统计试验设计

只 能 预 报 四 个 水 平 处 的 响
试验设计的统计模型
方差分析模型 因子设计， 因子设计，正交设计 参数回归模型 最优设计 非参数回归模型 均匀设计
回归模型
根据专业知识, 可选用适当的回归模型, 根据专业知识 可选用适当的回归模型 比如 用二次模型
y(x) = β
0
+ β 1x + β 2 x 2 + ε ,
二水平试验在西方被广泛推荐 二水平不足以揭示非线性关系 多水平试验值得推荐
二水平试验的不足
试验范围对， 试验范围对， 但水平不合适
A1 A2
Y A1
Y
A2
试验范 围错
A1
A2
试验范围及水平 都对，但不能揭 都对， 示A和Y之间更复 杂的关系
Y
型 是 有 益 的 。
应 值 ， 进 一 步 采 用 回 归 模
Kiefer, J.C. (1958), Ann Math.Stat. Kiefer, J.C. (1959), JRSS, B, with discussion Atkinson, A.C. and Donev, A.N. (1992), Optimal Experimental Designs, Clavendon Press, Oxford
均匀设计
均匀设计是一种试验设计方 均匀设计是一种试验设计方 是一种 它可以用较少的试验次数， 法。它可以用较少的试验次数， 安排多因素、 安排多因素、多水平的析因试验 ，当试验者对析因试验的统计模 型未知时，均匀设计是最好的设 型未知时，均匀设计是最好的设 计方法。均匀设计也是 也是仿真试验 计方法。均匀设计也是仿真试验 设计和稳健设计的重要方法 的重要方法。 设计和稳健设计的重要方法。
N( 0 ,σ 2 ) 。
为真值,
2
ε i , i = 1, , n 独立同分布,遵从 N( 0 ,σ )。
和 σ 2 的無偏估计為
= y = ∑ yi / n,
i =1 n
1 n σ2 = ( yi y ) 2 . ∑ n 1 i =1
随机误差: 随机误差:
y
Level
Response
y=1– e–2x ,
2
0≤x≤2
方差分析模型
中取若干个点作试验， 在[0,2]中取若干个点作试验，设 x1, …, xq 为 中取若干个点作试验 试验点， 为其重复数， 试验点，n1, …, nq 为其重复数，其统计模型为
用统计方法估计 {1, …, q} 或 {, α1, …, αq}, 以及 σ2
y = g(x) + ε ,
未知。 式中函数形式 g(x)未知。希望通过试验求 未知 一个近似模型。 得g(x)一个近似模型。这时，一个自然的 一个近似模型 这时， 想法是将试验点在[0,2]上均匀散布，即均 上均匀散布， 想法是将试验点在 上均匀散布 匀设计。 匀设计。
均匀设计及其拟合多项式回归
或三次模型
y(x) = β 0 + β 1 x + β 2 x 2 + β 3 x 3 + ε ,
更一般地, 更一般地
y(x) = β 1 f1 ( x ) + + β m f m ( x ) + ε ,
已知, 未知。 其中函数 f1,…, fm已知 但参数 β1,…, βm未知。
给定试验次数 n，希望能获得最精确的 ， 的估计。 回归系数 β0, β1, … 的估计。 缺点：对模型的变化缺乏稳健性。 缺点：对模型的变化缺乏稳健性。
均值 = 190.5/6 y mean) 2 ∑ df i =1 16.375 = = 3.275 5
2
部份因子设计
设有 s 个因素, 它们分别取 则全部水平组合有
s
q1 , , q s
个水平。
N = ∏1 qi
个。
维空间的一个点, 一个 水平组合 可视为 s 维空间的一个点 称为 试验点 。
水平组合
因素诸水平的组合称为 水平组合 (level-combination), 如 {m2, 10, 2.5}, {m1, 28, 0.5} 。 水平组合在文献中又称为 处理组合 。
一个因子设计
(Factorial design) 是一组水平
组合。 组合。
处理, 处理 响应
在试验环境下对确定的水平组合所作的试验 称为一个 处理 (trial 或 run) 。
因子设计 ，术语
让我们首先通过一个例子来介绍一些术语
例3 在一个化工试验中, 试验者希望通过如下 的可控变量来增加产量: x1: x2: x3: 原料品种 {m1, m2, m3} 加酸量 (ml) [10,28] 反应时间 (时) [0.5, 3.5]
因素(因子)
在试验中可控的并用于考察对试验结果(y)的 变量称为 因素 或 因子 (factor)。 。
第二章
统计试验设计
统计试验设计
是统计学的重要分支， 是统计学的重要分支，它能大量节省试验 的次数。 的次数。能将试验数据从随机误差的烟幕 中去伪存真，抓住事物的规律。 中去伪存真，抓住事物的规律。 所以``一个精心设计的试验是认识世界的 所以 一个精心设计的试验是认识世界的 有效方法'‘ 有效方法 (Atkinson and Donev (1992))。 。
如反应温度、压力、催化剂品种、施化肥量、水稻品种等。 如反应温度、压力、催化剂品种、施化肥量、水稻品种等。
因素可以是 定量 的, 也可以是 定性 的。
水平 （level)
因素变化的范围称为试验区域, 在例3 中,试验区域为:
{m1, m2, m3} x [10,28] x[ 0.5,3.5].
原料品种: m1, m2, m3 加酸量: 10,19,28 反应时间: 0.5, 1.5, 2.5, 3.5
NOISE
Total
y 29.5 32.0 31.0 33.0 30.5 34.5 190.5
y - - mean)2 (y mean -2.25 5.0625 0.25 0.0625 -0.75 0.5625 1.5625 1.25 1.5625 -1.25 7.5625 2.75 16.375 0
二次回归模型的D-最优设计及其拟合 二次回归模型的 最优设计及其拟合
如果采用3次多项式模型,效果会显著地改进。 如果采用3次多项式模型,效果会显著地改进。
试验设计的统计模型
方差分析模型 因子设计， 因子设计，正交设计 参数回归模型 最优设计 非参数回归模型 均匀设计
非参数回归模型
若试验者对模型未知， 若试验者对模型未知，这时将面对非参 数回归模型
试验的结果称为 响应 (response), 响应可以是 定性的, 也可是定量的。
随机误差 (random error)
不可控的诸微小因素之总和, 称为 随机误差。 同样条件下的两次试验结果可能不同。 随机误差存在于一切试验之中。 随机误差存在于一切试验之中。
随机误差
随机误差可假定遵从 正态分布 2 方差 给出随机误差大之度量 σ 。 令 y1 , , y n 为重复试验之响应值 y i = + ε i , i = 1, , n, 这里,
全面试验
若所有的水平组合都作相同重复数的试验, 称 为全面试验 。 例如, 一个六因素, 五水平的全面试验至 N = 56 = 15625 次试验。 少需要
试验设计的统计模型
方差分析模型 因子设计， 因子设计，正交设计 参数回归模型 最优设计 非参数回归模型 均匀设计
例4：威布尔生长曲线 ：