物流运输方案的选择

3
8 2 2 2
14 5
12 1 1 1
销 地 产地
行差额
B1
4
2
B2
B3
12
10 5
B4
产 量
4 7
5
6
A1
A2
8
4
3 11
11
9
16 12 10
22
4
2
6
A3
销 量
列 4 差 额 5
8
6
8 14 6 2
48
14
8
14
12
1
6
பைடு நூலகம்
销 地 产地
行差额
B1
4
B2
12
B3
B4
产 量
4
5
6
A1
A2
8
4
12
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4 3
B4
11
产 量
A1
A2
2
8
9
16
10
22
A3
销 量
5
14 12
11
14
6
48
8
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4 3
B4
11
产 量
A1
A2
2
8
9
16
2 810
22
A3
销 量
5
14 12
11
14
6
48
8
①
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
B4
11
产 量
A1
A2
6
9
16
10 6
2 8 8
1
A3
销 量
14 8 14 12
8 14
22 48
22 c22 c32 c34 c14 c13 c23 10 5 6 11 4 3 1
销地 产地
B1
1
B2
4
2
B3
12 4
B4
11
产 量
A1
A2
10
10 2 5 11 3
6
11 (+) 3 (-) 10 7 2 5 3 1 2 4 1 9 (-) 2 (+) 8 4 3 1 1 -1 1 7 4 10 5 9 10 12 3 6 3 6 5 6 20
调整方法：
1）找出闭回路 2）确定调整量
使最小负检验数所 对应的空格达到最 大的调整量，即 =min(1,3)=1
m n
• 设xij表示产地 Ai 运 往销地B j 的物资量， cij表示对应的单位运 费，则我们有运输问 题的数学模型如下：
i 1 j 1
s .t .
n x a i 1,2, , m 产地约束 ij i j 1 m x ij b j j 1,2, , n 销量约束 i 1 x 0 ij
2
16
3
11
9
②
8
8
8 14
2
5 6
10 22
A3
销 量
12 10
14
48
①
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
B4
11 9
产 量
A1
A2
2
6 16 10
② 10
3
2
11
12 10 14
8
8
8 14
A3
销 量
5
6
22 48
①
③
销地
产地
B1
4
B2
12
B3
4
B4
11 9
产 量
A1
A2
2 8 10
10
3
x13 x23 x33 x31 x32 x33 x34 i 1,
x14 x24 x34 8 14 12 14 2,3;
16 10 22
j 1,2,3,4
1.最小元素法
基本思想: 就“近”供应，从运输表中最小运价所在格开始确定供销关 系。 缺点: 为节省一处费用，会使别处费用增加很多，因此，其初始 基可行解往往离最优解甚远，需要较多的迭代过程。
3 11
11
16 10
22 48
4
7 0 6 0
2
8
10 5
9
6
8 4 14 6 2 2
2
A3
销 量 列 4 差 额 5
14
8
14
12
1
6
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）： x13 12,
x14 4, x21 8, x24 2, x33 14, x34 8,
其余变量全等于零。
ui , v j 分别称为行位势、列位势。
cij (ui v j ) 0
有基变量所对应的检验数为零，可从m+n-1个等式 解出所有的行位势、列位势。 可以证明，不论令 vi a 为何值， (ui
即 ij 将不会随 vi 的取值而改变。 为此，在求解时，为计算简便，可指定一个位势等于一个较 小的整数或零。
1
2 8
2
10
10
3 2
6
9
16
10
1
8 5
14 14
1
11 6
8 14
0
4
A3
销 量
10
8
12
12
22 48
vj
2
9
3
10
ij cij (ui v j )
四、解的改进（用闭回路法调整）
从最小负检验数所对应的空格进行调整 例3 对由最小元素法得出的初始解进行调整
销地 产地 A1 A2 A3 bj B1 3 B2 B3 B4 ai
MinZ 6 x11 4 x12 6 x13 6 x21 5 x22 5 x23
二、运输问题的一般数学模型
• 有m个产地生产某种物资，有n个 地区需要该类物资； • 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各销地的销量；
min Z cij x ij
销 地 产地
行差额
B1
4 2
B2
12 10
B3
4 3
B4
11
产 量
1
2
3
A1
A2
16
9 10
0
1 1
A3
销 量
8
8
5
14
11
12 14
6
14 48
8 22
列 差 额
1 2 3
2
5
1
3
销 地 产地
行差额
B1
4 2 8
B2
12 10 5
B3
4 3 11 12 1 1
B4
11
产 量
1
2
3
A1
A2
16
9 10
9
1
16
10 6 22 48
2 8 8
1
A3
销 量
14 8 14 12
8 14
24 c24 c14 c13 c23 9 11 4 3 1
销地 产地
B1
1
B2
4
2
B3
12 4
B4
11
产 量
A1
A2
10
10 2 5 11 3
6
9
1
16
10 6 22 48
2 8 8
10
1
A3
销 量
14 14 12
8 14
8
31 c31 c21 c23 c13 c14 c34 8 2 3 4 11 6 10
销地 产地
B1
1
B2
4
2
B3
12 4
B4
11
产 量
A1
A2
10
10 2 5 11
12
6
3
1
16
9 10 6 22 48
200
s .t .
x11 x12 x13 200 x 21 x 22 x 23 300 x11 x 21 150 x12 x 22 150 x13 x 23 200 x ij 0; i 1,2; j 1,2,3
设xij 表示Ai 到B j的运量。则
2 8 8
10
1
A3
销 量
14 14
8 14
8
12
33 c33 c34 c14 c13 11 6 11 4 12
销地 产地
B1
4
1 2
B2
12
B3
4
10 10 3 6
B4
11
产 量
A1
A2
16 9
2
8
8
10
1
2
5 11
12
1
10
6 22 48
A3
销 量
14 14
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-1=3+4-1=6). 总运费为（目标函数值）
z cij xij 12 4 4 11 8 2 2 9 14 5 8 6 244
i 1 j 1
3
4
三、求检验数并进行最优解的判定
B1
x11 x21
4
2 8
B2
x12 12
B3
x13 x23
4
3
B4
x14 11
产 量 16
A1
A2
x22 10
x24 9
10
A3
销 量
x31
8
x32 5
14
x33 11
12 14
x34 6
22 48
该运输问题的数学模型为：
min z cij xij 4 x11 12x12 4 x13 11x14 2 x21
检验数即调运方案中空格的检验数ij，当所有ij 0，则得最优解。
1. 闭回路法 对于运输表中的任意一个空格（Ai，Bj）,以该空格 为出发点，沿水平方向或垂直方向前进，遇到一个适当 的数字格，转90度后继续前进，前进过程中可以穿过数 字格或空格，经过若干次转向后又回到空格，这样经过 的路径称为从Xij格出发的闭回路。
x14 6, x21 8, x23 2, x32 14, x34 8,
其余变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-1=3+4-1=6). 总运费为（目标函数值）
z cij xij 10 4 6 11 8 2 2 3 14 5 8 6 246
i 1 j 1
3
4
2.伏格尔法（Vogel） 基本思想: 同时考虑每一产地（销地）与每一销地（产地）之间的最 小运价和次小运价，若两者差额大，说明若不能按最小运价 供应，就有可能按次小运价供应，从而运费很高。因此，应 先对最大差额所在的行或列，按最小元素确定供销关系。 优点: 按此法所得基可行解较最小元素法所得可行解更接近最优解。
销地
产地
B1
1
B2
4 2 12
B3
4
B4
11
产 量
A1
A2
10
10 2 3
6
9
16
10
8
A3
销 量
8
14 8 14
5
12
11
8 14
6
22 48
11 c11 c21 c23 c13 4 2 3 4 1
定理：非基变量闭回路存在且唯一性定理
销地 产地
B1
1
B2
4
2
8
8
6 16
②
10
A3
销 量
5
14
④
11
12 10 14
6
14 48
22
8
①
③
销地
产地
B1
4
B2
12
B3
4
B4
11
产 量
A1
A2
2 8 8 8 10
10
3
2
11 9
6 16
10
⑥
②
⑤
A3
销 量
5
14 14
④
6
8
14
22
12 10
6
⑥
48
①
③
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）： x13 10,
8 14
8
12
销地 产地
B1
4
1 2
B2
12
B3
4
10 10 3 6
B4
11
产 量
A1
A2
16 9
2
8
8
10
1
2
5 11
12
1
10
6 22 48
A3
销 量
14 14
8 14
8
12
2.位势法（对偶变量法）
用LP的对偶理论可以证明，检验数的公式为：
ij cij (ui v j )
其中
制作人：李媛媛
一
运输规划的 数学模型
二
产销平衡的 运输问题
三
产销不平衡 的运输问题.
第一节
例1
产地 销地
运输问题的数学模型
一、问题的提出
产销平衡表
B1 B2 6 6 B3 4 5 ai 6 5 200 300 500
A1 A2 bj
x 11 x 21
150
x 12 x 22
150
x 13 x 23
v j ) 始终不变。
行位势
销地
产地
B1
4
B2
12
B3
4 10 6 3 2
B4
11
产 量
ui
1
A1
A2
2 8 10
16 9 10
0
4
A3
销 量
8
14 8 14
5
12
11
8 14
6
22 48
vj
2
列位势
9
3
10
cij ui v j
销地
产地
B1
4
B2
12
B3
4
B4
11
产 量
ui
1
A1
A2
⑴ ⑵
运输问题是特殊的线性规划问题。 普通运输问题是追求运费最少问题。
第一节
产销平衡的运输问题
例1、 某部门有3个同类型的工厂（产地），生产的产品由4 个销售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定 单位为t）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t）示于下表， 问如何调运才能使总运费最小？
销地 产地
0 0
1 1 1 2
A3
销 量 列 1 差 额 2
6
14 6
3 3
14
8 2 2 14 5
8 22
48
3
销 地 产地
行差额
B1
4
2
8
B2
B3
12
10 5
B4
4
3
产 量
1
2
3 0 1
A1
A2
11
16 9 0 0 1 1 1 2
8
11
10
22
2
A3
销 量
列 1 差 额 2
6
8 14 6 3 3
48
14
i 1 j 1 3 4
10x22 3x23 9 x24 8x31 5x32 11x33 6 x34
x11 x 21 x31 x11 x12 x13 x14 xij
x12 x22 x32 x21 x22 x23 x24 0,
2
B3
12 4
B4
11
产 量
A1
A2
10
10 2 5 3 11
6
9
16
10 6
2 8 8 14 8 14
A3
销 量
8 12 14
22 48
12 c12 c32 c34 c14 12 5 6 11 2
销地 产地
B1
1
B2
4
2
B3
12 4
B4
11
产 量
A1
A2
10
10 2 5 11 3
一般满足产销平衡：ai=bj
当产大于销时，其模型是：
minZ cij xij
i 1 j 1 m n
xij ai xij b j x 0 ij
( ai b j )
当产小于销时，其模型是：
m inZ c ij x ij x ij a i x ij b j ( a i b j ) x ij 0 并假设：a ij 0, b j 0, c ij 0