中南大学线性规划课件4

y1，y2 0
例2-5：写出下列线性规划问题的 对偶问题
min S = x1 + 2x2 + 3x3
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2
3x1+ x2 + 7x3 3
x1，x2 ， x3 0
解：用（-1）乘以第二个约束方 程两边
min S=x1+2x2 +3x3
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 y1 -3x1- x2 - 7x3 -3 y2 x1，x2 ， x3 0
x1+2x2= 1
对偶问题的基本定理 定理2.0:(对称性定理)
对偶问题的对偶就是原问题.
max z=CTX 对偶的定 义
s.t. AX ≤ b
X ≥0
min g=Yb s.t. YA ≥ C
Y ≥0
min z’=-CTX
s.t. -AX ≥ -b
X ≥0
对偶的定 义
max g’=-Yb s.t. -YA ≤ -C
对偶问题的基本定理
定理2.2 (最优准则) 若原问题的某一个可行解
与对偶问题的某一可行解的目 标函数值相等,则它们分别是原 问题与对偶问题的最优解.
对偶问题的基本定理
定理2.3 (对偶定理) 若原问题有最优解,则对偶
问题也有最优解,且最优值相等.
对偶问题的基本定理 定理2.3 (对偶定理)
若原问题有最优解,则对偶 问题也有最优解,且最优值相等。 推理:对偶问题的最优解为原问 题最优表中,相应的松驶变量检 验数的相反数。
假设y1,y2 分别表示每个木工和 油漆工工时的租金，则所付租金最 小的目标函数可表示为：
min s=120y1+50y2
目标函数中的系数120，50 分别表 示可供出租的木工和油漆工工时数。
该企业家所付的租金不能太低，
否则家具厂的管理者觉得无利可图
而不肯出租给他。因此他付的租金
应不低于家具厂利用这些资源所能
各种食物的营养成分表
序号 食品名称 热量(千卡) 蛋白质(克) 钙(毫克) 价格(元)
1 猪肉 1000 50 400 14 2 鸡蛋 800 60 200 6 3 大米 900 20 300 3 4 白菜 200 10 500 2
解：设xj为第j种食品每天的购入量，
则配餐问题的线性规划模型为：
Y X
在X=0的平面上鞍点 Z 是z=f(0,y)的极小值点
Y X
Z
鞍点
Y X
马鞍面z=x2/4-y2/6
对偶问题的基本定理
推理一:对偶问题中,任意一个 可行解,都产生了另一个问题的 目标函数的界。 推理二:若原问题和对偶问题都 有可行解,则它们都有最优解。 推理三:若互为对偶问题中任意 一个有可行解,但无最优解,则 另一个就无可行解。
s.t. y1 +2y2’- 2y2” 2
y1
3
-y1 + y2’- y2” -5
y1， y2’，y2” 0
令y2 = y2’- y2” 得到
max g = 5 y1 + 4y2
s.t. y1 + 2y2 2 原问题:
y1
3 2x1+x3= 4
-y1+ y2 -5
y1 0 ，y2 无非负约束
线性规划的对偶关系：
（I） Max S = CtX
s.t. AX b X0
(2.3)
(II) Min g = Y b
s.t. Y A C
(2.4)
Y0
（2.3)(2.4)称作互为对偶问题。其中一 个称为原问题，另一个称为它的对偶问 题。
a11 a12 …. a1n
A= a21 a22 …. a2n
解：该问题的对偶问题：
max g = 2y1 + 3y2
s.t. 2y1 + 2y2 12
y1 + 2y2 8
4 y1
16
4y2 12
y1,y2 0
例2-4：写出下列线性规划问题的 对偶问题
max S = 10x1 + x2 + 2x3
s.t. X1 + x2 + 2x3 10 y1 4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0
Y ≥0
定理2.1:(弱对偶定理) 对于互 为对偶问题(I)(II)中的任意的 可行解X(0),Y(0),都有
CTX(0) ≤Y(0) b
用非线性函数马鞍面说明
定理的含义（鞍点）。但是线 性规划是线性函数。
Z
鞍点
Y X
马鞍面z=x2/4-y2/6
Z 在Y=0的平面上鞍点 是z=f(0,y)的极大值点
y1 yi ym ym+1
ym+j yn+m
对偶问题的变量
对偶问题的松弛变量
xjym+j=0 yixn+i=0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0
原问题与对偶问题解的对应关系
问题与解的
对偶问题
状态 有最优解无 界无可行解
原有最优解 一定 不可能 不可能
max S = 10x1 + x2 + 2x3
s.t. X1 + x2 + 2x3 10 y1 4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1,x2 , x3 0
解：该问题的对偶问题：
min g = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
s.t. x1+2x2
=1
2x2 - x3 -2
2x1
+x3 3
x1- 2x2 + 3x3 4
x1，x2 0 ， x3 无非负限制
min g = 3x1 - 2x2 + x3
s.t. x1+2x2
=1
y1
-2x2 + x3 2
y2
2x1
+x3 3
y3
x1- 2x2 + 3x3 4
y4
得到的利益：
4 3
yy11
y++1,2yyy222
50 30 0
得到另外一个数学模型： min s = 120 y1 + 50 y2 s.t. 4 y1 + 2y2 50 (2.2) 3 y1+ y2 30 y1, y2 0
模型(2.1)和模型(2.2) 既有区别又 有联系。联系在于它们都是关于家具 厂的模型并且使用相同的数据，区别 在于模型反映的实质内容是不同的。 模型(2.1)是站在家具厂经营者立场 追求销售收入最大，模型(2.2)是则 站在家具厂对手的立场追求所付的租 金最少。
互补松弛关系
原始问题和对偶问题变量、松弛变量的维数
max z=CTX s.t. AX+XS=b
X, XS ≥0 m
n
m
X
XS
A
-I = b
min g=Yb
Y
s.t. YA-YS=C
Y, YS ≥0
n AT
XTYS=0 YTXS=0
m
YS
I
=C
n
原始问题的变量
原始问题的松弛变量
x1
xj
xn xn+1 xn+i xn+m
该问题的对偶问题：
max g = 2 y1 - 3y2 s.t. 2y1- 3y2 1
3y1- y2 2 5y1- 7y2 3 y1，y2 0
例2-6：写出下列线性规划问题的 对偶问题
mix1+ x2 - x3 5
2x1
+ x3 = 4
Y ≥0
max
Ct
min bt
m
A
≤b
n At ≥ C
n
m
例2-3：写出下列线性规划问题的 对偶问题
min S=12x1+8x2 +16x3+12x4
s.t. 2x1+ x2 +4x3
2
2x1+2x2 + 4x4 3
x1，x2 ， x3 ， x4 0
min S=12x1+8x2 +16x3+12x4
定理2.3 (互补松弛性)
max z = CTX s.t. AX ≤ b
X ≥0
引进松弛变量
min g=Yb
s.t. YA ≥ C
对偶
Y≥0
引进松弛变量
max z=CTX s.t. AX+XS=b
X, XS≥0
X，Xs
min g=Yb s.t. YA-YS=C
Y, YS≥0
Y，Ys
XTYS=0 YTXS=0
此类问题称为非对称型对偶问题。 前面的问题称为对称型对偶问题。
若原规划中有等式约束,则与 之对应的对偶变量无非负限制.
根据对偶规划的对称性,若原规 划某个变量无非负限制,则与之 对应的对偶约束为等式约束.
例2-7：写出下列线性规划问题的对 偶问题
min S = 3x1 - 2x2 + x3
不等式两边乘 (-1)
。。。。。。。。。。。。
am1 am2 …. amn
b=
b1
b2
。。。
bm
c1 c2 Ct= …… cn
x1 x2 X= …… xn
0 0 0= ….. 0
y1 y2 Yt= ….. ym
原始问题 max s=CtX s.t. AX ≤ b
X ≥0
对偶问题 min g=Yb s.t. YA ≥ C