全国大学生数学竞赛预赛试题

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=1d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

（3）设0s >，求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞-==⎰。

（4）设函数()f t有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂。

（5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离。

二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <,证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ。

四、（15分）设10,,nn n k k a S a =>=∑证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1nn na S α+∞=∑发散。

五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。

（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。

六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422()cxydx x dy x y ϕ++⎰的值为常数。

（1）设L 为正向闭曲线22(2)1,x y -+=证明422()0;cxydx x dy x y ϕ+=+⎰ （2）求函数()x ϕ；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()cxydx x dyx yϕ++⎰。

一．计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭； （2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭； （3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d ydx。

二．（10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。

三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()'"0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=。

四．（17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

五．（16分）已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦。

计算：（1）(),,SzdS x y z ρ⎰⎰；（2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰ 六．（12分）设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,nn a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛。

七．（15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()021f f ==，()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、请说明理由。

一. 每题6分共30分1.求极限21)!(lim n n n ∞→； 2.求极限dt tt t x x xx ⎰++∞→+13cos sin lim ；3.求通过直线⎩⎨⎧=+-+=-+03455032:z y x z y x L 的两个相互垂直的平面21,ππ，是其中一个平面过点（1,3,4-）；4.已知函数byax ey x u z +=),(，且02=∂∂∂yx u，确定常数a 和b ，使函数),(y x z z =满足方程02=+∂∂-∂∂-∂∂∂z xzx z y x z ； 5.设函数)(x u u =连续可微，1)2(=u ，且udy u x udx y x L)()2(3+++⎰在右半平面上与路径无关，求)(x u ；二.（10分）计算dx x e x ⎰+∞-02|sin |；三.（10分）求方程50121sin2-=x xx 的近似解，精确到001.0； 四.（12分）设函数)(x f y =二阶可导，且0)0(,0)0(,0)(='=>''f f x f ，求ux f u f x x 330sin )()(lim→，其中u 是曲线)(x f y =上点))(,(x f x P 处切线在x 轴上的截距；五.（12分）求最小实数C ，使得对满足1|)(|1=⎰dx x f 的连续的函数)(x f ，都有C dx x f ≤⎰1)(；六.（12分）设)(x f 为连续函数，0>t ，区域Ω是由抛物面22y x z +=和球面2222t z y x =++所围起来的上半部分，定义三重积分dv z y x f t F ⎰⎰⎰Ω++=)()(222，求)(t F '；七.（14分）设∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 为正项级数那么（1）若0)1(1lim >-+∞→n b n n n b a a n，则∑∞=1n n a 收敛；（1）若01(1lim <-+∞→n b n nn b aa n，则若∑∞=1n n b 发散，∑∞=1n n a 收敛。

一、 解答下列各题（每小题6分共24分）1.求极限(lim 1sin nn →∞+. 2.证明广义积分sin xdx x+∞⎰不是绝对收敛的 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。

4.过曲线)0y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标。

二、（12分）计算定积分2sin arctan 1cos xx x e I dx xππ-⋅=+⎰三、（12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数()0f ''，且()0lim0x f x x →=。

证明 ：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛。

四、（12分）设()()(),0f x f x a x b ππ'≤≥>≤≤，证明()2sin baf x dx m≤⎰ 五、（14分）设∑是一个光滑封闭曲面，方向朝外。

给定第二型的曲面积分()()()33323I x x dydz y y dzdx z z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰。

试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值。

六、（14分）设()()22a aCydx xdyI r xy-=+⎰，其中a 为常数，曲线C 为椭圆222x xy y r ++=，取正向。

求极限()lim a r I r →+∞七（14分）判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑的敛散性，若收敛，求其和。

一 填空题(共有5小题，每题6分，共30分)1.已知x e y =1和x xe y =1是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是_2.设有曲面222:y x z S +=和平面022:=++z y x L 。

则与L 平行的S 的切平面方程是_3.设函数)(x y y =由方程⎰-⎪⎭⎫⎝⎛=xy dt t x 124sin π所确定。