锥的体积。
解答：四棱锥的体积公式为V = (1/3)×底面积×高。
底面积为6^2 = 36cm^2，高为8cm。
所以四棱锥的体积为V = (1/3)×36cm^2×8cm = 96cm^3。
2. 圆柱的底面半径为5cm，高为12cm，求圆柱的体积。
解答：圆柱的体积公式为V = 底面积×高。
底面积为π×5^2 = 25πcm^2，高为12cm。
所以圆柱的体积为V = 25πcm^2×12cm = 300πcm^3。
3. 正方体的体积为64cm^3，求正方体的边长。
解答：正方体的体积公式为V = 边长^3。
已知V = 64cm^3，代入公式可得：64 = 边长^3。
求解得边长 = 4cm。
4. 球的半径为10cm，求球的体积。
解答：球的体积公式为V = (4/3)π×半径^3。
已知半径为10cm，代入公式可得：V = (4/3)π×10^3。
所以球的体积为V = (4/3)π×1000 = 4000πcm^3。
二、选择题1. 下列几何体中，体积最大的是：A. 正方体的棱长为10cmB. 长方体的长、宽、高分别为6cm、8cm、10cmC. 圆柱的底面半径为5cm，高为14cmD. 球的半径为7cm解答：选项C。
计算各几何体的体积，可得：A. 正方体的体积为V = 10^3 = 1000cm^3B. 长方体的体积为V = 6cm×8cm×10cm = 480cm^3C. 圆柱的体积为V = π×5^2×14cm = 350πcm^3D. 球的体积为V = (4/3)π×7^3 = 1434πcm^3可见，C选项的体积最大。
立体几何求体积、点到平面的距离专题(理科)
立体几何求体积、点到平面的距离专题（理科）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是边长为2且160CBB∠=︒的菱形，1AB AC =．（1）证明：平面1AB C ⊥平面11BB C C ．（2）若1AB B C ⊥，AB BC =，求点B 到平面111A B C 的距离．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，60PAC BAC ∠=∠=︒，4AC =，3AP =，2AB =．二、(优质试题湖北武汉高三二月调研)一、（优质试题河北石家庄高三质量检测（二））（1）求三棱锥P ABC -的体积； （2）求点C 到平面PAB 的距离．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别为BC ，DE 中点．（1）证明：CN ∥平面AEM ；（2）若ABE △是等边三角形，平面ABE ⊥平面BCE ，CE BE ⊥，2BE EC ==，求三棱锥N AEM -的体积．三、(优质试题福建莆田高三下学期三月质量检测)【答案】（1）见解析；（2）7【解析】（1）连接1BC 交1B C 于O ，连接AO ， 侧面11BB C C 为菱形，∴11B C BC ⊥；1AB AC =，O 为1BC 的中点，1AO BC ∴⊥，又1B C AO O =，1BC ∴⊥平面1AB C ，1BC ⊂平面11BB C C ，∴平面1AB C ⊥平面11BB C C ．（2）由1AB B C ⊥，1BO B C ⊥，ABBO B =，1B C ∴⊥平面ABO ，AO ⊂平面ABO ，又1AO BC ⊥，11BCB C O =，AO ∴⊥平面11BB C C ，菱形11BB C C 的边长为2且0160CBB∠=，BO ∴=，2AB BC ==，1AO ∴=又1CO =，AC 111ABC A B C S S =△△，设点B 到平面111A B C 的距离为h ，由11111111B A B C A BB C A BB C VV V ---==得111221332h =⋅⋅⋅，h ⇒=，∴点B 到平面111A B C【答案】（1）3；（2．【解析】（1）过P 作PH AC ⊥交AC 于一点H ，二、(优质试题湖北武汉高三二月调研)一、（优质试题河北石家庄高三质量检测（二））。
高中几何体试题及答案解析
高中几何体试题及答案解析试题一：立体几何基础题题目：已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求该长方体的体积。
解析：长方体的体积可以通过其三个维度的乘积来计算，即体积V = a × b × c。
答案：V = abc。
试题二：空间向量在立体几何中的应用题目：在空间直角坐标系中，点A(1, 0, 0)，点B(0, 1, 0)，点C(0, 0, 1)，求三角形ABC的面积。
解析：空间直角坐标系中，三角形的面积可以通过向量叉乘来求解。
设向量AB = (-1, 1, 0)，向量AC = (-1, 0, 1)，向量AB与向量AC 的叉乘结果为向量AB × AC = (1, -1, 1)。
该向量的模即为三角形ABC的面积的两倍。
答案：三角形ABC的面积为√3。
试题三：圆锥体的体积计算题目：已知圆锥的底面半径为r，高为h，求圆锥的体积。
解析：圆锥的体积可以通过公式V = (1/3)πr²h来计算。
答案：V = (1/3)πr²h。
试题四：球体的表面积与体积题目：已知球体的半径为R，求球体的表面积和体积。
解析：球体的表面积可以通过公式A = 4πR²来计算，球体的体积可以通过公式V = (4/3)πR³来计算。
答案：球体的表面积A = 4πR²，球体的体积V = (4/3)πR³。
试题五：旋转体的体积题目：已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的体积。
解析：圆柱的体积可以通过公式V = πr²h来计算。
答案：V = πr²h。
结束语：通过上述试题及答案解析，我们可以看到高中几何体的计算涉及体积、面积和表面积等概念，这些计算在数学和物理等多个领域都有广泛的应用。
掌握这些基础知识对于解决更复杂的几何问题至关重要。
希望这些试题和解析能够帮助学生加深对立体几何概念的理解，并在解题过程中培养空间想象能力。
立体几何体积计算练习题
立体几何体积计算练习题1. 正方体计算(1) 已知一个正方体的边长为5cm，计算其体积。
解答：正方体的体积计算公式为V = a³，其中a为正方体的边长。
代入已知数据可得，V = 5cm × 5cm × 5cm = 125cm³。
(2) 若正方体的体积为64cm³，求其边长。
解答：将正方体的体积计算公式改写为a³ = V。
代入已知数据可得，a³ = 64cm³。
对等式两边开立方根可得，a = ∛(64cm³) = ∛(4 × 4 × 4cm³) = 4cm。
因此，正方体的边长为4cm。
2. 长方体计算(1) 已知一个长方体的长、宽、高分别为8cm、6cm和4cm，计算其体积。
解答：长方体的体积计算公式为V = lwh，其中l、w和h分别为长方体的长、宽和高。
代入已知数据可得，V = 8cm × 6cm × 4cm = 192cm³。
(2) 若长方体的体积为360cm³，已知长和宽的比为2:3，求长方体的长、宽和高。
解答：设长和宽分别为2x和3x（其中x为比例系数），代入长方体的体积计算公式可得，(2x) × (3x) × h = 360cm³。
化简该方程可得，6x²h = 360cm³。
解方程可得，h = 360cm³ / (6x²)。
同时，已知长和宽的比为2:3，即有 (2x) / (3x) = 2/3。
解方程可得，x = 3。
代入h的表达式可得，h = 360cm³ / (6 × 3²) = 10cm。
因此，长方体的长为2x = 2 × 3 = 6cm，宽为3x = 3 × 3 = 9cm，高为10cm。
3. 圆柱体计算(1) 已知一个圆柱体的底面半径为4cm，高为10cm，计算其体积。
探索立体几何的体积计算练习题
探索立体几何的体积计算练习题立体几何是数学中一个重要的分支，它研究的是空间中的几何图形以及与其相关的性质和计算方法。
在立体几何中，体积是一个关键的概念，它用来描述一个立体图形所占据的空间大小。
本文将通过一些练习题来探索立体几何的体积计算方法。
练习题一：计算长方体的体积长方体是一种常见的立体图形，它的六个面都是矩形。
我们以一个具体的例子来计算长方体的体积。
例题：一个长方体的长、宽、高分别为10厘米、5厘米、3厘米，求它的体积。
解析：长方体的体积计算公式为 V = lwh，其中 V 表示体积，l、w、h 表示长方体的长度、宽度和高度。
将给定的数值代入公式，即可计算出体积。
解答：V = 10厘米 × 5厘米 × 3厘米 = 150厘米³练习题二：计算圆柱体的体积圆柱体是另一种常见的立体图形，它的底面是一个圆，侧面是由相同大小的矩形所组成。
下面我们来计算一个圆柱体的体积。
例题：一个圆柱体的底面半径为4厘米，高度为6厘米，求它的体积。
解析：圆柱体的体积计算公式为V = πr²h，其中 V 表示体积，r 表示底面半径，h 表示高度，π 是一个常数，约等于3.14。
将给定的数值代入公式，即可计算出体积。
解答：V = 3.14 × 4厘米 × 4厘米 × 6厘米 = 301.44厘米³练习题三：计算球体的体积球体是一种特殊的立体图形，它的表面是由无数个点构成的，体积计算较为复杂。
下面我们来计算一个球体的体积。
例题：一个球体的半径为6厘米，求它的体积。
解析：球体的体积计算公式为V = 4/3πr³，其中 V 表示体积，r 表示半径，π 是一个常数，约等于3.14。
将给定的数值代入公式，即可计算出体积。
解答：V = 4/3 × 3.14 × 6厘米 × 6厘米 × 6厘米 = 904.32厘米³练习题四：计算棱锥的体积棱锥是一种由一个底面和一个尖顶连接而成的立体图形。
立体几何计算练习题体积与表面积
立体几何计算练习题体积与表面积在几何学中，计算立体图形的体积和表面积是非常重要的。
掌握这些计算方法不仅可以帮助我们理解立体图形的特性，更能应用到实际生活和工作中。
本文将介绍几个常见的立体几何计算练习题，涵盖了体积和表面积的计算方法，希望能够对读者有所帮助。
以下是几个练习题。
练习题一：正方体的体积和表面积计算正方体是最简单的立体图形之一，它的六个面都是正方形。
我们先来计算一个边长为a的正方体的体积和表面积。
体积的计算公式为 V = a^3，其中a表示正方体的边长。
例如，如果正方体的边长为5cm，那么它的体积就是 V = 5^3 = 125 cm^3。
表面积的计算公式为 S = 6a^2，其中a表示正方体的边长。
以边长为5cm的正方体为例，它的表面积就是 S = 6(5^2) = 150 cm^2。
练习题二：圆柱体的体积和表面积计算圆柱体是常见的立体图形，它的底面是一个圆，高度为h。
我们来计算一个半径为r、高度为h的圆柱体的体积和表面积。
体积的计算公式为V = πr^2h，其中π取近似值3.14。
例如，如果圆柱体的半径为3cm，高度为8cm，那么它的体积就是V ≈ 3.14(3^2)(8) ≈ 226.08 cm^3。
表面积的计算公式为S = 2πr^2 + 2πrh，其中π取近似值3.14。
以半径为3cm、高度为8cm的圆柱体为例，它的表面积就是S ≈ 2(3.14)(3^2) + 2(3.14)(3)(8) ≈ 188.64 cm^2。
练习题三：球体的体积和表面积计算球体是没有棱和角的立体图形，它的表面都是由一个半径为r的圆所构成。
我们来计算一个半径为r的球体的体积和表面积。
体积的计算公式为 V = (4/3)πr^3，其中π取近似值3.14。
例如，如果球体的半径为6cm，那么它的体积就是V ≈ (4/3)(3.14)(6^3) ≈ 904.32 cm^3。
表面积的计算公式为S = 4πr^2，其中π取近似值3.14。
文科立体几何大题---变换顶点求体积学生版(答案在卷尾)
文科立体几何大题-------求体积 题型一：变换顶点求体积 例题1如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，2AB =，3CD =，M 为PC 上一点，且2PM MC =.（1）求证：BM ∥平面PAD ； （2）若2AD =，3PD =，3BAD π∠=，求三棱锥P -ADM 的体积.典型题练习1.已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.（Ⅰ）试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积.练习2在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，AA 1⊥平面ABCD ．AB ＝2AD ＝4，3DAB π∠=． （1）证明：平面D 1BC ⊥平面D 1BD ；（2）若直线D 1B 与底面ABCD 所成角为6π，M ，N ，Q 分别为BD ，CD ，D 1D 的中点，求三棱锥C —MNQ 的体积．巩固练习1.如图示，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，PD AD =，E 、F 分别CD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：EF ⊥平面PAB ； （Ⅲ）设33==BC AB , 求三棱锥P -AEF 的体积.练习2如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，60BAD ∠=︒．（1）求证：平面PBD ⊥平面P AC ；（2）若PA AB =，M 为线段PC 的中点，求三棱锥C -MBD 的体积。
文科立体几何大题-------求体积题型一：变换顶点求体积例题1.解析：1.（1）法一：过作交于点，连接.∵，∴.又∵，且，∴，∴四边形为平行四边形，∴.又∵平面，平面，∴平面.法二：过点作于点，为垂足，连接.由题意，，则，又∵，，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴.又，∴.又∵平面，平面；∵平面，平面，；∴平面平面.∵平面，∴平面.（2）过作的垂线，垂足为.∵平面，平面，∴.又∵平面，平面，；∴平面由（1）知，平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，即.在中，，，∴.M //MN CD PD N AN 2PM MC =23MN CD=23ABCD =//AB CD //AB MN ABMN//BM AN BM ⊄PAD AN ⊂PAD //BM PAD M MN CD ⊥N N BN 2PM MC =2DN NC =3DC =2DN =//AB DN ABND //BN AD PD ⊥ABCD DC ⊂ABCD PD DC ⊥MN DC ⊥//PD MN BN ⊂MBN MN ⊂,MBN BN MN N =AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D ⋂=//MBN PAD BM ⊂MBN //BM PAD B AD E PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD BE ⊥AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D ⋂=BE ⊥PAD //BM PAD M PAD B PAD BE ABC ∆2AB AD ==3BAD π∠=BE =13P ADM M PAD PAD V V S --∆==⨯133BE ⋅=⨯典型题练习1.解析：（Ⅰ）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求. 证明：取中点，连结，∵为腰长为的等腰三角形，为中点，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，同理可证平面，∴，∵平面，平面，∴平面.又，分别为，中点，∴，∵平面，平面，∴平面.又，平面，平面，∴平面平面，又平面，∴平面.（Ⅱ）连结，取中点，连结，则，由（Ⅰ）可知平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.又是边长为的等边三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴平面，∴为中点，∴，又，，∴∴.DC N BD M MN MN BC H AH ABC ∆3H BC AH BC ⊥ABC ⊥BCD ABC BCD BC =AH ⊂ABCAH ⊥BCD EN ⊥BCD //EN AH EN ⊄ABCAH ⊂ABC //EN ABC M N BD DC //MN BC MN ⊄ABC BC ⊂ABC //MN ABC MN EN N =MN ⊂EMN EN ⊂EMN //EMN ABC EF ⊂EMN //EF ABC DH CH G NG //NG DH //EN ABC E ABC N ABC BCD ∆2DH BC ⊥ABC ⊥BCD ABC BCD BC =DH ⊂BCD DH ⊥ABC NG ⊥ABC DH =N CD NG =3AC AB ==2BC =12ABC S BC AC ∆=⋅⋅=V V =1S NG =⋅⋅=练习2解析：（1）证明：∵D 1D ⊥平面ABCD ，， ∴D 1D ⊥BC ．又AB ＝4，AD ＝2，，∴∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD ．又∵AD ∥BC ，∴BC ⊥BD ．又∵D 1D∩BD ＝D ，，，∴BC ⊥平面D 1BD ，而，∴平面D 1BC⊥平面D 1BD ； （2）解：∵D 1D ⊥平面ABCD ，∴∠D 1BD 即为直线D 1B 与底面ABCD 所成的角，即，而，∴DD 1＝2．，∴BC ABCD ⊂平面3DAB π∠=BD ==1BD D BD ⊂平面11D D D BD ⊂平面1BC D BC ⊂平面16D BD π∠=BD =14C MNQ Q CMN Q BDC V V V ---==11121432C MNQ V -=⨯⨯⨯⨯=巩固练习1.解析：（Ⅰ）取PA 的中点G ，连FG ，由题可知：BF=FP ,则FG //AB FG = AB ,又CE= ED ，可得：DE//AB 且DE = AB ，∴ FG //DE 且FG = DE ,∴四边形DEFG 为平行四边形，则EF //DG且EF =DG ,DG ⊂平面PAD ；EF ⊄平面PAD ，∴ EF//平面PAD ⋯⋯⋯4分 （Ⅱ）由PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PAD ，∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，又底面ABCD 是矩形，∴ BA ⊥ AD ，∴BA ⊥ 平面PAD ，∴平面PAB ⊥平面PAD,其交线为PA ，又PD=AD ，G 为PA 的中点，∴DG ⊥ PA ，∴ DG ⊥平面PAB ，由（Ⅰ）知：EF // DG , ∴ EF ⊥平面PAB ⋯⋯⋯8分 （Ⅲ）由BC =1, AB =F 为PB 的中点，∴ = = = == = ⋯⋯⋯⋯12分练习2解析：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴. 又∵平面ABCD ，平面ABCD ，∴．又，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （Ⅱ）解：1212AEF P V -AEF B V -ABE F V-ABE P V -21PD S ABE ⋅⋅⋅∆3121112213121⋅⋅⋅⋅⋅122AC BD ⊥PA ⊥BD ⊂≠PA BD ⊥PA AC A =PA ⊂≠PAC AC ⊂≠PAC BD ⊥PAC BD ⊂≠PBD PBD ⊥PAC BCD 11=2232C BDM M V V --=⨯⨯⨯。
圆台的体积专项练习60题(有答案)
圆台的体积专项练习60题(有答案)圆台的体积专项练60题（附答案）以下是60道关于圆台体积的专项练题，每道题目都附有答案。
希望能够帮助您加深对圆台体积计算的理解。
1. 已知圆台的底面半径为3cm，高度为4cm，求其体积。
答案：18π cm³2. 圆台的底面半径为5cm，高度为8cm，求其体积。
答案：280π cm³3. 如果圆台的底面半径是7cm，高度是10cm，求其体积。
答案：490π cm³4. 圆台的底面半径为9cm，高度为12cm，求其体积。
答案：972π cm³5. 已知圆台的底面周长为12π cm，高度为6cm，求其体积。
答案：144π cm³6. 圆台的底面周长为20π cm，高度为10cm，求其体积。
答案：800π cm³7. 如果圆台的底面周长是36π cm，高度是15cm，求其体积。
答案：8100π cm³8. 圆台的底面周长为40π cm，高度为20cm，求其体积。
答案：8000π cm³9. 已知圆台的底面积为16π cm²，高度为8cm，求其体积。
答案：256π cm³10. 圆台的底面积为25π cm²，高度为10cm，求其体积。
答案：250π cm³11. 如果圆台的底面积是36π cm²，高度是12cm，求其体积。
答案：432π cm³12. 圆台的底面积为49π cm²，高度为14cm，求其体积。
答案：686π cm³13. 已知圆台的底面积为64π cm²，高度为16cm，求其体积。
答案：1024π cm³14. 圆台的底面面积为81π cm²，高度为18cm，求其体积。
答案：1458π cm³15. 如果圆台的底面面积是100π cm²，高度是20cm，求其体积。
挑战立体几何的体积练习题
挑战立体几何的体积练习题在学习立体几何的过程中，计算体积是一个重要的技能。
理解和掌握计算不同几何体的体积公式对于解决实际问题和应用数学知识至关重要。
在本篇文章中，将介绍一些挑战性的立体几何体积练习题，帮助读者提高对体积计算的理解和运用能力。
练习题一：长方体与立方体1. 将一个边长为2厘米的正方形面贴在一个长方体的一个面上，这个正方形位于长方体的中心。
如果长方体的高为5厘米，求这个复合体的体积。
解答：首先计算正方形的面积：2cm × 2cm = 4cm²然后计算长方体的体积：4cm² × 5cm = 20cm³所以，这个复合体的体积为20立方厘米。
2. 一个立方体的棱长为3cm，若将这个立方体切割成六个体积相同的小正方体，求每个小正方体的棱长以及它们的体积。
解答：首先计算原立方体的体积：3cm × 3cm × 3cm = 27cm³然后计算每个小正方体的体积：27cm³ ÷ 6 = 4.5cm³由于六个小正方体在空间中组成一个立方体，所以每个小正方体的棱长也相同，记为x。
则x³ = 4.5cm³，解得x ≈ 1.71cm所以每个小正方体的棱长约为1.71cm，体积为4.5立方厘米。
练习题二：圆柱体与锥体1. 一个圆柱体的直径为8cm，高为10cm，求其体积。
解答：首先计算圆柱体的半径：8cm ÷ 2 = 4cm然后计算圆柱体的底面积：π × 4cm × 4cm = 16π cm²最后计算圆柱体的体积：16π cm² × 10cm = 160π cm³所以，圆柱体的体积为160π立方厘米，约等于502.65立方厘米。
2. 一个锥体的底半径为6cm，高为8cm，求其体积。
解答：首先计算锥体的底面积：π × 6cm × 6cm = 36π cm²然后计算锥体的体积：36π cm² × 8cm ÷ 3 = 96π cm³所以，锥体的体积为96π立方厘米，约等于301.59立方厘米。
数学综合算式专项练习题立体几何中的体积计算
数学综合算式专项练习题立体几何中的体积计算在数学学科中，立体几何是一个重要的部分。
对于学生来说，掌握立体几何的知识点和计算方法，不仅可以提高数学综合能力，还可以帮助解决实际问题。
本文将重点介绍立体几何中的体积计算，通过专项练习题的形式，帮助读者掌握相关知识。
练习题一：长方体的体积计算1. 已知一个长方体的长为10cm，宽为5cm，高为8cm，求该长方体的体积。
解析：长方体的体积计算公式为V = 长 ×宽 ×高，将已知的数值代入公式计算即可。
解答：V = 10cm × 5cm × 8cm = 400cm³。
练习题二：正方体的体积计算2. 已知一个正方体的边长为6cm，求该正方体的体积。
解析：正方体的体积计算公式为V = 边长³，将已知的数值代入公式计算即可。
解答：V = 6cm³ = 216cm³。
练习题三：圆柱体的体积计算3. 已知一个圆柱体的底面半径为4cm，高度为10cm，求该圆柱体的体积。
解析：圆柱体的体积计算公式为V = π × 半径² ×高度，将已知的数值代入公式计算即可。
其中，圆周率π取3.14。
解答：V = 3.14 × 4cm² × 10cm = 125.6cm³。
练习题四：金字塔的体积计算4. 已知一个金字塔的底面为边长为6cm的正方形，高度为8cm，求该金字塔的体积。
解析：金字塔的体积计算公式为V = 底面积 ×高度 ÷ 3，将已知的数值代入公式计算即可。
解答：V = 6cm × 6cm × 8cm ÷ 3 = 96cm³。
练习题五：球体的体积计算5. 已知一个球体的半径为5cm，求该球体的体积。
圆周率π取3.14。
解析：球体的体积计算公式为V = 4/3 × π × 半径³，将已知的数值代入公式计算即可。
立体几何体积与表面积模拟试题
立体几何体积与表面积模拟试题题目一：长方体体积与表面积计算设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，请计算该长方体的体积和表面积。
解答：根据长方体的定义，可以得知其体积公式为V = abc，表面积公式为S = 2(ab + ac + bc)。
假设长宽高分别为4cm、6cm、8cm，代入公式计算：体积V = 4 * 6 * 8 = 192cm³表面积S = 2(4 * 6 + 4 * 8 + 6 * 8) = 2(24 + 32 + 48) = 2(104) = 208cm²因此，这个长方体的体积为192cm³，表面积为208cm²。
题目二：圆柱体体积与表面积计算圆柱体的底面半径为r，高度为h，请计算该圆柱体的体积和表面积。
解答：根据圆柱体的定义，可以得知其体积公式为V = πr²h，表面积公式为S = 2πrh + 2πr²。
假设底面半径r为5cm，高度h为10cm，代入公式计算：体积V = π * 5² * 10 = 250π cm³（单位可以为π）表面积S = 2π * 5 * 10 + 2π * 5² = 100π + 50π = 150π cm²（单位可以为π）因此，这个圆柱体的体积为250π cm³，表面积为150π cm²。
题目三：球体体积与表面积计算球体的半径为r，请计算该球体的体积和表面积。
解答：根据球体的定义，可以得知其体积公式为V = (4/3)πr³，表面积公式为S = 4πr²。
假设半径r为3cm，代入公式计算：体积V = (4/3)π * 3³ = 36π cm³（单位可以为π）表面积S = 4π * 3² = 36π cm²（单位可以为π）因此，这个球体的体积为36π cm³，表面积为36π cm²。
体积计算题型大全(有答案)
体积计算题型大全(有答案)本文将为你详细介绍各种体积计算题型，并提供题目及答案，希望能够帮助你更好地掌握计算方法。
立方体类题目一一个边长为3cm的立方体体积是多少？解题思路立方体的体积公式为：$V= a^3$，其中 $a$表示边长，所以我们可以直接代入计算：$V= 3^3 = 27$（$cm^3$）答案该立方体的体积为 27 $cm^3$。
题目二一个立方体的体积为1331 $m^3$，其边长是多少？解题思路同样使用体积公式 $V= a^3$，将已知值代入计算，解出未知变量 $a$：$a= \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{1331} = 11 $（$m$）题目三一个长方体的底面积为10 $m^2$，高度为3 $m$，求该长方体的体积。
解题思路长方体的体积公式为：$V= abh$，其中 $a$ 为长方体底面积，$b$为底面另一个边长，$h$为高度。
将值代入计算：$V= abh = 10 * b * 3$由于只有面积为10 $m^2$的底面，所以 $b = \frac{10}{a}$，代入计算得：$V= abh = 10 * b * 3 = 10 * \frac{10}{a} * 3$化简得：$V= 30a$ （$m^3$）答案该长方体的体积为30$a$ ($m^3$)。
锥形类题目四一个高为12cm，底面半径为5cm的圆锥体积为多少？解题思路圆锥的体积公式为：$V= \frac{1}{3}Sh$，其中 $S$为圆锥底面积，$h$为高度。
圆锥底面为一个半径为5cm的圆，所以 $S= \pir^2 = \pi * 5^2$ （$cm^2$）。
将已知值代入解得：$V= \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}\pi *5^2*12$ （$cm^3$）答案该圆锥的体积为 $100\pi$ ($cm^3$)。
题目五一个直径为8cm，高为10cm的圆柱，一个高度为5cm的圆锥，它们的体积相等，求这个圆柱的高度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何
1．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π
3
，
M 为BC 上一点，且BM ＝1
2
.
(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO
图1-4
2．[·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．
(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E ABC
3．[·福建卷19] 如图1-6所示，三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .
(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A - MBC 的体积．
4．[·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P -ABD的体积V＝
3
4，求A到平面PBC的距离．
5．[·广东卷18] 如图1-2所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图1-3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M -CDE的体积．
图1-2图1-3 6．[·辽宁卷19] 如图1-4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D -BCG的体积．
7．[·全国新课标卷Ⅰ19] 如图1-4，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C . (1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高．
8．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π
3
，
M 为BC 上一点，且BM ＝1
2
.
(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．
4
9、如图5所示，在三棱锥ABC P -
中，AB BC ==
⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，
3CD =，2=PD ．
（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形．
图5
B
P
A
D
10、如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 是的点，且⊥BF 平面ACE ，
G BD AC =⋂
（1）求证：⊥AE 平面BCE ； （2）求三棱锥C —BGF 的体积。
11、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====1，且F 是CD 的中点．3AF = （Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (III) 求此多面体的体积．
12、在如图4所示的几何体中，平行四边形ABCD 的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，AD CD DP a ===，
2AP CP a ==，//DP AM ，且1
2
AM DP =
，,E F 分别为,BP CP 的中点. (I)证明：//EF 平面ADP ; (II)求三棱锥M ABP -的体积.
A B
C
D
E
F
13、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 的中点,底面ABCD 的中心是F. (1)求证:CE ⊥BD ；(2)求证:CE ∥平面1A BD ；(3)求三棱锥1D A BC -的体积.
14、矩形ABCD 中，AD AB =2，E 是AD 中点，沿BE 将ABE ∆折起到'A BE ∆的位置，使'
'
AC A D =，F G 、分别是BE CD 、中点.
（1）求证：F A '⊥CD ；
（2）设2=AB ，求四棱锥BCDE A -'的体积.
15、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ABCD ⊥底面，且
2
2
PA PD AD ==
，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD . （3）求四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -.
16、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =,14AA =，点D 是AB 的中点， （1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：11CDB //平面AC ； （3）求三棱锥11C CDB -的体积。
17、如图1，在正三角形ABC 中，AB=3，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，AE=CF=CP=1。
将AFE ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，使平面1A EF 与平面BCFE 垂直，连结A 1B 、A 1P （如图2）。
（1）求证：PF//平面A 1EB ；
（2）求证：平面BCFE ⊥平面A 1EB ； （3）求四棱锥A 1—BPFE 的体积。
18、如图所示的长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，21=BB ，
M 是线段11D B 的中点．
(1)求证：//BM 平面1D AC ； (2)求三棱锥11D AB C -的体积．
191、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。
(1)证明：BC PDC ⊥平面; (2)求三棱锥P DEF -的体积。
20、如图6，在四面体PABC 中，PA=PB ，CA=CB ，D 、E 、F 、G 分别是PA ，AC 、CB 、BP 的中点． (1)求证：D 、E 、F 、G 四点共面； (2)求证：PC ⊥AB ；
(3)若△ABC 和PAB 都是等腰直角三角形，且AB=2，2=PC ，求四面体PABC 的体积．
21、如图所示，圆柱的高为2，底面半径为7,AE 、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC . （1）求证：//BC EF ；（2）若四边形ABCD 是正方形，求证BC BE ⊥； （3）在（2）的条件下，求四棱锥A BCE -的体积.
22、如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ，
60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正方形ADEF 和平面ABCD 垂直，H
G ,是BE DF ,的中点．
（1）求证：CDE BD 平面⊥；（2）求证：//GH 平面CDE ； （3）求三棱锥CEF D -的体积．。