1.1 高等数学预备知识

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高数大一必考知识点归纳

高数大一必考知识点归纳高数是大一必考的一门重要课程，全面掌握其中的知识点对于大家的学习和未来的学习生涯都至关重要。

为了帮助大家更好地备考高数，本文将对大一必考的高数知识点进行归纳总结，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质：函数的定义、函数的图像、函数的奇偶性、函数的周期性等。

1.2 极限的概念与性质：函数极限的定义、左极限和右极限、极限的四则运算性质等。

1.3 无穷大与无穷小：无穷小的定义、无穷小的性质、无穷大的定义、无穷大的性质等。

2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算方法：导数的定义、导数的基本公式、常见函数的导数、高阶导数等。

2.2 微分的概念与计算方法：微分的定义、微分的运算法则、微分中值定理等。

2.3 高阶导数与泰勒展开：高阶导数的概念、泰勒展开式的定义与应用等。

3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与计算方法：不定积分的定义、基本积分法、换元积分法等。

3.2 定积分的概念与计算方法：定积分的定义、定积分的性质、定积分的计算方法等。

3.3 微积分基本定理：微积分基本定理的概念、反导数与不定积分、定积分与面积计算等。

4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念：微分方程的定义、微分方程的阶、常微分方程与偏微分方程等。

4.2 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。

4.3 高阶线性微分方程：二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程等。

5. 多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质：多元函数的定义、多元函数的图像、多元函数的极限、多元函数的连续性等。

5.2 偏导数的概念与计算方法：偏导数的定义、偏导数的几何意义、偏导数的运算法则等。

5.3 高阶偏导数与全微分：高阶偏导数的概念、全微分的定义与计算方法等。

综上所述，以上列举的知识点是大一必考的高数知识点的主要内容。

大家在备考过程中可以根据这些知识点进行系统性的学习和复习，理解每个知识点的概念、性质和计算方法，并通过大量的练习题加深对知识点的理解和掌握。

高数-预备知识

绝对值有以下一些基本性质：绝对值有以下一些基本性质：
为任意实数，设 x，y 为任意实数，则
1. x ≥ 0; 2. − x = x ; 4. x± y ≤ x + y ;
3.− x ≤ x≤ x ;
5. x − y ≤ x− y ;
6 . xy = x y ;
x x 7. = y y
( y ≠ 0) .
−1
O
1
2
P
x
数轴上的点 P
实数 x
一一对应
的右侧时，当点 P 在原点 O 的右侧时，点 P 对应的实数 x 是线段 OP 的长度 OP ，
x
P
x P O 的左侧时，当点 P 在原点 O 的左侧时，点 P 对应的实数 x 是
通常称数轴为 1 维坐标系 .
线段 OP 的长度的相反数 − OP .
性质4 证明：性质证明：只证 x + y ≤ x + y .
由性质 3 可得
− x ≤ x ≤ x， y ≤ y ≤ y −
因此
这等价于
−( x + y)≤ x + y ≤ x + y x+ y ≤ x + y
性质5 证明：由性质4 性质证明：由性质可得
x = x− y+ y ≤ x− y + y
a x O b 类似地还有半开半闭区间 (a , b] 和 [a , b ) .
这里 a , b分别为区间的左右端点， b − a 称为区间的长度 .
端点为无限的区间表示及其含义：端点为无限的区间表示及其含义：
[a , + ∞ ) = { x a ≤ x < +∞ } = { x x ≥ a } ;

高数基础大一上知识点总结

高数基础大一上知识点总结大学高等数学是大一上学期的一门重要基础课程，对于理工类专业的学生来说尤为重要。

在这门课程中，我们学习了许多基础知识和概念，以下是对大一上学期高等数学知识点的总结。

1. 数列和数列极限1.1 数列的概念及表示方法数列是按照一定规律排列的一组数，常用的表示方法有通项公式和递归公式。

1.2 数列的极限数列的极限是指当n趋近于无穷大时，数列逐渐趋于稳定的一个值。

可以通过极限的定义来确定数列是否存在极限。

1.3 数列极限的性质数列极限具有唯一性、有界性和保号性等性质。

2. 函数与极限2.1 函数的概念和性质函数是一种映射关系，常用的表示方法有解析式和图像。

函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。

2.2 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数逐渐接近的一个值。

可以通过极限的定义和性质来求解函数的极限。

2.3 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋近于极限时，函数趋近于0的量；无穷大是指当自变量趋近于某个值时，函数趋近于无穷大或负无穷大。

3. 导数与微分3.1 导数的概念与定义导数表示函数在某一点的变化率，可以通过极限的方法来计算函数的导数。

导数具有可加性、乘性、链式法则等性质。

3.2 导数的应用导数可以用于求函数的极值、判断函数的单调性和凹凸性，还可以用于近似计算和物理问题的建模。

3.3 微分的概念与性质微分是函数在某一点的变化量，微分具有线性性、可加性和可微性等性质。

4. 反函数与隐函数4.1 反函数的概念反函数是指满足一定条件的函数之间的互逆关系。

可以通过交换自变量和因变量来求解反函数。

4.2 隐函数的概念隐函数表示两个变量之间的关系，可以通过求导数和求偏导数的方法来求解隐函数的导数。

5. 积分与定积分5.1 积分的概念与性质积分表示函数与自变量之间的面积或者曲线长度的关系，积分具有可加性、线性性和保号性等性质。

5.2 不定积分与定积分不定积分是指求解函数的原函数，可以通过逆向求导的方法来计算不定积分。

高等数学预备知识

b
a
f ( x)dx F ( x)
b a
F (b) F (a)
(定积分与不定积分的内在联系 )
基本积分表
(1) (2)
(3) (4)
(5)

k dx k x C (k是常数)，
1 m1 x C ， x dx m 1 1 dx ln |x|C ， x 1 dx arctan x C ， 2 1 x 1 dx arcsin x C ， 2 1 x cos x dx sin x C ，
基本求导公式：
(1) (C)0， (2) (xm)m xm1，
(11)
(12)
(13) (14)
(3) (sin x)cos x，
(4) (cos x)sin x，
(5) (tan x)sec2x，
(6) (cot x)csc2x， (7) (sec x)sec x tan x， (8) (csc x)csc x cot x， (9) (ax)ax ln a ，
f ' ( x) tan
在物理上，动点的位置矢量对时间的一阶导数就是该动点的速度矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导数）是动点的加速度矢量，详见运动学部分——速度矢量与加速度矢量。
注意：以下是易混淆的两个表示：

y

和
y'
前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即：
[f(x)g(x)]dx
f(x)dx g(x)dx．
性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即
kf(x)dxk
f(x)dx (k 是常数，k 0)．

高等数学知识点总结大一

高等数学知识点总结大一高等数学知识点总结（大一）在大一的高等数学课程中，学生们接触到了许多重要的数学知识点。

这些知识点对于建立坚实的数学基础以及将来深入学习数学领域至关重要。

本文将对大一高等数学中的一些重要知识点进行总结。

1. 极限与连续1.1 极限的定义极限是数列或函数在某特定点的趋近情况。

数列的极限定义为：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，数列的值与极限的差的绝对值小于ε。

1.2 连续性函数连续性的定义为：若函数在某点x=a的左右极限存在且相等，则函数在该点连续。

2. 导数与微分2.1 导数的定义导数表示函数在某一点的变化率，导数的定义为：函数在某一点的导数等于函数在该点的极限。

2.2 微分微分是导数的一个应用，表示函数在某一点的线性逼近。

微分的定义为：函数在某一点的微分等于函数在该点的导数与自变量的差的乘积。

3. 不定积分与定积分3.1 不定积分不定积分是求函数的原函数，即求导运算的逆运算。

不定积分的定义为：函数F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)。

3.2 定积分定积分用于求函数在某一区间上的总量，也可以看作是函数的积分求和。

定积分的定义为：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分等于以a和b为端点的曲线与x轴之间的面积。

4. 泰勒级数与幂级数4.1 泰勒级数泰勒级数是一种用无穷项多项式逼近函数的方法，可以将任意函数表示成幂级数的形式。

泰勒级数的定义为：函数f(x)的泰勒级数展开式为函数在某一点x=a的展开式。

4.2 幂级数幂级数是一种特殊的级数形式，可以用于表示各种函数。

幂级数的定义为：级数形式为∑(a_n*(x-a)^n)，其中a_n为系数，a为中心点。

5. 多重积分多重积分用于求解多维空间中的曲面面积、体积等问题。

常用的多重积分有二重积分和三重积分。

5.1 二重积分二重积分用于求解平面区域上的面积，可以看作是定积分的推广。

二重积分的定义为：函数f(x,y)在平面区域D上的二重积分等于以D为底的立体与xoy平面之间的体积。

高数一基础知识

高数（一）的预备知识第一部份代数部份（一）、基础知识：1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。

2．绝对值：aa a ⎧=⎨-⎩00a a ≥∠3．乘法公式（）()22(±)22±22 a 33=()(a 22)a 33=()(a 22)4.一元二次方程（1）标准形式：a 20(2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ⎧∆=-〉⎪∆=-=⎨⎪∆〈⎩有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根（3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中）标准形式：x2设X1、X2为x2(x)0的两个根，则；1212pqx x x x +=-⎧⎨⋅=⎩ （4）十字相乘法：（二）指数和对数1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)nna a x x -⎧≠=⎪⎨=⎪⎩则 2．根式与分数指数：（1）1na= （2）m na=3．指数的运算（a>0>0,() ∈R ）;(1)x yx ya a a+⋅= (2)()m n m n a a ⋅=(3)x y x y a a a -÷=(4)()n n n a b a b ⋅=⋅4．对数：设,xa N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：, ，;5．对数的性质(1)· (2) loglog log a a MM N N=- (3)log log xa a N x N=⋅(4)换底公式：log log log a b a NN b=（5）log ln ,aN x a N e x =⇒= （三）不等式1．不等式组的解法：（1）分别解出两个不等式，例2153241X XX X -<-⎧⎨->-⎩（2）求交集 2、绝对值不等式（1）;X a a X a ≤⇒-≤≤（2）;X a X a X a ≥⇒≥≤-或3、1元2次不等式的解法：（1）标准形式：200ax bx c ++≥≤（或）（2）解法：00122⎧⎪⎨⎪⎩ 解对应的一元次方程判解：0a a ⎧⎪⎨⎪∆⎩①若与不等式同号，解取根外；②若与不等式异号，解取根内；③若无根（＜），则a 与不等式同号；例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜（四）函数1、正、反比例函数：y kx = ， 1y x=2、1元2次函数：2y ax bx c =++ （a ≠0）顶点：2424b ac b a a -（-,）；对称轴：2b x a=- ；最值：244ac b y a -=；图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数：n y x = （1,2,3）；4、指数函数：x y a = （xe ）；5、对数函数： x第二部分三角（一）角的概念 1、正角、负角2、角度与弧度的关系：0180π= 01180π=4、锐角的三角函数关系：222a b c += s i n b a c =cos a a c = b a ab5、任意角的三角函数sin y r α=αx r αyxαx y α1c o s α α1s i n α6、三角函数符号7．特殊角的三角函数值：00 300 450600900 1800 2700α0 1/2/2 21-1α 1/2/21/2 0 -10 α 0/3 1∞∞α∞13 0∞(二)三角变换1．倒数关系α·α1 α·α1α·α1α1cos αα1sin αα1tan α2. 平方关系的22sin cos 1αα+=22tan 1s ee αα+=22cot 1csc αα+=；3．诱导公式：（1）同名函数的：—α，1800±α，3600±α，K ·360+α的三角函数值等于角α的三角函数值；符号采用把X 当作锐角时原角所在象限原函数的符号。

学高数预备知识

学高数预备知识要想把高数学好，就必须把高中的一些知识再重温一遍，例如三角公式、重要的不等式、基本初等函数等，这些知识点，在高数老师看来，只要是到了大学的学生都是掌握了的，他不会再带你去回顾，直接就过了这个知识点。

以下就是高数中需要用到的高中的知识：一、集合论A∪B，称A并B，即子集A中的元素加上子集B的元素所得的元素。

A∩B，称A交B，即子集A与子集B中共同的元素。

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβcos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ4.倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2αtan2α=2tanα1−tan2α5.半角公式(sin α2)2=1−cosα2(cos α2)2=1+cosα26.诱导公式奇变偶不变（对于π2而言），符号看象限（对于整个括号而言）。

一全正，二正弦，三两切，四余弦。

（对于正号而言）sin(2kπ+α)=sinα sin(π+α)=−sinαcos(π2−α)=sinαtan(π2−α)=cotαcot(π2−α)=tanα7.三角形记忆法 8.万能替换公式sin α=2tan α21+tan 2αcos α=1−tan 2α21+tan 2α2 tan α=2tan α21−tan 2α2三、基本不等式⑴a 2+b 2≥2ab由此不等式得出其它不等式：(a +b)2≥4aba 2+b 2≥(a +b)22⑵a +b 2≥√ab 由此不等式得出其它不等式：ab ≤(a +b 2)2ab ≤a 2+b 22(a +b 2)2≤a 2+b 22 a b +b a≥2 (ab >0) √a 2+b 22≥a +b 2≥√ab ≥21a +1b sin αcos αtan αcot αsec αcsc α1 (1) 对角连接乘积为1，例:sin α∙csc α=1(2) 六边形每个端点都等于相邻两端点乘积，例：sin α=tan α∙cos α(3) 阴影三角形中，上两端点平方和等于下端点平方（包括中间的1点），例:sin 2α+cos 2α=12,tan 2α+12=sec 2α。

高中数学必修一预备知识

高中数学必修一预备知识High school mathematics required course one preparatory knowledge 高中数学必修一预备知识To excel in the study of high school mathematics, it is crucial to have a solid foundation in prerequisite knowledge.要想在高中数学学习中取得优异成绩，拥有扎实的预备知识至关重要。

This includes a basic understanding of arithmetic operations, fractions, decimals, and percentages.这包括基本的算术运算、分数、小数和百分数的理解。

Familiarity with algebraic concepts such as variables, equations, and functions is also essential.熟悉代数概念，如变量、方程和函数，同样必不可少。

Moreover, a grasp of geometric principles like lines, angles, and shapes is vital for laying a strong foundation.此外，掌握几何原理，如线、角和形状，对于奠定坚实的基础至关重要。

Lastly, an understanding of basic statistics and probability is helpful in preparing for more advanced topics in the subject.最后，了解基本的统计和概率知识有助于为数学学科中更高级的主题做好准备。

By mastering these preparatory knowledge areas, students will be well-prepared to tackle the challenges that lie ahead in their high school mathematics journey.通过掌握这些预备知识领域，学生将为他们在高中数学旅程中面临的挑战做好充分准备。

高等数学预备知识

高等数学预备知识(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高等数学预备知识1．不同三角函数间的关系αααcos sin tan =αααsin cos cot = ααcos 1sec = ααsin 1csc = 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα2．加法公式（注意“±”与“ ”） βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± αββαβαcot cot 1cot cot )cot(±=±3．和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- βαβαβαcos cos )sin(tan tan ±=±βαβαβαsin sin )sin(cot cot ±±=±βαβαβαsin cos )cos(cot tan ±=± （注意符号）4．积化和差)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=5．倍角公式ααααα2tan 1tan 2cos sin 22sin +== ααααααα222222tan 1tan 1sin 211cos 2sin cos 2cos +-=-=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -= αααcot 21cos 2cot 2-=6．半角公式 2cos 12sinαα-±= 2cos 12cos αα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cot-=+=-+±= 7．降幂公式 )2cos 1(21sin 2αα-=)2cos 1(21cos 2αα+= 8．反三角函数（1）反三角函数的定义域与主值范围（2）图像（附加）三角函数的图像1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx （3）反三角函数的相互关系21arctanarccos2)arcsin(arcsinxxxxx-=-=--=π21arctanarcsin2)arccos(arccosxxxxx-=-=--=ππ21arcsincot23)arctan(arctanxxxarcxx+=-=--=π21arccosarctan 2)cot(cot xx x x arc x arc +=-=--=ππ9．数列（1）等差数列通项公式：d n a a n )1(1-+= 前n 项和：d n n na n a a S n n 2)1(2)(11-+=+= （2）等比数列通项公式：11-=n n q a a前n 项和：qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11 （3）某些数列的和)1(21321+=++++n n n )1(2642+=++++n n n2)12(531n n =-++++)12)(1(613212222++=++++n n n n 23333)321(321n n ++++=++++ 10．乘法与因式分解2222)(b ab a b a +±=± 3223333)(b ab b a a b a ++±=± ))((22b a b a b a +-=- ))((2233b ab a b a b a +±=±))((122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为正整数) ))((122321------+-+-+=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为偶数) ))((122321-----+--+-+=+n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为奇数) 11．不等式（1）有关绝对值的不等式||||||b a b a +≤± ||||||||||b a b a b a +≤-≤-||||||||k b a k b a +++≤±±± （（2）有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式)20(tan sin π<<<<x xx x )0(1sin cos π<<<<x xxx)0(1≠+>x x e x )0,1(11≠<-<x x xe x )0(1ln >-≤x x x )0,1(1)1ln(≠<-<--<x x xx x x)0,1(1)1(>>+>+x x x ααα（3）某些重要不等式 ① 222a b ab +≥，221()2ab a b ≤+；②1()2a b +≥12121()n n n a a a a a a n+++≥⋅⋅⋅；（0,0,0,1,2,,i a b a i n ≥≥≥=）③ ||||||||||a b a b a b -≤±≤+，11221122|()()()||||()||||()||||()|n n n n a f x a f x a f x a f x a f x a f x +++≤+++n a a a na a a n n2222121+++≤+++ na a a a a a nn n ++≤2121))(()(121221∑∑∑===≤ni i ni ini i i b a b a （柯西不等式）12．阶乘、排列、组合（1）阶乘n n ⋅⋅⋅⋅= 321! )12(531!2)!12(!)!12(+⋅⋅⋅⋅=+=+n n n n n （规定）1!0= 0!!0= )2(42!2!)!2(n n n n ⋅⋅⋅== （2）排列)1()2)(1()!(!+---=-=k n n n n k n n A kn123)2)(1(!⋅⋅--=== n n n n A P nn n（3）组合!)!(!!k k n n k A C kn kn-== （kn C 也记作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n ） 13．二项式定理与多项式定理二项式定理：∑=-----=+++++=+nk kk n k n nnnn n nn nn nnnnb a C b C abCb aC b a C a C b a 011222110)( 多项式定理：s q p ns q p n k b a s q p n k b a ∑=++=+++!!!!)(14．指数运算nm nmaa a +=⋅ n m n ma aa -= mn n m a a =)( m m mb a ab =)( mm m b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ m n n m n ma a a )(== m m a a 1=- )0(10≠=a a 15．对数运算01log =a 1log =a a y x xy a a a log log log +=y x yxa a alog log log -= x b x a b a log log = 对数恒等式：x a x a =log x a x a =log 换底公式：ayy b b a log log log =1log log =⋅a b b a 数学中常见基本初等函数和初等函数：①基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数称为基本初等函数。

高等数学预备知识-新生自学内容

高等数学预备知识（新生自学内容）（一）数学归纳法1、适用范围：只适用于证明与正整数n 有关的命题.2、证明步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如01n =或2 等）时,命题成立.（2）假设当k n =（0k N k n +∈≥且）时结论正确,证明当1k n +=时结论也成立. 由这两个步骤,就可以断定命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立. 3、注意：第一步是递推的基础,第二步是递推的根据,两步缺一不可.4、用途：（1）证明代数和或三角恒等式；（2）证明不等式；（3）证明整除性；（4）证几何命题等.数学归纳法的思想类似于多米诺骨牌玩法：第一,要求第一张骨牌被推倒；第二,假如某一张骨牌倒下,要求其后一张骨牌必须跟着倒下. 例1、用数学归纳法证明：)1n 2)(1n (n 61n 3212222++=++++ . 证明：（1）当1n =时,左边=112=,右边=132161=⋅⋅⋅,等式成立. （2）假设当k n =时,等式成立,即)1k 2)(1k (k 61k 3212222++=++++ ,那么222222)1k ()1k 2)(1k (k 61)1k (k 321++++=++++++)6k 7k 2)(1k (61)]1k (6)1k 2(k )[1k (612+++=++++=]1)1k (2][(1)1k )[(1k (61)3k 2)(2k )(1k (61+++++=+++=故当1k n +=时等式也成立.根据（1）、（2）可知等式对任何+∈N n 都成立.例2、设)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= （+∈N n ）,求证：2)1n (a 2n +<.证明：（1）当1n =时,22)11(221a 21=+<=⨯=,不等式成立. (2 ) 假设当k n =时（1k ≥时）不等式成立,即有2)1k ()1k (k 3221a 2k +<+++⨯+⨯=那么,)2k )(1k (2)1k ()2k )(1k ()1k (k 3221a 21k ++++<++++++⨯+⨯=+2]1)1k [(2)2k (2)2k ()1k (2)1k (222++=+=+++++<, 即当1k n +=时不等式也成立.由（1）、（2）可知,不等式对任何+∈N n 都成立. 例3．设, ,11 ,11121 x x x x ++==) ,3 ,2(1111 =++=--n x x x n n n ,证明：{}n x 单调增加. 解：（1） ∵11=x ,且) ,3 ,2(1111=++=--n x x x n n n ,∴) ,3 ,2 ,1( 0 =>n x n .又∵0211111111112>=+=-++=-x x x x x x ,∴12x x >. （2）假设1->k k x x 成立,则)11()11( 111--+++-++=-k k k k k k x xx x x x 有 1111--+-+=k k k k x x x x 0)1)(1(11>++-=--k k k k x x x x ,由（1）、（2）可知, ) ,2 ,1( 1 =>+n x x n n ,从而{}n x 单调增加.（二）三角函数A 三角函数的积化和差公式由正弦加法定理的两式相加减和余弦加法定理的两式相加减可得：三角函数的积化和差公式:1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--当αβ=时,即为倍角公式.例1、不查表,求sin512πcos π12的值. 解：sin512πcos π12＝12[sin (512π+π12)＋sin (512π-π12)]=12＋34. 或：sin512πcos π12＝sin (2π—12π)cos π12 ＝cos 2π12=12(1+cos 6π)=12＋34.练习: 2cos31︒sin 14︒; cos215πcos π5; sin 70︒cos20︒. 注：分析三角函数的积化和差公式的整体结构,记忆公式,从公式本身的结构特征上了解积化和差公式的作用.B 三角函数的和差化积在积化和差公式中,令α+β=θ,α—β=ϕ,则α=θϕ+2,β=θϕ-2所以有：sin θ+sin ϕ = 2sinθϕ+2cosθϕ-2sin θsin -ϕ = 2cosθϕ+2sinθϕ-2cos θ+cos ϕ = 2cosθϕ+2cosθϕ-2cos θ—cos ϕ = 2sin-θϕ+2sinθϕ-2叫做三角函数的和差化积公式1+cos α = 2cos 2α2,1－cos α = 2sin 2α2等都可看成和差化积的形式.例2、把sin 2α－sin 2β化成积的形式. 解：原式＝(sin α+sin β)(sin α－sin β) ＝2sinαβ+2cosαβ-2·2 cosαβ+2sinαβ-2＝sin (α+β)sin (α—β)例3、求.10cos 70cos 10sin 70sin+-解：s in s in cos cos cos s in cos cos 70107010240302403033-+==例4、化1+cot α+csc α 为积的形式.解：原式＝αααsin sin cos 1++= 222222cos sin 2cos sin 2cos 2ααααα+ =2222sin )cos(cos ααπα-+ = 44222cos cos()sin ππαα- =2cos(4π—2α) csc 2α练习：化1+sin α和1+cos α+cos β+cos(α+β)为积的形式. ( 1+sin α=2sin (4π+2α)cos(4π—2α), 1+cos α+cos β+cos(α+β)= 4cos αβ+2cos 2αcos 2β)在三角函数的计算和化简中,常要把a sin α+bcos α化为A sin (α+ϕ)的形式.如：sin α+3cos α＝2(12sin α+32cos α)=2(sin αcos π3+sin π3cos α)=2sin (α+π3) 一般地,设a ＝Acos ϕ,b=A sin ϕ,则a sin α+bcos α=A(sin α cos ϕ+sin ϕcos α) =A sin (α+ϕ),其中：A ＝a b 22+,ϕ所在象限由a ,b 的符号决定,由tan ϕ=ba可求出ϕ的值. （ϕ在(—π,—2π),(—2π,2π),（0,2π），(2π,π)内的值）例5、将下列各式化为Asin(α+ϕ)的形式.(1) 3sin x -4cosx ； (2) 3cosx -4sin x ；解：(1) A ＝5,tan ϕ＝b a =-43=-1 .3333 ,a >0,b <0,所以ϕ在第IV 象限,即ϕ=-53︒8'. 故3sin x -4cosx =5sin (x -53︒8'). (2) A ＝5,tan ϕ＝ba=-0 .75 ,a <0,b >0, 所以ϕ在第II 象限,即ϕ=180︒-36︒52'=143︒8',故3cosx -4sin x =5sin(x+143︒8').C 万能公式22222tan1tan 2tan222sin ;cos ;tan .1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-统称为万能公式它们的特点是统一用tan 2α来表示sin ,cos ,tan αααD 一个常用不等式当x 为锐角时，sin tan x x x <<即 sin tan x x x <<OACxB作单位圆，取圆心角x AOB =∠，∵AOB ∆的面积<扇形AOB 的面积AOC ∆<面积，∴x x x tan 2121sin 21<<，（三）复数A 复数的概念一、复数的定义1、虚数单位我们知道方程x 2＝－1在实数范围内无解,为了使它有解,我们引进一个新数i,规定i 2＝－1,且它能与实数一起进行四则运算.数i 叫做虚数单位.因为i 2＝－1,所以i 3＝—i,i 4＝1,i 5＝i,i 6＝－1,i 7＝—i,i 8＝1… 即i 4n ＝1,i 4n+1＝i,i 4n+2＝－1,i 4n+3＝－i （n ∈Z ）.(—i) 2＝－1,即i 和—i 是－1的两个平方根.我们规定：i 0=1,i－m＝mi1（m ∈Z ）.例如：i 2001＝i, i —5＝ii 115==—i. 2、纯虚数我们再来看x 2＝－4的解,可以看出有两个解2i 和－2i.数bi 叫做纯虚数,其中b ∈R,且b ≠0.3、虚数考察方程x 2+2x+10＝0的解,x 等于—1+3i 或—1—3i.数a+bi 叫做虚数,其中a 、b ∈R,且b ≠0.4、复数数a+bi 叫做复数,其中a 、b ∈R,其中a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部.复数集通常用C 来表示.虚数集通常用I 来表示.C ＝R I.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒≠+⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+)0()0()0(a bi b bi a b a bi a 纯虚数虚数无理数分数整数有理数实数复数例题：实数m 为何值时,复数(m 2—3m —4)+ (m 2—5m —6)i 是（1）实数；（2）纯虚数？解：（1）当b ＝0时,复数为实数.即m 2—5m —6=0解得m=—1或6.（2）当a=0,且b ≠0时复数为纯虚数.即m 2—3m —4=0且m 2—3m —4≠0解得m=4. 5、复数相等的条件两个复数相等必须是它们的实部和虚部分别相等. 二、复数的几何表示法1、用复数直角平面内的点表示复数复数a+bi 是由一对有顺序的实数a 、b 构成,这与直角坐标平面的构成一样.我们规定：直角坐标平面内的横轴为实轴,单位为1,纵轴（不包括原点）为虚轴,单位为i,那么,复数a+bi 就可用这样的平面内的点M(a,b)来表示,其中,复数的实部a 和虚部b 分别是点M 的横坐标和纵坐标.我们把表示复数的平面叫做复数直角坐标平面.简称复平面. 例题：（1）用复平面内的点表示复数：—3+2i,3i,—2,0,－i,2—3i.（2）复平面内的点M(2 ,3) ;N(—3 ,—4) ;P(—3 ,0) ;Q(0 ,—2)各表示什么复数？解：略. 2、用向量表示复数如果复平面内的点M 表示复数a+bi,连结原点O 与M 点,并且把O看作线段OM 的起点,M 点作为终点,那么线段OM 就是一条有方向的线段,这样的一条线段叫做向量.记作OM .可以看出：复数a+bi ⇔点M(a,b) ⇔向量OM .向量OM 的长度叫做复数a+bi 的模,记作|a+bi |.显然|a+bi |=a b 22+.例如：|－1+3i | =2.由x 轴的正半轴到向量OM 的角θ叫做复数a+bi 的幅角.它指出了向量OM 的方向.一个不等于0的复数a+bi 的幅角有无穷多个,它们的弧度数彼此相差2π的整数倍,我们把幅角在[0 ,2π)内的值叫做幅角的主值，但在高等数学中，我们常用(,]ππ-范围内的角。

高等数学预科教材考点

高等数学预科教材考点高等数学是大学中的重要学科之一，对于学习与应用其他理工科学科都有着至关重要的作用。

而在高等数学的学习过程中，了解和掌握各个知识点的考点是至关重要的。

因此，本文将从三个方面介绍高等数学预科教材的考点，以帮助学生更好地应对考试。

一、极限与连续极限和连续是高等数学中最为基础的概念之一，也是后续章节的重要基础。

在极限和连续的学习中，考点主要包括：1.1 极限的定义和性质：了解极限的定义，理解函数极限的含义和与数列极限的关系，掌握一些常用的极限性质，如四则运算法则、比较法则等。

1.2 极限的计算：熟练掌握一些常见函数的极限计算方法，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

同时，需要注意一些特殊函数的极限计算，如无穷小函数、阶梯函数等。

1.3 连续的概念与判定：理解函数连续的定义，掌握分段函数连续性的判定方法，了解连续函数的基本性质。

二、导数与微分导数和微分是高等数学中的重点内容，对于研究函数的性质和求解相关问题具有重要意义。

在导数与微分的学习中，考点主要包括：2.1 导数的定义和性质：掌握导数的定义，理解导数的几何和物理意义，熟悉导数的性质，如可导与连续的关系、导数的四则运算法则等。

2.2 基本函数的导数：熟练计算常用函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

2.3 高阶导数与隐函数求导：了解高阶导数的定义和计算方法，掌握隐函数求导的基本思路和常用方法。

2.4 微分的概念与应用：理解微分的定义，了解微分与导数的关系，熟悉微分的运算法则。

同时，掌握微分在函数逼近、极值判定和曲线的凹凸性等方面的应用。

三、积分与应用积分是高等数学中的重要内容，是对导数的逆运算，也是求解相关问题的重要工具。

在积分与应用的学习中，考点主要包括：3.1 不定积分的定义和性质：了解不定积分的定义，掌握不定积分的基本性质，如线性性质、分部积分法则等。

3.2 基本函数的不定积分：熟练计算常用函数的不定积分，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

高等数学大一必过的知识点

高等数学大一必过的知识点一、导数及其应用导数是数学分析的重要概念之一，主要用于描述一个函数在某一点的变化率。

在高等数学的学习过程中，我们会接触到以下几个与导数相关的重要概念和应用：1.1 极限与导数导数的定义是以极限为基础的，通过极限的概念我们可以推导出导数的定义及其性质。

在求解函数的导数时，我们需要应用极限的知识，并运用极限的性质进行计算。

1.2 导数的计算常见的函数导数计算方法包括用极限求导、基本导数公式、导数四则运算法则等。

我们需要掌握这些方法，并能够熟练应用于具体的函数求导过程中。

1.3 导数的应用导数在数学和实际问题中有广泛的应用，例如在绘制函数曲线时，导数可以帮助我们分析曲线的凹凸性和拐点等特点。

此外，在物理学、经济学等领域中，导数也被广泛地应用于变化率、优化问题等方面。

二、微分方程微分方程是数学分析的另一个重要分支，它是描述函数和函数的导数之间关系的方程。

高等数学大一的学习中，我们会接触到以下几种常见的微分方程及其解法：2.1 一阶常微分方程一阶常微分方程是最基础的微分方程之一，形式为dy/dx=f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。

我们需要掌握常微分方程的解法，如变量分离法、恰当方程法、一阶线性微分方程的解法等。

2.2 二阶齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程是由形如y''+P(x)y'+Q(x)y=0的方程构成，其中P(x)和Q(x)是已知函数。

学习中，我们需要了解二阶齐次线性微分方程的解法，如常系数齐次线性微分方程的解法、特征方程法等。

2.3 微分方程的应用微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。

例如，在振动问题中，可以通过建立相应的微分方程来描述物体的振动状态。

此外，微分方程还被应用于人口增长模型、电路分析等问题。

三、定积分及其应用定积分是数学分析中的重要内容，是求解曲线下某一区域面积的工具。

在高等数学大一的学习中，我们需要掌握以下内容：3.1 定积分的定义定积分是对函数在一定区间上的积分，可以看作是无穷小的求和过程。

高等数学一讲义

第一章函数1.1 预备知识1.1.1 初等代数的几个问题1.一元二次方程关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），称为一元二次方程，称为此方程的判别式.（1）求根公式：当△＞0时，方程有两个不同的实根：当△＝0时，方程有一个二重实根：当△＜0时，方程有一对共轭复根：（2）根与系数的关系（韦达定理）：（3）一元二次函数（抛物线）：y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下.对称轴顶点坐标例1.若x3＋x2＋ax＋b能被x2－3x＋2整除，则a、b是多少？结论：多项式f（x），g（x）.若f（x）能被g（x）整除，则g（x）＝0的根均为f（x）＝0的根. 解：令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组.当时，方程组有唯一解；当时，方程组无解；当时，方程组有无穷多解.例2.已知方程组（1）若方程组有无穷多解，求a的值；（2）当a＝6时，求方程组的解.解：（1）因为方程组有无穷多组解，所以,解得a＝4.（2）当a＝6是，原方程组变为,解得3.不等式（1）一元二次不等式考虑不等式ax2＋bx＋c＞0，如果记一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个不同实根分别为x1，x2，且x1＜x2，根据一元二次函数的图形可知：当a＞0时，这个不等式的解集是{x│x＜x1或x＞x2}；当a＜0时，它的解集是{x│x1＜x＜x2}.用类似的方法可以求解不等式ax2＋bx＋c≣0，ax2＋bx＋c＜0和ax2＋bx＋c≢0.例3.解不等式x2－5x＋6≣0.解：令x2－5x＋6＝0,（x－2）（x－3）＝0,得x＝2或x=3,∴ 解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）.例4.解不等式x2＋（1－a）x－a＜0.解：令x2＋（1－a）x－a＝0,（x－a）（x＋1）＝0,得x＝a或x＝－1,①若a＜－1，解集为（a，－1）,②如a＝－1，解集为Φ,③若a＞－1，解集为（－1，a）.（2）绝对值不等式不等式│f（x）│＞a＞0等价于f（x）＞a或f（x）＜－a；不等式│f（x）│＜a等价于－a＜f（x）＜a.例5.解下列含有绝对值符号的不等式：（1）│2x－3│≢5 （2）│3x－1│≣7解：（1）原不等式等价于－5≢2x－3≢5解得：－1≢x≢4.所以解集为[－1，4].（2）原不等式等价于3x－1≢－7或3x－1≣73x－1≢－7的解集为x≢－2，3x－1≣7的解集为x ≣,所以解集为（－∞，－2]∪[，＋∞）.例6.解不等式│x2－2x－5│＜3.解：原不等式等价于x2－2x－5＞－3的解集为（－∞，]∪[，＋∞），x2－2x－5＜3的解集为（－2，4），所以原不等式的解集为（－2，]∪[，＋4）.4.数列（1）等差数列：相邻两项的差为定值，即a n＋1－a n＝d，d称为公差.通项公式：a n＝a1＋（n－1）d前n项和公式：当m＋n＝k＋l时，a m＋a n＝a k＋a l特别地有例7.设{a n}是一个等差数列，且a2＋a3＋a10＋a11＝64，求a6＋a7和S12解：因为 2＋11＝3＋10＝13所以a2＋a11＝a3＋a10＝32,又因为 6＋7＝13，所以a6＋a7＝32,S12＝（a1＋a12）×12÷2＝6（a1＋a12）＝6×32＝192.（2）等比数列：相邻两项的商为定值，即，q称为公比.通项公式：a n＝a1q n-1前n 项和公式：当m＋n＝k＋l时，a m a n＝a k a l特别地有例8.设{a n}是一个等比数列，且a3＝12，a5＝48，求a1，a10和a2a6的值.解：所以q＝±2a10＝a5·q5＝48×（±2）5＝±1536因为2＋6＝3＋5＝8所以a2·a6＝a3·a5＝12×48＝576.1.1.2 集合与逻辑符号1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素. 数集分类：N——自然数集Z——整数集Q——有理数集R——实数集C——复数集合2.元素与集合的关系元素a在集合A中，就说a属于A，记为a∈A；否则就说a不属于A，记为a A.3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A.若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A＝B.例9.A＝{1，2}，C＝{x│x2－3x＋2＝0}，则A和C是什么关系？解：解方程x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2.所以C＝{1，2}，从而A＝C.4.空集不含任何元素的集合称为空集（记作Φ）.规定空集为任何集合的子集.例10.{x│x∈R，x2＋1＝0}＝Φ5.集合的表示方法：列举法，描述法一般的，有限集用列举法，无限集用描述法闭区间：[a，b]＝{x│a≢x≢b，x∈R}；开区间：（a，b）＝{x│a＜x＜b，x∈R}；半开半闭区间：左开右闭区间：（a，b]＝{x│a＜x≢b，x∈R}，左闭右开区间：[a，b）＝{x│a≢x＜b，x∈R}；（－∞，b]＝{x│x≢b，x∈R}，[a，＋∞]＝{x│x≣a，x∈R}；点a的邻域：U（a，ε）＝（a－ε，a＋ε），ε＞0，即U（a，ε）是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用U a表示；点a的去心邻域：N（a，ε）＝（a－ε，a）∪（a，a＋ε），ε＞0.点a的去心邻域也可以表示为N a.6.集合之间的运算（1）并：由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A∪B.A∪B＝{x│x∈A或x∈B}，A∪B＝B∪A.例11.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A∪B.解：A∪B＝{1，2，3，4，6，8，10，12}.例12.已知：A＝{x│1＜x＜5}，B＝{x│－3＜x≢2}，求：A∪B.解：A∪B＝{x│－3＜x＜5}.（2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A∩B.A∩B＝{x│x∈A且x∈B}，A∩B＝B∩A例13.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2、4、6、8、10、12}，求：A∩B.解：A∩B＝{2，4}.例14.已知：A＝{x│1＜x＜4}，B＝{x│－3＜x≢3}，求：A∩B.解：A∩B＝{x│1＜x≢3}.（3）余集（差集）：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A－B.A－B＝{x│x∈A但x B}.例15.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A－B.解：A－B＝{1，3}.7.一些逻辑符号p能推出q，记为p q，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果p q，q p同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件（充要条件），记作p q.1.2 函数的概念与图形1.2.1 函数的概念1.定义设D是一个非空数集，f是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x∈D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y＝f（x），x∈D.也称y是x的函数，其中x称为自变量，y称为因变量.当x0∈D时，称f（x0）为函数在点x0处的函数值.数集D 叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数W＝{y│y＝f（x），x∈D}称为函数的值域.例1.已知：，求：y的定义域、值域.解：令1－x2≣0，解得：－1≢x≢1,所以定义域为[－1，1].因为0≢1－x2≢1，所以0≢≢1，所以值域为[0，1].例2.已知：，求：y的定义域、值域.解：根据题意，得，解得－1＜x＜1，所以定义域为（－1，1），因为 0＜≢1，从而，所以值域为[1，＋∞）.2.函数的三要素：定义域、对应法则、值域.约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化.例3.判断下列两个函数是否相等，（1）y＝x＋3；（2）.例4.求函数的定义域.解：根据题意，得解得:2≢x＜3或3＜x＜5，所以定义域为[2，3）∪（3，5）.3.函数的表示法：表达式法（解析法）、图形法、数表法.1.2.2 函数的图形1.函数图形的概念函数y＝f（x），x∈D的图形是指在xOy平面上的点集{（x,y）│y＝f（x），x∈D}.常见的几个幂函数的图形：2.函数的性质（1）有界性函数f（x），x∈D，存在两个实数m、M，满足条件：对于D中所有的x都有不等式m≢f（x）≢M，则称函数f（x）在D上有界，否则称无界.例5.判断下面函数在其定义域是否有界，（1）y=sin x，（2）.（2）单调性设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调增加，称f（x）是D上的单调增加函数，称D是函数f（x）的单调增加区间.设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调减少，称f（x）是D上的单调减少函数，称D是函数f（x）的单调减少区间.例6.求y＝x2的单调性.解：任取x1＜x2＜0，x12－x22＝（x1－x2）（x1＋x2）＞0,所以y＝x2在（－∞，0）上单调减少.同理可得：y＝x2在（0，＋∞）上单调增加.例7.求y ＝sin x的单调性.解： y＝sin x的图像如图，y=sin x在（2kπ－，2kπ＋）上单调增加，在（2kπ＋，2kπ＋）上单调减少.（3）奇偶性设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有f（﹣x）＝f（x），称f（x）为偶函数；设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有f（﹣x）＝﹣f（x），称f（x）为奇函数.例8.判断下面函数的奇偶性（1）（2）解：（1）因为，所以定义域为R.所以f（x）为奇函数.（2）因为a x－a-x≠0，故x≠0，所以定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.所以f（x）为奇函数.（4）幂函数的性质形如y＝xα的函数为幂函数，其中α为任意常数.性质：对任意实数α，曲线y＝xα都通过平面上的点（1，1）；α＞0时，y＝xα在（0，+∞）单调增加；α＜0时，y＝xα在（0，+∞）单调减少；α为正整数时，幂函数的定义域是（－∞，+∞）；α为偶数时，y＝xα为偶函数；α为奇数时，y＝xα为奇函数；α为负整数时，幂函数的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞）.幂函数y＝xα（α是常数）的图形：1.2.3 分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数. 例9.画出符号函数的图形：例10.画出下面分段函数的图形：例11.求下面分段函数定义域并画出图形.1.3 三角函数、指数函数、对数函数1.3.1 三角函数1.三角函数的定义三角函数的定义可以在一个圆心在原点、半径为r的圆上给出，如图1.3.1—1所示.图1.3.1—1定义1.7 正弦函数；余弦函数；正切函数；余切函数；正割函数；余割函数.2.常见三角函数关系式（1）同角公式：1）倒数关系：sin x·csc x＝1，cos x·sec x＝1，tan x·cot x＝12）商的关系：，3）平方关系：sin2x＋cos2x＝1，1＋tan2x＝sec2x，1＋cot2x＝csc2x.（2）和角公式：sin（x±y）＝sin x cos y±cos x sin ycos（x±y）＝cos x cos y sin x sin y（3）倍角公式：sin2x＝2sin x cos xcos2x＝cos2x－sin2x（4）半角公式（降幂公式）：（5）正弦定理：（6）余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.例1.利用降幂公式，将下列各式变形，（1），（2）cos23x，（3）sin45x.解：（1）原式＝（2）原式＝（3）原式例2.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值.（1）已知tan x＝3求其他的三角函数值；（2）已知sec x＝5，求其他的三角函数值.解：（1）（2）3.三角函数的图像及简单性质（1）正弦函数y＝sin x正弦函数sin x是定义域为（－∞，＋∞），值域为[－1，1]的奇函数；图1.3.1—2（2）余弦函数y＝cos x余弦函数cos x是定义域为（－∞，＋∞），值域为[－1，1]的偶函数；图1.3.1—3（3）正切函数y＝tan x正切函数tan x是定义域为{x│x∈R，x≠kπ＋}（k是整数），值域为（－∞，＋∞）的奇函数；图1.3.1—4（4）余切函数y＝cot x余切函数cot x是定义域为{x│x∈R，x≠kπ}（k是整数），值域为（－∞，＋∞）的奇函数；图1.3.1—54.特殊角的三角函数值5.周期函数从三角函数的定义域可以看出，当θ的值增加2π后，点P又回到了原来的位置，所以sin（θ＋2π）＝sinθ，cos（θ＋2π）＝cosθ，tan（θ＋2π）＝tanθ，cot（θ＋2π）＝cotθ，sec（θ＋2π）＝secθ，csc（θ＋2π）＝cscθ.这种函数值重复出现的性质就是函数的周期性.定义1.8 设函数f（（x））的定义域为R.若存在正数T＞0，使得对于任意的x∈R都有f（x＋T）＝f（x），则称f （x）是一个周期函数，T称为f（x）的周期.如果T是函数f（x）的一个周期，则2T，3T等也是f（x）的周期，一般说的周期指的是最小正周期.如sin x，cos x 的最小正周期是2π，通常就说sin x，cos x是以2π为周期的周期函数.类似地，tan x，cot x是以π为周期的周期函数.例3.判断下列函数是否是周期函数，如果是，则求出最小正周期.（1）y＝sin2x，（2）y＝sin（2x＋3），（3）y＝sin3x＋tan x，（4）y＝sin3x＋x2.解：（1）π；（2）π；（3）2π；（4）不是周期函数.例4.设函数f（x）是定义在（－∞，＋∞）内的周期为3的周期函数，且f（－1）＝－1，f（0）＝1，f（1）＝2，则＝（）.A.－2B.0C.2D.4答案：C解析：因为周期为3，所以f（23）＝f（－1）＝－1，f（－3）＝f（0）＝1，f（4）＝f（1）＝2所以原式＝，选C.1.3.2 指数函数函数y＝a x（a＞0，a≠1）称为以a为底的指数函数，常用的是以无理数e为底的指数函数y＝e x.函数y＝a x（a＞0，a≠1）的定义域是（－∞，＋∞）值域是（0，﹢∞），当a＞1时是单调增函数，当0＜a＜1时是单调减函数.图1.3.2—1给出了底数a分别取2，3，和时函数y＝a x的图形.图1.3.2—1指数函数的一些基本运算规则：a x a y＝a x＋y，（a x）y＝a xy，a xb x＝（ab）x，a0＝1，a－x ＝例5.复利问题：设银行存款的年利率是r，且按复利计算.若某人在银行存入10000元，经过10年的时间，此人最终的存款额是多少？解：经过1年的时间，存款额变成10000＋10000r＝10000（1＋r）；经过2年的时间，存款额变成10000（1＋r）＋10000（1＋r）r＝10000（1＋r）2；经过3年的时间，存款额变成10000（1＋r）2＋10000（1＋r）2r＝10000（1＋r）3；类似地算下去，经过10年的时间，存款额会变成10000（1＋r）10.一般地，经过n年的时间，存款额会变成10000（1＋r）n.1.3.3 反函数1.反函数的概念定义1.9 设f（x）是定义在D上的一一对应函数，值域为Z，若对应关系g使得对任意的y∈Z，都有唯一的x∈D 与之对应，且f（x）＝y，则称g是f的反函数.反函数也记作x＝g（y）＝f－1（y）.由单调函数的定义可以知道，在一个区间上单调（增或减）的函数必有反函数.函数的定义域和值域分别与其反函数的值域和定义域一致.判断g与f是否互为反函数，就是要判断f（g（y））＝y且g（f（x））＝x是否成立.习惯上将自变量用x表示，因变量用y表示.根据反函数的定义，y＝f（x）与x＝f－1（y）的图形是一样的，而y ＝f－1（x）是将x＝f－1（y）中的x与y对换，由于点（x，y）与点（y，x）关于直线y＝x对称，所以y＝f（x）与y ＝f－1（x）的图形关于直线y＝x对称（图1.3.3—1）.图1.3.3—1例6.求下列函数的反函数：（1）y＝2x＋1；（2）解：（1）由y＝2x＋1，得x ＝（y－1）.交换x与y的位置，得y ＝（x－1）.由于函数y＝2x＋1的值域为（－∞，＋∞），所以其反函数为y ＝（x－1），x∈（－∞，＋∞）.（2）有，得 .交换x与y 的位置，得 .由于函数（x＞1）的值域为（0，1），所以其反函数为，x∈（0，1）.2.反三角函数（1）反正弦函数：y＝arcsin x，x∈[－1，1]，值域为[－， ]图1.3.3—2（2）反余弦函数：y＝arccos x，x∈[－1，1]，值域为[0，π]图1.3.3—3（3）反正切函数：y＝arctan x，x∈（－∞，＋∞），值域为（－，）图1.3.3—4例7.计算，（1）arcsin；解：（2）arccos；解：（3）arctan；解：（4）tan arcsin；解：（5）sin arc cot5解：例8.已知arccos，求x的取值范围.解：令－1≢≢1，解得－1≢x≢3所以x的取值范围为[－1，3].1.3.4 对数函数：1.定义：当a＞0且a≠1时，指数函数y＝a x在其定义域（－∞，＋∞）内是单调的，因此它是一个一一对应的函数，于是存在反函数.函数y＝a x的反函数称为以a为底的对数函数，记作y＝log a x，其定义域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）.常见的对数函数：常用对数y＝lg x，自然对数y＝ln x当a＞1时，y＝log a x在定义域内是单调增加的；当0＜a＜1时，y＝log a x在定义域内是单调减少的.2.对数的运算法则：设a，b，x，y都是大于零的实数，则log a（xy）＝log a x＋log a ylog a x r＝r log a xlog a a＝1，log a1＝0例9.设银行存款的年利率是3%，且按复利计算.若某人在银行存入10000元，问经过多少年，此人的最终存款额是15000元？解：设经过x年，此人的最终存款额是15000元.由于10000×（1.03）x＝15000所以x＝log1.031.5≈13.71.4 函数运算1.4.1函数的四则运算定义1.10 设函数f（x），g（x）都在D上有定义，k∈R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变（除法运算时除数为0的点除外），而函数值的对应定义如下：（1）加法运算（f＋g）（x）＝f（x）＋g（x），x∈D .（2）数乘运算（kf）（x）＝kf（x），x∈D.（3）乘法运算（fg）（x）＝f（x）g（x），x∈D .（4）除法运算 g（x）≠0，x∈D.其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值.例1. 已知f（x）=ln（1＋x），g（x）=1－cosx ，求 .解因为函数f（x）=ln（1＋x）的定义域为（－1，+∞），函数g（x）=1－cosx 的定义域为（－∞，+∞），且当x=2 kπ（k为整数）时，g（x）=0，所以，，x∈（－1，+∞）\{2kπ}（k为整数）1.4.2复合函数如有函数f（x）和g（x）,它们的定义域分别为D f和D g，值域分别是 Z f和Z g..当Z g D f时，对于任意x∈D g,都有唯一的g（x）∈Z g D f,，从而有唯一的f（g（x））∈Z f与x∈D g对应，这样就确定了一个从D g到Z f的函数，此函数称为 f和g的复合函数，记作重点是学会函数的分解与复合。

2022年自考00020高等数学(一)核心考点资料

2.函数的性质
（1）有界性
设函数 f(x)在 D 上有定义，如果存在两个实数 m 和 M 满足条件：对 D 中所有的 x 都有不等式
m≤f(x)≤M，则称 f(x)在 D 上是有界函数，m 叫做 f(x)的下界，M 叫做 f(x)的上界.
如果对于任意 M＞0，在 D 中均存在 x，使得|f(x)|＞M,则称 f(x)在 D 上是无界函数.
限趋于”一个确定的数 A，则称函数 f(x)在 x→x0 时的极限是 A，记作
.
2.函数在一点的单侧极限
（1）函数在一点的左极限
设函数 f(x)在 x0 的左侧附近有定义，若当 x＜x0 且“无限趋于”x0 时，其对应的函数值 f(x)
“无限趋于”一个确定的常数 A，则称函数 f(x)在 x0 点的左极限是 A，记作
§1.4 函数运算
1.函数的四则运算设函数 f(x)，g(x)都在 D 上有定义，k∈R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变（除法运算时除数为 0 的点除外），而函数值的对应定义如下：（1）加法运算(f+g)(x)=f(x)+g(x)，x∈D. （2）数乘运算(kf)(x)=kf(x)，x∈D. （3）乘法运算(fg)(x)=f(x)g(x)，x∈D.
f(x)=o(1)(x→x0).
2.无穷大量的概念
若函数
在 x→x0 时是一个无穷小量，则称函数 f(x)在 x→x0 时是一个无穷大量，记作 .
当 x 无限趋于 x0 时，若量，记作
且无限趋于 0，则称函数 f(x)在 x→x0 时是一个正无穷大 .
当 x 无限趋于 x0 时，若
量，记作 3.无穷小量的比较
格函数.
平均收益函数为

高等数学预备知识

高等数学预备知识
嘿，朋友们！今天咱来聊聊高等数学预备知识，这可太重要啦！就好比盖房子得先有牢固的地基一样，高等数学也得有扎实的预备知识呀！
比如说函数，那可真是高等数学里的大明星啊！像你去超市买东西，你买的东西数量和总价之间不就是一种函数关系嘛！每个人都在不知不觉中接触着函数呢。

再说集合，听起来好像很抽象，但其实就在我们身边呀！你们想想，一个班级的同学不就可以看作是一个集合嘛。

还有数列，这就像我们跑步，一步一步有规律地前进。

比如我们每年长高的高度，可能就近似形成了一个数列呢！这些预备知识看似平常，实际上在高等数学里那可是起大作用的哟！
几何图形也是不能少的呀！圆、正方形、三角形，这些我们从小就认识的图形，在高等数学里也有它们独特的意义和用途呢！难道不是吗？
极限呢，就好像你努力朝一个目标奔跑，虽然可能永远达不到那个绝对的点，但你可以无限接近呀，这多神奇！
高等数学预备知识不是枯燥无味的，它们是有趣的、好玩的，等着我们去发现它们的奥秘！我们可不能小瞧了这些基础知识，它们可是打开高等数学大门的钥匙呢！我们要带着好奇和热情去探索、去学习，相信自己一定能掌握好这些预备知识，为以后学习高等数学打下坚实的基础呀！所以，大家赶紧行动起来，投入到高等数学预备知识的奇妙世界中去吧！。

高等数学第一章预备知识

1.2 区间与邻域
(1) 实数集的构成
(2) 实数的点的表示
数轴：
b
a
X
O1
1.2 区间与邻域 (3) 区间是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点. 设 a, b ∈R , 且 a ＜ b.
集合 {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
集合 {x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
函数，记作
y f (x), x X
数集X叫做这个函数的定义域，变量x称为自变量，变量 y 称为因变量。
当 x取数值 x0 X 时，与 x0对应的 y 的数值
称为函数 f 在点处的函数值,记作 f (x0 ).
由函数 f 的定义可知,函数实际上即我们中学数
学中所介绍的实数集到实数集的映射.
必修科目,同时也是许多非理工科学生的必修科目。
文科生开设高等数学的目的:
一方面使学生获得相应数学基础知识—基本理论和基本计算方法，提高学生的数学素质；
另一方面使学生学会一定的数学思维方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。对文科生来说，后者显得更为重要。
二、文科生开设高等数学的内容
本书在取材时选择了高等数学中最基础的三个部分内容：
（1）固定成本函数；（2）可变成本函数；（3）总成本函数；（4）总收益函数；（5）总利润函数。
解设产量为 x ，则
(1) C0 12000 ;
(2) C1 10 x;
(3) C 1200010x; (4) R 30x;
(5)L 30x (1200010x) 20x 12000.
解:∵ 一年的利息为p0r元, 则 x 年的单利为 p0rx元, ∴ 本利和为 P = p0 + p0rx = p0 (1+ rx) 元

高等数学预备知识

第一章预备知识高等数学是研究变量的科学，恩格斯曾说过：“数学中转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。

有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。

”变量与变量之间的联系就是函数关系。

本章从集合、映射的概念出发引出函数、反函数的概念，接着介绍三角函数、反三角函数等重要函数的概念与性质，最后简单介绍极坐标系、二阶及三阶行列式的有关内容。

第一节函数世界是普遍联系的，数学则是揭示事物之间数量联系的工具。

例如：水的沸点随海拔的增高而变化，圆的面积与其半径有关等等。

这些现象、规律都是变量与变量之间函数关系的反映。

函数的概念是建立在集合、映射上的。

下面介绍集合、映射的概念。

一、函数的概念1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a ∈M .集合的表示可采用列举法或描述法。

所谓列举法是把把集合的全体元素一一列举出来. A ={a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n }；而描述法是指若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为M ={x | x 具有性质P }.例如圆心在原点的单位圆上的点构成的集合表示为：{(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 下面是高等数学中常用的几个数集:N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.N ={0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. N +={1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={⋅ ⋅ ⋅, -n , ⋅ ⋅ ⋅, -2, -1, 0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}.Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 2. 映射的概念映射：设,X Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则f , 使得对X 中每个元素x , 按法则f , 在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记作:f X Y →其中y 称为元素x (在映射f 下)的像, 并记作()f x , 即()y f x =, 而元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像; 集合X 称为映射f 的定义域, 记作f D , 即f D X = X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域, 记为f R , 或()f x , 即 (){()|}f R f X f x x X ==∈需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X , 即定义域f D X =; 集合Y , 即值域的范围: f R Y ⊂; 对应法则f , 使对每个x X ∈, 有唯一确定的()y f x =与之对应. (2)对每个x X ∈, 元素x 的像y 是唯一的; 而对每个f y R ∈, 元素y 的原像不一定是唯一的; 映射f 的值域f R 是Y 的一个子集, 即Rf Y ⊂, 不一定f R Y = . 例1设:f R R →, 对每个x R ∈,()f x x =.显然, f 是一个映射f D R =, 值域{|0}f R y y =≥, 它是R 的一个真子集. 对于f R 中的元素y , 除0y =外, 它的原像不是唯一的. 如1y =的原像就有1x =和1x =-两个. 满射、单射和双射:设f 是从集合X 到集合Y 的映射, 若f R Y =, 即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像, 则称f为X 到Y 上的映射或满射; 若对X 中任意两个不同元素12x x ≠, 它们的像12()()f x f x ≠, 则称f 为X 到Y 的单射; 若映射f 既是单射, 又是满射, 则称f 为一一映射(或双射).图1-1清楚地表明单射、满射、双射之间的关系.双射（单射与满射）单射但非满射满射但非单射非满射非单射图1-1 逆映射与复合映射设f为X 到Y 的单射, 则由定义, 对每个f y R ∈ , 有唯一的x X ∈, 适合()f x y =,于是, 我们可定义一个从Rf 到X 的新映射g , 即:f g R X →对每个f y R ∈, 规定()g y x =, 这x 满足()f x y =. 这个映射g 称为f 的逆映射, 记作1f-, 其定义域1g f D R -=, 值域1f R X -= .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 设有两个映射 12:,:g X Y f Y Z →→，其中12Y Y ⊂.则由映射g 和f 可以定出一个从X 到Z 的对应法则，它将每个x X ∈映成[()]f g x Z ∈.显然，这个对应法则确定了一个从X 到Z 的映射，这个映射称为映射g 和f 构成的复合映射，记作f g ，即 :f g X Z → ，()()[()],f g x f g x x X =∈如图1-2所示。

大一高等数学知识点总结

大一高等数学知识点总结在大一的学习中，高等数学是一门重要的基础课程，涵盖了多个知识点。

下面是对大一高等数学的知识点进行了总结和归纳，希望能够帮助你更好地掌握这门课程。

1. 极限和连续1.1 极限的概念和性质1.2 无穷大与无穷小1.3 函数的极限和连续性1.4 一元函数的导数与微分1.5 高阶导数与导数的应用2. 一元函数微分学2.1 高阶导数和导数的应用2.2 隐函数与参数方程求导2.3 微分中值定理、洛必达法则和泰勒公式2.4 凸性和曲率2.5 函数的极值与最值问题3. 微分方程3.1 常微分方程的基本概念3.2 一阶常微分方程的解法3.3 高阶常微分方程的解法3.4 变量分离与参数代换法3.5 齐次方程与非齐次线性方程4. 一元函数积分学4.1 不定积分和定积分的基本概念4.2 牛顿-莱布尼兹公式与换元积分法 4.3 分部积分法与定积分的应用4.4 曲线长度与曲面面积的计算4.5 定积分的物理应用5. 多元函数微分学5.1 多元函数的偏导数与全微分 5.2 方向导数与梯度5.3 隐函数与参数方程的偏导数 5.4 多元函数的极值与最值问题 5.5 重积分的概念与性质6. 多重积分6.1 二重积分的计算6.2 极坐标系与极坐标变换6.3 三重积分的计算6.4 柱面坐标系与球面坐标系 6.5 曲线积分与曲面积分的概念7. 微分方程的应用7.1 二阶常系数线性微分方程 7.2 高阶常系数线性微分方程 7.3 非齐次线性微分方程7.4 欧拉方程与常系数线性齐次方程7.5 解的存在唯一性和稳定性以上是大一高等数学的主要知识点总结，希望对你的学习有所帮助。

在学习过程中，要理解并熟练掌握每一个知识点，做好相关的练习和习题，加深对数学概念的理解和应用能力，为将来更深入的数学学习打下坚实的基础。

祝你在数学学习中取得好成绩！。