第四章 MATLAB

常识上，r应比当时活期存款月利率略高一 些。我们用活期存款月利率0.0198/12 作为 迭代初值，用fzero求解 >>clear; fun=inline('25.2*(1+r)^360-((1+r)^360-… 1)/r*0.1436' ,'r') >>r=fzero(fun,0.0198/12); >>R=12*r 得年利率为5.53%. (你知道最新利率吗？)
x→x(1) → y →x(2)
4.2 函数极值MATLAB指令 函数极值MATLAB指令
min(y) max(y) 返回向量y的最小值 返回向量y的最大值
[x,f]=fminbnd(fun,a,b) x返回一元函数y=f(x)在[a,b]内的 局部极小值点,f返回局部极小值 fun为函数句柄或inline。 [x,f]=fminsearch(fun,x0) x返回多元函数y=f(x)在初始值x0 附近的局部极小值点,f返回局部极小值. x, x0均为向量。
0 0 0.5 1
4.2 最小二乘拟合MATLAB指令 MATLAB指令
假设已知经验公式 假设已知经验公式y=f(c,x)(c和x均可为向量 要求根 和 均可为向量 均可为向量), 确定参数c.这 据一批有误差的数据(x 据一批有误差的数据 i,yi), i=0,1,…,n, 确定参数 这 样的问题称为数据拟合。 最小二乘法就是求 使得均方误差最小化 最小二乘法就是求c使得均方误差最小化 Q(c)=
MATLAB数学实ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ MATLAB数学实验
第四章 函数和方程
第四章 函数和方程
4.1 预备知识：零点、极值和最小二乘法 预备知识：零点、 4.2 函数零点、极值和最小二乘拟合的 函数零点、 MATLAB指令 MATLAB指令 4.3 计算实验：迭代法 计算实验： 4.4 建模实验：购房贷款的利率和最佳订货 建模实验： 量
4.1 预备知识：极值 预备知识：
设x为标量或向量，y=f(x)是x∈D上的标量值函数。 如果对于包含x=a的某个邻域 ,有 f(a)≤f(x) (f(a)≥f(x))对任意x∈成立, 则称a为f(x)的一个局 部极小(大)值点。 如果对任意x∈D，有f(a)≤f(x)（f(a)≥f(x)）成立， 则称a为f(x)在区域D上的一个全局极小(大)值点。
x返回一元或
多元函数Fun在x0附近的一个零点， f返回Fun在x的函数值, 应该接近0; h返回值如果大于0， 说明计算结果可靠， 否则计算结果不可靠。
例3 求函数y=xsin(x2-x-1)在(-2, -0.1)内的 零点 >> fun=inline('x*sin(x^2-x-1)','x') >> fzero(fun,[-2 -0.1]) 例4 求方程组在原点附近的解 1 x 4x y + 10 e =1 x + 4y + 1 x2 = 0 8
对于Logistic模型 解得有两个不动点0和1-1/a 当0≤a<1, 在[0，1]内有一个不动点0， 且由|g’(0)| =a<1,可知它是稳定的, 说明资源匮乏时,昆虫趋于消亡;
当a>1, 不动点0不再稳定; 当1<a≤3，由|g’ (1-1/a)| =|2-a|<1可知 不动点1 - a -1稳定，说明资源适当时， 昆虫稳定于一定数量。
例8 .下面是《新民晚报》2000年3月30日 上的一则房产广告：
建筑面积 总价 30%首付 70%按揭 月还款 85.98 m 36 万 10.8 万
2
30 年
1436 元
不难算出，你向银行总共借了25.2万， 30年内共要还51.696万， 这个案例中贷款年利率是多少呢？
解 设xk为第k个月的欠款数， a为月还款数, r为月利率。 xk+1 = (1+r) xk- a 那么 xk = (1+r) xk-1- a = (1+r)2 xk-2 – (1+r)a – a =…… = (1+r)k x0 – a[1+(1+r)+……+(1+r)k-1] = (1+r)k x0 – a[(1+r)k-1]/r 根据 a=0.1436, x0=25.2, x360=0 得到 25.2(1+r)360 – 0.1436[(1+r)360-1]/r=0 很难用roots求解！
c= lsqnonlin (Fun,c0) 使用迭代法搜索最 优参数c. 其中Fun是以参数c(可以是向量) 为自变量的函数,表示误差向量 y-f(c,x)(x, y为数据)， c0为参数c的近似值,作为迭代初值
c=lsqcurvefit(Fun2,c0, x, y) 从外部输入数据， 这里Fun2为两变量c和x的函数 f(c, x)
4.2 函数零点MATLAB指令 函数零点MATLAB指令
x=fzero(Fun, x0) 返回一元函数Fun的一 个零点,其中Fun为函数句柄、 内嵌函数或字符串表达方式。 x0为标量时, 返回函数在x0附近的零点； x0为向量[a, b]时, 返回在[a,b]中的零点
[x,f,h]=fsolve(Fun, x0) 其中x0为迭代初值;
( yi f (c, xi ))2 ∑
i=0
n
当f关于 是线性函数 问题转化为一个线性方程组求解， 关于c是线性函数 问题转化为一个线性方程组求解， 关于 是线性函数,问题转化为一个线性方程组求解 且其解存在唯一。 且其解存在唯一。 如果f关于 是非线性函数， 关于c是非线性函数 如果 关于 是非线性函数，问题转化为函数极值问题
4.4 建模实验：最佳订货量 建模实验：
每次订货需要收取一定量的生产准备费。 没用完的配件，要在仓库里储存一段时间，为 此要付出储存费。 若订货量很小，则需频繁定货，造成生产准备 费的增加； 反之，若订货量很大，定货周期延长而使生产 准备费减少但会造成储存费的增加。 如何确定合适的订货量？
2．线性化拟合 ． 线性最小二乘拟合可直接用求解超定线 性方程组的方法，计算速度快且唯一。 非线性最小二乘拟合的缺点是求解结果 依赖于初值的选取，可能会陷于局部极小 值而难以求得真解。 常常将有些非线性函数拟合问题转化为 线性问题求解。 例7 .用函数y=aebx 拟合例2的数据
4.4 建模实验：购房贷款的利率 建模实验：
4.1 预备知识：零点 预备知识：
非线性方程 f (x) = 0 若对于数α有f (α) = 0, 则称α为方程的解或根，也 称为函数f (x)的零点 若f (α) = 0, f ’(α)≠0 则α称为单根。 若有k >1, f (α) = f ’(α) = …= f (k-1)(α) = 0，但f (k)(α)≠0 , 称为k重根 非线性方程求解通常用数值方法求近似解，常见 的有二分法、牛顿法等 非线性方程（组）f (x) = 0， x=(x1, x2, …, xn), f=(f1, f2, …, fm)
a>3，出现两个周期2解，且3<a<1+ 6 周期2轨道稳定。 迭代开始发生所谓倍周期分岔， 从周期2,周期4,…,周期2 n,… 直到 a∞ = 3.569945672…。 说明a在[3，a∞]取值时， 昆虫数量呈现规律性振荡。 a >a∞ 迭代序列几乎杂乱无章， 即所谓混沌。
*混沌的特征 (i)初值敏感性: 两个任意近的点出发的两条轨迹 迟早会分得很开; (ii)遍历性: 任意点出发的轨迹总会进入 [0,1]内任意小的开区间。
t =1
2k1r （经济批量订货公式） x= k2
4.4 建模实验：混沌 建模实验：
线性迭代要么收敛于它的不动点，要么 趋于无穷大。 不收敛的非线性迭代可能会趋于无穷大， 也可能趋于一个周期解， 但也有可能在一个有限区域内杂乱无章 地游荡，这类由确定性运动导致的貌似 随机的现象称为混沌现象
*平衡与稳定 若g (α) = α,称α为映射g(x)的不动点 若对于不动点附近的初始值x0，迭代收敛于 此不动点，称此不动点是稳定的 *昆虫数量的Logistic模型 xk+1 = a x k (1 - x k), 0≤a≤4 xk表示第k代昆虫数量(1表示理想资源 环境最大可能昆虫数量)。 a为资源系数 0≤a≤4保证了xk在区间(0,1)上封闭。
4.3 计算实验：迭代法 计算实验：
1 迭代法
迭代法是从解的初始近似值x0(简称初值)开 始，利用某种迭代格式x k+1 = g (x k ), 求得一近似值序列x1, x2, …, xk, xk+1, … 逐步逼近于所求的解α(称为不动点)。 最常用的迭代法是牛顿迭代法，其迭代格式 为
xk +1
例9（蛛网图）我们用蛛网图来显示混 沌的遍历性。 yk = a x k (1 - x k), xk+1 = yk 蛛网图正好显示迭代计算 x0, y0, x1, y1,……的一系列变化过程。 eg4_9.m
1
1
0.5
0.5
0 0 1 0.5 1
0 0 1 0.5 1
0.5
0.5
0 0 0.5 1
解 先作一些必要的假设将问题简化 1）汽车工厂对配件的日需求量是恒定的， 每日为r件； 2）所订配件按时一次性交货， 生产准备费每次k1元； 3）储存费按当日实际储存量计算， 储存费每日每件k2元; 4）你的工厂不允许缺货。 设一次订货x件，则订货周期为 T= x/r, 第t天的储存量为 q(t)= x-r t, 0<t<T
MATLAB中一个多项式用系数降幂排列 向量来表示。
例1.求多项式x3 + 2 x2 - 5的根 p=[1 2 0 -5]; x=roots(p) , polyval(p,x) 例2.用2次多项式拟合下列数据. x 0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3 y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72