全国大学生数学竞赛预赛试题

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2

22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.

3．曲面22

22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )

(y

y f e xe

=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x

y

_____.

二、（5分）求极限x

e

nx x x x n

e e e )(

lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=1

d )()(t xt f x g ，且A x

x f x =→)

(lim

，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.

四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：

（1）⎰⎰-=---L

x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25

d d π⎰≥--L y y x y

e y xe .

五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线

1=x 所围图形的面积为3

1

.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x

n n n

, 且n e

u n =)1(, 求函数项级数∑∞

=1

)(n n x u 之和. 八、（10分）求-

→1x 时, 与∑∞

=0

2

n n x 等价的无穷大量.

一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)

(1),n

n x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞

（2）求2

1lim 1x x x e x -→∞⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

。

（3）设0s >，求0

(1,2,)sx n I e x dx n ∞

-==⎰。

（4）设函数()f t

有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

，求2222g g x y ∂∂+∂∂。

（5）求直线10:0

x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213

:421x y z l ---==

--的距离。 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞

→-∞

''''>=>=<且

存在一点0x ，使得0()0f x <,证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2

2(1)()

x t t t y t ψ⎧=+>-⎨

=⎩所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与2

2

13

2t u y e du e

-=+

⎰在1t =出相切，求函数()t ψ。 四、（15分）设1

0,,n

n n k k a S a =>=∑证明：（1）当1α>时，级数1n

n n

a S α

+∞

=∑

收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n

n n

a S α

+∞

=∑

发散。 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2

2

2

1)αβγ++=的直线，均匀椭球222

2221x y z a b c

++≤，

其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。

六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分

42

2()c

xydx x dy x y ϕ++⎰

的值为常数。（1）设L 为正向闭曲线22

(2)1,x y -+=证明422()0;c

xydx x dy x y ϕ+=+⎰ （2）求函数()x ϕ；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求42

2()c

xydx x dy

x y

ϕ++⎰

。

一．

计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）

（1）.求11cos 0sin lim x

x x x -→⎛⎫

⎪⎝⎭

； （2）.求1

11lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++

⎪+++⎝

⎭； （3）已知()2ln 1arctan t

t

x e y t e ⎧=+⎪

⎨

=-⎪⎩

，求22

d y

dx

。 二．（10分）求方程

()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。

三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()'"0,0,0f f f 均不为0，

证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()

1232

230lim

0h k f h k f h k f h f h

→++-=。

四．（17分）设2221222:1x y z a b c

∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2

∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

五．（16分）已知S 是空间曲线2231

x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）取上

侧，∏是S 在(),,P

x y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的

正法向的方向余弦。计算：（1）(),,S

z

dS x y z ρ⎰⎰；（2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰ 六．（12分）设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数，且

()()f x mf x <、，其中01m <<，任取

实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n

n a f a n -==证明：()11

n n n a a ∞

-=-∑绝对收敛。

七．（15分）是否存在区间

[]0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()021f f ==，

()()2

01,1f

x f x dx ≤≤⎰、

请说明理由。